الموجة المستقرة

للبدء، ضع في اعتبارك سلسلة ذات طول لانهائي على طول المحور x والتي يمكن تمديدها بشكل عرضي في اتجاه y .

بالنسبة للموجة التوافقية التي تنتقل إلى اليمين على طول الوتر، فإن إزاحة الوتر في اتجاه y كدالة للموضع x والزمن t هي ^{[ 10 ]}

${\displaystyle y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).}$

الإزاحة في اتجاه المحور y لموجة توافقية مماثلة تنتقل إلى اليسار هي

${\displaystyle y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

أين

• يمثل y _max سعة إزاحة الوتر لكل موجة،
• ω هي التردد الزاوي أو ما يعادله 2π مضروبًا في التردد f ،
• λ هو الطول الموجي للموجة.

بالنسبة للموجات المتطابقة التي تنتقل يمينًا ويسارًا على نفس الوتر، فإن الإزاحة الكلية للوتر هي مجموع y _R و y _L.

${\displaystyle y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right).}$

باستخدام متطابقة مجموع الضرب المثلثي${\displaystyle \sin a+\sin b=2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({ab \over 2}\right)}$،

${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

1

لا تصف المعادلة ( 1 ) موجة متحركة. عند أي موضع x ، يتذبذب y ( x , t ) ببساطة مع الزمن بسعة تتغير في اتجاه x كما${\displaystyle 2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)}$[ ^{10 ]} يوضح الرسم المتحرك في بداية هذه المقالة ما يحدث. عندما تتداخل الموجة الزرقاء المتجهة إلى اليسار والموجة الخضراء المتجهة إلى اليمين، فإنهما تشكلان الموجة الحمراء الثابتة التي لا تنتقل بل تتذبذب في مكانها ^.

لأن الوتر ذو طول لانهائي، فلا توجد شروط حدية لإزاحته عند أي نقطة على طول المحور السيني . ونتيجة لذلك، يمكن أن تتشكل موجة مستقرة عند أي تردد.

في المواقع على المحور السيني التي تمثل مضاعفات زوجية لربع الطول الموجي،

${\displaystyle x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \over 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots }$

تكون السعة دائمًا صفرًا. تُسمى هذه المواقع بالعُقد . عند المواقع على المحور السيني التي تُمثل مضاعفات فردية لربع الطول الموجي

${\displaystyle x=\ldots ,-{5\lambda \over 4},\;-{3\lambda \over 4},\;-{\lambda \over 4},\;{\lambda \over 4},\;{3\lambda \over 4},\;{5\lambda \over 4},\ldots }$

تكون السعة قصوى، بقيمة تساوي ضعف سعة الموجتين المتجهتين يمينًا ويسارًا اللتين تتداخلان لتكوين نمط الموجة المستقرة هذا. تُسمى هذه المواقع بالعقد المضادة . المسافة بين عقدتين أو عقدتين مضادتين متتاليتين تساوي نصف الطول الموجي، λ /2.

بعد ذلك، لنفترض وجود وتر مثبت طرفاه عند x = 0 و x = L. سيتعرض الوتر لبعض التخميد نتيجة تمدده بفعل الموجات المتحركة، ولكن لنفترض أن هذا التخميد ضئيل للغاية. لنفترض أنه عند الطرف المثبت عند x = 0، تُطبَّق قوة جيبية تدفع الوتر لأعلى ولأسفل في اتجاه المحور y بسعة صغيرة وتردد f . في هذه الحالة، تُنتج القوة المحركة موجة تنتقل باتجاه اليمين. تنعكس هذه الموجة عن الطرف المثبت الأيمن وتعود إلى اليسار، ثم تنعكس مرة أخرى عن الطرف المثبت الأيسر وتعود إلى اليمين، وهكذا. في النهاية، نصل إلى حالة استقرار حيث يكون للوتر موجات متطابقة تنتقل باتجاه اليمين واليسار كما في حالة الطول اللانهائي، وتكون القدرة المبددة بفعل التخميد في الوتر مساويةً للقدرة التي توفرها القوة المحركة، وبالتالي تكون سعة الموجات ثابتة.

