توزيع ماكسويل-بولتزمان

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 116 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء (وخاصة في الميكانيكا الإحصائية )، فإن توزيع ماكسويل-بولتزمان ، أو توزيع ماكسويل (أو ماكسويل) ، هو توزيع احتمالي معين سمي على اسم جيمس كليرك ماكسويل ولودفيج بولتزمان .

تم تعريف هذا المفهوم واستخدامه لأول مرة لوصف سرعات الجسيمات في الغازات المثالية ، حيث تتحرك الجسيمات بحرية داخل وعاء ثابت دون تفاعل فيما بينها، باستثناء تصادمات قصيرة جدًا تتبادل فيها الطاقة والزخم مع بعضها البعض أو مع بيئتها الحرارية. يشير مصطلح "الجسيم" في هذا السياق إلى الجسيمات الغازية فقط ( الذرات أو الجزيئات )، ويُفترض أن نظام الجسيمات قد وصل إلى حالة التوازن الديناميكي الحراري . [ 1 ] تخضع طاقات هذه الجسيمات لما يُعرف بإحصاءات ماكسويل-بولتزمان ، ويُستنتج التوزيع الإحصائي للسرعات من خلال مساواة طاقات الجسيمات بالطاقة الحركية .

رياضيًا، يُعد توزيع ماكسويل-بولتزمان توزيع كاي بثلاث درجات حرية (مكونات متجه السرعة في الفضاء الإقليدي )، مع معامل قياس يقيس السرعات بوحدات تتناسب مع الجذر التربيعي لـتي/م{\displaystyle T/m}(نسبة درجة الحرارة إلى كتلة الجسيمات). [ 2 ]

يُعدّ توزيع ماكسويل-بولتزمان نتاجًا لنظرية الحركة الجزيئية للغازات ، التي تُقدّم تفسيرًا مُبسّطًا للعديد من الخصائص الأساسية للغازات، بما في ذلك الضغط والانتشار. [ 3 ] ينطبق توزيع ماكسويل -بولتزمان أساسًا على سرعات الجسيمات في ثلاثة أبعاد، ولكنه يعتمد فقط على سرعة الجسيمات ( مقدار السرعة). يُشير توزيع احتمالية سرعة الجسيمات إلى السرعات الأكثر ترجيحًا: فجسيم مُختار عشوائيًا ستكون سرعته مُختارة عشوائيًا من التوزيع، ويكون احتمال وجوده ضمن نطاق سرعات مُعيّن أكبر من غيره. تنطبق نظرية الحركة الجزيئية للغازات على الغاز المثالي الكلاسيكي ، وهو نموذج مثالي للغازات الحقيقية. في الغازات الحقيقية، توجد تأثيرات مُختلفة (مثل تفاعلات فان دير فالس ، والتدفق الدوامي ، وحدود السرعة النسبية ، وتفاعلات التبادل الكمومي ) التي يُمكن أن تجعل توزيع سرعتها مُختلفًا عن شكل ماكسويل-بولتزمان. مع ذلك، تتصرف الغازات المخففة عند درجات الحرارة العادية بشكل قريب جدًا من الغاز المثالي، ويُعد توزيع سرعة ماكسويل تقريبًا ممتازًا لهذه الغازات. وينطبق هذا أيضًا على البلازما المثالية ، وهي غازات متأينة ذات كثافة منخفضة بما فيه الكفاية. [ 4 ]

اشتق ماكسويل هذا التوزيع لأول مرة عام 1860 استنادًا إلى أسس استدلالية . [ 5 ] [ 6 ] وفي وقت لاحق، في سبعينيات القرن التاسع عشر، أجرى بولتزمان دراسات معمقة حول الأصول الفيزيائية لهذا التوزيع. ويمكن اشتقاق هذا التوزيع انطلاقًا من كونه يُعظّم إنتروبيا النظام. وفيما يلي قائمة بالاشتقاقات:

  1. توزيع احتمالية الإنتروبيا القصوى في فضاء الطور، مع مراعاة قيد حفظ متوسط ​​الطاقة⟨ح⟩=هـ؛{\displaystyle \langle H\rangle =E;}
  2. المجموعة الكنسية .

دالة التوزيع

بالنسبة لنظام يحتوي على عدد كبير من الجسيمات الكلاسيكية المتطابقة غير المتفاعلة وغير النسبية في حالة توازن ديناميكي حراري، فإن نسبة الجسيمات الموجودة داخل عنصر متناهي الصغر من فضاء السرعة ثلاثي الأبعاد d 3 v ، والمتمركز حول متجه سرعةv{\displaystyle \mathbf {v} }من حيث الحجمv{\displaystyle v}، يتم تحديده بواسطة و(v) د3v=[م2πكبتي]3/2خبرة⁡(-مv22كبتي) د3v،{\displaystyle f(\mathbf {v} )~d^{3}\mathbf {v} ={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~d^{3}\mathbf {v} ,} أين:

دوال كثافة احتمالية السرعة لبعض الغازات النبيلة عند درجة حرارة 298.15  كلفن (25  درجة مئوية). المحور الرأسي بوحدة ثانية/متر، لذا فإن المساحة تحت أي جزء من المنحنى (والتي تمثل احتمالية أن تكون السرعة ضمن هذا النطاق) لا بُعدية.

