قائمة المعادلات في الميكانيكا الكلاسيكية

الميكانيكا الكلاسيكية هي فرع من فروع الفيزياء يُستخدم لوصف حركة الأجسام العيانية . ^{[ 1 ]} وهي أكثر نظريات الفيزياء شيوعًا. وتُعدّ المفاهيم التي تغطيها، مثل الكتلة والتسارع والقوة ، شائعة الاستخدام ومعروفة. ^{[ 2 ]} ويستند هذا العلم إلى فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد ذي محاور ثابتة، يُسمى إطارًا مرجعيًا. وتُعرف نقطة التقاء المحاور الثلاثة بأصل هذا الفضاء. ^[³^]

تستخدم الميكانيكا الكلاسيكية العديد من المعادلات ، بالإضافة إلى مفاهيم رياضية أخرى ، لربط الكميات الفيزيائية المختلفة ببعضها البعض. وتشمل هذه المعادلات التفاضلية ، والمتشعبات ، ومجموعات لي ، ونظرية الإرجودية . ^{[ 4 ]} تقدم هذه المقالة ملخصًا لأهم هذه المفاهيم.

تسرد هذه المقالة المعادلات من الميكانيكا النيوتونية ، انظر الميكانيكا التحليلية للصياغة الأكثر عمومية للميكانيكا الكلاسيكية (والتي تشمل ميكانيكا لاغرانج وميكانيكا هاميلتون ).

الميكانيكا الكلاسيكية

الكتلة والقصور الذاتي

الكمية (الاسم الشائع/الأسماء الشائعة)	الرمز/الرموز (الشائعة)	معادلة التعريف	وحدات النظام الدولي للوحدات	الأبعاد
الكثافة الكتلية الخطية والسطحية والحجمية	λ أو μ (خاصة في علم الصوتيات ، انظر أدناه) للخطية، σ للسطح، ρ للحجم.	$m=\int \lambda \,\mathrm {d} \ell$ $m=\iint \sigma \,\mathrm {d} S$ $m=\iiint \rho \,\mathrm {d} V$	kg m ^{− n} , n = 1, 2, 3	ML ^{− n}
عزم الكتلة^{[ 5 ]}	م (لا يوجد رمز مشترك)	كتلة نقطية: $\mathbf {m} =\mathbf {r} m$ كتل منفصلة حول محور $x_{i}$ : $\mathbf {m} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{i}m_{i}$ كتلة متصلة حول محور $x_{i}$ : $\mathbf {m} =\int \rho \left(\mathbf {r} \right)x_{i}\mathrm {d} \mathbf {r}$	كجم م	ML
مركز الكتلة	r _com (تختلف الرموز)	العزم الكتلي رقم i $\mathbf {m} _{i}=\mathbf {r} _{i}m_{i}$ الكتل المنفصلة: $\mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {m} _{i}$ سلسلة الكتلة المتصلة: $// الخامس}$	م	ل
2- انخفاض كتلة الجسم	m ₁₂ ، μ زوج من الكتل = m ₁ و m ₂	$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$	كيلوغرام	م
عزم القصور الذاتي (MOI)	أنا	الكتل المنفصلة: $I=\sum _{i}\mathbf {m} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\left\|\mathbf {r} _{i}\right\|^{2}m$ سلسلة الكتلة المتصلة: $I=\int \left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\mathrm {d} m=\int \mathbf {r} \cdot \mathrm {d} \mathbf {m} =\int \left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\rho \,\mathrm {d} V$	كجم م ²	ML ²

الكميات الحركية المشتقة

الكميات الحركية لجسيم كلاسيكي: الكتلة m ، الموضع r ، السرعة v ، التسارع a .

الكمية (الاسم الشائع/الأسماء الشائعة)	الرمز/الرموز (الشائعة)	معادلة التعريف	وحدات النظام الدولي للوحدات	الأبعاد
سرعة	v	$\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}$	مللي ثانية ^-1	LT ⁻¹
تسريع	أ	$\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}= {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} } {\mathrm {d} t^{2}}}$	ms ⁻²	LT ⁻²
هَزَّة	ج	$\mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}$	ms ⁻³	LT ⁻³
قفزة	s	$\mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}$	ms ⁻⁴	LT ⁻⁴
السرعة الزاوية	ω	${\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$	rad s ⁻¹	T ⁻¹
التسارع الزاوي	α	${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}$	rad s ⁻²	T ⁻²
ارتجاج زاوي	ζ	${\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{3}\theta }{\mathrm {d} t^{3}}}$	rad s ⁻³	T ⁻³

