مبدأ التراكب

ينص مبدأ التراكب ، ^{[ 1 ]} المعروف أيضًا بخاصية التراكب ، على أنه في جميع الأنظمة الخطية ، تكون الاستجابة الكلية الناتجة عن منبهين أو أكثر هي مجموع الاستجابات التي كان من الممكن أن يُحدثها كل منبه على حدة. فإذا كان المدخل A يُنتج الاستجابة X ، والمدخل B يُنتج الاستجابة Y ، فإن المدخل ( A + B ) يُنتج الاستجابة ( X + Y ).

وظيفة​${\displaystyle F(x)}$الدالة التي تحقق مبدأ التراكب تسمى دالة خطية . ويمكن تعريف التراكب بخاصيتين أبسط: الجمعية$${\displaystyle F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2})}$$ والتجانس​$${\displaystyle F(ax)=aF(x)}$$ بالنسبة للعدد القياسي a .

لهذا المبدأ تطبيقات عديدة في الفيزياء والهندسة ، إذ يمكن نمذجة العديد من الأنظمة الفيزيائية كأنظمة خطية. على سبيل المثال، يمكن نمذجة عارضة كنظام خطي، حيث يكون المؤثر المدخل هو الحمل الواقع عليها، والاستجابة المخرجة هي انحرافها . تكمن أهمية الأنظمة الخطية في سهولة تحليلها رياضيًا؛ إذ تتوفر مجموعة كبيرة من التقنيات الرياضية، وطرق التحويل الخطي في مجال التردد، مثل تحويلات فورييه ولابلاس ، ونظرية المؤثرات الخطية ، التي يمكن تطبيقها. ولأن الأنظمة الفيزيائية خطية تقريبًا فقط، فإن مبدأ التراكب لا يمثل سوى تقريب للسلوك الفيزيائي الحقيقي.

ينطبق مبدأ التراكب على أي نظام خطي، بما في ذلك المعادلات الجبرية ، والمعادلات التفاضلية الخطية ، وأنظمة المعادلات من هذه الأشكال. يمكن أن تكون المحفزات والاستجابات أعدادًا، أو دوالًا، أو متجهات، أو حقولًا متجهة ، أو إشارات متغيرة مع الزمن، أو أي كائن آخر يحقق بديهيات معينة . تجدر الإشارة إلى أنه عند استخدام المتجهات أو الحقول المتجهة، يُفسَّر التراكب على أنه مجموع متجهي . إذا تحقق التراكب، فإنه يتحقق تلقائيًا أيضًا لجميع العمليات الخطية المطبقة على هذه الدوال (بحكم التعريف)، مثل التدرجات، والتفاضلات، والتكاملات (إن وجدت).

من خلال كتابة محفز عام جدًا (في نظام خطي) على شكل تراكب لمحفزات ذات شكل محدد وبسيط، غالبًا ما يصبح حساب الاستجابة أسهل.

على سبيل المثال، في تحليل فورييه ، يُكتب المحفز على شكل تراكب لعدد لا نهائي من الموجات الجيبية . وبفضل مبدأ التراكب، يمكن تحليل كل موجة جيبية على حدة، وحساب استجابتها الفردية. (الاستجابة نفسها موجة جيبية، لها نفس تردد المحفز، ولكن عادةً ما تكون مختلفة في السعة والطور ). ووفقًا لمبدأ التراكب، فإن الاستجابة للمحفز الأصلي هي مجموع (أو تكامل) جميع الاستجابات الجيبية الفردية.

كمثال شائع آخر، في تحليل دالة غرين ، يتم كتابة المحفز على أنه تراكب لعدد لا نهائي من دوال النبض ، وتكون الاستجابة حينها تراكبًا لاستجابات النبض .

يُعدّ تحليل فورييه شائعًا بشكل خاص في دراسة الموجات . فعلى سبيل المثال، في النظرية الكهرومغناطيسية، يُوصف الضوء العادي بأنه تراكب لموجات مستوية (موجات ذات تردد واستقطاب واتجاه ثابتين ). وطالما أن مبدأ التراكب قائم (وهو غالبًا ما يكون كذلك، ولكن ليس دائمًا؛ انظر البصريات غير الخطية )، يُمكن فهم سلوك أي موجة ضوئية على أنه تراكب لسلوك هذه الموجات المستوية الأبسط .