يمكن كتابة عنصر فضاء السرعة على النحو التالي:د3v=دvxدvyدvz{\displaystyle d^{3}\mathbf {v} =dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}}، بالنسبة للسرعات في نظام إحداثيات ديكارتية قياسي، أو كماد3v=v2دvدΩ{\displaystyle d^{3}\mathbf {v} =v^{2}\,dv\,d\Omega }في نظام إحداثيات كروي قياسي، حيثدΩ=الخطيئة⁡θ دϕ دθ{\displaystyle d\Omega =\sin {\theta }~d\phi ~d\theta }هو عنصر من عناصر الزاوية المجسمة وv2=|v|2=vx2+vy2+vz2{\textstyle v^{2}=|\mathbf {v} |^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}.

بدلاً من ذلك، يمكن كتابة دالة التوزيع في فضاء الزخم على النحو التالي:و(ص)د3ص=[12πمكبتي]3/2خبرة⁡(-ص22مكبتي)د3ص{\displaystyle f(\mathbf {p} )\,d^{3}\mathbf {p} =\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {p^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)\,d^{3}\mathbf {p} }أينص=مv{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }هو متجه الزخم.

دالة توزيع ماكسويل للجسيمات التي تتحرك في اتجاه واحد فقط، إذا كان هذا الاتجاه هو x ، هي توزيع طبيعي بانحراف معياري قدرهكبتي/م{\textstyle {\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}}: و(vx) دvx=م2πكبتيخبرة⁡(-مvx22كبتي) دvx،{\displaystyle f(v_{x})~dv_{x}={\sqrt {\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}}\,\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~dv_{x},} والتي يمكن الحصول عليها عن طريق تكامل الشكل ثلاثي الأبعاد المذكور أعلاه على v y و v z .

إدراك تناظرو(v){\displaystyle f(v)}، يمكن للمرء أن يكامل على الزاوية الصلبة ويكتب توزيع احتمالية السرعات كدالة [ 7 ]

و(v)=[م2πكبتي]3/24πv2خبرة⁡(-مv22كبتي).{\displaystyle f(v)={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}

تُعطي دالة كثافة الاحتمال هذه احتمالية وجود الجسيم بسرعة قريبة من v ، لكل وحدة سرعة . هذه المعادلة هي ببساطة توزيع ماكسويل-بولتزمان (الموضح في مربع المعلومات) بمعامل التوزيع.أ=كبتي/م.{\textstyle a={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}\,.} يُكافئ توزيع ماكسويل-بولتزمان توزيع كاي بثلاث درجات حرية ومعامل مقياسأ=كبتي/م.{\textstyle a={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}\,.}

أبسط معادلة تفاضلية عادية تحققها هذه التوزيعة هي: 0=كبتيvو′(v)+و(v)(مv2-2كبتي)،و(1)=2π[مكبتي]3/2خبرة⁡(-م2كبتي)؛{\displaystyle {\begin{aligned}0&=k_{\text{B}}Tvf'(v)+f(v)\left(mv^{2}-2k_{\text{B}}T\right),\\[4pt]f(1)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\exp \left(-{\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right);\end{aligned}}}

أو في عرض بدون وحدات :0=أ2xو′(x)+(x2-2أ2)و(x)،و(1)=1أ32πخبرة⁡(-12أ2).{\displaystyle {\begin{aligned}0&=a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x),\\[4pt]f(1)&={\frac {1}{a^{3}}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2a^{2}}}\right).\end{aligned}}} باستخدام طريقة داروين-فاولر للقيم المتوسطة، يتم الحصول على توزيع ماكسويل-بولتزمان كنتيجة دقيقة.

محاكاة غاز ثنائي الأبعاد يسترخي باتجاه توزيع سرعة ماكسويل-بولتزمان

الاسترخاء إلى توزيع ماكسويل-بولتزمان ثنائي الأبعاد

بالنسبة للجسيمات المحصورة في الحركة في مستوى، يُعطى توزيع السرعة بواسطة

P(s<|v|<s+دs)=مsكبتيخبرة⁡(-مs22كبتي)دs{\displaystyle P(s<|\mathbf {v} |<s{+}ds)={\frac {ms}{k_{\text{B}}T}}\exp \left(-{\frac {ms^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)ds}

يُستخدم هذا التوزيع لوصف الأنظمة في حالة اتزان. مع ذلك، لا تبدأ معظم الأنظمة في حالة اتزان. يخضع تطور النظام نحو حالة اتزانه لمعادلة بولتزمان . تتنبأ هذه المعادلة بأنه بالنسبة للتفاعلات قصيرة المدى، سيتبع توزيع سرعة الاتزان توزيع ماكسويل-بولتزمان. على اليمين، محاكاة ديناميكيات جزيئية (MD) حيث تُقيد 900 جسيم كروي صلب بالحركة داخل مستطيل. تتفاعل هذه الجسيمات عبر تصادمات مرنة تمامًا . يبدأ النظام خارج حالة الاتزان، لكن توزيع السرعة (باللون الأزرق) يتقارب بسرعة إلى توزيع ماكسويل-بولتزمان ثنائي الأبعاد (باللون البرتقالي). 