لا تزال المعادلة ( 1 ) تصف نمط الموجة المستقرة التي يمكن أن تتشكل على هذا الوتر، ولكنها الآن تخضع لشروط حدودية حيث y = 0 عند x = 0 و x = L لأن الوتر مثبت عند x = L ولأننا نفترض أن القوة المحركة عند الطرف الثابت x = 0 لها سعة صغيرة. وبالتحقق من قيم y عند الطرفين،

${\displaystyle y(0,t)=0,}$

${\displaystyle y(L,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0.}$

تأتي هذه الشروط الحدية على شكل صيغة ستورم-ليوفيل . ويتحقق الشرط الحدي الأخير عندما${\displaystyle \sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0}$. L معطى، لذا فإن شرط الحدود يقيد طول موجة الموجات المستقرة إلى ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

2

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

لا يمكن للأمواج أن تُشكّل أمواجًا مستقرة على هذا الوتر إلا إذا كان طول موجتها يُحقق هذه العلاقة مع L. إذا كانت الأمواج تنتقل بسرعة v على طول الوتر، فإن تردد الأمواج المستقرة يكون مقيدًا بـ ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}$

تتذبذب الموجة المستقرة ذات n = 1 بترددها الأساسي ، ويبلغ طول موجتها ضعف طول الوتر. أما القيم الصحيحة الأعلى لـ n فتُقابل أنماط تذبذب تُسمى التوافقيات أو النغمات الفوقية . أي موجة مستقرة على الوتر تحتوي على n + 1 عقدة، بما في ذلك الأطراف الثابتة، و n بطون عقد.

لمقارنة عقد هذا المثال بوصف عقد الموجات المستقرة في وتر ذي طول لانهائي، يمكن إعادة كتابة المعادلة ( 2 ) على النحو التالي:

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

في هذا الشكل من صيغة الطول الموجي، يجب أن يكون n عددًا زوجيًا. وبضرب الطرفين في الوسطين، نرى أنه بما أن L عقدة، فإن طولها مضاعف زوجي لربع الطول الموجي.

${\displaystyle L={\frac {n\lambda }{4}},}$

${\displaystyle n=2,4,6,\ldots }$

يوضح هذا المثال نوعًا من الرنين ، ويمكن الإشارة إلى الترددات التي تنتج موجات مستقرة باسم ترددات الرنين . ^{[ 11 ] [ 13 ] [ 14 ]}

بعد ذلك، لنفترض وجود خيط مماثل بطول L ، ولكن هذه المرة مثبت فقط عند x = 0. عند x = L ، يكون الخيط حر الحركة في اتجاه المحور y . على سبيل المثال، يمكن ربط الخيط عند x = L بحلقة تنزلق بحرية لأعلى ولأسفل على عمود. مرة أخرى، يكون للخيط تخميد ضئيل ويتحرك بقوة دافعة صغيرة عند x = 0 .

في هذه الحالة، لا تزال المعادلة ( 1 ) تصف نمط الموجة المستقرة التي يمكن أن تتشكل على الوتر، ويخضع الوتر لنفس شرط الحد y = 0 عند x = 0. مع ذلك، عند x = L حيث يمكن للوتر أن يتحرك بحرية، يجب أن يكون هناك بطن ذو سعة قصوى y . وبالمثل، يمكن صياغة شرط الحد هذا للطرف الحر على النحو التالي: ∂y/∂x = 0 عند x = L ، وهو ما يُعرف بصيغة ستورم-ليوفيل . ويكمن المنطق وراء شرط الحد هذا ∂y/∂x = 0 عند x = L في أن حركة الطرف الحر ستتبع حركة النقطة الواقعة على يساره.

بمراجعة المعادلة ( 1 )، بالنسبة لـ x = L، تحدث أكبر سعة لـ y عندما يكون ∂y/∂x = 0 ، أو

${\displaystyle \cos \left({2\pi L \over \lambda }\right)=0.}$

يؤدي هذا إلى مجموعة مختلفة من الأطوال الموجية مقارنةً بمثال الطرفين الثابتين. هنا، يقتصر الطول الموجي للموجات المستقرة على

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots }$

وبالمثل، يقتصر التردد على

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

في هذا المثال، لا تأخذ n إلا قيمًا فردية. ولأن L عقدة مضادة، فإن طولها مضاعف فردي لربع الطول الموجي. وبالتالي، فإن النمط الأساسي في هذا المثال لا يحتوي إلا على ربع دورة جيبية كاملة - الصفر عند x = 0 والذروة الأولى عند x = L - أما التوافقي الأول فيحتوي على ثلاثة أرباع دورة جيبية كاملة، وهكذا.

