العدد الأصلي

الموسوعة الحرة
الدالة التقابلية ، f : X → Y ، من المجموعة X إلى المجموعة Y توضح أن المجموعات لها نفس العدد الأصلي ، في هذه الحالة يساوي العدد الأصلي 4.
ألف-لا شيء ، أصغر عدد أصلي لانهائي

في الرياضيات ، العدد الأصلي ، أو العدد الكاردينالي اختصارًا، هو نوع من الأعداد يقيس عدد عناصر المجموعة ، أي عدد العناصر الموجودة في المجموعة. العدد الأصلي المرتبط بمجموعة ماأ{\displaystyle A}يُشار إليه عمومًا بـ|أ|{\displaystyle \vert A\vert }، مع وجود خط عمودي على كل جانب، [ 1 ] على الرغم من أنه قد يُشار إليه أيضًا بـ أ{\displaystyle A}،بطاقة⁡(أ)،{\displaystyle \operatorname {card} (A),}أو8أ.{\displaystyle \#A.}[ 8 ]

يُعرَّف عدد العناصر بدلالة الدوال التقابلية . تتساوى مجموعتان في عدد العناصر إذا وفقط إذا كان هناك تناظر أحادي (تقابل) بين عناصر المجموعتين. يمكن تحديد عدد عناصر مجموعة منتهية بعدد طبيعي ، والذي يمكن إيجاده ببساطة عن طريق عدّ عناصرها. على سبيل المثال، المجموعات ⁠{1،2،3}{\displaystyle \{1,2,3\}}و​​{4،5،6}{\displaystyle \{4,5,6\}}كلاهما لهما نفس العدد الأصلي 3، كما يتضح من التناظر .{1↦4،2↦5،3↦6}{\displaystyle \{1\mapsto 4,2\mapsto 5,3\mapsto 6\}}⁠ .

يُعدّ سلوك عدد عناصر المجموعات غير المنتهية أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، يوجد تقابل بين مجموعة جميع الأعداد الطبيعيةشمال{\displaystyle \mathbb {N} }ومجموعة جميع الأعداد النسبيةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }وبالتالي​​|شمال|=|سؤال|{\displaystyle \vert \mathbb {N} \vert =\vert \mathbb {Q} \vert }على الرغم منشمال{\displaystyle \mathbb {N} }⁠ هي مجموعة جزئية فعلية من ⁠سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }—وهو أمر لا يمكن أن يحدث مع المجموعات الجزئية الفعلية للمجموعات المنتهية. ومع ذلك، تُظهر نظرية أساسية لجورج كانتور أنه من الممكن أن يكون لمجموعتين غير منتهيتين عددان مختلفان من العناصر، وعلى وجه الخصوص عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية .R{\displaystyle \mathbb {R} }أكبر من عدد عناصرشمال{\displaystyle \mathbb {N} }⁠ .

عدد عناصر ⁠شمال{\displaystyle \mathbb {N} }يُشار إليه عادةً بـℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}( أليف-صفر ) ،لأنه أصغر عدد أليف . تعتمد خصائص أعداد أليف الأخرى، والأعداد الأصلية اللانهائية عمومًا، على عبارات مستقلة عن نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، مثل بديهية الاختيار وفرضية الاستمرارية . على سبيل المثال، جميع الأعداد الأصلية اللانهائية هي أعداد أليف إذا وفقط إذا كانت بديهية الاختيار صحيحة.

تُدرس الأعداد الأصلية لذاتها كجزء من نظرية المجموعات . كما أنها أداة تُستخدم في فروع الرياضيات، بما في ذلك نظرية النماذج ، والتوافقية ، والجبر المجرد ، والتحليل الرياضي . في نظرية الفئات ، تُشكل الأعداد الأصلية هيكلًا أساسيًا لفئة المجموعات .

تحفيز

يمكن استخدام العدد الطبيعي لغرضين: وصف حجم مجموعة، أو وصف موقع عنصر في متتالية. يختلف هذان المفهومان عند تعميمهما على المجموعات والمتتاليات غير المنتهية، حيث يؤدي جانب الموقع إلى الأعداد الترتيبية ، بينما يؤدي جانب الحجم إلى الأعداد الأصلية.

عند النظر في حجم مجموعة ما، ينبغي تجريد هويات العناصر الفردية ؛ إذ لا ينبغي أن يؤثر تغيير هذه العناصر الفردية على حجم المجموعة، طالما بقيت متميزة عن بعضها البعض. [ 9 ] على سبيل المثال، المجموعة ⁠{1،2،3}{\displaystyle \{1,2,3\}}تحتوي على ثلاثة عناصر، لذلك عندما يستبدل المرء أعضاءها باتباع عملية التعيين{1↦4،2↦5،3↦6}{\displaystyle \{1\mapsto 4,2\mapsto 5,3\mapsto 6\}}، المجموعة الناتجة{4،5،6}{\displaystyle \{4,5,6\}}لا يزال يحتوي على ثلاثة عناصر. من المعقول افتراض أن مجموعتينX{\displaystyle X}و​​Y{\displaystyle Y}يكون لهما نفس الحجم إذا وفقط إذا كان هناك مثل هذا التطبيق - وهو تقابل - منX{\displaystyle X}إلى​​Y{\displaystyle Y}. هكذايتم تعريف المفهوم الرسمي للعددية بالضبط.