السرعات النموذجية

توزيع ماكسويل-بولتزمان للغلاف الجوي الشمسي.
توزيع ماكسويل-بولتزمان الموافق للغلاف الجوي الشمسي. كتل الجسيمات تساوي كتلة بروتون واحد ، m p =1.67 × 10 −27  كجم ≈1 Da  ، ودرجة الحرارة هي درجة الحرارة الفعالة للغلاف الضوئي للشمس ، T = 5800 K.V~{\displaystyle {\tilde {V}}}،V¯{\displaystyle {\bar {V}}}و V rms تمثل السرعات الأكثر احتمالاً، والمتوسطة، والجذر التربيعي المتوسط ​​للسرعات، على التوالي. وقيمها هيV~{\displaystyle {\tilde {V}}}≈9.79  كم/ ثV¯{\displaystyle {\bar {V}}}≈11.05  كم/ث ، و V rms ≈12.00  كم/ ث

متوسط ​​السرعة​⟨v⟩{\displaystyle \langle v\rangle }، والسرعة الأكثر احتمالاً ( النمط ) v p ، وسرعة الجذر التربيعي المتوسط⟨v2⟩{\textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}يمكن الحصول عليها من خصائص توزيع ماكسويل.

يُجدي هذا الأسلوب نفعًا مع الغازات أحادية الذرة شبه المثالية ، مثل الهيليوم ، وكذلك مع الغازات الجزيئية ، مثل الأكسجين ثنائي الذرة. ويعود ذلك إلى أنه على الرغم من السعة الحرارية الأكبر (الطاقة الداخلية الأكبر عند نفس درجة الحرارة) نتيجةً لزيادة عدد درجات الحرية ، فإن طاقة الحركة الانتقالية (وبالتالي سرعتها) تبقى ثابتة. [ 8 ]

  • السرعة الأكثر احتمالاً، v<sub> p</sub> ، هي السرعة التي يُرجح أن تمتلكها أي جزيئة (ذات الكتلة نفسها m ) في النظام، وتُقابل القيمة القصوى أو النمط للدالة f ( v ) . ولإيجادها، نحسب المشتقة .دودv،{\displaystyle {\tfrac {df}{dv}},}اجعلها تساوي صفرًا وقم بحل المعادلة لإيجاد قيمة v :دو(v)دv=-8π[م2πكبتي]3/2v[مv22كبتي-1]خبرة⁡(-مv22كبتي)=0{\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)=0}مع الحل:مvص22كبتي=1؛vص=2كبتيم=2Rتيم{\displaystyle {\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}=1;\quad v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}أين:
    • R هو ثابت الغازات ؛
    • M هي الكتلة المولية للمادة، وبالتالي يمكن حسابها كحاصل ضرب كتلة الجسيم، m ، وثابت أفوجادرو ، N A :م=مشمالأ.{\displaystyle M=mN_{\mathrm {A} }.}

    بالنسبة للنيتروجين ثنائي الذرة ( N2 ، المكون الأساسي للهواء ) [ ملاحظة 1 ] عند درجة حرارة الغرفة (300  كلفن )، وهذا يعطي

    vص≈2⋅8.31ج⋅مoل-1ك-1 300ك0.028كز⋅مoل-1≈422م/s.{\displaystyle v_{\text{p}}\approx {\sqrt {\frac {2\cdot 8.31\,\mathrm {J{\cdot }{mol}^{-1}K^{-1}} \ 300\,\mathrm {K} }{0.028\,\mathrm {{kg}{\cdot }{mol}^{-1}} }}}\approx 422\,\mathrm {m/s} .}
  • متوسط ​​السرعة هو القيمة المتوقعة لتوزيع السرعة، ويحددب=12أ2=م2كبتي{\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}}:⟨v⟩=∫0∞vو(v)دv=4π[بπ]3/2∫0∞v3هـ-بv2دv=4π[بπ]3/212ب2=4πب=8كبتيπم=8Rتيπم=2πvص{\displaystyle {\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\[1ex]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{3/2}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{3/2}{\frac {1}{2b^{2}}}\\[1.4ex]&={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}T}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}}
  • متوسط ​​سرعة المربعات⟨v2⟩{\displaystyle \langle v^{2}\rangle }هو العزم الخام من الدرجة الثانية لتوزيع السرعة. "متوسط ​​الجذر التربيعي للسرعة"vrms{\displaystyle v_{\text{rms}}}يمثل الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربع السرعة، والذي يتوافق مع سرعة جسيم ذي طاقة حركية متوسطة ، حيثب=12أ2=م2كبتي{\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}}:vrms=⟨v2⟩=[∫0∞v2و(v)دv]1/2=[4π(بπ)3/2∫0∞v4هـ-بv2دv]1/2=[4π(بπ)3/238(πب5)1/2]1/2=32ب=3كبتيم=3Rتيم=32vص{\displaystyle {\begin{aligned}v_{\text{rms}}&={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right]^{1/2}\\[1ex]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right]^{1/2}\\[1ex]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}{\frac {3}{8}}\left({\frac {\pi }{b^{5}}}\right)^{1/2}\right]^{1/2}={\sqrt {\frac {3}{2b}}}\\[1ex]&={\sqrt {\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}}

باختصار، ترتبط السرعات النموذجية على النحو التالي: vص≈88.6% ⟨v⟩<⟨v⟩<108.5% ⟨v⟩≈vrms.{\displaystyle v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\text{rms}}.}