يوضح هذا المثال أيضًا نوعًا من الرنين، وتسمى الترددات التي تنتج موجات مستقرة بالترددات الرنانة .

لنفترض وجود موجة مستقرة في أنبوب طوله L. يعمل الهواء داخل الأنبوب كوسيط للموجات الصوتية الطولية التي تنتقل يمينًا أو يسارًا عبره. بينما تتغير إزاحة الموجات المستعرضة على الوتر في الأمثلة السابقة عموديًا على اتجاه حركة الموجة، فإن الموجات التي تنتقل عبر الهواء في الأنبوب تتغير من حيث ضغطها وإزاحتها الطولية على طول اتجاه حركة الموجة. تنتشر الموجة عن طريق ضغط الهواء وتمديده بالتناوب في أجزاء من الأنبوب، مما يؤدي إلى إزاحة الهواء قليلًا عن موضع سكونه ونقل الطاقة إلى الأجزاء المجاورة من خلال القوى الناتجة عن ضغوط الهواء المرتفعة والمنخفضة المتناوبة. ^{[ 15 ]} يمكن كتابة معادلات مشابهة لتلك الخاصة بالموجة على الوتر لوصف التغير في الضغط Δp الناتج عن موجة تنتقل يمينًا أو يسارًا في الأنبوب.

${\displaystyle \Delta p_{\text{R}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right),}$

${\displaystyle \Delta p_{\text{L}}(x,t)=p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),}$

أين

• يمثل p _max سعة الضغط أو أقصى زيادة أو نقصان في ضغط الهواء نتيجة لكل موجة.
• ω هي التردد الزاوي أو ما يعادله 2π مضروبًا في التردد f ،
• λ هو الطول الموجي للموجة.

إذا سارت موجات متطابقة متجهة يمينًا ويسارًا عبر الأنبوب، فإن التراكب الناتج يُوصف بالمجموع

${\displaystyle \Delta p(x,t)=\Delta p_{\text{R}}(x,t)+\Delta p_{\text{L}}(x,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).}$

هذه الصيغة للضغط هي من نفس شكل المعادلة ( 1 )، لذلك تتشكل موجة ضغط ثابتة ثابتة في المكان وتتذبذب في الوقت.

عند إغلاق طرف الأنبوب، يكون الضغط في أعلى مستوياته، إذ يُمارس الطرف المغلق قوةً تُقيّد حركة الهواء. وهذا يُقابل عقدة ضغط (وهي عقدة للحركة الجزيئية، لأن الجزيئات القريبة من الطرف المغلق لا تستطيع الحركة). أما عند فتح طرف الأنبوب، فتكون تغيرات الضغط ضئيلة جدًا، مما يُقابل عقدة ضغط (وهي عقدة للحركة الجزيئية، لأن الجزيئات القريبة من الطرف المفتوح تستطيع الحركة بحرية). ^{[ 16 ] [ 17 ]} يقع موقع عقدة الضغط عند الطرف المفتوح فعليًا بعد الطرف المفتوح للأنبوب بقليل، لذا فإن الطول الفعال للأنبوب، لغرض تحديد ترددات الرنين، أطول قليلًا من طوله الفعلي. ^{[ 18 ]} يُتجاهل هذا الفرق في الطول في هذا المثال. أما بالنسبة للانعكاسات، فإن الأطراف المفتوحة تعكس الموجات جزئيًا إلى داخل الأنبوب، مما يسمح بانطلاق بعض الطاقة إلى الهواء الخارجي. في الوضع الأمثل، تعكس الأطراف المغلقة الموجة بأكملها في الاتجاه المعاكس. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

لنفترض أولاً أنبوباً مفتوحاً من كلا الطرفين، مثلاً أنبوب الأرغن المفتوح أو آلة التسجيل . وبما أن الضغط يجب أن يكون صفراً عند كلا الطرفين المفتوحين، فإن الشروط الحدية مماثلة لشروط الوتر ذي الطرفين الثابتين.

