نظرية مجال ليوفيل

الطيف​${\displaystyle {\mathcal {S}}}$نظرية ليوفيل هي عبارة عن تركيبة قطرية من وحدات فيرما لجبر فيراسورو ،

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,}$

أين${\displaystyle {\mathcal {V}} _ {\Delta }}$و${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$يشيران إلى نفس وحدة فيرما، باعتبارها تمثيلاً لجبر فيراسورو المتحرك لليسار واليمين على التوالي. البعد المطابق${\displaystyle \Delta }$يأخذ قيمًا${\displaystyle \Delta \in {\tfrac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$، وهو ما يتعلق بالزخم${\displaystyle \alpha }$يبلغ المبلغ

${\displaystyle \alpha \in {\frac {Q}{2}}+iP\qquad {\text{with}}\qquad P\in \mathbb {R} _{+}.}$

إن علاقة الانعكاس هي المسؤولة عن أخذ الزخم قيمًا على نصف خط، بدلاً من خط كامل لنظرية حرة.

تكون نظرية ليوفيل وحدوية إذا وفقط إذا${\displaystyle c\in (1,+\infty )}$لا يشمل طيف نظرية ليوفيل حالة الفراغ . يمكن تعريف حالة الفراغ، لكنها لا تُسهم في توسيعات ناتج المؤثرات .

في نظرية ليوفيل، عادةً ما يتم تحديد الحقول الأولية بواسطة زخمها بدلاً من بُعدها المطابق ، ويُشار إليها بـ${\displaystyle V_{P}(z)}$كلا المجالين${\displaystyle V_{P}(z)}$و${\displaystyle V_{-P}(z)}$يتوافق مع الحالة الأساسية للتمثيل${\displaystyle {\mathcal {V}} _ {\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}} _ {\Delta }}$وترتبط هذه العناصر بعلاقة الانعكاس.

${\displaystyle V_{P}(z)=R_{P}V_{-P}(z)\ ,}$

حيث يكون معامل الانعكاس ^{[ 1 ]}

${\displaystyle R_{P}=\pm \lambda ^{-2iP}{\frac {\Gamma (2ibP)\Gamma (2ib^{-1}P)}{\Gamma (-2ibP)\Gamma (-2ib^{-1}P)}}\ .}$

(اللافتة هي)${\displaystyle +1}$لو${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$و${\displaystyle -1}$وإلا، ومعامل التطبيع${\displaystyle \lambda }$(أمر اعتباطي.)

ل${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$، يتم إعطاء ثابت البنية ثلاثي النقاط بواسطة صيغة DOZZ (لـ Dorn–Otto ^{[ 2 ]} و Zamolodchikov–Zamolodchikov ^{[ 3 ]} )،

${\displaystyle C_{P_{1},P_{2},P_{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{-{\frac {Q}{2}}-i(P_{1}+P_{2}+P_{3})}\Upsilon _{b}'(0)\prod _{j=1}^{3}\Upsilon _{b}(-2iP_{j})}{\prod _{\pm ,\pm }\Upsilon _{b}({\frac {Q}{2}}+iP_{1}\pm iP_{2}\pm iP_{3})}}\ ,}$

حيث الوظيفة الخاصة${\displaystyle \Upsilon _{b}}$هي نوع من أنواع دوال غاما المتعددة .

ل${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$، ثابت البنية ثلاثية النقاط هو ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {C}}_{P_{1},P_{2},P_{3}}={\frac {\left[\beta ^{2(\beta +\beta ^{-1})}\lambda ^{-i}\right]^{{\frac {\beta ^{-1}-\beta }{2}}+P_{1}+P_{2}+P_{3}}\prod _{\pm ,\pm }\Upsilon _{\beta }({\frac {\beta +\beta ^{-1}}{2}}+P_{1}\pm P_{2}\pm P_{3})}{\Upsilon _{\beta }(\beta ^{-1})\prod _{j=1}^{3}\Upsilon _{\beta }(\beta ^{-1}+2P_{j})}}\ ,}$

أين

${\displaystyle \beta =ib\in \mathbb {R} \ .}$

${\displaystyle N}$يمكن التعبير عن دوال النقاط على الكرة بدلالة ثوابت البنية ثلاثية النقاط، والكتل المطابقة .${\displaystyle N}$قد يكون لدالة النقطة عدة تعابير مختلفة: إن توافقها يكافئ تناظر التقاطع لدالة النقاط الأربع، وهو ما تم التحقق منه عدديًا ^{[ 3 ] [ 4 ]} وإثباته تحليليًا. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

دالة النقطة N للكرة${\displaystyle \left\langle \prod _{j=1}^{N}V_{P_{j}}(z_{j})\right\rangle }$هي دالة ميرومورفية لـ${\displaystyle P_{j}}$. ل${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$أقطابها عند${\displaystyle i\sum _{j=1}^{N}\epsilon _{j}P_{j}\in {\tfrac {N-2}{2}}Q+\mathbb {N} b+\mathbb {N} b^{-1}}$لأي${\displaystyle \epsilon _{j}=\pm }$[ ^{7 ] (} تكون هذه الأقطاب بسيطة إذا لم تتطابق.) لـ${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$يعود سبب وجود الأقطاب إلى عوامل${\displaystyle {\frac {1}{\Upsilon _{\beta }(\beta ^{-1}+2P_{j})}}}$ويمكن إزالتها عن طريق إعادة تطبيع المجال.