ترتبط سرعة الجذر التربيعي المتوسط ​​ارتباطًا مباشرًا بسرعة الصوت c في الغاز، وذلك من خلال ج=γ3 vرمs=و+23و vرمs=و+22و vص،{\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},} أينγ=1+2و{\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}يمثل معامل التمدد الحراري ، و f عدد درجات حرية جزيء الغاز. في المثال أعلاه، جزيء النيتروجين ثنائي الذرة (الذي يقارب الهواء ) عند300  ألف ،و=5{\displaystyle f=5}[ ملاحظة 2 ] و ج=715vرمs≈68% vرمs≈84% vص≈353 م/s،{\displaystyle c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,} يمكن تقريب القيمة الحقيقية للهواء باستخدام متوسط ​​الوزن المولي للهواء (29  جم/مول )، مما ينتج عنه347  م/ث عند300  كلفن (التصحيحات للرطوبة المتغيرة هي من رتبة 0.1٪ إلى 0.6٪).

متوسط ​​السرعة النسبية vrel≡⟨|v1-v2|⟩=∫د3v1د3v2|v1-v2|و(v1)و(v2)=4πكبتيم=2⟨v⟩{\displaystyle {\begin{aligned}v_{\text{rel}}\equiv \langle |\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|\rangle &=\int \!d^{3}\mathbf {v} _{1}\,d^{3}\mathbf {v} _{2}\left|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right|f(\mathbf {v} _{1})f(\mathbf {v} _{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle \end{aligned}}} حيث يكون توزيع السرعة ثلاثي الأبعاد و(v)≡[2πكبتيم]-3/2خبرة⁡(-12مv2كبتي).{\displaystyle f(\mathbf {v} )\equiv \left[{\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{-3/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{k_{\text{B}}T}}\right).}

يمكن إجراء التكامل بسهولة عن طريق التحويل إلى الإحداثياتu=v1-v2{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}}ويو=12(v1+v2).{\textstyle \mathbf {U} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}).}

القيود

يفترض توزيع ماكسويل-بولتزمان أن سرعات الجسيمات الفردية أقل بكثير من سرعة الضوء، أي أنتي≪مج2كب{\displaystyle T\ll {\frac {mc^{2}}{k_{\text{B}}}}}بالنسبة للإلكترونات، يجب أن تكون درجة حرارة الإلكتروناتتيهـ≪5.93×109 ك{\displaystyle T_{e}\ll 5.93\times 10^{9}~\mathrm {K} }للاطلاع على توزيع سرعات الجسيمات النسبية، انظر توزيع ماكسويل-جوتنر .

إحصائيات ماكسويل-بولتزمان

كان الاشتقاق الأصلي الذي قدمه جيمس كلارك ماكسويل عام 1860 حجة مبنية على تصادمات الجزيئات في النظرية الحركية للغازات، بالإضافة إلى بعض التناظرات في دالة توزيع السرعة. كما قدم ماكسويل حجة مبكرة مفادها أن هذه التصادمات الجزيئية تستلزم ميلًا نحو حالة التوازن. [ 5 ] [ 6 ] [ 9 ] بعد ماكسويل، اشتق لودفيج بولتزمان عام 1872 [ 10 ] التوزيع أيضًا على أسس ميكانيكية، وجادل بأن الغازات تميل بمرور الوقت نحو هذا التوزيع، نتيجةً للتصادمات (انظر نظرية H ). ​​ثم اشتق التوزيع مرة أخرى عام 1877 [ 11 ] في إطار الديناميكا الحرارية الإحصائية . تتبع الاشتقاقات الواردة في هذا القسم نهج اشتقاق بولتزمان عام 1877، بدءًا من نتيجة تُعرف باسم إحصاءات ماكسويل-بولتزمان (من الديناميكا الحرارية الإحصائية). تُعطي إحصاءات ماكسويل-بولتزمان متوسط ​​عدد الجسيمات الموجودة في حالة ميكروية معينة لجسيم واحد . في ظل افتراضات معينة، يكون لوغاريتم نسبة الجسيمات في حالة مجهرية معينة خطيًا في نسبة طاقة تلك الحالة إلى درجة حرارة النظام: هناك ثوابتك{\displaystyle k}وج{\displaystyle C}بحيث يكون ذلك، بالنسبة للجميعأنا{\displaystyle i}، -سجل⁡(شمالأناشمال)=1ك⋅هـأناتي+ج.{\displaystyle -\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {E_{i}}{T}}+C.} تفترض هذه المعادلة أن الجسيمات لا تتفاعل، وأنها كلاسيكية؛ وهذا يعني أنه يمكن اعتبار حالة كل جسيم مستقلة عن حالات الجسيمات الأخرى. إضافةً إلى ذلك، يُفترض أن الجسيمات في حالة توازن حراري. [ 1 ] [ 12 ]

يمكن كتابة هذه العلاقة كمعادلة عن طريق إدخال عامل توحيد:

أين:

  • يمثل N i العدد المتوقع للجسيمات في الحالة المجهرية للجسيم الواحد i ،
  • يمثل N العدد الإجمالي للجسيمات في النظام،
  • E i هي طاقة الحالة المجهرية i ،
  • يأخذ المجموع على المؤشر j في الاعتبار جميع الحالات الجزئية،
  • T هي درجة حرارة التوازن للنظام،
  • k B هو ثابت بولتزمان .

