مجسم ذو اثني عشر وجهًا

مجسم ذو اثني عشر وجهًا
( نموذج ثلاثي الأبعاد قابل للدوران )
يكتب	كاتالان صلب
تدوين كونواي	mC
مخطط كوكسيتر
مضلع الوجه	مثلث متدرج الأضلاع
وجوه	48
الحواف	72
الرؤوس	26 = 6 + 8 + 12
تكوين الوجه	الإصدار 4.6.8
مجموعة التناظر	أوه _، ب ₃ ، [4،3]، *432
الزاوية ثنائية السطوح	155° 4' 56" $\arccos(-{\frac {71+12{\sqrt {2}}}{97}})$
متعدد السطوح المزدوج	مكعب ثماني الأوجه مقطوع
ملكيات	محدب، متعدٍ على الوجه
شبكة

في الهندسة ، يُعرف المجسم ثنائي السطوح ذو الاثني عشر وجهًا (أو سداسي السطوح ، ^{[ 1 ]} سداسي السطوح ، مكعب ثماني السطوح ، سداسي السطوح ثماني السطوح ، سداسي السطوح المعيني ^{[ 2 ]} ) أو d48 ، بأنه مجسم كاتالاني ذو 48 وجهًا، وهو المجسم الثنائي للمكعب ثماني السطوح المقطوع الأرخميدسي . وبذلك، فهو متعدٍّ على الوجوه، لكن مضلعات وجوهه غير منتظمة. وهو يشبه المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا المُكبَّر . باستبدال كل وجه من أوجه المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا بهرم مسطح، نحصل على كليتوب المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا، والذي يشبه إلى حد كبير المجسم ثنائي السطوح ذو الاثني عشر وجهًا، وهو مكافئ له طوبولوجيًا . ^[^أ^] كما تشترك شبكة الهرم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا في نفس الطوبولوجيا.

التناظر

يتمتع هذا الشكل بتناظر ثماني الأوجه O _h . تمثل حوافه المشتركة مستويات انعكاس هذا التناظر. ويمكن ملاحظة هذا التناظر أيضًا في تثليث الزوايا والحواف الوسطى للمكعب المنتظم وثماني الأوجه، والمعين ذي الاثني عشر وجهًا.

مجسم ذو اثني عشر وجهًا	هرم رباعي الأوجه ذو شكل دلتويدي	مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا	المكعب	المجسم الثماني

متعدد السطوح كروي

(انظر النموذج الدوار )	الإسقاطات المتعامدة من محاور ثنائية وثلاثية ورباعية التناظر

تنتمي حواف المجسم الكروي ثنائي السطوح ذي الاثني عشر وجهًا إلى تسع دوائر عظمى . تشكل ثلاث منها مجسمًا ثماني السطوح كرويًا (باللون الرمادي في الصور أدناه). أما الدوائر الست المتبقية فتشكل ثلاثة مجسمات مربعة ثلاثية السطوح (بالألوان الأحمر والأخضر والأزرق في الصور أدناه). جميعها تتوافق مع مستويات انعكاس - الأولى بتناظر ثنائي السطوح [2,2]، والأخيرة بتناظر رباعي السطوح [3,3]. يمكن اعتبار المجسم الكروي ثنائي السطوح ذي الاثني عشر وجهًا بمثابة تقسيم مركزي للمكعب الكروي أو للمجسم ثماني السطوح الكروي . ^{[ 3 ]}

الإسقاطات المجسمة
	ضعفين	ثلاثة أضعاف	أربعة أضعاف

الإحداثيات الديكارتية

يترك $~a={\frac {1}{1+2{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.261},~~b={\frac {1}{2+3{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.160},~~c={\frac {1}{3+3{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.138}$ إذن ، فإن الإحداثيات الديكارتية لرؤوس مجسم ثنائي الأبعاد ذي اثني عشر وجهاً متمركز عند نقطة الأصل هي:

● تباديل (± أ ، 0، 0) (رؤوس ثماني السطوح) ● تباديل (± ب ، ± ب ، 0) (رؤوس مكعب ثماني السطوح ) ● (± ج ، ± ج ، ± ج ) (رؤوس مكعب)

