مساحة سطحية صغيرة

في الرياضيات ، السطح الأدنى هو سطح يقلل مساحته محلياً. وهذا يعادل امتلاكه انحناءً متوسطاً صفرياً (انظر التعريفات أدناه).

يُستخدم مصطلح "السطح الأدنى" لأن هذه الأسطح نشأت في الأصل كأسطح تُقلل المساحة الكلية مع مراعاة قيدٍ ما. يمكن صنع نماذج فيزيائية للأسطح الدنيا المُقللة للمساحة عن طريق غمس إطار سلكي في محلول صابون، مُشكلاً غشاءً صابونيًا ، وهو سطح أدنى يُمثل الإطار السلكي حدوده. مع ذلك، يُستخدم المصطلح لأسطح أكثر عمومية قد تتقاطع مع نفسها أو لا تخضع لأي قيود. بالنسبة لقيد مُحدد، قد توجد أيضًا عدة أسطح دنيا بمساحات مختلفة (على سبيل المثال، انظر السطح الأدنى للدوران ): لا تتعلق التعريفات القياسية إلا بالحل الأمثل المحلي ، وليس بالحل الأمثل العالمي .

يمكن تعريف الأسطح الدنيا بعدة طرق متكافئة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$إن حقيقة كونهما متكافئين توضح كيف تقع نظرية السطح الأدنى عند مفترق طرق العديد من التخصصات الرياضية، وخاصة الهندسة التفاضلية ، وحساب التفاضل والتكامل ، ونظرية الكمون ، والتحليل المركب ، والفيزياء الرياضية . ^{[ 1 ]}

تعريف أصغر مساحة محلية : سطح${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$تكون صغيرة إذا وفقط إذا كانت كل نقطة p ∈ M لها جوار ، محدود بمنحنى مغلق بسيط ، والذي له أصغر مساحة بين جميع الأسطح التي لها نفس الحدود.

هذه الخاصية محلية: قد توجد مناطق في سطح أصغر، إلى جانب أسطح أخرى أصغر مساحةً لها نفس الحدود. تُرسّخ هذه الخاصية صلةً بأغشية الصابون؛ لغشاء صابون مُشوّه بحيث يكون له إطار سلكي كحدود، مساحةٌ مُصغّرة.

التعريف التبايني : سطح${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$تكون القيمة الدنيا إذا وفقط إذا كانت نقطة حرجة للدالة المكانية لجميع الاختلافات المدعومة بشكل مضغوط .

يجعل هذا التعريف الأسطح الدنيا نظيراً ثنائي الأبعاد للجيوديسيات ، والتي يتم تعريفها بشكل مماثل على أنها نقاط حرجة للدالة الطولية.

تعريف الانحناء المتوسط : سطح${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$تكون القيمة الدنيا إذا وفقط إذا كان متوسط ​​انحنائها يساوي صفرًا عند جميع النقاط.

من النتائج المباشرة لهذا التعريف أن كل نقطة على السطح هي نقطة سرجية ذات انحناءات رئيسية متساوية ومتعاكسة . إضافةً إلى ذلك، يجعل هذا الأسطح الدنيا حلولًا ثابتة لتدفق الانحناء المتوسط . وبحسب معادلة يونغ-لابلاس ، فإن الانحناء المتوسط ​​لغشاء الصابون يتناسب طرديًا مع فرق الضغط بين جانبيه. إذا لم يُحيط غشاء الصابون بمنطقة ما، فإن انحناءه المتوسط ​​سيكون صفرًا. في المقابل، تُحيط فقاعة الصابون الكروية بمنطقة ذات ضغط مختلف عن المنطقة الخارجية، وبالتالي فإن انحناءها المتوسط ​​لا يساوي صفرًا.