المقام في المعادلة 1 هو عامل توحيد بحيث تكون النسبشمالأنا:شمال{\displaystyle N_{i}:N} مجموعها يساوي الوحدة - بعبارة أخرى، إنها نوع من دالة التقسيم (لنظام الجسيمات المفردة، وليس دالة التقسيم المعتادة للنظام بأكمله).

بما أن السرعة والاتجاه مرتبطان بالطاقة، يمكن استخدام المعادلة ( 1 ) لاستنتاج علاقات بين درجة الحرارة وسرعات جزيئات الغاز. كل ما هو مطلوب هو اكتشاف كثافة الحالات المجهرية في الطاقة، والتي تُحدد بتقسيم فضاء الزخم إلى مناطق متساوية الحجم.

توزيع متجه الزخم

تُعتبر طاقة الوضع صفرًا، وبالتالي تكون جميع الطاقة على شكل طاقة حركية. العلاقة بين الطاقة الحركية والزخم للجسيمات غير النسبية ذات الكتلة هي

حيث يمثل p² مربع متجه الزخم p = [ pₓ , pᵧ , p₂ ] . وبالتالي ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة ( 1 ) على النحو التالي :

أين:

إن توزيع N i  : N يتناسب مع دالة كثافة الاحتمال f p لإيجاد جزيء بهذه القيم لمكونات الزخم، لذا:

يمكن تحديد ثابت التوحيد من خلال إدراك أن احتمال امتلاك الجزيء لزخم معين يجب أن يكون 1. وبإجراء التكامل للدالة الأسية في المعادلة 4 على جميع قيم p <sub>x</sub> و p<sub> y</sub> و p<sub> z</sub>، نحصل على عامل مقداره ∭-∞+∞خبرة⁡(-صx2+صy2+صz22مكبتي)دصxدصyدصz=[π2مكبتي]3{\displaystyle \iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\Bigl [}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mk_{\text{B}}T}}{\Bigr ]}^{3}}

وبالتالي فإن دالة التوزيع المعيارية هي:

وص(صx،صy،صz)=[12πمكبتي]3/2خبرة⁡(-صx2+صy2+صz22مكبتي){\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)}   ( 6 )

يُلاحظ أن التوزيع هو نتاج ثلاثة متغيرات مستقلة موزعة توزيعًا طبيعيًاصx{\displaystyle p_{x}}،صy{\displaystyle p_{y}}، وصz{\displaystyle p_{z}}مع التباينمكبتي{\displaystyle mk_{\text{B}}T}بالإضافة إلى ذلك، يمكن ملاحظة أن مقدار الزخم سيتوزع وفقًا لتوزيع ماكسويل-بولتزمان، معأ=مكبتي{\textstyle a={\sqrt {mk_{\text{B}}T}}}. يمكن الحصول على توزيع ماكسويل-بولتزمان للزخم (أو على نحو مماثل للسرعات) بشكل أكثر جوهرية باستخدام نظرية H عند التوازن ضمن إطار النظرية الحركية للغازات .

توزيع الطاقة

وُجد أن توزيع الطاقة يفرض

أيند3ص{\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }يمثل حجم فضاء الطور المتناهي الصغر للزخم المقابل لفترة الطاقة dE . وذلك بالاستفادة من التناظر الكروي لعلاقة تشتت الطاقة والزخم.هـ=|ص|22م،{\displaystyle E={\tfrac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}},}ويمكن التعبير عن ذلك بدلالة dE كما يلي

باستخدام ( 8 ) في ( 7 )، والتعبير عن كل شيء بدلالة الطاقة E ، نحصل على وهـ(هـ)دهـ=[12πمكبتي]3/2خبرة⁡(-هـكبتي)4πم2مهـ دهـ=2هـπ[1كبتي]3/2خبرة⁡(-هـكبتي)دهـ{\displaystyle {\begin{aligned}f_{E}(E)\,dE&=\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE\\[1ex]&=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)\,dE\end{aligned}}} وأخيراً

وهـ(هـ)=2هـπ[1كبتي]3/2خبرة⁡(-هـكبتي){\displaystyle f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)}   ( 9 )

بما أن الطاقة تتناسب مع مجموع مربعات مكونات الزخم الثلاثة الموزعة توزيعًا طبيعيًا، فيمكن كتابة توزيع الطاقة هذا بشكل مكافئ كتوزيع جاما ، باستخدام معامل الشكل.كشكل=3/2{\displaystyle k_{\text{shape}}=3/2}ومعامل قياس،θحجم=كبتي.{\displaystyle \theta _{\text{scale}}=k_{\text{B}}T.}

باستخدام نظرية التوزيع المتساوي للطاقة ، وبافتراض أن الطاقة موزعة بالتساوي بين جميع درجات الحرية الثلاث في حالة التوازن، يمكننا أيضًا تقسيمهاوهـ(هـ)دهـ{\displaystyle f_{E}(E)\,dE}إلى مجموعة من توزيعات مربع كاي ، حيث يتم توزيع الطاقة لكل درجة حرية ، ε كتوزيع مربع كاي بدرجة حرية واحدة ، [ 13 ]وε(ε)دε=1πεكبتي خبرة⁡(-εكبتي)دε{\displaystyle f_{\varepsilon }(\varepsilon )\,d\varepsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \varepsilon k_{\text{B}}T}}}~\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right)\,d\varepsilon }