الكميات الديناميكية المشتقة

الكمية (الاسم الشائع/الأسماء الشائعة)	الرمز/الرموز (الشائعة)	معادلة التعريف	وحدات النظام الدولي للوحدات	الأبعاد
دَفعَة	ص	$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$	كجم م/ ^ث	MLT ⁻¹
قوة	F	$\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {p} /\mathrm {d} t$	N = kg ms ⁻²	MLT ⁻²
دفعة	J ، Δ p ، I	$\mathbf {J} =\Delta \mathbf {p} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t$	كجم م/ ^ث	MLT ⁻¹
الزخم الزاوي حول نقطة موضعية r ₀ ،	ل ، ج ، س	$\mathbf {L} =\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {p}$ في معظم الأحيان يمكننا ضبط r ₀ = 0 إذا كانت الجسيمات تدور حول محاور تتقاطع عند نقطة مشتركة.	كجم م ² ث ⁻¹	ML ² T ⁻¹
عزم القوة حول نقطة موضعية r ₀ ، عزم الدوران	τ ، م	${\boldsymbol {\tau }}=\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$	نيوتن متر = كيلوغرام متر ^مربع ثانية ⁻²	ML ² T ⁻²
الدفعة الزاوية	Δ L (لا يوجد رمز مشترك)	$\Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {\tau }}\,\mathrm {d} t$	كجم م ² ث ⁻¹	ML ² T ⁻¹

تعريفات عامة للطاقة

الكمية (الاسم الشائع/الأسماء الشائعة)	الرمز/الرموز (الشائعة)	معادلة التعريف	وحدات النظام الدولي للوحدات	الأبعاد
العمل الميكانيكي الناتج عن قوة محصلة	دبليو	$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$	J = N m = kg m ² s ⁻²	ML ² T ⁻²
العمل المنجز على النظام الميكانيكي، العمل المنجز بواسطة	W _ON , W _BY	$\Delta W_{\mathrm {ON} }=-\Delta W_{\mathrm {BY} }$	J = N m = kg m ² s ⁻²	ML ² T ⁻²
الطاقة الكامنة	φ ، Φ، U ، V ، E _p	$\Delta W=-\Delta V$	J = N m = kg m ² s ⁻²	ML ² T ⁻²
الطاقة الميكانيكية	P	$P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}$	W = J s ⁻¹	ML ² T ⁻³

لكل قوة محافظة طاقة كامنة . باتباع مبدأين، يمكن للمرء أن يُسند قيمة غير نسبية لـ U بشكل ثابت :

أينما كانت القوة تساوي صفرًا، فإن طاقتها الكامنة تُعرَّف بأنها تساوي صفرًا أيضًا.
كلما بذلت القوة شغلاً، فقدت الطاقة الكامنة.

الميكانيكا العامة

الكمية (الاسم الشائع/الأسماء الشائعة)	الرمز/الرموز (الشائعة)	معادلة التعريف	وحدات النظام الدولي للوحدات	الأبعاد
الإحداثيات المعممة	q, Q		يختلف ذلك باختلاف الاختيار	يختلف ذلك باختلاف الاختيار
السرعات المعممة	${\dot {q}},{\dot {Q}}$	${\dot {q}}\equiv \mathrm {d} q/\mathrm {d} t$	يختلف ذلك باختلاف الاختيار	يختلف ذلك باختلاف الاختيار
الزخم المعمم	ص، ص	$p=\partial L/\partial {\dot {q}}$	يختلف ذلك باختلاف الاختيار	يختلف ذلك باختلاف الاختيار
لاغرانجيان	ل	$L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {\dot {q}} )-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$ أين $\mathbf {q} =\mathbf {q} (t)$ و p = p ( t ) هما متجهان للإحداثيات المعممة والزخم، كدوال للزمن	ج	ML ² T ⁻²
الهاميلتوني	ح	$H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$	ج	ML ² T ⁻²
العمل ، الوظيفة الرئيسية لهاملتون	S ، $\scriptstyle {\mathcal {S}}$	${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\mathrm {d} t$	J s	ML ² T ⁻¹

علم الحركة

في تعريفات الدوران التالية، يمكن أن تكون الزاوية أي زاوية حول محور الدوران المحدد. من المعتاد استخدام θ ، ولكن ليس بالضرورة أن تكون هذه هي الزاوية القطبية المستخدمة في أنظمة الإحداثيات القطبية. متجه الوحدة المحوري

$\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }$

يحدد محور الدوران، $\scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}$ = متجه وحدة في اتجاه $r$ ، $\scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }$ = متجه وحدة مماس للزاوية.