تساوي عدد العناصر علاقة تكافؤ . ويُشار إليها أحيانًا بالتكافؤ في القوة أو التكافؤ في العدد . وبناءً على ذلك، يُقال إن مجموعتين لهما نفس عدد العناصر هما، على التوالي، متكافئتان في القوة أو التكافؤ في العدد . كل فئة تكافؤ للمجموعات في ظل التكافؤ في العدد تُقابل عددًا أساسيًا.

بالنسبة للمجموعات المنتهية، تتوافق الأعداد الأصلية المعرّفة بهذه الطريقة مع المفهوم البديهي لعدد العناصر (كعدد طبيعي)، لكن المجموعات غير المنتهية تُظهر سلوكيات أكثر تعقيدًا. ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك مفارقة هيلبرت في فندق غراند ، والتي تستخدم التعيين التالي:

1 ↦ 2
2 ↦ 3
3 ↦ 4
...
ن ↦ ن + 1
...

هذا تقابل بين المجموعات{1،2،3،...}{\displaystyle \{1,2,3,...\}}و​​{2،3،4،...}{\displaystyle \{2,3,4,...\}}وبالتالي فإن لهما نفس العدد .ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}، على الرغم من أن المجموعة الثانية هي مجموعة جزئية فعلية من المجموعة الأولى. لذلك، فإن الحدس القائل بأن حجم المجموعة الجزئية الفعلية منX{\displaystyle X}⁠ يكون دائمًا أقل من حجم ⁠X{\displaystyle X}عادةً ما يكون [ أ ] صالحًا فقط للمجموعات المنتهية. وعلى العكس من ذلك، يُظهر هذا أيضًا أنℵ0+1=ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}+1=\aleph _{0}}( عدد عناصر{2،3،4،...}{\displaystyle \{2,3,4,...\}}بالإضافة إلى عدد عناصر{1}{\displaystyle \{1\}}يساوي عدد عناصر{1،2،3،...}{\displaystyle \{1,2,3,...\}}وبالتالي فإن عملية "زائد واحد" لا تُنشئ دائمًا عددًا أصليًا جديدًا كما تفعل بالنسبة للأعداد الطبيعية.

مع ذلك، تُظهر حجة كانتور القطرية أن عملية مجموعة القوى تُنتج دائمًا عددًا أصليًا أكبر، مما يسمح بإنشاء عدد أصلي أكبر من أي عدد أصلي لانهائي. على سبيل المثال، يمكن إثبات أن عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية يساوي ⁠2ℵ0{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}وبالتالي ، يوجد عدد أكبر من الأعداد الحقيقية مقارنة بالأعداد الطبيعية.

دالة العددية

دالة العددية هي دالة عددية تأخذ مجموعةأ{\displaystyle A}ويعيد عددها الأصلي :أ↦|أ|{\displaystyle A\mapsto \vert A\vert }ومع ذلك، يصعب تعريف "العدد الأصلي" تعريفًا رسميًا، لا سيما بالنسبة للمجموعات غير المنتهية. لذا، لا يُنظر عادةً إلى الأعداد الأصلية من منظور تعريفها الرسمي، بل من منظور خصائصها الحسابية/الجبرية. [ 10 ] الشرط الأساسي الوحيد لدالة العدد الأصلي هوأ↦|أ|{\displaystyle A\mapsto |A|}هو: [ 11 ]أ∼ب⟺|أ|=|ب|.{\displaystyle A\sim B\iff |A|=|B|.} يُطلق على الافتراض القائل بوجود دالة ما تُحقق هذا الشرط أحيانًا اسم بديهية العددية [ 12 ] أو مبدأ هيوم . [ 13 ] وسيُبين لاحقًا أنه يمكن بناء مثل هذه الدالة دون الحاجة إلى تعريفها بديهيًا.

يتمثل أحد الأساليب البديلة في تعريف علاقة مساواة للأعداد الأصلية .=ج{\displaystyle =_{c}}قد يختلف ذلك عن علاقة المساواة للمجموعات، واستخدم=ج{\displaystyle =_{c}}لتطوير نظرية العددية. على وجه التحديد، يُعرّف موشوفاكيس التعيين العددي (الضعيف) على أنه عمليةأ↦|أ|{\displaystyle A\mapsto \vert A\vert }الذي يرضي​أ∼|أ|{\displaystyle A\sim \vert A\vert }( مع الدافع القائل بأن عدد عناصرأ{\displaystyle A}ينبغي تمثيلها بكائن "مجرد "|أ|{\displaystyle \vert A\vert }وهو ما يعادل ⁠أ{\displaystyle A}) . [ ب ] العلاقة​=ج{\displaystyle =_{c}}إذن ، يكون هذا هو نفسه علاقة التساوي في العدد .∼{\displaystyle \sim }بين المجموعات. إذا كان التعيين الأصلييحقق أيضًاأ∼ب⟺|أ|=|ب|{\displaystyle A\sim B\iff \vert A\vert =\vert B\vert }إذن ، فهو تعيين أساسي قوي . [ 14 ]