${\displaystyle \Delta p(0,t)=0,}$

${\displaystyle \Delta p(L,t)=2p_{\text{max}}\sin \left({2\pi L \over \lambda }\right)\cos(\omega t)=0,}$

والذي يحدث فقط عندما يكون طول موجة الموجات المستقرة ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

أو بشكل مكافئ عندما يكون التردد ^{[ 18 ] [ 20 ]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$

حيث v هي سرعة الصوت .

بعد ذلك، لنفترض أنبوبًا مفتوحًا عند x = 0 (وبالتالي له عقدة ضغط) ومغلقًا عند x = L (وبالتالي له بطن ضغط). يمكن التعبير عن شرط الحد "الطرف الحر" المغلق للضغط عند x = L بالمعادلة ∂(Δp)/∂x = 0 ، وهي صيغة ستورم-ليوفيل . يكمن المنطق وراء شرط الحد هذا ∂(Δp)/∂x = 0 عند x = L في أن ضغط الطرف المغلق سيتبع ضغط النقطة الواقعة على يساره. من أمثلة هذا الإعداد الزجاجة والكلارينيت . يتمتع هذا الأنبوب بشروط حدية مماثلة للوتر ذي الطرف الثابت الواحد. تقتصر أطوال موجاته المستقرة على ^{[ 18 ].}

${\displaystyle \lambda ={\frac {4L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,3,5,\ldots ,}$

أو ما يعادل ذلك، فإن تردد الموجات المستقرة يقتصر على ^{[ 21 ] [ 20 ]}

${\displaystyle f={\frac {nv}{4L}}.}$

في حالة إغلاق أحد الطرفين، فإن n يأخذ قيمًا فردية فقط تمامًا كما هو الحال في حالة السلسلة المثبتة من طرف واحد فقط.

حتى الآن، كُتبت الموجة بدلالة ضغطها كدالة للموضع x والزمن. وبدلاً من ذلك، يمكن كتابة الموجة بدلالة إزاحتها الطولية للهواء، حيث يتحرك الهواء في جزء من الأنبوب ذهابًا وإيابًا بشكل طفيف في اتجاه x مع تغير الضغط، وتنتشر الموجات في أحد الاتجاهين أو كليهما. ويرتبط تغير الضغط Δp والإزاحة الطولية s بالعلاقة ^{[ 22 ].}

${\displaystyle \Delta p=-\rho v^{2}{\frac {\partial s}{\partial x}},}$

حيث ρ هي كثافة الهواء. من حيث الإزاحة الطولية، تُقابل النهايات المغلقة للأنابيب عُقدًا نظرًا لتقييد حركة الهواء، بينما تُقابل النهايات المفتوحة بطونًا نظرًا لحرية حركة الهواء. ^{[ 18 ] [ 23 ]} وتحدث ظاهرة مشابهة، أسهل في التصور، في الموجات الطولية المنتشرة على طول نابض. ^{[ 24 ]}

يمكننا أيضًا النظر في أنبوب مغلق من كلا الطرفين. في هذه الحالة، سيكون كلا الطرفين عقدًا للضغط، أو بعبارة أخرى، سيكون كلا الطرفين عقدًا للإزاحة. هذا المثال مشابه للحالة التي يكون فيها كلا الطرفين مفتوحين، باستثناء أن نمط الموجة المستقرة لديه إزاحة طورية مقدارها π / 2 على طول المحور x لتغيير موقع العقد والبطون. على سبيل المثال، أطول طول موجي يرن - النمط الأساسي - هو ضعف طول الأنبوب، باستثناء أن طرفي الأنبوب يحتويان على بطون ضغط بدلًا من عقد ضغط. توجد عقدة ضغط واحدة بين الطرفين. في حالة الطرفين المغلقين، يكون الطول الموجي محدودًا مرة أخرى.