تتحول دالة النقاط الأربع للكرة بشكل متغاير تحت ^{[ 7 ]}

${\displaystyle P_{1}\mapsto P_{\Sigma }\quad ,\quad P_{j}{\underset {j=2,3,4}{\mapsto }}P_{1}+P_{j}-P_{\Sigma }\quad {\text{with}}\quad P_{\Sigma }={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{4}P_{j}\ .}$

أي في ظل هذا التحول، لـ${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$، ما يلي ثابت:

${\displaystyle \left(\prod _{j<k}|z_{j}-z_{k}|^{2P_{j}^{2}+2P_{k}^{2}}\right)\left(\prod _{j=1}^{4}{\frac {1}{\Upsilon _{b}(-2iP_{j})}}\right)\left\langle \prod _{j=1}^{4}V_{P_{j}}(z_{j})\right\rangle \ .}$

لا تقتصر نظرية ليوفيل على الكرة فحسب، بل توجد أيضًا على أي سطح ريمان من النوع${\displaystyle g\geq 1}$من الناحية التقنية، يُعادل هذا الثبات المعياري لدالة النقطة الواحدة على السطح الحلقي . ونظرًا للتطابقات الملحوظة بين الكتل المطابقة وثوابت البنية، يُمكن استنتاج خاصية الثبات المعياري هذه من تناظر التقاطع لدالة النقاط الأربع على الكرة. ^{[ 8 ] [ 4 ]}

باستخدام نهج التمهيد المطابق ، يمكن إثبات أن نظرية ليوفيل هي نظرية المجال المطابق الفريدة بحيث ^{[ 1 ]}

• الطيف عبارة عن سلسلة متصلة، لا توجد فيها تعددية أعلى من واحد.
• تعتمد دوال الارتباط تحليليًا على${\displaystyle b}$والزخم.

تُعرَّف نظرية ليوفيل من خلال الفعل المحلي

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi +QR\varphi +\lambda 'e^{2b\varphi })\ ,}$

أين${\displaystyle g_{\mu \nu }}$هو مقياس الفضاء ثنائي الأبعاد الذي تُصاغ عليه النظرية،${\displaystyle R}$هو مقياس ريتشي لتلك المساحة، و${\displaystyle \varphi }$هو حقل ليوفيل. المعامل${\displaystyle \lambda '}$يرتبط هذا، والذي يُطلق عليه أحيانًا اسم الثابت الكوني، بالمعامل${\displaystyle \lambda }$يظهر ذلك في دوال الارتباط بواسطة

${\displaystyle \lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}.}$

معادلة الحركة المرتبطة بهذا الفعل هي

${\displaystyle \Delta \varphi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\varphi (x)}\ ,}$

أين${\displaystyle \Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })}$هو مؤثر لابلاس-بيلترامي . إذا${\displaystyle g_{\mu \nu }}$إذا كانت هي المقياس الإقليدي ، فإن هذه المعادلة تختزل إلى

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\varphi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\varphi (x_{1},x_{2})}\ ,}$

وهو ما يعادل معادلة ليوفيل .

بمجرد ضغطها على أسطوانة، يمكن صياغة نظرية حقل ليوفيل بشكل مكافئ كنظرية خط العالم. ^{[ 9 ]}

باستخدام نظام إحداثيات معقد${\displaystyle z}$ومقياس إقليدي

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}},}$

تخضع مكونات موتر الطاقة والزخم لـ

${\displaystyle T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\;,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\;,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .}$

المكونات غير المتلاشية هي

${\displaystyle T=T_{zz}=(\partial _{z}\varphi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\varphi \;,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\varphi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\varphi \ .}$

يُنتج كلٌّ من هذين المكونين جبر فيراسورو مع الشحنة المركزية

${\displaystyle c=1+6Q^{2}.}$

بالنسبة لكلا جبر فيراسورو هذين، حقل${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$هو حقل أساسي ذو بُعد توافقي

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha ).}$

لكي تتمتع النظرية بالثبات المطابق ، فإن المجال${\displaystyle e^{2b\varphi }}$يجب أن يكون العنصر الذي يظهر في الفعل هامشيًا ، أي أن يكون له بُعد توافقي

${\displaystyle \Delta (b)=1.}$

وهذا يؤدي إلى العلاقة

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}}$

بين الشحنة الخلفية وثابت الاقتران. إذا تحققت هذه العلاقة، فإن${\displaystyle e^{2b\varphi }}$في الواقع، هي هامشية تمامًا، والنظرية ثابتة توافقيًا.