التعريف البنّاء

مهمة فون نيومان الأساسية

إنّ أكثر أنواع التخصيصات العددية (القوية) استخداماً، والتي تعتمد على بديهية الاختيار ، هي تخصيص فون نيومان العددي ، الذي يمثل عدد عناصر المجموعة .X{\displaystyle X}باستخدام (تمثيل فون نيومان لـ) أصغر عدد ترتيبيα{\displaystyle \alpha }بحيث يوجد تقابل بينX{\displaystyle X}و​​α{\displaystyle \alpha }هذا العدد الترتيبيα{\displaystyle \alpha }يُعرف أيضًا باسم العدد الترتيبي الأولي للعدد الأصلي|X|{\displaystyle \vert X\vert }⁠ .

عندما​X{\displaystyle X}هي مجموعة منتهية، جميع الترتيبات الجيدة الممكنة لـX{\displaystyle X}لها نفس نوع الترتيب ؛ وعلى العكس، فإن جميع الأعداد الترتيبية المنتهية لها أعداد أصلية مختلفة، وبالتالي فإن جميع الأعداد الترتيبية المنتهية هي أعداد ترتيبية ابتدائية. في ظل تمثيلات فون نيومان الخاصة بها، يتم تعريف كل من الأعداد الترتيبية المنتهية والأعداد الأصلية المنتهية بأعداد فون نيومان الطبيعية ، وتعطي العمليات الحسابية الأصلية والترتيبية (الجمع، والضرب، والأس، والطرح) نفس النتائج للأعداد المنتهية.

من ناحية أخرى، يمكن أن يكون للعديد من الأعداد الترتيبية اللانهائية المختلفة نفس العدد الأصلي. على سبيل المثال، العدد الترتيبي اللانهائي الأول ⁠ω{\displaystyle \omega }له نفس عدد العناصر مثلω+1{\displaystyle \omega +1}،​​ω2{\displaystyle \omega ^{2}}،​​ωω{\displaystyle \أوميغا ^{\أوميغا }}،​ϵ0{\displaystyle \epsilon _{0}}...، وكلها أعداد ترتيبية قابلة للعد . ومن بينها، فقط ⁠ω{\displaystyle \omega }هو نفسه عدد ترتيبي أولي.

الα{\displaystyle \alpha }يُكتب العدد الترتيبي الأولي اللانهائي رقم -thωα{\displaystyle \أوميغا _{\alpha }}. عدد عناصرها مكتوبℵα{\displaystyle \aleph _{\alpha }}(الα{\displaystyle \alpha }العدد الألفي (الرقم α ) . على سبيل المثال ،ω{\displaystyle \omega }تُكتب أيضًا على النحو التالي :ω0{\displaystyle \omega _{0}}، وعدد عناصرها (عدد عناصر أي مجموعة قابلة للعد) كما يلي :ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}يُحدد تعيين فون نيومان للأرقام الأساسيةωα{\displaystyle \أوميغا _{\alpha }}معℵα{\displaystyle \aleph _{\alpha }}لكن التدوينℵα{\displaystyle \aleph _{\alpha }}يُستخدم لكتابة الأرقام الأصلية، وωα{\displaystyle \أوميغا _{\alpha }}لكتابة الأعداد الترتيبية. هذا مهم لأن العمليات الحسابية على الأعداد الأصلية تختلف عن العمليات الحسابية على الأعداد الترتيبية . على سبيل المثال،2ω=ω<ω2{\displaystyle 2^{\أوميغا }=\أوميغا <\أوميغا ^{2}}في الحساب الترتيبي بينما2ℵ0>ℵ0=ℵ02{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}=\aleph _{0}^{2}}في الحساب الأصلي، على الرغم من أنه بموجب تعيين فون نيومان الأصليℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}و​​ω{\displaystyle \omega }يتم تمثيلها بنفس المجموعة.

أيضًا،ω1{\displaystyle \omega _{1}}هو أصغر عدد ترتيبي غير قابل للعد (لإثبات وجوده، انظر إلى مجموعة فئات التكافؤ للترتيبات الجيدة للأعداد الطبيعية؛ كل ترتيب جيد من هذا القبيل يُعرّف عددًا ترتيبيًا قابلًا للعد، وω1{\displaystyle \omega _{1}}(نوع ترتيب تلك المجموعة)ω2{\displaystyle \omega _{2}}هو أصغر عدد ترتيبي يكون عدد عناصره أكبر منℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}وهكذا دواليك، وωω{\displaystyle \أوميغا _{\أوميغا }}هو الحد الأقصى لـωن{\displaystyle \omega _{n}}بالنسبة للأعداد الطبيعيةن{\displaystyle n}(أي حد للأعداد الأصلية هو عدد أصلي، لذا فإن هذا الحد هو في الواقع أول عدد أصلي بعد كلωن{\displaystyle \omega _{n}}).