تعريف المعادلة التفاضلية : سطح${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$تتكون من صورة منطقة${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{2}}$وظيفة تحت${\displaystyle \mathbf {f} :X\to M}$،${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,u(x,y))}$، أين${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$دالة ذات قيم حقيقية، تكون دنيا إذا وفقط إذا${\displaystyle u}$يرضي

${\displaystyle (1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0}$

تم اكتشاف المعادلة التفاضلية الجزئية في هذا التعريف لأول مرة عام 1762 على يد لاغرانج ، [ 2 ^{] واكتشف جان} بابتيست ميوسنييه عام 1776 أنها تعني انعدام الانحناء المتوسط. ^{[ 3 ]} تعطي هذه المعادلة تعريفًا غير متماثل بمعنى أن الموضع على${\displaystyle z}$يتم تحديد المحور السيني كدالة${\displaystyle u}$ل${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$لا يمكن تمثيل جميع الأسطح بهذه الطريقة بسهولة. تعريف بديل يعتمد على التمثيل الأكثر عمومية${\displaystyle \mathbf {x}$ :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},(u,v)\mapsto (x,y,z)} is

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}{\boldsymbol {\times }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}{\sqrt {({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}){\boldsymbol {\cdot }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}}}={\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}{\sqrt {({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}){\boldsymbol {\cdot }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}}}}$.

تعريف الطاقة : غمر متطابق${\displaystyle X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$تكون الطاقة في أدنى مستوياتها إذا وفقط إذا كانت نقطة حرجة لطاقة ديريشليه لجميع التغيرات ذات الدعم المدمج، أو بشكل مكافئ إذا كانت أي نقطة${\displaystyle p\in M}$يوجد حي ذو طاقة أقل بالنسبة لحدوده.

يربط هذا التعريف الأسطح الدنيا بالوظائف التوافقية ونظرية الجهد .

تعريف التوافقي : إذا${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$هو غمر متساوي القياس لسطح ريمان في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ثم${\displaystyle X}$يقال إنها ضئيلة كلما${\displaystyle x_{i}}$هي دالة توافقية على${\displaystyle M}$لكل${\displaystyle i}$.

من النتائج المباشرة لهذا التعريف ومبدأ القيمة القصوى للدوال التوافقية أنه لا توجد أسطح دنيا كاملة مضغوطة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

تعريف خريطة غاوس : سطح${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$تكون القيمة الدنيا إذا وفقط إذا كانت خريطة غاوس المسقطة بشكل مجسم${\displaystyle g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty }}$وهي ميرومورفية بالنسبة لبنية سطح ريمان الأساسية ، و${\displaystyle M}$ليست قطعة من كرة.

يعتمد هذا التعريف على أن متوسط ​​الانحناء يساوي نصف أثر مؤثر الشكل ، المرتبط بمشتقات خريطة غاوس. إذا كانت خريطة غاوس المسقطة تخضع لمعادلات كوشي-ريمان، فإن الأثر إما أن يتلاشى أو أن كل نقطة من M هي نقطة سرة ، وفي هذه الحالة تكون جزءًا من كرة.

تسمح تعريفات المساحة الصغرى المحلية والتغيرية بتوسيع الأسطح الدنيا لتشمل مشعبات ريمانية أخرى غير تلك المذكورة أعلاه.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[ ^{4 ]​}

تعود نظرية السطح الأدنى إلى لاغرانج الذي تناول في عام 1762 مسألة إيجاد السطح باستخدام حساب التفاضل والتكامل.${\displaystyle z=z(x,y)}$أصغر مساحة ممتدة عبر محيط مغلق معين. وقد اشتق معادلة أويلر-لاغرانج للحل.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}$

لم ينجح في إيجاد أي حل خارج المستوى. في عام 1776، اكتشف جان باتيست ماري ميوسنييه أن السطح الحلزوني والسطح السلسلي يحققان المعادلة وأن التعبير التفاضلي يتوافق مع ضعف متوسط ​​انحناء السطح، مستنتجًا أن الأسطح ذات متوسط ​​الانحناء الصفري هي الأسطح التي تقلل المساحة.

عن طريق توسيع معادلة لاغرانج إلى

${\displaystyle \left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}$

في عام 1795، استنتج غاسبار مونج وليجندر صيغًا تمثيلية لأسطح الحلول. ورغم أن هاينريش شيرك استخدم هذه الصيغ بنجاح في عام 1830 لاستنتاج أسطحه ، إلا أنها اعتُبرت عمومًا غير قابلة للاستخدام عمليًا. وفي عامي 1842 و1843، أثبت كاتالان أن السطح الحلزوني هو السطح الأدنى الوحيد المُسطّر .