	ترجمة	تناوب
سرعة	متوسط: $\mathbf {v} _{\mathrm {average} }={\Delta \mathbf {r} \over \Delta t}$ فوري: $\mathbf {v} ={d\mathbf {r} \over dt}$	السرعة الزاوية ${\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}$ جسم صلب دوار : $\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$
تسريع	متوسط: $\mathbf {a} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}$ فوري: $\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$	التسارع الزاوي ${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\omega }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}$ جسم صلب دوار: $\mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v}$
هَزَّة	متوسط: $\mathbf {j} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {a} }{\Delta t}}$ فوري: $\mathbf {j} ={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}$	ارتجاج زاوي ${\boldsymbol {\zeta }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\alpha }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\omega }{{\rm {d}}t^{2}}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{3}\theta }{{\rm {d}}t^{3}}}$ جسم صلب دوار: $\mathbf {j} ={\boldsymbol {\zeta }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {a}$

الديناميكيات

	ترجمة	تناوب
دَفعَة	الزخم هو "مقدار الترجمة" $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ بالنسبة لجسم صلب دوار: $\mathbf {p} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {m}$	الزخم الزاوي الزخم الزاوي هو "مقدار الدوران": $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}$ ويكون الضرب الاتجاهي متجهًا زائفًا، أي إذا تم عكس اتجاه r و p (سالبًا)، فإن L ليس كذلك. بشكل عام، I هو موتر من الرتبة الثانية ، انظر أعلاه لمكوناته. تشير النقطة ( ·) إلى انكماش الموتر .
القوة وقانون نيوتن الثاني	تؤثر القوة المحصلة على النظام عند مركز الكتلة، وتساوي معدل تغير الزخم: ${\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}}\\&=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}\\\end{aligned}}$ بالنسبة لعدد من الجسيمات، فإن معادلة الحركة لجسيم واحد i هي: ^{[ 7 ]} ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}$ حيث pᵢ ₌ زخم الجسيم i ، _{و Fᵢⱼ} = القوة المؤثرة _علىالجسيم i من الجسيم j ، و Fᵢⱼ = محصلة القوى الخارجية (الناتجة عن أي عامل ليس جزءًا من النظام). لا يؤثر الجسيم i على نفسه بقوة.	عزم الدوران يُطلق على عزم الدوران τ أيضًا اسم عزم القوة، لأنه النظير الدوراني للقوة: ^{[ 8 ]} ${\boldsymbol {\tau }}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}$ بالنسبة للأجسام الصلبة، يأخذ قانون نيوتن الثاني للدوران نفس الشكل الذي يأخذه للانتقال: ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}\\&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {I} }{{\rm {d}}t}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\\\end{aligned}}$ وبالمثل، بالنسبة لعدد من الجسيمات، فإن معادلة الحركة لجسيم واحد i هي: ^{[ 9 ]} ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}$
نثر	اليانك هو معدل تغير القوة: ${\begin{aligned}\mathbf {Y} &={\frac {d\mathbf {F} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {p} }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(m\mathbf {v} )}{dt^{2}}}\\[1ex]&=m\mathbf {j} +\mathbf {2a} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}+\mathbf {v} {\frac {{\rm {d^{2}}}m}{{\rm {d}}t^{2}}}\end{aligned}}$ بالنسبة للكتلة الثابتة، يصبح الأمر كالتالي؛ $\mathbf {Y} =m\mathbf {j}$	روتاتوم يُطلق على الدوران Ρ أيضًا اسم عزم السحب، لأنه النظير الدوراني للسحب: ${\boldsymbol {\mathrm {P} }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\tau }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {Y} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }})}{{\rm {d}}t}}$
دفعة	الدفع هو التغير في كمية الحركة: $\Delta \mathbf {p} =\int \mathbf {F} \,dt$ بالنسبة للقوة الثابتة F : $\Delta \mathbf {p} =\mathbf {F} \Delta t$	الدوران/الدفع الزاوي هو التغير في الزخم الزاوي: $\Delta \mathbf {L} =\int {\boldsymbol {\tau }}\,dt$ لعزم الدوران الثابت τ : $\Delta \mathbf {L} ={\boldsymbol {\tau }}\Delta t$

التبادر

تُعطى السرعة الزاوية للترنح لجسم دوار بالصيغة التالية:

${\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}$

حيث w هو وزن دولاب الموازنة الدوار.