عند الاتزان، يظل هذا التوزيع صحيحًا لأي عدد من درجات الحرية. على سبيل المثال، إذا كانت الجسيمات ثنائية القطب صلبة الكتلة ذات عزم ثنائي قطب ثابت، فسيكون لها ثلاث درجات حرية انتقالية ودرجتان إضافيتان من الحرية الدورانية. تُوصف الطاقة في كل درجة حرية وفقًا لتوزيع كاي تربيع المذكور أعلاه بدرجة حرية واحدة، بينما تُوزع الطاقة الكلية وفقًا لتوزيع كاي تربيع بخمس درجات حرية. ولهذا آثار في نظرية الحرارة النوعية للغاز.

توزيع متجه السرعة

مع العلم أن دالة كثافة احتمال السرعة f v تتناسب مع دالة كثافة احتمال الزخم بواسطة

وvد3v=وص(دصدv)3د3v{\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}\mathbf {v} =f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}\mathbf {v} }

وباستخدام p = m v نحصل على

وv(vx،vy،vz)=[م2πكبتي]3/2خبرة⁡(-م(vx2+vy2+vz2)2كبتي){\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\exp \left(-{\frac {m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2k_{\text{B}}T}}\right)}

وهو توزيع سرعة ماكسويل-بولتزمان. احتمال وجود جسيم بسرعة تقع ضمن العنصر المتناهي الصغر [ dv x , dv y , dv z ] حول السرعة v = [ v x , v y , v z ] هو

وv(vx،vy،vz)دvxدvyدvz.{\displaystyle f_{\mathbf {v} }{\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)}\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}

وكما هو الحال مع الزخم، يُلاحظ أن هذا التوزيع هو نتاج ثلاثة متغيرات مستقلة موزعة توزيعًا طبيعيًاvx{\displaystyle v_{x}}،vy{\displaystyle v_{y}}، وvz{\displaystyle v_{z}}لكن مع وجود تباينكبتي/م{\textstyle k_{\text{B}}T/m}ويمكن أيضًا ملاحظة أن توزيع سرعة ماكسويل-بولتزمان للسرعة المتجهة [ v x , v y , v z ] هو ناتج توزيعات كل اتجاه من الاتجاهات الثلاثة: وv(vx،vy،vz)=وv(vx)وv(vy)وv(vz){\displaystyle f_{\mathbf {v} }{\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)}=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})} حيث يكون التوزيع لاتجاه واحد وv(vأنا)=م2πكبتيخبرة⁡(-مvأنا22كبتي).{\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}

لكل مركبة من مركبات متجه السرعة توزيع طبيعي بمتوسطμvx=μvy=μvz=0{\displaystyle \mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0}والانحراف المعياريσvx=σvy=σvz=كبتي/م{\textstyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}}لذا فإن المتجه له توزيع طبيعي ثلاثي الأبعاد، وهو نوع خاص من التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات ، بمتوسطμv=0{\displaystyle \mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0} }والتباين المشتركΣv=(كبتيم)أنا{\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {k_{\text{B}}T}{m}}\right)I}، أينأنا{\displaystyle I}هي مصفوفة الوحدة 3 × 3 .

من الخصائص البارزة لتوزيع متجه السرعة عدم اعتماده على الاتجاه، مما يعني أن مركبات السرعة تتوزع توزيعًا طبيعيًا في أي اتجاه مختار، وليس فقط في ثلاثة اتجاهات أساسية.x{\displaystyle x}،y{\displaystyle y}، وz{\displaystyle z}[ 14 ]​

توزيع السرعة

ينتج توزيع ماكسويل-بولتزمان للسرعة مباشرةً من توزيع متجه السرعة المذكور أعلاه. لاحظ أن السرعة هي v=vx2+vy2+vz2{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}} وعنصر الحجم في الإحداثيات الكرويةدvxدvyدvz=v2الخطيئة⁡θدvدθدϕ=v2دvدΩ{\displaystyle dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}\,dv\,d\Omega } أينϕ{\displaystyle \phi }وθ{\displaystyle \theta }تمثل هذه الزوايا الإحداثية الكروية لمتجه السرعة. يتم حساب تكامل دالة كثافة الاحتمال للسرعة على الزوايا المجسمة.دΩ{\displaystyle d\Omega }وينتج عن ذلك عامل إضافي من4π{\displaystyle 4\pi }توزيع السرعة مع استبدال السرعة بمجموع مربعات مركبات المتجه:

و(v)=2π[مكبتي]3/2v2خبرة⁡(-مv22كبتي).{\displaystyle f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}

في الفضاء ذي الأبعاد n

في الفضاء ذي الأبعاد n ، يصبح توزيع ماكسويل-بولتزمان كما يلي: و(v) دنv=[م2πكبتي]ن/2خبرة⁡(-م|v|22كبتي) دنv{\displaystyle f(\mathbf {v} )~d^{n}\mathbf {v} ={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{n/2}\exp \left(-{\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~d^{n}\mathbf {v} }

يصبح توزيع السرعة كالتالي: و(v) دv=أخبرة⁡(-مv22كبتي)vن-1 دv{\displaystyle f(v)~dv=A\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)v^{n-1}~dv} أينأ{\displaystyle A}هو ثابت تطبيع.