الأعداد الترتيبية الأولية اللانهائية هي أعداد ترتيبية نهائية . باستخدام الحساب الترتيبي،α<ωβ{\displaystyle \alpha <\omega _{\beta }}يشير إلىα+ωβ=ωβ{\displaystyle \alpha +\omega _{\beta }=\omega _{\beta }}و 1 ≥ α < ω β تتضمن α ·ω β = ω β و 2 ≥ α < ω β تتضمن α ω β = ω β . باستخدام تسلسل Veblen الهرمي ، β ≠ 0 و α < ω β تشير ضمنيًاφα(ωβ)=ωβ{\displaystyle \varphi _{\alpha }(\omega _{\beta })=\omega _{\beta }\,}و Γ ω β = ω β . في الواقع، يمكن تجاوز هذا الحد بكثير. لذا، فإن العدد الترتيبي الأولي اللانهائي، باعتباره عددًا ترتيبيًا، يُعد نوعًا قويًا للغاية من النهايات.

فريق سكوت كاردينالز

إذا لم يُفترض بديهية الاختيار، فثمة حاجة إلى منهج مختلف. أقدم تعريف صريح لعدد عناصر المجموعة X (في كتابي فريجه ومبادئ الرياضيات ) هو أنها الفئة [ X ] لجميع المجموعات المتساوية في العدد مع X. لا يصلح هذا التعريف في نظرية ZFC أو غيرها من أنظمة نظرية المجموعات البديهية ذات الصلة، لأنه إذا كانت X غير فارغة، فإن هذه المجموعة كبيرة جدًا بحيث لا يمكن اعتبارها مجموعة. في الواقع، بالنسبة لـ X ≠ ∅، يوجد حقن من الكون إلى [ X ] عن طريق ربط المجموعة m بـ { m } × X ، وبالتالي، وفقًا لبديهية محدودية الحجم ، فإن [ X ] فئة حقيقية. مع ذلك، يصلح هذا التعريف في نظرية الأنواع وفي الأسس الجديدة والأنظمة ذات الصلة. ومع ذلك، إذا قمنا بتقييد هذه الفئة إلى تلك المتساوية في العدد مع X والتي لها أقل رتبة ، فسوف ينجح الأمر (هذه خدعة من ابتكار دانا سكوت : [ 15 ] إنها تعمل لأن مجموعة الكائنات ذات أي رتبة معينة هي مجموعة).

تستخدم بعض المصادر تعريفًا مختلطًا بين أعداد فون نيومان وأعداد سكوت. على سبيل المثال، يُعرّف ليفي [ 16 ]|X|{\displaystyle \vert X\vert }كما هو الحال مع الكاردينال فون نيومان عندماX{\displaystyle X}يكون قابلاً للترتيب الجيد، ويكون مثل عدد سكوت الأصلي فيما عدا ذلك. [ ج ] يحافظ هذا الاصطلاح على سهولة تمثيل فون نيومان لدراسة الأعداد الأصلية المرتبة ترتيبًا جيدًا ، والتي لا تزال جزءًا مهمًا من دراسة الأعداد الأصلية حتى عندما لا يُفترض بديهية الاختيار.

مقارنة أساسية

يُعرَّف الترتيب بين الأعداد الأصلية رسميًا كما يلي: | X | ≤ | Y | يعني وجود دالة أحادية من X إلى Y. تنص نظرية كانتور -بيرنشتاين-شرودر على أنه إذا كان | X | ≤ | Y | و | Y | ≤ | X | فإن | X | = | Y |. بديهية الاختيار مكافئة للعبارة التالية: إذا أُعطيت مجموعتان X و Y ، فإما أن | X | ≤ | Y | أو | Y | ≤ | X |. [ 17 ] [ 18 ]

تُسمى المجموعة X مجموعةً لانهائيةً من نوع ديديكيند إذا وُجدت مجموعة جزئية فعلية Y من X بحيث يكون | X | = | Y |، وتُسمى مجموعةً منتهيةً من نوع ديديكيند إذا لم توجد مثل هذه المجموعة الجزئية. الأعداد الأصلية المنتهية هي ببساطة الأعداد الطبيعية ، بمعنى أنه، بحسب التعريف، تكون المجموعة X منتهية إذا وفقط إذا كان | X | = | n | = n لعدد طبيعي n . أي مجموعة أخرى تكون لانهائية . يمكن إثبات (بدون بديهية الاختيار) أن أي مجموعة لانهائية من نوع ديديكيند هي مجموعة لانهائية. بافتراض بديهية الاختيار، يمكن إثبات أن مفاهيم ديديكيند تُطابق المفاهيم القياسية.