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}},}$

${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,}$

ويقتصر التردد مرة أخرى على

${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}}.}$

يوفر أنبوب روبنز طريقة لتصور تغيرات الضغط للموجات المستقرة في أنبوب ذي طرفين مغلقين. ^{[ 25 ]}

بعد ذلك، لننظر في الموجات المستعرضة التي يمكنها التحرك على طول سطح ثنائي الأبعاد ضمن حدود مستطيلة طولها Lx في اتجاه المحور x _وطولها Ly في اتجاه المحور _y . من أمثلة هذا النوع من الموجات أمواج الماء في حوض سباحة أو الأمواج على صفيحة مستطيلة مشدودة. تُزيح هذه الموجات السطح في اتجاه المحور z ، حيث يُعرَّف z = 0 بأنه ارتفاع السطح عندما يكون ساكنًا.

في بُعدين وباستخدام الإحداثيات الديكارتية، تكون معادلة الموجة هي

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right),}$

أين

• يمثل z ( x , y , t ) إزاحة السطح،
• ج هي سرعة الموجة.

لحل هذه المعادلة التفاضلية، دعونا أولاً نحسب تحويل فورييه الخاص بها ، مع

${\displaystyle Z(x,y,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }z(x,y,t)e^{-i\omega t}dt.}$

بإجراء تحويل فورييه لمعادلة الموجة،

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}Z}{\partial y^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}Z(x,y,\omega ).}$

هذه مسألة قيم ذاتية، حيث تتوافق الترددات مع قيم ذاتية، والتي بدورها تتوافق مع أنماط أو دوال ذاتية خاصة بكل تردد. تحديدًا، هذه صيغة من معادلة هيلمهولتز ، ويمكن حلها باستخدام فصل المتغيرات . ^{[ 26 ]} افترض

${\displaystyle Z=X(x)Y(y).}$

بقسمة معادلة هيلمهولتز على Z ،

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0.}$

يؤدي هذا إلى معادلتين تفاضليتين عاديتين مترابطتين. يساوي الحد x ثابتًا بالنسبة إلى x يمكننا تعريفه على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {1}{X(x)}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}=(ik_{x})^{2}.}$

حل المعادلة لإيجاد قيمة X ( x )،

${\displaystyle X(x)=A_{k_{x}}e^{ik_{x}x}+B_{k_{x}}e^{-ik_{x}x}.}$

هذا الاعتماد على x هو دالة جيبية - بالرجوع إلى صيغة أويلر - حيث يتم تحديد الثوابت A _{k x} و B _{k x} بواسطة الشروط الحدية. وبالمثل، فإن الحد y يساوي ثابتًا بالنسبة إلى y يمكننا تعريفه على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=(ik_{y})^{2}=k_{x}^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}},}$

وبالتالي فإن علاقة التشتت لهذه الموجة هي

${\displaystyle \omega =c{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.}$

بحل المعادلة التفاضلية لإيجاد قيمة الحد y ،

${\displaystyle Y(y)=C_{k_{y}}e^{ik_{y}y}+D_{k_{y}}e^{-ik_{y}y}.}$

بضرب هذه الدوال معًا وتطبيق تحويل فورييه العكسي، فإن z ( x , y , t ) عبارة عن تراكب للأنماط حيث يكون كل نمط هو ناتج دوال جيبية لـ x و y و t ،

${\displaystyle z(x,y,t)\sim e^{\pm ik_{x}x}e^{\pm ik_{y}y}e^{\pm i\omega t}.}$

تعتمد الثوابت التي تحدد الدوال الجيبية الدقيقة على الشروط الحدية والشروط الابتدائية. لفهم كيفية تطبيق الشروط الحدية، لنأخذ مثالًا مثل الصفيحة المشدودة حيث يجب أن تكون قيمة z ( x , y , t ) صفرًا على طول حدودها المستطيلة. بالنسبة لاعتمادها على x ، يجب أن تتغير z ( x , y , t ) بحيث تكون قيمتها صفرًا عند x = 0 و x = Lx لجميع قيم y و t . وكما في المثال أحادي البعد للخيط المثبت من طرفيه، فإن الدالة الجيبية التي تحقق هذا الشرط الحدي _هي

${\displaystyle \sin {k_{x}x},}$

مع تقييد k _{x إلى}

${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{L_{x}}},\quad n=1,2,3,\dots }$