تُوصَف الموجات عادةً بتغيرات في بعض المعايير عبر المكان والزمان، مثل ارتفاع موجة الماء، أو ضغط موجة الصوت، أو المجال الكهرومغناطيسي في موجة الضوء. تُسمى قيمة هذا المعيار سعة الموجة، والموجة نفسها دالة تُحدد السعة عند كل نقطة.

في أي نظام يحتوي على موجات، يكون شكل الموجة في لحظة معينة دالةً للمصادر ( أي القوى الخارجية، إن وجدت، التي تُنشئ الموجة أو تؤثر عليها) والظروف الابتدائية للنظام. في كثير من الحالات (على سبيل المثال، في معادلة الموجة الكلاسيكية )، تكون المعادلة التي تصف الموجة خطية. عندما يكون هذا صحيحًا، يمكن تطبيق مبدأ التراكب. وهذا يعني أن السعة الكلية الناتجة عن موجتين أو أكثر تعبران نفس الحيز هي مجموع السعات التي كانت ستنتجها كل موجة على حدة. على سبيل المثال، موجتان تتحركان باتجاه بعضهما البعض ستمران عبر بعضهما البعض دون أي تشوه على الجانب الآخر. (انظر الصورة في الأعلى).

تداخل الموجات

تعتمد ظاهرة التداخل بين الموجات على هذه الفكرة. فعندما تعبر موجتان أو أكثر نفس الحيز، يكون محصلة سعة الموجة عند كل نقطة هي مجموع سعات الموجات الفردية. في بعض الحالات، كما هو الحال في سماعات إلغاء الضوضاء ، يكون التغير الكلي أصغر من تغيرات الموجات المكونة؛ وهذا ما يُسمى بالتداخل الهدام . وفي حالات أخرى، كما هو الحال في مصفوفة خطية ، يكون التغير الكلي أكبر من سعة أي من الموجات المكونة على حدة؛ وهذا ما يُسمى بالتداخل البنّاء .

شكل الموجة المركب
الموجة 1
الموجة الثانية
	موجتان متوافقتان في الطور	موجتان متعاكستان في الطور بمقدار 180 درجة

يتمثل أحد أنواع مسائل القيم الحدية الشائعة (بصورة مجردة) في إيجاد دالة y تحقق معادلة معينة. $${\displaystyle F(y)=0}$$ مع بعض تحديد الحدود $${\displaystyle G(y)=z.}$$ على سبيل المثال، في معادلة لابلاس مع شروط حدود ديريشليه ، سيكون F هو عامل لابلاس في منطقة R ، وسيكون G عاملًا يقيد y على حدود R ، وستكون z هي الدالة التي يجب أن تساويها y على حدود R.

في حالة كون F و G مؤثرين خطيين، فإن مبدأ التراكب ينص على أن تراكب حلول المعادلة الأولى هو حل آخر للمعادلة الأولى: $${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\quad \Rightarrow \quad F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0,}$$ بينما تتراكب قيم الحدود: $${\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2}).}$$ باستخدام هذه الحقائق، إذا أمكن تجميع قائمة بحلول المعادلة الأولى، فيمكن وضع هذه الحلول بعناية في حالة تراكب بحيث تحقق المعادلة الثانية. هذه إحدى الطرق الشائعة لحل مسائل القيم الحدية.

لنفترض نظامًا خطيًا بسيطًا: $${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),\qquad x(0)=x_{0}.}$$

بحسب مبدأ التراكب، يمكن تقسيم النظام إلى $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{محاذاة}}}$$ مع $${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

لا ينطبق مبدأ التراكب إلا على الأنظمة الخطية. مع ذلك، يمكن تطبيق تحليل الحالة الجمعي على كلٍ من الأنظمة الخطية وغير الخطية. لنفترض الآن نظامًا غير خطي. $${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x\right),\qquad x(0)=x_{0},}$$ أين${\displaystyle \phi }$هي دالة غير خطية. وباستخدام تحليل الحالة الجمعي، يمكن تحليل النظام جمعيًا إلى $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}}x_{2}\right)-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$ مع $${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

يمكن أن يساعد هذا التفكيك في تبسيط تصميم وحدة التحكم.