أرقام ألف

أعداد الألف هي عدد عناصر المجموعات اللانهائية القابلة للترتيب الجيد . ويُرمز لها بالحرف العبريℵ{\displaystyle \aleph }( أليف ) مُعَلَّمة برمز سفلي يُشير إلى رتبتها بين أعداد أليف. وبما أن أعداد أليف يُمكن تحديدها بأعدادها الترتيبية الأولية ، فإنها تُشكِّل متتاليةً غير منتهية . ℵ0=|شمال|،ℵ1،ℵ2،...،ℵα،....{\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |,\;\aleph _{1},\;\aleph _{2},\;\ldots ,\;\aleph _{\alpha },\;\ldots .} لكل عدد ترتيبيα{\displaystyle \alpha }يوجد عدد ألفℵα{\displaystyle \aleph _{\alpha }}إذا كانت بديهية الاختيار صحيحة، فإن جميع المجموعات قابلة للترتيب الجيد (بحسب نظرية الترتيب الجيد )، وبالتالي فإن جميع الأعداد الأصلية اللانهائية هي أعداد ألف، أي أن هذه المتتالية المتسامية هي في الواقع قائمة جميع الأعداد الأصلية اللانهائية.

إذا لم تتحقق بديهية الاختيار (انظر بديهية الاختيار §  الاستقلال )، فستوجد مجموعات غير قابلة للترتيب الجيد، وبالتالي أعداد أصلية لا نهائية ليست أعدادًا ألفية. يجب أن يكون هذا العدد الأصلي غير قابل للمقارنة مع عدد ألفي ما وفقًا لنظرية هارتوغز ، لذا في هذه الحالة يستحيل كتابة جميع الأعداد الأصلية في متتالية مرتبة ترتيبًا كليًا .

الحساب الأساسي

يمكننا تعريف عمليات حسابية على الأعداد الأصلية تُعمم العمليات العادية على الأعداد الطبيعية. ويمكن إثبات أنه بالنسبة للأعداد الأصلية المحدودة، تتطابق هذه العمليات مع العمليات المعتادة على الأعداد الطبيعية. علاوة على ذلك، تشترك هذه العمليات في العديد من الخصائص مع الحساب العادي.

الكاردينال الخليفة

إذا تحققت بديهية الاختيار، فإن لكل عدد أصلي κ عددًا لاحقًا، يُرمز له بـ κ⁺ ، حيث κ⁺ > κ ، ولا توجد أعداد أصلية بين κ ولاحقه. (بدون بديهية الاختيار، وباستخدام نظرية هارتوغز ، يمكن إثبات أنه لأي عدد أصلي κ ، يوجد عدد أصلي أدنى κ⁺ بحيثκ+≰κ.{\displaystyle \kappa ^{+}\nleq \kappa .}) بالنسبة للأعداد الأصلية المحدودة، يكون العدد التالي ببساطة κ + 1. أما بالنسبة للأعداد الأصلية غير المحدودة، فإن العدد الأصلي التالي يختلف عن العدد الترتيبي التالي .

الجمع الأصلي

إذا كانت المجموعتان X و Y منفصلتين، فإن الجمع يتم عن طريق اتحاد X و Y. أما إذا لم تكن المجموعتان منفصلتين بالفعل ، فيمكن استبدالهما بمجموعات منفصلة لها نفس العدد (على سبيل المثال، استبدال X بـ X × {0} و Y بـ Y × {1}).

|X|+|Y|=|X∪Y|.{\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|.}[ 19 ]

الصفر هوية مضافة κ + 0 = 0 + κ = κ .

عملية الجمع ترابطية ( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν ).

الجمع تبادلي κ + μ = μ + κ .

عملية الجمع غير متناقصة في كلا المتغيرين:

(κ≤μ)→((κ+ν≤μ+ν) و (ν+κ≤ν+μ)).{\displaystyle (\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ and }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )).}

بافتراض صحة بديهية الاختيار، يصبح جمع الأعداد الأصلية اللانهائية أمرًا سهلاً. إذا كان إما κ أو μ لانهائيًا، فإن

κ+μ=الأعلى{κ،μ}.{\displaystyle \kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.}

الطرح

بافتراض صحة بديهية الاختيار، وبوجود عدد أصلي لانهائي σ وعدد أصلي μ ، يوجد عدد أصلي κ بحيث يكون μ + κ = σ إذا وفقط إذا كان μ ≤ σ . وسيكون هذا العدد الأصلي وحيدًا (ومساويًا لـ σ ) إذا وفقط إذا كان μ < σ .

الضرب الأصلي

ناتج ضرب الأعداد الأصلية يأتي من الضرب الديكارتي .

|X|⋅|Y|=|X×Y|{\displaystyle |X|\cdot |Y|=|X\times Y|}[ 19 ]

الصفر عنصر ممتص مضاعف : κ ·0 = 0· κ = 0.

لا توجد مقسومات صفرية غير بديهية : κ · μ = 0 → ( κ = 0 أو μ = 0).

إحداها هي هوية مضاعفة: κ ·1 = 1· κ = κ .

الضرب ترابطي: ( κ · μ )· ν = κ ·( μ · ν ).

الضرب تبادلي : κ · μ = μ · κ .