كان التقدم بطيئًا نسبيًا حتى منتصف القرن، حين تم حل مسألة بيورلينغ باستخدام الطرق المركبة. وبدأ بذلك "العصر الذهبي الأول" للأسطح الدنيا. وجد شوارتز حلًا لمسألة بلاتو لشكل رباعي منتظم عام 1865، ولشكل رباعي عام عام 1867 (مما أتاح بناء عائلات أسطحه الدورية ) باستخدام الطرق المركبة. وطوّر كل من فايرشتراس وإينبر صيغ تمثيل أكثر فائدة ، ربطت الأسطح الدنيا ارتباطًا وثيقًا بالتحليل المركب والدوال التوافقية . كما ساهم كل من بلترامي، وبونيه، وداربو، ولي، وريمان، وسيريت، ووينغارتن مساهمات مهمة أخرى.

بين عامي 1925 و1950، انتعشت نظرية الأسطح الدنيا، التي باتت تركز بشكل أساسي على الأسطح الدنيا غير البارامترية. وكان الحل الكامل لمسألة بلاتو على يد جيسي دوغلاس وتيبور رادو إنجازًا بارزًا. كما كان لمسألة برنشتاين وعمل روبرت أوسرمان على الأسطح الدنيا الكاملة ذات الانحناء الكلي المحدود أهمية بالغة.

بدأ انتعاش آخر في ثمانينيات القرن العشرين. وكان أحد أسبابه اكتشاف سيلسو كوستا في عام 1982 لسطح دحض الفرضية القائلة بأن المستوى والسطح السلسلي والسطح الحلزوني هي الأسطح الدنيا المضمنة الكاملة الوحيدة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$من النوع الطوبولوجي المحدود. لم يحفز هذا فقط أعمالًا جديدة حول استخدام الطرق البارامترية القديمة، بل أظهر أيضًا أهمية رسومات الحاسوب لتصوير الأسطح المدروسة والطرق العددية لحل "مشكلة الدورية" (عند استخدام طريقة السطح المترافق لتحديد رقع السطح التي يمكن تجميعها في سطح متناظر أكبر، يلزم مطابقة بعض المعلمات عدديًا لإنتاج سطح مضمن). سبب آخر هو تأكيد هـ. كارشر على وجود الأسطح الدنيا الدورية الثلاثية التي وصفها آلان شوين تجريبيًا في عام 1970. وقد أدى هذا إلى ظهور مجموعة متنوعة من عائلات الأسطح وطرق اشتقاق أسطح جديدة من أسطح قديمة، على سبيل المثال عن طريق إضافة مقابض أو تشويهها.

في الوقت الحالي، تنوعت نظرية الأسطح الدنيا لتشمل الفضاءات الفرعية الدنيا في هندسات محيطة أخرى، وأصبحت ذات صلة بالفيزياء الرياضية (مثل تخمين الكتلة الموجبة ، وتخمين بنروز ) وهندسة الفضاءات الثلاثية (مثل تخمين سميث ، وتخمين بوانكاريه ، وتخمين ثورستون الهندسي ).

تشمل الأمثلة الكلاسيكية للأسطح الدنيا ما يلي:

• الطائرة ، وهي حالة بسيطة
• الأسطح السلسلية : أسطح دنيا تتكون من خلال تدوير منحنى سلسلي مرة واحدة حول دليله
• الأسطح الحلزونية : سطح يتم مسحه بواسطة خط يدور بسرعة منتظمة حول محور عمودي على الخط ويتحرك في الوقت نفسه على طول المحور بسرعة منتظمة

تشمل الأسطح التي تعود إلى العصر الذهبي للقرن التاسع عشر ما يلي:

• أسطح شوارتز الدنيا : أسطح دورية ثلاثية تملأ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• سطح ريمان الأدنى : سطح دوري تم وصفه بعد وفاته
• سطح إنيبر
• سطح هينبيرغ : أول سطح أدنى غير قابل للتوجيه
• سطح بور البسيط
• سطح نيوفيوس : سطح دوري ثلاثي

تشمل الأسطح الحديثة ما يلي:

• الجيرويدي : أحد أسطح شون من عام 1970، وهو سطح دوري ثلاثي ذو أهمية خاصة لبنية البلورات السائلة
• عائلة أبراج السرج : تعميمات لسطح شيرك الثاني
• سطح كوستا الأدنى : دحض فرضية شهيرة. وصفه سيلسو كوستا عام 1982 ، ثم قام جيم هوفمان بتصويره لاحقًا . بعد ذلك، قام كل من جيم هوفمان وديفيد هوفمان وويليام ميكس الثالث بتوسيع التعريف لإنتاج مجموعة من الأسطح ذات تناظرات دورانية مختلفة.
• عائلة أسطح تشين -جاكستاتر ، مع إضافة مقابض إلى سطح إينيبر.

يمكن تعريف الأسطح الدنيا في فضاءات متعددة أخرى غير${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، مثل الفضاء الزائدي ، أو الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى، أو مشعبات ريمان .

يمكن تعميم/توسيع تعريف الأسطح الدنيا ليشمل الأسطح ذات الانحناء المتوسط ​​الثابت : الأسطح ذات الانحناء المتوسط ​​الثابت، والتي لا يلزم أن تساوي الصفر.

في الهندسة التفاضلية المنفصلة، ​​تُدرس الأسطح الدنيا المنفصلة: وهي عبارة عن مجمعات تبسيطية من المثلثات تُقلل مساحتها إلى أدنى حد عند حدوث اضطرابات طفيفة في مواقع رؤوسها. ^{[ 5 ]} غالبًا ما تُستخدم هذه التجزئات لتقريب الأسطح الدنيا عدديًا، حتى في حال عدم وجود صيغ رياضية مغلقة معروفة.

تؤدي الحركة البراونية على سطح أدنى إلى براهين احتمالية لعدة نظريات على الأسطح الدنيا. ^{[ 6 ]}

تشكل خطوط الانحناء لسطح متساوي الحرارة شبكة متساوية الحرارة. ^{[ 7 ]}

أصبحت الأسطح الدنيا مجالًا للدراسة العلمية المكثفة، لا سيما في مجالات الهندسة الجزيئية وعلوم المواد ، نظرًا لتطبيقاتها المتوقعة في التجميع الذاتي للمواد المعقدة. ^{[ 8 ]} يُعتقد أن الشبكة الإندوبلازمية ، وهي بنية مهمة في بيولوجيا الخلية، تخضع لضغط تطوري يدفعها إلى التوافق مع سطح أدنى غير بديهي. ^{[ 9 ]}

في مجالي النسبية العامة والهندسة اللورنتزية ، تُعدّ بعض التوسعات والتعديلات على مفهوم السطح الأدنى، والمعروفة باسم الآفاق الظاهرية ، ذات أهمية بالغة. ^{[ 10 ]} وعلى عكس أفق الحدث ، فإنها تمثل نهجًا قائمًا على الانحناء لفهم حدود الثقوب السوداء .

يمكن استخدام الهياكل ذات الأسطح الصغيرة كخيام.

تُعدّ الأسطح البسيطة جزءًا من أدوات التصميم التوليدي التي يستخدمها المصممون المعاصرون. وفي مجال الهندسة المعمارية، حظيت الهياكل المشدودة باهتمام كبير ، لارتباطها الوثيق بالأسطح البسيطة. ومن الأمثلة البارزة على ذلك أعمال فراي أوتو ، وشيغيرو بان ، وزها حديد . فقد استوحى فراي أوتو تصميمه لملعب ميونخ الأولمبي من أسطح الصابون. ^{[ 11 ]} ومن الأمثلة البارزة الأخرى، التي صممها فراي أوتو أيضًا، الجناح الألماني في معرض إكسبو 67 في مونتريال، كندا. ^{[ 12 ]}

في عالم الفن، تم استكشاف الأسطح البسيطة على نطاق واسع في منحوتات روبرت إنجمان (1927-2018)، وروبرت لونجهيرست (1949-)، وتشارلز أو. بيري (1929-2011)، من بين آخرين.