وبالمثل، يجب أن يكون اعتماد z ( x , y , t ) على y مساويًا للصفر عند كل من y = 0 و y = L _y ، وهو ما يتحقق بواسطة

${\displaystyle \sin {k_{y}y},\quad k_{y}={\frac {m\pi }{L_{y}}},\quad m=1,2,3,\dots }$

يؤدي تقييد أرقام الموجات بهذه القيم أيضًا إلى تقييد الترددات التي ترن على

${\displaystyle \omega =c\pi {\sqrt {\left({\frac {n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {m}{L_{y}}}\right)^{2}}}.}$

إذا تم اختيار الشروط الابتدائية لـ z ( x , y , 0) ومشتقتها الزمنية ż ( x , y , 0) بحيث يكون اعتمادها على الزمن دالة جيب تمام، فإن الموجات المستقرة لهذا النظام تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle z(x,y,t)=z_{\text{max}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {m\pi y}{L_{y}}}\right)\cos \left(\omega t\right).}$

${\displaystyle n=1,2,3,\dots \quad m=1,2,3,\dots }$

لذا، تتذبذب الموجات المستقرة داخل هذا الحد المستطيل الثابت مع الزمن بترددات رنين معينة، تُحدد بالمعاملين n و m . وبما أنها تتذبذب مع الزمن، فإنها لا تنتقل، ويكون تغيرها المكاني جيبيًا في الاتجاهين x و y، بحيث تُحقق شروط الحدود. النمط الأساسي، n = 1 و m = 1 ، له عقدة واحدة في منتصف المستطيل. ويؤدي تغيير قيم n و m إلى أنماط ثنائية الأبعاد معقدة ولكن يمكن التنبؤ بها من العقد والبطون داخل المستطيل. ^{[ 27 ]}

انطلاقًا من علاقة التشتت، في بعض الحالات، قد ترنّ أنماط مختلفة - أي تركيبات مختلفة من n و m - عند نفس التردد، على الرغم من اختلاف أشكال اعتمادها على x و y . على سبيل المثال، إذا كان الحد مربعًا، L _x = L _y ، فإن الأنماط n = 1 و m = 7 ، و n = 7 و m = 1 ، و n = 5 و m = 5 ترنّ جميعها عند

${\displaystyle \omega ={\frac {c\pi }{L_{x}}}{\sqrt {50}}.}$

بالنظر إلى أن ω تحدد القيمة الذاتية في معادلة هيلمهولتز أعلاه، فإن عدد الأنماط المقابلة لكل تردد يرتبط بتعدد التردد كقيمة ذاتية.

تُلاحَظ الموجات المستقرة أيضًا في الأوساط الفيزيائية كالأوتار وأعمدة الهواء. أي موجة تنتقل عبر الوسط تنعكس عند وصولها إلى نهايته. هذا التأثير أكثر وضوحًا في الآلات الموسيقية، حيث تتولد موجة مستقرة عند مضاعفات مختلفة للتردد الطبيعي للوتر المهتز أو عمود الهواء ، مما يسمح بتحديد التوافقيات . تقع العقد عند الأطراف الثابتة، بينما تقع البطون عند الأطراف المفتوحة. إذا كان الوتر ثابتًا عند طرف واحد فقط، فلا تتوفر إلا التوافقيات ذات الأرقام الفردية. عند الطرف المفتوح لأنبوب، لا يقع البطن تمامًا عند النهاية، إذ يتغير موضعه نتيجة احتكاكه بالهواء، لذا يُستخدم تصحيح الطرف لتحديد موضعه بدقة. تؤثر كثافة الوتر على التردد الذي تُنتَج عنده التوافقيات؛ فكلما زادت الكثافة، انخفض التردد اللازم لإنتاج موجة مستقرة من التوافقي نفسه.