تمثيل التكامل المساري لـ${\displaystyle N}$دالة الارتباط النقطي للحقول الأولية هي

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\varphi \ e^{-S[\varphi ]}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\varphi (z_{i})}\ .}$

لقد كان من الصعب تعريف وحساب هذا التكامل المساري. في تمثيل التكامل المساري، ليس من الواضح أن نظرية ليوفيل تتمتع بثبات توافقي تام ، وليس من الجلي أن دوال الارتباط ثابتة تحت تأثير التحويلات.${\displaystyle b\to b^{-1}}$وتخضع لعلاقة الانعكاس. مع ذلك، يمكن استخدام تمثيل التكامل المساري لحساب بواقي دوال الارتباط عند بعض أقطابها كتكاملات دوتسينكو-فاتيف في صيغة غاز كولوم ، وهكذا تم التوصل إلى صيغة DOZZ لأول مرة في تسعينيات القرن الماضي. ولم يتم التوصل إلى بناء احتمالي دقيق للتكامل المساري إلا في العقد الثاني من القرن الحادي والعشرين، مما أدى إلى إثبات صيغة DOZZ ^{[ 10 ]} وتقنية التمهيد المطابق ^{[ 6 ] [ 11 ] .}

عندما يتم إرسال الشحنة المركزية والأبعاد المطابقة إلى القيم المنفصلة ذات الصلة، فإن دوال الارتباط لنظرية ليوفيل تختزل إلى دوال ارتباط لنماذج فيراسورو الدنيا القطرية (سلسلة A ) . ^{[ 1 ]}

من جهة أخرى، عندما تُرسل الشحنة المركزية إلى واحد مع بقاء الأبعاد المطابقة متصلة، فإن نظرية ليوفيل تميل إلى نظرية رونكل-واتس، وهي نظرية حقل مطابقة غير تافهة ذات طيف متصل، ودالة النقاط الثلاث فيها ليست تحليلية كدالة للزخم. ^{[ 12 ]} تُستنتج تعميمات نظرية رونكل-واتس من نظرية ليوفيل بأخذ نهايات من النوع${\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}$[ ^{4 ]} لذلك، من ^أجل${\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}$، هناك نظريتان مختلفتان لنظريات الحقل المطابق (CFT) لهما نفس الطيف: نظرية ليوفيل، التي تكون دالة النقاط الثلاث الخاصة بها تحليلية، ونظرية حقل مطابق أخرى ذات دالة نقاط ثلاث غير تحليلية.

يمكن الحصول على نظرية ليوفيل من${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$نموذج ويس-زومينو-ويتن باستخدام اختزال درينفيلد-سوكولوف الكمي . علاوة على ذلك، دوال الارتباط لـ${\displaystyle H_{3}^{+}}$النموذج (النسخة الإقليدية من${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$يمكن التعبير عن نموذج WZW بدلالة دوال الارتباط لنظرية ليوفيل. ^{[ 13 ] [ 14 ]} وينطبق هذا أيضًا على دوال الارتباط للثقب الأسود ثنائي الأبعاد${\displaystyle SL_{2}/U_{1}}$نموذج المجموعة المشتركة. ^{[ 13 ]} علاوة على ذلك، توجد نظريات تربط باستمرار بين نظرية ليوفيل و${\displaystyle H_{3}^{+}}$نموذج. ^{[ 15 ]}

تُعد نظرية ليوفيل أبسط مثال على نظرية مجال تودا ، المرتبطة بـ${\displaystyle A_{1}}$مصفوفة كارتان . يمكن اعتبار نظريات تودا المطابقة الأكثر عمومية تعميمات لنظرية ليوفيل، التي تتضمن لاغرانجياتها عدة بوزونات بدلاً من بوزون واحد.${\displaystyle \varphi }$، والتي تكون جبر التناظر الخاص بها هي جبر W بدلاً من جبر فيراسورو.