الكتب الدراسية

• ر. كوران . مبدأ ديريشليه، والتحويل المطابق، والأسطح الدنيا. ملحق بقلم م. شيفر . دار إنترساينس للنشر، نيويورك، نيويورك، 1950. 13+330 صفحة.
• محاضرات إتش. بلين لوسون الابن حول الفضاءات الجزئية الدنيا. المجلد الأول . الطبعة الثانية. سلسلة محاضرات الرياضيات، 9. دار النشر Publish or Perish، ويلمنجتون، ديلاوير، 1980. 178 صفحة + 4 صفحات تمهيدية. رقم ISBN 0-914098-18-7
• روبرت أوسرمان . دراسة استقصائية للأسطح الدنيا. الطبعة الثانية. دار نشر دوفر، نيويورك، 1986. 6+207 صفحة. ISBN 0-486-64998-9، MR 0852409 
• يوهانس سي سي نيتشه. محاضرات في الأسطح الدنيا. المجلد 1. مقدمة، أساسيات، هندسة، ومسائل القيم الحدية الأساسية. ترجمة جيري إم فاينبرغ من الألمانية. مع مقدمة باللغة الألمانية. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 1989. 26+563 صفحة. ISBN 0-521-24427-7
• نيشيكاوا، سيكي (2002). مسائل حساب التفاضل والتكامل في الهندسة . ترجمات من دراسات رياضية؛ سلسلة إيوانامي في الرياضيات الحديثة. المجلد  205. ترجمة آبي، كينيتسو. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 0-8218-1356-0ISSN 0065-9282 ، مترجم من: {{cite book}}: CS1 maint: postscript ( link )

• 西川青季 (1998).幾何学的変分問題. 岩波講座現代数学の基礎 (باللغة اليابانية). المجلد.  28. طوكيو:岩波書店. رقم ISBN 4-00-010642-2.

• أولريش ديركيس، وستيفان هيلدبراندت، وفريدريش سوفيجني. الحد الأدنى من الأسطح. الطبعة الثانية منقحة وموسعة. بمساعدة ومساهمات A. Küster وR. Jakob. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، 339. سبرينغر، هايدلبرغ، 2010. xvi+688 ص ISBN 978-3-642-11697-1، دوى : 10.1007 / 978-3-642-11698-8 ، السيد 2566897 
• توبياس هولك كولدينج وويليام بي مينيكوزي ، II. دورة في الأسطح البسيطة. الدراسات العليا في الرياضيات، 121. الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 2011. xii+313 ص. ISBN 978-0-8218-5323-8

الموارد الإلكترونية

• كارشر، هيرمان؛ بولثير، كونراد (1995). "لمس أغشية الصابون - مقدمة للأسطح البسيطة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 ديسمبر 2006 .(مقدمة بيانية للأسطح الدنيا وأغشية الصابون.)
• جاك كلينوفسكي. "معرض الأسطح البسيطة الدورية" . تم الاطلاع عليه في 2 فبراير 2009 .(مجموعة من الأسطح البسيطة مع أمثلة كلاسيكية وحديثة)
• مارتن ستيفنز وكريستيان تيتزل. "مكتبة سطح العنب الأدنى" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 أكتوبر 2008 .(مجموعة من الأسطح الدنيا)
• مصادر متعددة (2000). "نماذج EG" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 سبتمبر 2004 .(مجلة إلكترونية تضم العديد من النماذج المنشورة للأسطح الدنيا)

• "السطح الأدنى" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• الصفحة الرئيسية لبرنامج 3D-XplorMath-J — برنامج جافا وتطبيقات صغيرة للتصور الرياضي التفاعلي
• معرض للأسطح البسيطة القابلة للدوران
• معرض قائم على WebGL للأسطح البسيطة القابلة للتدوير/التكبير