طاقة

الشغل الميكانيكي الذي يقوم به عامل خارجي على نظام ما يساوي التغير في الطاقة الحركية للنظام:

نظرية الشغل والطاقة العامة (الانتقال والدوران)

الشغل المبذول W بواسطة عامل خارجي يؤثر بقوة F (عند r ) وعزم دوران τ على جسم على طول مسار منحني C هو:

$W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} \,{\mathrm {d} \theta }\right)$

حيث θ هي زاوية الدوران حول محور محدد بواسطة متجه الوحدة n .

الطاقة الحركية

التغير في الطاقة الحركية لجسم يتحرك في البداية بسرعة $v_{0}$ وفي وقت لاحق بسرعة $v$ يكون: $\Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})$

طاقة الوضع المرنة

بالنسبة لنابض مشدود مثبت من أحد طرفيه ويخضع لقانون هوك ، فإن طاقة الوضع المرنة هي

$\Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}$

حيث r ₂ و r ₁ هما إحداثيات خطية للطرف الحر للزنبرك، في اتجاه التمدد / الانضغاط، و k هو ثابت الزنبرك.

معادلات أويلر لديناميكيات الأجسام الصلبة

وضع أويلر أيضًا قوانين حركة مماثلة لقوانين نيوتن، انظر قوانين أويلر للحركة . تُوسّع هذه القوانين نطاق قوانين نيوتن ليشمل الأجسام الصلبة، لكنها في جوهرها مطابقة لما سبق. معادلة جديدة صاغها أويلر هي: ^{[ 10 ]}

$\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}$

حيث I هو موتر عزم القصور الذاتي .

الحركة المستوية العامة

يمكن استخدام المعادلات السابقة للحركة المستوية هنا: ويمكن استنتاج نتائج الزخم، والزخم الزاوي، وما إلى ذلك مباشرةً بتطبيق التعريفات المذكورة أعلاه. بالنسبة لأي جسم يتحرك في أي مسار في مستوى،

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}$

تنطبق النتائج العامة التالية على الجسيم.

علم الحركة	الديناميكيات
موضع $\mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r,\theta ,t\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}$
سرعة $\mathbf {v} ={\hat {\mathbf {r} }}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}$	دَفعَة $\mathbf {p} =m\left({\hat {\mathbf {r} }}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}\right)$ الزخم الزاوي $\mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \left({\hat {\mathbf {r} }}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}\right)$
تسريع $\mathbf {a} =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{{\rm {d}}t}}\right){\hat {\mathbf {\theta } }}$	القوة المركزية هي $\mathbf {F} _{\bot }=-m\omega ^{2}R{\hat {\mathbf {r} }}=-\omega ^{2}\mathbf {m}$ حيث m هي عزم الكتلة، وقوة كوريوليس هي $\mathbf {F} _{c}=2\omega m{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}t}}{\hat {\mathbf {\theta } }}=2\omega mv{\hat {\mathbf {\theta } }}$ يمكن أيضًا كتابة تسارع وقوة كوريوليس على النحو التالي: $\mathbf {F} _{c}=m\mathbf {a} _{c}=-2m{\boldsymbol {\omega \times v}}$

حركة القوى المركزية

بالنسبة لجسم ضخم يتحرك في مجال جهد مركزي بسبب جسم آخر، والذي يعتمد فقط على المسافة الشعاعية بين مركزي كتلة الجسمين، فإن معادلة الحركة هي:

${\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )$

معادلات الحركة (التسارع الثابت)

لا يمكن استخدام هذه المعادلات إلا عندما يكون التسارع ثابتًا. أما إذا لم يكن التسارع ثابتًا، فيجب استخدام معادلات التفاضل والتكامل العامة المذكورة أعلاه، والتي يتم إيجادها بتكامل تعريفات الموضع والسرعة والتسارع (انظر أعلاه).