• في الهندسة الكهربائية ، في الدوائر الخطية ، يرتبط المدخل (إشارة جهد متغيرة مع الزمن) بالمخرج (تيار أو جهد في أي مكان في الدائرة) بتحويل خطي. وبالتالي، فإن تراكب (أي جمع) إشارات المدخل ينتج عنه تراكب الاستجابات.
• في الفيزياء ، تشير معادلات ماكسويل إلى أن توزيعات الشحنات والتيارات (التي قد تتغير مع الزمن) ترتبط بالمجالين الكهربائي والمغناطيسي بتحويل خطي. وبالتالي، يمكن استخدام مبدأ التراكب لتبسيط حساب المجالات الناشئة عن توزيع معين للشحنات والتيارات . وينطبق هذا المبدأ أيضًا على المعادلات التفاضلية الخطية الأخرى في الفيزياء، مثل معادلة الحرارة .
• في الهندسة ، يُستخدم مبدأ التراكب لحساب انحرافات العوارض والهياكل تحت تأثير الأحمال المركبة عندما تكون التأثيرات خطية (أي أن كل حمل لا يؤثر على نتائج الأحمال الأخرى، ولا يُغير تأثير كل حمل بشكل ملحوظ هندسة النظام الإنشائي). ^{[ 9 ]} تستخدم طريقة تراكب الأنماط الترددات الطبيعية وأشكال الأنماط لتوصيف الاستجابة الديناميكية للهيكل الخطي. ^{[ 10 ]}
• في علم المياه الجوفية ، يُطبَّق مبدأ التراكب على انخفاض منسوب المياه في بئرين أو أكثر من آبار المياه التي تضخ في طبقة مياه جوفية مثالية . ويُستخدم هذا المبدأ في طريقة العناصر التحليلية لتطوير عناصر تحليلية قابلة للدمج في نموذج واحد.
• في مجال التحكم في العمليات ، يتم استخدام مبدأ التراكب في التحكم التنبؤي النموذجي .
• يمكن تطبيق مبدأ التراكب عندما يتم تحليل الانحرافات الصغيرة عن حل معروف لنظام غير خطي عن طريق التخطيط الخطي .

بحسب ليون بريلوين ، فإن مبدأ التراكب صاغه دانيال برنولي لأول مرة عام ١٧٥٣: "الحركة العامة لنظام مهتز تُعطى بتراكب اهتزازاته الذاتية". وقد رفض ليونارد أويلر هذا المبدأ ، ثم جوزيف لاغرانج . جادل برنولي بأن أي جسم رنان يمكن أن يهتز في سلسلة من الأنماط البسيطة بتردد تذبذب محدد. وكما أشار سابقًا، يمكن تراكب هذه الأنماط لإنتاج اهتزازات أكثر تعقيدًا. وفي رده على مذكرات برنولي، أشاد أويلر بزميله لتطويره الجانب الفيزيائي من مشكلة اهتزاز الأوتار على أفضل وجه، لكنه أنكر عمومية حل الأنماط المتعددة وتفوقه. ^{[ ١١ ]}

وفي وقت لاحق أصبح مقبولاً، ويرجع ذلك إلى حد كبير إلى عمل جوزيف فورييه . ^{[ 12 ]}

• تفكيك الحالة الجمعية
• إيقاع (أكوستيك)
• التماسك (الفيزياء)
• التفاف
• وظيفة غرين
• استجابة النبضة
• تدخل
• التراكب الكمومي

• الوسائط المتعلقة بمبدأ التراكب على ويكيميديا ​​كومنز
• تعريف كلمة " تداخل" في قاموس ويكشنري