الضرب غير تناقصي في كلا الوسيطين: κ ≥ μ → ( κ · ν ≥ μ · ν و ν · κ ≥ ν · μ ).

يتم توزيع الضرب على الجمع: κ ·( μ + ν ) = κ · μ + κ · ν و ( μ + ν )· κ = μ · κ + ν · κ .

بافتراض صحة بديهية الاختيار، فإن ضرب الأعداد الأصلية اللانهائية سهل أيضًا. إذا كان إما κ أو μ لانهائيًا وكلاهما غير صفري، فإن

κ⋅μ=الأعلى{κ،μ}.{\displaystyle \kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}.}

وبالتالي فإن حاصل ضرب عددين أصليين لانهائيين يساوي مجموعهما.

قسم

بافتراض صحة بديهية الاختيار، وبوجود عدد أصلي لانهائي π وعدد أصلي غير صفري μ ، يوجد عدد أصلي κ بحيث يكون μ · κ = π إذا وفقط إذا كان μ ≤ π . ويكون هذا العدد وحيدًا (ومساويًا لـ π ) إذا وفقط إذا كان μ < π .

الأس الأصلي

يُعطى الأس بالصيغة التالية

|X||Y|=|XY|،{\displaystyle |X|^{|Y|}=\left|X^{Y}\right|,}

حيث X هي مجموعة جميع الدوال من Y إلى X. [ 19 ] من السهل التحقق من أن الطرف الأيمن يعتمد فقط على|X|{\displaystyle {|X|}}و|Y|{\displaystyle {|Y|}}.

κ 0 = 1 (على وجه الخصوص 0 0 = 1)، انظر الدالة الفارغة .
إذا كانت μ ≥ 1، فإن μ = 0.
1 μ = 1.
κ 1 = κ .
κ μ + ν = κ μ · κ ν .
κ μ · ν = ( κ μ ) ν .
( κ · μ ) ν = κ ν · μ ν .

عملية الرفع إلى الأس لا تتناقص في كلا المتغيرين:

(1 ≥ ν و κ ≥ μ ) → ( ν κ ≥ ν μ ) و
( κ ≥ μ ) → ( κ ν ≥ μ ν ).

يمثل 2 | X | عدد عناصر مجموعة القوى للمجموعة X ، وتُظهر حجة كانتور القطرية أن 2 | X | > | X | لأي مجموعة X. وهذا يُثبت أنه لا يوجد عدد أصلي أكبر (لأنه لأي عدد أصلي κ ، يمكننا دائمًا إيجاد عدد أصلي أكبر 2 κ ). في الواقع، فئة الأعداد الأصلية هي فئة حقيقية . (يفشل هذا البرهان في بعض نظريات المجموعات، ولا سيما نظرية الأسس الجديدة ).

تفترض جميع القضايا المتبقية في هذا القسم بديهية الاختيار:

إذا كان κ و μ كلاهما محدودان وأكبر من 1، و ν لا نهائي، إذن κ ν = μ ν .
إذا كانت κ لا نهائية و μ محدودة وغير صفرية، فإن κ μ = κ .

إذا كان 2 ≤ κ و 1 ≤ μ وكان أحدهما على الأقل لانهائيًا، فإن:

الحد الأقصى ( κ ، 2 μ ) ≥ κ μ ≥ الحد الأقصى (2 κ ، 2 μ ).

باستخدام نظرية كونيغ ، يمكن للمرء إثبات κ < κ cf( κ ) و κ < cf(2 κ ) لأي عدد أساسي لا نهائي κ ، حيث cf( κ ) هي النهاية المشتركة لـ κ .

جذور

بافتراض بديهية الاختيار، وبافتراض عدد أصلي لانهائي κ وعدد أصلي محدود μ أكبر من 0، فإن العدد الأصلي ν الذي يحققνμ=κ{\displaystyle \nu ^{\mu }=\kappa }سيكونκ{\displaystyle \kappa }.

اللوغاريتمات

بافتراض صحة بديهية الاختيار، وبافتراض وجود عدد أصلي لانهائي κ وعدد أصلي محدود μ أكبر من 1، فقد يكون هناك أو لا يكون هناك عدد أصلي λ يحققμλ=κ{\displaystyle \mu ^{\lambda }=\kappa }ومع ذلك، إذا وُجد مثل هذا العدد الأصلي، فهو لانهائي وأقل من κ ، وأي عدد أصلي محدود ν أكبر من 1 سيحقق أيضًا الشرط التالي:νλ=κ{\displaystyle \nu ^{\lambda }=\kappa }.