تقبل نظرية ليوفيل امتدادين مختلفين للتناظر الفائق يُطلق عليهما${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$نظرية ليوفيل المتناظرة الفائقة و${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$نظرية ليوفيل المتناظرة الفائقة. ^{[ 16 ]}

في الفضاء المسطح، يتم تعريف نموذج sinh-Gordon بواسطة الفعل المحلي:

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\left(\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi +\lambda \cosh(2b\varphi )\right).}$

معادلة الحركة الكلاسيكية المقابلة هي معادلة سينه-غوردون . يمكن اعتبار النموذج بمثابة اضطراب لنظرية ليوفيل. مصفوفة التشتت (S-matrix) الدقيقة للنموذج معروفة في نظام الاقتران الضعيف.${\displaystyle 0<b<1}$وهو ثابت شكليًا تحت${\displaystyle b\to b^{-1}}$ومع ذلك، فقد قيل إن النموذج نفسه ليس ثابتاً. ^{[ 17 ]}

في بُعدين، يمكن استخدام نظرية ليوفيل لبناء نظرية كمومية للجاذبية تُسمى جاذبية ليوفيل. يجب عدم الخلط بينها وبين نموذج CGHS أو جاذبية جاكيو-تيتلبوم ^{[ 18 ] [ 19 ]} .

في بُعدين، يكون فعل أينشتاين-هيلبرت طوبولوجيًا، أي أنه يتناسب مع خاصية أويلر . ومع ذلك، بعد التكميم، لم تعد النسبية العامة طوبولوجية، بسبب شذوذ فايل : في ظل إعادة قياس المقياس${\displaystyle g\mapsto e^{\phi }g}$بينما يكون الفعل ثابتًا، فإن مقياس التكامل الوظيفي ليس كذلك، وينتج عنه حد يتناسب مع فعل ليوفيل لـ${\displaystyle \phi }$يؤدي هذا إلى بناء جاذبية ليوفيل كناتج لثلاث نظريات حقلية مطابقة: نظرية ليوفيل للقطاع الجاذبي، وأشباح فاديف-بوبوف لثبات فايل (باعتبارها تناظرًا قياسيًا)، ونظرية حقلية مطابقة اختيارية تصف المادة. يجب أن يكون مجموع الشحنات المركزية لهذه النظريات الحقلية المطابقة مساويًا للصفر لإلغاء شذوذ فايل، ولضمان أن تكون النظرية الكمومية طوبولوجية. ^{[ 16 ]}

الكميات القابلة للرصد في جاذبية ليوفيل هي أعداد الارتباط: دوال الارتباط لحاصل ضرب نظرية الحقول المطابقة، مُكاملة على المعاملات. يمكن حساب أعداد الارتباط بشكل صريح في بعض الأمثلة، مثل سلسلة فيراسورو الدنيا. ^{[ 20 ]} أعداد الارتباط عند خاصية أويلر ثابتة هي معاملات مُرتبطات الجاذبية الكمومية، عند توسيعها بدلالة قوى ثابت الجاذبية .

تظهر نظرية ليوفيل في سياق نظرية الأوتار عند محاولة صياغة نسخة غير حرجة منها باستخدام صيغة التكامل المساري . ^{[ 21 ]} كما تظهر النظرية أيضًا كوصف لنظرية الأوتار البوزونية في بُعدين من الزمكان مع وجود ديلاتون خطي وخلفية تاكيونية . تتطلب معادلة حركة حقل التاكيون في خلفية الديلاتون الخطي أن تأخذ حلاً أُسّيًا. يكون فعل بولياكوف في هذه الخلفية مطابقًا لنظرية حقل ليوفيل، حيث يكون الديلاتون الخطي مسؤولاً عن حد الشحنة الخلفية، بينما يساهم التاكيون بالجهد الأُسّي. ^{[ 22 ]}

توجد علاقة دقيقة بين نظرية ليوفيل و${\displaystyle c\geq 25}$وبعض نماذج الطاقة العشوائية المرتبطة لوغاريتميًا . ^{[ 23 ]} تصف هذه النماذج جسيمًا حراريًا في جهد عشوائي مرتبط لوغاريتميًا. في بُعدين، يتطابق هذا الجهد مع الحقل الحر الغاوسي . في هذه الحالة، تُحوّل بعض دوال الارتباط بين الحقول الأولية في نظرية ليوفيل إلى دوال ارتباط مقياس جيبس ​​للجسيم. ولهذا تطبيقات في إحصاءات القيم القصوى للحقل الحر الغاوسي ثنائي الأبعاد، ويسمح بالتنبؤ ببعض الخصائص العامة لنماذج الطاقة العشوائية المرتبطة لوغاريتميًا (في بُعدين وما بعدهما).

ترتبط نظرية ليوفيل بمواضيع أخرى في الفيزياء والرياضيات، مثل النسبية العامة ثلاثية الأبعاد في الفضاءات ذات الانحناء السالب ، ومسألة توحيد أسطح ريمان ، ومسائل أخرى في التحويل المطابق . كما ترتبط أيضًا بدوال تقسيم الإنستانتون في نظريات قياس فائقة المطابقة رباعية الأبعاد معينة من خلال تناظر AGT .