الهياكل المحدبة
يتم دمج ثماني السطوح والمكعب وثماني السطوح المكعب لتشكيل مجسم ديسدياكيس ذي الاثني عشر وجهًا. يتم قياس الأغلفة المحدبة لهذه الرؤوس ^{[ 4 ]} بواسطة $1/a$ ينتج عن ذلك إحداثيات ديكارتية لنصف قطر محيطي يساوي الوحدة ، والتي تظهر في الشكل أدناه:

أبعاد

إذا كان طول أقصر أضلاعه a ، فإن مساحة سطحه وحجمه هما

{\begin{aligned}A&={\tfrac {6}{7}}{\sqrt {783+436{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\tfrac {1}{7}}{\sqrt {3\left(2194+1513{\sqrt {2}}\right)}}a^{3}\end{aligned}}

الأوجه مثلثات مختلفة الأضلاع. زواياها هي $\arccos {\biggl (}{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{12}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 87.201^{\circ }}$ ، $\arccos {\biggl (}{\frac {3}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 55.024^{\circ }}$ و $\arccos {\biggl (}{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 37.773^{\circ }}$ .

الإسقاطات المتعامدة

يمكن رسم المكعب الثماني الأوجه المبتور ونظيره الثنائي، المكعب الاثني عشري الأوجه، في عدد من التوجهات الإسقاطية المتعامدة المتناظرة. بين متعدد الأوجه ونظيره الثنائي، يتم تبديل مواقع الرؤوس والوجوه، وتكون الحواف متعامدة.

التناظر الإسقاطي	[4]	[3]	[2]	[2]	[2]	[2]	[2] ⁺
صورة
صورة مزدوجة

الأشكال متعددة السطوح والتبليطات ذات الصلة


تُعتبر المجسمات متعددة الأوجه المشابهة لمجسم ديسدياكيس ذي الاثني عشر وجهاً مكافئة لمجسم ربطة العنق ذي الثمانية أوجه والمكعب ، وتحتوي على أزواج إضافية من الأوجه المثلثية. ^{[ 5 ]}

يُعد المجسم ذو الاثني عشر وجهًا ثنائيًا واحدًا من عائلة من الأشكال الثنائية للمجسمات المنتظمة المرتبطة بالمكعب والمجسم الثماني الأوجه المنتظم.

متعددات السطوح ثمانية الأوجه المنتظمة v ت هـ
التناظر : [4،3]، (*432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 ⁺ ,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3 ^1,1 }	t{3,4} t{3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr{4,3} s ₂ {3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h ₂ {4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3 ^1,1 }

		=	=	=				أو	أو	=

ثنائيات متعددة السطوح منتظمة
V4 ³	الإصدار 3.8 ²	V(3.4) ²	الإصدار 4.6 ²	الإصدار 3 ⁴	الإصدار ^3.4	الإصدار 4.6.8	الإصدار 3 ⁴ .4	الإصدار ³	الإصدار 3.6 ²	الإصدار 3 ⁵

هو متعدد السطوح في متتالية محددة بتكوين الأوجه V4.6.2 n . تتميز هذه المجموعة بوجود عدد زوجي من الحواف لكل رأس، وتشكل مستويات منصفة تمر عبر متعددات السطوح وخطوطًا لانهائية في المستوى، وتستمر في المستوى الزائدي لأي n ≥ 7.

مع وجود عدد زوجي من الأوجه عند كل رأس، يمكن عرض هذه المجسمات المتعددة الأوجه والتبليطات عن طريق تبديل لونين بحيث يكون لجميع الأوجه المتجاورة ألوان مختلفة.

يتوافق كل وجه على هذه المجالات أيضًا مع المجال الأساسي لمجموعة التناظر من الرتبة 2،3، وn مرايا عند كل رأس من رؤوس وجه المثلث.