النتيجة التكاملية التالية مفيدة: ∫0∞vأخبرة⁡(-مv22كبتي)دv=[2كبتيم]أ+12∫0∞هـ-xxأ/2دx1/2=[2كبتيم]أ+12∫0∞هـ-xxأ/2x-1/22دx=[2كبتيم]أ+12Γ(أ+12)2{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }v^{a}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)dv&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{a/2}\,dx^{1/2}\\[2pt]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{a/2}{\frac {x^{-1/2}}{2}}\,dx\\[2pt]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a+1}{2}}\right)}}{2}}\end{aligned}}} أينΓ(z){\displaystyle \Gamma (z)}هي دالة غاما . يمكن استخدام هذه النتيجة لحساب عزم دالة توزيع السرعة: ⟨v⟩=∫0∞v⋅vن-1خبرة⁡(-مv22كبتي)دv∫0∞vن-1خبرة⁡(-مv22كبتي)دv=2كبتيم  Γ(ن+12)Γ(ن2){\displaystyle \langle v\rangle ={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}}={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}~~{\frac {\Gamma {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}} وهي السرعة المتوسطة نفسهاvأvز=⟨v⟩=2كبتيم Γ(ن+12)Γ(ن2).{\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}

⟨v2⟩=∫0∞v2⋅vن-1خبرة⁡(-مv22كبتي)دv∫0∞vن-1خبرة⁡(-مv22كبتي)دv=[2كبتيم]Γ(ن+22)Γ(ن2)=[2كبتيم]ن2=نكبتيم{\displaystyle {\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}}\\[1ex]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]{\frac {\Gamma {\left({\frac {n+2}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}\\[1.2ex]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nk_{\text{B}}T}{m}}\end{aligned}}} مما يعطي سرعة الجذر التربيعي المتوسط vrms=⟨v2⟩=نكبتيم.{\textstyle v_{\text{rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {nk_{\text{B}}T}{m}}}.}

مشتق دالة توزيع السرعة: دو(v)دv=أخبرة⁡(-مv22كبتي)[-مvكبتيvن-1+(ن-1)vن-2]=0{\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=A\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right){\biggl [}-{\frac {mv}{k_{\text{B}}T}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}{\biggr ]}=0}

وهذا ينتج عنه السرعة ( الوضع ) الأكثر احتمالاًvص=(ن-1)كبتي/م.{\textstyle v_{\text{p}}={\sqrt {\left(n-1\right)k_{\text{B}}T/m}}.}

التوسع ليشمل الغازات الحقيقية

تُظهر الاشتقاقات أن صلاحية توزيع سرعة ماكسويل-بولتزمان تقتصر على الغازات المثالية. ويُعرف تعميم للصيغة ليشمل جميع الغازات (المثالية والحقيقية على حد سواء)، وينطلق اشتقاقه من حقيقة أن خصائص كل من الغازات المثالية والحقيقية يجب أن تكون مستقلة عن الاتجاه. وتحتوي الصيغة المُستنتجة علىصVم{\displaystyle pV_{\text{m}}}المصطلحات بدلاً منRتي{\displaystyle RT}، أينص{\displaystyle p}هو الضغط،Vم{\displaystyle V_{\text{m}}}يمثل الحجم المولي لعينة الغاز: [ 15 ]

و(v)=[م2πصVم]3/24πv2خبرة⁡(-مv22صVم).{\displaystyle f(v)={\biggl [}{\frac {M}{2\pi pV_{\text{m}}}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {Mv^{2}}{2pV_{\text{m}}}}\right).}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ لا تتأثر الحسابات بكون النيتروجين ثنائي الذرة. فعلى الرغم من السعة الحرارية الأكبر (الطاقة الداخلية الأكبر عند نفس درجة الحرارة) للغازات ثنائية الذرة مقارنة بالغازات أحادية الذرة، وذلك بسبب عدد درجات الحرية الأكبر فيها ،3Rتيمم{\displaystyle {\frac {3RT}{M_{\text{m}}}}}لا تزال الطاقة الحركية الانتقالية المتوسطة هي نفسها . كون النيتروجين ثنائي الذرة يؤثر فقط على قيمة الكتلة المولية M =28  جم / مول . انظر على سبيل المثال ك. براكاشان، الفيزياء الهندسية (2001)، 2.278 .
  2. ↑ يعتبر النيتروجين في درجة حرارة الغرفة غازًا ثنائي الذرات "صلبًا"، مع درجتين من الحرية الدورانية بالإضافة إلى الثلاث درجات الانتقالية، ودرجة الحرية الاهتزازية غير متاحة.