يُعرَّف لوغاريتم عدد أصلي لانهائي κ بأنه أصغر عدد أصلي μ بحيث يكون κ ≤ 2μ . تُعدّ لوغاريتمات الأعداد الأصلية اللانهائية مفيدة في بعض فروع الرياضيات، على سبيل المثال في دراسة الثوابت الأصلية للفضاءات الطوبولوجية ، على الرغم من أنها تفتقر إلى بعض الخصائص التي تتمتع بها لوغاريتمات الأعداد الحقيقية الموجبة. [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]

فرضية الاستمرارية

تنص فرضية الاستمرارية (CH) على أنه لا توجد أعداد أصلية تقع بشكل صارم بينℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}و2ℵ0.{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}.}يُشار إلى هذا العدد الأصلي الأخير غالبًا بالرمز التالي:ج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}وهي عدد عناصر المتصل (مجموعة الأعداد الحقيقية ). في هذه الحالة2ℵ0=ℵ1.{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}

وبالمثل، تنص فرضية الاستمرارية المعممة (GCH) على أنه لكل عدد أصلي لانهائيκ{\displaystyle \kappa }لا توجد أعداد أصلية تقع بينκ{\displaystyle \kappa }و2κ{\displaystyle 2^{\kappa }}لقد ثبت أن كل من فرضية الاستمرارية وفرضية الاستمرارية المعممة مستقلة عن البديهيات المعتادة لنظرية المجموعات، وبديهيات زيرميلو-فرانكل بالإضافة إلى بديهية الاختيار ( ZFC ).

في الواقع، تُظهر نظرية إيستون أنه بالنسبة للأعداد الأصلية المنتظمةκ{\displaystyle \kappa }القيود الوحيدة التي يفرضها نظام ZFC على عدد عناصر2κ{\displaystyle 2^{\kappa }}هل هذاκ<انظر⁡(2κ){\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })}وأن الدالة الأسية غير متناقصة.

تاريخ

صاغ جورج كانتور ، مؤسس نظرية المجموعات ، مفهوم العدد الأصلي، كما هو مفهوم اليوم، في الفترة ما بين عامي 1874 و1884. لاحظ كانتور وجود تقابل بين مجموعتين منتهيتين إذا وفقط إذا كان لهما نفس عدد العناصر، وطبّق هذا المفهوم على المجموعات غير المنتهية [ 23 ] (على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية N = {0, 1, 2, 3, ...}). وبناءً على ذلك، أطلق على جميع المجموعات التي لها تقابل مع N مجموعة قابلة للعد (غير منتهية قابلة للعد) ، والتي تشترك جميعها في نفس العدد الأصلي. وأطلق على الأعداد الأصلية للمجموعات غير المنتهية اسم الأعداد الأصلية المتسامية .

أثبت كانتور أن أي مجموعة جزئية غير محدودة من N لها نفس عدد عناصر N ، على الرغم من أن هذا قد يبدو مخالفًا للحدس. كما أثبت أن مجموعة جميع الأزواج المرتبة من الأعداد الطبيعية قابلة للعد؛ وهذا يعني أن مجموعة جميع الأعداد النسبية قابلة للعد أيضًا، لأن كل عدد نسبي يمكن تمثيله بزوج من الأعداد الصحيحة. ثم أثبت لاحقًا أن مجموعة جميع الأعداد الجبرية الحقيقية قابلة للعد أيضًا. يمكن ترميز كل عدد جبري حقيقي z على شكل سلسلة محدودة من الأعداد الصحيحة، وهي معاملات معادلة كثير الحدود التي يمثل حلاً لها، أي المجموعة المرتبة n ( a0 , a1 , ..., an )، ai ∈ Z مع زوج من الأعداد النسبية ( b0 , b1 ) بحيث يكون z هو الجذر الوحيد ( إن وجد) لكثير الحدود ذي المعاملات ( a0 , a1 , ... , an ) الذي يقع في الفترة ( b0 , b1 ) .

في بحثه المنشور عام 1874 بعنوان " حول خاصية لمجموعة جميع الأعداد الجبرية الحقيقية "، أثبت كانتور وجود أعداد أصلية من رتب أعلى، وذلك بإثبات أن مجموعة الأعداد الحقيقية لها عدد أصلي أكبر من عدد N. استخدم في برهانه حجة الفترات المتداخلة ، لكنه في بحث نُشر عام 1891، أثبت النتيجة نفسها باستخدام حجته القطرية المبتكرة والأبسط بكثير . يُطلق على العدد الأصلي الجديد لمجموعة الأعداد الحقيقية اسم عدد أصلي المتصل ، وقد استخدم كانتور الرمز .ج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}لذلك.

كما طوّر كانتور جزءًا كبيرًا من النظرية العامة للأعداد الأصلية؛ فقد أثبت أنه (بافتراض بديهية الاختيار) يوجد أصغر عدد أصلي متجاوز (ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}، أليف-لا شيء)، وأنه لكل عدد أصلي يوجد عدد أصلي أكبر منه

(ℵ1،ℵ2،ℵ3،...).{\displaystyle (\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots ).}

صاغ كانتور فرضية الاستمرارية في عام 1878. وفي عام 1940، أظهر كورت غودل أنه لا يمكن دحض فرضية الاستمرارية من خلال نظرية ZFC، وفي عام 1963، أظهر بول كوهين أنه لا يمكن إثباتها من خلال نظرية ZFC أيضًا، مما يثبت استقلالها .