* طفرة التناظر n 32 للتبليطات المقطوعة بالكامل: 4.6.2 n v ت هـ
Sym. * n 32 [ n ,3]	كروي				إقليدس.	مُختصرة زائدة.		باراكو.	القطع الزائد غير المضغوط
Sym. * n 32 [ n ,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	* ∞ 32 [ ∞ ,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
الأرقام
التكوين	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6. ∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
ثنائيات
التكوين	الإصدار 4.6.4	الإصدار 4.6.6	الإصدار 4.6.8	الإصدار 4.6.10	الإصدار 4.6.12	الإصدار 4.6.14	الإصدار 4.6.16	V4.6. ∞	الإصدار 4.6.24i	الإصدار 4.6.18i	الإصدار 4.6.12i	الإصدار 4.6.6i

* طفرة التناظر n 42 للتبليطات المقطوعة بالكامل: 4.8.2 n v ت هـ
التناظر * ن 42 [ن،4]	كروي		إقليدي	القطع الزائد المضغوط				Paracomp.
التناظر * ن 42 [ن،4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	* ∞ 42 [ ∞ ,4]
شكل مقطوع	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8. ∞
ثنائيات مقطوعة بالكامل	الإصدار 4.8.4	الإصدار 4.8.6	الإصدار 4.8.8	الإصدار 4.8.10	الإصدار 4.8.12	الإصدار 4.8.14	الإصدار 4.8.16	V4.8. ∞

انظر أيضاً

أول تشكيل نجمي للمجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا
ديسدياكيس ثلاثي الأضلاع
تبليط كيرسهومبيل
المعين السداسي العظيم — متعدد السطوح ثنائي منتظم له نفس طوبولوجيا السطح

ملحوظات

↑Despite their resemblance, no subset of the disdyakis dodecahedron's vertices forms a rhombic dodecahedron (see #Cartesian coordinates), and therefore, the former is not the Kleetope of the latter. The "rhombic" bases of the pyramids of the disdyakis dodecahedron are in fact not even planar; for example, the vertices of one such rhombus are (a, 0, 0), (0, a, 0), (c, c, c), (c, c, -c) (again, see #Cartesian coordinates for the values of a and c), with diagonal midpoints (√2)×(a, a, 0) and (c, c, 0), which do not coincide.

References

↑"Keyword: "forms" | ClipArt ETC".
↑Conway, Symmetries of things, p.284
↑Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010), "Reflections on the lemniscate of Bernoulli: the forty-eight faces of a mathematical gem", Milan Journal of Mathematics, 78 (2): 643–682, doi:10.1007/s00032-010-0124-5, MR 2781856
↑Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Koc, Ramazon (2010). "Catalan Solids Derived From 3D-Root Systems and Quaternions". Journal of Mathematical Physics. 51 (4). arXiv:0908.3272. doi:10.1063/1.3356985.
↑Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons Craig S. Kaplan

Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.

(Section 3-9)

The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, kisRhombic dodecahedron)

External links

Weisstein, Eric W., "Disdyakis dodecahedron" ("Catalan solid") at MathWorld.
Disdyakis Dodecahedron (Hexakis Octahedron) Interactive Polyhedron Model

[3] Despite their resemblance, no subset of the disdyakis dodecahedron's vertices forms a rhombic dodecahedron (see #Cartesian coordinates), and therefore, the former is not the Kleetope of the latter. The "rhombic" bases of the pyramids of the disdyakis dodecahedron are in fact not even planar; for example, the vertices of one such rhombus are (a, 0, 0), (0, a, 0), (c, c, c), (c, c, -c) (again, see #Cartesian coordinates for the values of a and c), with diagonal midpoints (√2)×(a, a, 0) and (c, c, 0), which do not coincide.

[1] "Keyword: "forms" | ClipArt ETC".

[2] Conway, Symmetries of things, p.284

[4] Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010), "Reflections on the lemniscate of Bernoulli: the forty-eight faces of a mathematical gem", Milan Journal of Mathematics, 78 (2): 643–682, doi:10.1007/s00032-010-0124-5, MR 2781856

[5] Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Koc, Ramazon (2010). "Catalan Solids Derived From 3D-Root Systems and Quaternions". Journal of Mathematical Physics. 51 (4). arXiv:0908.3272. doi:10.1063/1.3356985.

[6] Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons Craig S. Kaplan

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