مراجع

  1. 1 2 ماندل، فرانز (2008). الفيزياء الإحصائية . فيزياء مانشستر (  الطبعة الثانية). تشيتشستر: جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0471915331.
  2. ↑ يونغ، هيو د.؛ فريدمان، روجر أ.؛ فورد، ألبرت لويس؛ سيرز، فرانسيس ويستون؛ زيمانسكي، مارك والدو (2008). فيزياء الجامعة لسيرز وزيمانسكي: مع الفيزياء الحديثة ( الطبعة الثانية عشرة). سان فرانسيسكو: بيرسون، أديسون-ويسلي. ISBN  978-0-321-50130-1.
  3. ↑ موسوعة الفيزياء (الطبعة الثانية)، آر جي ليرنر ، جي إل تريج، دار نشر في إتش سي، 1991، رقم ISBN 3-527-26954-1(Verlagsgesellschaft)، ISBN 0-89573-752-3(شركة VHC)
  4. ↑ إن إيه كرال وإيه دبليو تريفيلبيس، مبادئ فيزياء البلازما، مطبعة سان فرانسيسكو، 1986، من بين العديد من النصوص الأخرى حول فيزياء البلازما الأساسية
  5. 1 2 ماكسويل، جيه سي (1860 أ): رسوم توضيحية للنظرية الديناميكية للغازات. الجزء الأول. حول حركات واصطدامات الكرات المرنة تمامًا. مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم ، السلسلة الرابعة، المجلد 19، الصفحات 19-32.
  6. 1 2 ماكسويل، جيه سي (1860 ب): رسوم توضيحية للنظرية الديناميكية للغازات. الجزء الثاني. حول عملية انتشار نوعين أو أكثر من الجسيمات المتحركة فيما بينها. مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم ، السلسلة الرابعة، المجلد 20، الصفحات 21-37.
  7. ↑ مولر-كيرستن، هـ. ج. و. (2013). "2". أساسيات الفيزياء الإحصائية ( الطبعة الثانية). وورلد ساينتيفيك . ISBN  978-981-4449-53-3. OCLC 822895930 . 
  8. ↑ سيرواي، ريموند أ.؛ فون، جيري س.؛ وفيل، كريس (2011). فيزياء الكلية، المجلد 1 ( الطبعة التاسعة). سينجايج ليرنينج. ص 352. ISBN   9780840068484.
  9. ↑ جينيس، بالاز (2017). "ماكسويل والتوزيع الطبيعي: قصة ملونة عن الاحتمالية والاستقلال والميل نحو التوازن". دراسات في تاريخ وفلسفة الفيزياء الحديثة . 57 : 53-65 . arXiv : 1702.01411 . Bibcode : 2017SHPMP..57...53G . doi : 10.1016/j.shpsb.2017.01.001 . S2CID 38272381 . 
  10. ↑ بولتزمان، إل، "Weitere Studi über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien، mathematisch-naturwissenschaftliche Classe ، 66 ، 1872، الصفحات من 275 إلى 370.
  11. ↑ بولتزمان، إل.، "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften في فيينا، Mathematics-Naturwissenschaftliche Classe . أبت. الثاني، 76 ، 1877، ص 373-435. أعيد طبعه في Wissenschaftliche Abhandlungen ، المجلد. الجزء الثاني، الصفحات ١٦٤-٢٢٣، لايبزيغ: بارث، ١٩٠٩. الترجمة متاحة على الرابط التالي : http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf مؤرشفة بتاريخ ٥ مارس ٢٠٢١ على موقع Wayback Machine.
  12. ↑ باركر، سيبيل ب. (1993). موسوعة ماكجرو هيل للفيزياء ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ISBN  978-0-07-051400-3.
  13. ↑ لوريندو ، نورماند م. (2005). الديناميكا الحرارية الإحصائية: الأساسيات والتطبيقات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 434. ISBN  0-521-84635-8.
  14. ↑ راب-كيندنر، آي.؛ أوز، ك.؛ لينتي، ج. (2025). "قانون الغاز المثالي: الاشتقاقات والخلفية الفكرية" . ChemTexts . 11 (1): 1. doi : 10.1007/s40828-024-00198-9 .
  15. ↑ لينتي ، ج. (2025). "استقلال الاتجاه كخاصية أساسية لاستنتاج توزيع سرعة الجسيمات في الغازات الحقيقية" . مجلة الكيمياء الرياضية . 63. doi : 10.1007/s10910-025-01742-9 .

للمزيد من القراءة

  • تيبلر، بول ألين؛ موسكا، جين (2008). الفيزياء للعلماء والمهندسين: مع الفيزياء الحديثة (  الطبعة السادسة). نيويورك: دبليو إتش فريمان. ISBN 978-0-7167-8964-2.
  • شافيت، آرثر؛ غوتفينغر، حاييم (2009). الديناميكا الحرارية: من المفاهيم إلى التطبيقات (الطبعة الثانية  ). مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4200-7368-3. OCLC 244177312 . 
  • آيفز، ديفيد جي جي (1971). الديناميكا الحرارية الكيميائية . كيمياء الجامعة. ماكدونالد التقنية والعلمية. ISBN 0-356-03736-3.
  • ناش، ليونارد ك. (1974). عناصر الديناميكا الحرارية الإحصائية . مبادئ الكيمياء (  الطبعة الثانية). أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-201-05229-9.
  • وارد، كاليفورنيا؛ فانغ، جي. (1999). "صيغة للتنبؤ بتدفق تبخر السائل: منهج نظرية المعدل الإحصائي". مجلة Physical Review E. 59 ( 1): 429-440 . doi : 10.1103/physreve.59.429 . ISSN 1063-651X . 
  • رحيمي، ب؛ وارد، سي إيه (2005). "حركية التبخر: نهج نظرية المعدل الإحصائي". المجلة الدولية للديناميكا الحرارية . 8 (9): 1-14 .