الحركة الخطية	الحركة الزاوية
$\mathbf {v-v_{0}} =\mathbf {a} t$	${\boldsymbol {\omega -\omega _{0}}}={\boldsymbol {\alpha }}t$
$\mathbf {x-x_{0}} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {v_{0}+v} )t$	${\boldsymbol {\theta -\theta _{0}}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {\omega _{0}+\omega }})t$
$\mathbf {x-x_{0}} =\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}$	${\boldsymbol {\theta -\theta _{0}}}={\boldsymbol {\omega }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\alpha }}t^{2}$
$\mathbf {x-x_{0}} =\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}$	${\boldsymbol {\theta -\theta _{0}}}={\boldsymbol {\omega }}t-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\alpha }}t^{2}$
$\mathbf {x} _{n^{th}}=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} (n-{\tfrac {1}{2}})$	${\boldsymbol {\theta }}_{n^{th}}={\boldsymbol {\omega }}_{0}+{\boldsymbol {\alpha }}(n-{\tfrac {1}{2}})$
$v^{2}-v_{0}^{2}=2\mathbf {a(x-x_{0})}$	$\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}=2{\boldsymbol {\alpha (\theta -\theta _{0})}}$

تحويلات الإطار الجاليلي

بالنسبة للميكانيكا الكلاسيكية (غاليليو-نيوتن)، فإن قانون التحويل من إطار مرجعي قصوري أو متسارع (بما في ذلك الدوران) (إطار مرجعي يتحرك بسرعة ثابتة - بما في ذلك الصفر) إلى آخر هو التحويل الغاليلي.

تشير الكميات غير المميزة بعلامة (') إلى الموضع والسرعة والتسارع في إطار مرجعي F؛ بينما تشير الكميات المميزة بعلامة (') إلى الموضع والسرعة والتسارع في إطار مرجعي آخر F' يتحرك بسرعة انتقالية V أو سرعة زاوية Ω بالنسبة إلى F. وبالعكس، يتحرك F بسرعة ( -V أو -Ω ) بالنسبة إلى F'. وينطبق الأمر نفسه على التسارعات النسبية.

حركة الكيانات	الأطر المرجعية العطالية	إطارات متسارعة
ترجمة V = سرعة نسبية ثابتة بين إطارين مرجعيين قصوريين F و F'. A = تسارع نسبي (متغير) بين إطارين مرجعيين متسارعين F و F'.	الموقع النسبي $\mathbf {r} '=\mathbf {r} +\mathbf {V} t$ السرعة النسبية $\mathbf {v} '=\mathbf {v} +\mathbf {V}$ التسارعات المكافئة $\mathbf {a} '=\mathbf {a}$	التسارعات النسبية $\mathbf {a} '=\mathbf {a} +\mathbf {A}$ قوى ظاهرية/وهمية $\mathbf {F} '=\mathbf {F} -\mathbf {F} _{\mathrm {app} }$
تناوب Ω = سرعة زاوية نسبية ثابتة بين إطارين مرجعيين F و F'. Λ = تسارع زاوي نسبي (متغير) بين إطارين مرجعيين متسارعين F و F'.	الوضع الزاوي النسبي $\theta '=\theta +\Omega t$ السرعة النسبية ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\Omega }}$ التسارعات المكافئة ${\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}$	التسارعات النسبية ${\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\Lambda }}$ عزم الدوران الظاهري/الوهمي ${\boldsymbol {\tau }}'={\boldsymbol {\tau }}-{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {app} }$
	تحويل أي متجه T إلى إطار دوار ${\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} '}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} }{{\rm {d}}t}}-{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {T}$

المذبذبات الميكانيكية

تشير SHM وDHM وSHO وDHO على التوالي إلى الحركة التوافقية البسيطة، والحركة التوافقية المخمدة، والمذبذب التوافقي البسيط، والمذبذب التوافقي المخمد.

معادلات الحركة
الوضع البدني	التسمية	المعادلات الانتقالية	المعادلات الزاوية
SHM	x = الإزاحة العرضية θ = الإزاحة الزاوية أ = السعة المستعرضة Θ = السعة الزاوية	${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}x$ حل: $x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}\theta$ حل: $\theta =\Theta \sin \left(\omega t+\phi \right)$
DHM غير قسري	b = ثابت التخميد κ = ثابت الالتواء	${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}x=0$ الحل (انظر أدناه لـ ω' ): $x=Ae^{-bt/2m}\cos \left(\omega '\right)$ التردد الرنيني: $\omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {b}{4m}}\right)^{2}}}$ معدل التخميد: $\gamma =b/m$ العمر المتوقع للإثارة: $\tau =1/\gamma$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}\theta =0$ حل: $\theta =\Theta e^{-\kappa t/2m}\cos \left(\omega \right)$ التردد الرنيني: $\omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {\kappa }{4m}}\right)^{2}}}$ معدل التخميد: $\gamma =\kappa /m$ العمر المتوقع للإثارة: $\tau =1/\gamma$