تُلاحَظ الموجات المستقرة أيضًا في الأوساط البصرية مثل الموجهات الضوئية والتجاويف الضوئية . تستخدم الليزرات تجاويف ضوئية على شكل زوج من المرايا المتقابلة، والتي تُشكِّل مقياس تداخل فابري-بيرو . يُصدر الوسط المُكبِّر في التجويف (مثل البلورة ) ضوءًا متماسكًا ، مما يُثير موجات ضوئية مستقرة داخل التجويف. ^{[ 32 ]} نظرًا لأن طول موجة الضوء قصير جدًا (في نطاق النانومترات ، 10⁻⁹ ^متر )، فإن الموجات المستقرة مجهرية الحجم. يُستخدم أحد تطبيقات الموجات الضوئية المستقرة في قياس المسافات الصغيرة باستخدام الأسطح البصرية المستوية .

يمكن أن يؤدي التداخل بين حزم الأشعة السينية إلى تكوين مجال موجة مستقرة للأشعة السينية (XSW). ^{[ 33 ]} ونظرًا لقصر طول موجة الأشعة السينية (أقل من 1 نانومتر)، يمكن استغلال هذه الظاهرة لقياس الأحداث على المستوى الذري على أسطح المواد . تتولد موجة XSW في المنطقة التي تتداخل فيها حزمة الأشعة السينية مع حزمة منحرفة من سطح بلوري أحادي مثالي تقريبًا أو مع انعكاس من مرآة أشعة سينية . ومن خلال ضبط هندسة البلورة أو طول موجة الأشعة السينية، يمكن تحريك موجة XSW مكانيًا، مما يُحدث انزياحًا في تألق الأشعة السينية أو إنتاج الإلكترونات الضوئية من الذرات القريبة من السطح. ويمكن تحليل هذا الانزياح لتحديد موقع نوع ذري معين بالنسبة إلى البنية البلورية الأساسية أو سطح المرآة. وقد استُخدمت طريقة XSW لتوضيح التفاصيل على المستوى الذري للمواد المضافة في أشباه الموصلات، ^{[ 34 ]} والامتزاز الذري والجزيئي على الأسطح، ^{[ 35 ]} والتحولات الكيميائية التي تحدث في التحفيز . ^{[ 36 ]}

يمكن توليد الموجات المستقرة ميكانيكيًا في وسط صلب باستخدام الرنين. ومن الأمثلة البسيطة على ذلك شخصان يهزان طرفي حبل قفز. إذا هزا بتزامن، سيشكل الحبل نمطًا منتظمًا بعقد وبطون، ويبدو ثابتًا، ومن هنا جاءت تسمية الموجة المستقرة. وبالمثل، يمكن توليد موجة مستقرة على عارضة ناتئة بتطبيق إثارة قاعدية. في هذه الحالة، يتحرك الطرف الحر أكبر مسافة جانبية مقارنةً بأي نقطة على طول العارضة. يمكن استخدام هذا الجهاز كمستشعر لتتبع التغيرات في تردد أو طور رنين الألياف. ومن تطبيقاته استخدامه كجهاز قياس في علم الأبعاد . ^{[ 37 ] [ 38 ]}

تُلاحظ الموجات السطحية الثابتة على الأرض على أنها تذبذبات حرة للأرض .

موجة فاراداي هي موجة مستقرة غير خطية عند سطح التماس بين الهواء والسائل، وتنتج عن عدم استقرار ديناميكي مائي. ويمكن استخدامها كقالب سائل لتجميع مواد دقيقة الحجم. ^{[ 39 ]}

الموجة المتذبذبة ( السيش ) مثال على الموجة المستقرة في مسطح مائي مغلق. وتتميز بتذبذب مستوى الماء عند طرفي المسطح، وعادةً ما يكون لها نقطة عقدية قرب منتصف المسطح حيث يُلاحظ تغير طفيف جدًا في مستوى الماء. ويجب التمييز بينها وبين ارتفاع مستوى الماء الناتج عن العاصفة ، حيث لا يوجد تذبذب. في البحيرات الكبيرة، قد تتراوح فترة هذه التذبذبات بين دقائق وساعات، فعلى سبيل المثال، تبلغ الفترة الطولية لبحيرة جنيف 73 دقيقة، بينما تبلغ فترة الموجة المتذبذبة العرضية فيها حوالي 10 دقائق، ^{[ 40 ]} في حين يُلاحظ أن بحيرة هورون تُظهر رنينًا بفترات تتراوح بين ساعة وساعتين. ^{[ 41 ]} انظر: موجات السيش في البحيرات . ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]}