انظر أيضاً

الحواشي

  1. ↑ وبشكل أدق، فإن هذا البيان صحيح تمامًا بالنسبة للمجموعات المنتهية وفقًا لـ Dedekind ⁠X{\displaystyle X}⁠ .
  2. ↑ يتطلب تعريف موشوفاكيس الأصلي أيضًا أنه لكل مجموعة من المجموعات ⁠هـ{\displaystyle {\mathcal {E}}}،​​{|X||X∈هـ}{\displaystyle \{\vert X\vert \mid X\in {\mathcal {E}}\}}⁠ هي مجموعة، ولكن يتم تحقيق ذلك مجاناً عندافتراض مخطط البديهيات للاستبدال .
  3. ↑ من الواضح أن كل عدد أصلي يستخدم تمثيلاً واحداً فقط من هذين التمثيلين، لأن مجموعتين متساويتين في العدد إما أن تكونا قابلتين للترتيب الجيد أو غير قابلتين للترتيب الجيد. كما لا يوجد احتمال للالتباس لأن عدد سكوت الأصليκ{\displaystyle \kappa }⁠ هي دائمًا مجموعة غير فارغة، وجميع عناصرها لها عدد أصلي ⁠κ{\displaystyle \kappa }وجميع الأعداد الترتيبية غير الصفرية تحتوي على∅{\displaystyle \emptyset }باعتباره عنصرًا، فإن العدد الأصلي الوحيد في سكوت الذي يصادف أنه عدد ترتيبي أيضًا هو{∅}{\displaystyle \{\emptyset \}}، وهو ما يمثل 0 كعدد أصلي سكوت و1 كعدد ترتيبي، ولكن بما أن المجموعة الفارغة قابلة للترتيب الجيد، فبموجب اتفاقية ليفي، يجب أن يستخدم 0 تمثيل فون نيومان .∅{\displaystyle \emptyset }على أي حال.

مراجع

ملحوظات

  1. ^ هرباتشيك وجيش 2017 ، ص. 65 
  2. ↑ كوراتوفسكي 1968 ، ص 174.
  3. ↑ Suppes 1972 ، ص 109.
  4. ↑ بورباكي 1968 ، ص 158.
  5. ↑ إندرتون 1977 ، ص 136.
  6. ↑ هالموس 1998 ، ص 53.
  7. ↑ تاو 2022 ، ص 60.
  8. ↑أ{\displaystyle A}[ 2 ] [ 3 ]بطاقة⁡(أ){\displaystyle \operatorname {card} (A)}[ 4 ] [ 5 ]8أ{\displaystyle \#A}[ 6 ] [ 7 ]
  9. ↑ وايسشتاين، إريك و. "العدد الأصلي" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-09-06 .
  10. ↑ كلين 1952 ، ص 9 
  11. ↑ إندرتون 1977 ، ص 136 
  12. ↑ بينتر 2014 ، الصفحة 2 من الفصل 8
  13. ↑ بوتر، مايكل (15 يناير 2004). نظرية المجموعات وفلسفتها: مقدمة نقدية . مطبعة كلارندون. ISBN 978-0-19-155643-2.
  14. ↑ موشوفاكيس 2006 ، ص 42.
  15. ↑ دايزر، أوليفر (مايو 2010). "حول تطور مفهوم العدد الأصلي". تاريخ وفلسفة المنطق . 31 (2): 123-143 . doi : 10.1080/01445340903545904 . S2CID 171037224 . 
  16. ↑ ليفي، عزريل (1979). نظرية المجموعات الأساسية . منظورات في المنطق الرياضي. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 3-540-08417-7. إل سي سي إن 78-1917 . 
  17. ↑ إندرتون، هربرت. "مبادئ نظرية المجموعات"، دار النشر الأكاديمية، 1977. رقم ISBN 0-12-238440-7
  18. ^ فريدريش م. هارتوجس (1915)، فيليكس كلاين ؛ فالتر فون دايك ؛ ديفيد هيلبرت ؛ أوتو بلومنثال (محرران)، "Über das مشكلة der Wohlordnung" ، الرياضيات. آن. ، دينار بحريني. 76 (4)، لايبزيغ: بي جي تيوبنر: 438-443 ، دوى : 10.1007 / bf01458215 ، ISSN 0025-5831 ، S2CID 121598654 ، أرشفة من النسخة الأصلية بتاريخ 16-04-2016 ، استرجاعها 2014-02-02   
  19. 1 2 3 شيندلر 2014 ، صفحة 34
  20. ↑ روبرت أ. مكوي وإيبولا نانتو، الخصائص الطوبولوجية لفضاءات الدوال المتصلة، سلسلة محاضرات في الرياضيات 1315، سبرينغر-فيرلاغ .
  21. ^ إدوارد تشيك ، الفضاءات الطوبولوجية، تمت مراجعته بواسطة زدينيك فروليك وميروسلاف كاتيتوف، جون وايلي وأولاده، 1966.
  22. ↑ DA Vladimirov, Boolean Algebras in Analysis, Mathematics and Its Applications, Kluwer Academic Publishers.
  23. ↑ داوبن 1990 ، صفحة 54

فهرس