الترددات الزاوية
الوضع البدني	التسمية	المعادلات
مذبذب نموذجي خطي غير مخمد وغير قسري	k = ثابت الزنبرك m = كتلة الثقل المتذبذب	$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$
DHO الخطي غير القسري	k = ثابت الزنبرك b = معامل التخميد	$\omega '={\sqrt {{\frac {k}{m}}-\left({\frac {b}{2m}}\right)^{2}}}$
مذبذب توافقي زاوي منخفض السعة	I = عزم القصور الذاتي حول محور التذبذب κ = ثابت الالتواء	$\omega ={\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}$
بندول بسيط ذو سعة منخفضة	L = طول البندول g = تسارع الجاذبية Θ = السعة الزاوية	القيمة التقريبية $\omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}$ يمكن إثبات أن القيمة الدقيقة هي: $\omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\prod _{n=1}^{k}\left(2n-1\right)}{\prod _{n=1}^{m}\left(2n\right)}}\sin ^{2n}\Theta \right]$

الطاقة في التذبذبات الميكانيكية
الوضع البدني	التسمية	المعادلات
طاقة SHM	T = الطاقة الحركية U = طاقة الوضع الطاقة الكلية = E	الطاقة الكامنة $U={\frac {m}{2}}\left(x\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\cos ^{2}(\omega t+\phi )$ القيمة القصوى عند x = A : $U_{\mathrm {max} }={\frac {m}{2}}\left(\omega A\right)^{2}$ الطاقة الحركية $T={\frac {\omega ^{2}m}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\sin ^{2}\left(\omega t+\phi \right)$ إجمالي الطاقة $E=T+U$
طاقة DHM		$E={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}e^{-bt/m}$

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ ماير، سوسمان وويزدم 2001 ، ص. 13
↑ بيركشاير وكيبيل 2004 ، ص 1
↑ بيركشاير وكيبيل 2004 ، ص 2
↑ أرنولد 1989 ، ص. 5
↑ " القسم: العزوم ومركز الكتلة " .
↑ آر بي فاينمان؛ آر بي لايتون؛ إم ساندز (1964). محاضرات فاينمان في الفيزياء (المجلد 2) . أديسون-ويسلي. الصفحات 31-37 . ISBN 978-0-201-02117-2.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ "النسبية، جيه آر فورشو 2009"
↑ "الميكانيكا، د. كليبنر 2010"
↑ "النسبية، جيه آر فورشو 2009"
↑ "النسبية، جيه آر فورشو 2009"

مراجع

أرنولد، فلاديمير آي. (1989)، الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية (الطبعة الثانية )، سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-96890-2
بيركشاير، فرانك هـ.؛ كيبل ، تي دبليو بي (2004)، الميكانيكا الكلاسيكية (الطبعة الخامسة )، مطبعة إمبريال كوليدج، رقم ISBN 978-1-86094-435-2
ماير، مينهارد إي.؛ سوسمان، جيرارد جيه.؛ ويزدوم، جاك (2001)، بنية وتفسير الميكانيكا الكلاسيكية ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، رقم ISBN 978-0-262-19455-6

[1] ماير، سوسمان وويزدم 2001 ، ص. 13

[2] بيركشاير وكيبيل 2004 ، ص 1

[3] بيركشاير وكيبيل 2004 ، ص 2

[4] أرنولد 1989 ، ص. 5

[5] " القسم: العزوم ومركز الكتلة " .

[6] آر بي فاينمان؛ آر بي لايتون؛ إم ساندز (1964). محاضرات فاينمان في الفيزياء (المجلد 2) . أديسون-ويسلي. الصفحات 31-37 . ISBN 978-0-201-02117-2.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[7] "النسبية، جيه آر فورشو 2009"

[8] "الميكانيكا، د. كليبنر 2010"

[9] "النسبية، جيه آر فورشو 2009"

[10] "النسبية، جيه آر فورشو 2009"

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ].

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