نظرية نيوتن للمدارات الدوارة

في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُحدد نظرية نيوتن للمدارات الدوارة نوع القوة المركزية اللازمة لمضاعفة السرعة الزاوية لجسيم ما بمعامل k دون التأثير على حركته القطرية (الشكلان  1 و2). وقد طبّق نيوتن نظريته لفهم الدوران الكلي للمدارات ( الترنح المداري ، الشكل  3) الذي يُلاحظ في القمر والكواكب . ويُشير مصطلح "الحركة القطرية" إلى الحركة باتجاه مركز القوة أو بعيدًا عنه، بينما تكون الحركة الزاوية عمودية على الحركة القطرية.

استنتج إسحاق نيوتن هذه النظرية في القضايا 43-45 من الكتاب الأول من كتابه "الفلسفة الطبيعية: المبادئ الرياضية" ، الذي نُشر لأول مرة عام 1687. في القضية 43، بيّن أن القوة المضافة يجب أن تكون قوة مركزية، أي أن مقدارها يعتمد فقط على المسافة r بين الجسيم ونقطة ثابتة في الفضاء (المركز). في القضية 44، استنتج صيغة للقوة، موضحًا أنها قوة تتناسب عكسيًا مع مكعب r . في القضية 45، وسّع نيوتن نظريته لتشمل القوى المركزية المختلفة بافتراض أن الجسيم يتحرك في مدار دائري تقريبًا.

ظلت هذه النظرية غير معروفة وغير مطورة إلى حد كبير لأكثر من ثلاثة قرون، ولكن تمت إعادة النظر فيها وتعميمها مؤخرًا.

لنفترض جسيمًا يتحرك تحت تأثير قوة مركزية عشوائية _F₁ ( r ) تعتمد قيمتها فقط على المسافة r بين الجسيم ومركز ثابت. بما أن حركة الجسيم تحت تأثير قوة مركزية تقع دائمًا في مستوى واحد، يمكن وصف موضع الجسيم بالإحداثيات القطبية ( r , θ₁ )، حيث يمثل r نصف قطر الجسيم وθ₁ زاويته بالنسبة لمركز القوة (الشكل ₁ ). تتغير كلتا الإحداثيتين، r ( t ) و θ₁ ₍ t )، مع الزمن t أثناء حركة الجسيم. ^{[ 30 ]}  

تخيل جسيمًا ثانيًا له نفس الكتلة m ونفس الحركة الشعاعية r ( t )، لكن سرعته الزاوية أسرع بمقدار k مرة من سرعة الجسيم الأول. بعبارة أخرى، _ترتبط الزوايا السمتية للجسيمين بالمعادلة θ₂ ( t ) = kθ₁ ( t ) . وقد بيّن نيوتن أن حركة الجسيم الثاني يمكن توليدها بإضافة قوة مركزية مكعبة معكوسة إلى أي قوة F₁ ₍ r ) تؤثر على الجسيم الأول ^{[ 31 ]} _.$${\displaystyle F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$$ حيث L _{1 هو مقدار} الزخم الزاوي للجسيم الأول ، وهو ثابت الحركة (محفوظ) للقوى المركزية.

إذا كانت قيمة k ² أكبر من واحد، فإن F ₂  − F ₁ تكون قيمة سالبة؛ وبالتالي، فإن قوة المكعب المعكوس المضافة تكون جاذبة ، كما هو ملاحظ في الكوكب الأخضر في الأشكال 1-4 و9. وعلى النقيض من ذلك، إذا كانت قيمة k ² أقل من واحد، فإن F ₂ − F ₁ تكون قيمة موجبة؛ وتكون قوة المكعب المعكوس المضافة تنافرية ، كما هو ملاحظ في الكوكب الأخضر في الشكلين 5 و10، وفي الكوكب الأحمر في الشكلين 4 و5.    

كان دافع نيوتن في اشتقاق نظرية المدار الدوار هو تقديم دليل مقنع على قانون القوة العكسية التربيعية للجاذبية. ومن خلال إثباته رياضيًا أن جميع المدارات الأخرى تتقدم، تمكن من الادعاء بأن غياب الدقة يوفر برهانًا تجريبيًا على قانون الجاذبية. ^{[ 28 ] : 418}

إذا كانت قيمة k قريبة من الواحد، ولكنها لا تساويه، فإن المدار الثاني يشبه الأول، ولكنه يدور تدريجيًا حول مركز القوة؛ وهذا ما يُعرف بالترنح المداري (الشكل  3). إذا كانت قيمة k أكبر من واحد، فإن المدار يترنح في نفس اتجاه المدار (الشكل  3)؛ أما إذا كانت قيمة k أقل من واحد، فإن المدار يترنح في الاتجاه المعاكس.

على الرغم من أن المدار في الشكل  3 قد يبدو وكأنه يدور بانتظام، أي بسرعة زاوية ثابتة، إلا أن هذا صحيح فقط بالنسبة للمدارات الدائرية. ^{[ 25 ] [ 26 ]} إذا كان المدار يدور بسرعة زاوية Ω، فإن السرعة الزاوية للجسيم الثاني تكون أسرع أو أبطأ من سرعة الجسيم الأول بمقدار Ω؛ بعبارة أخرى، تحقق السرعات الزاوية المعادلة ω₂ = ω₁ + Ω . مع ذلك، تنص نظرية نيوتن للمدارات الدوارة على أن السرعات الزاوية مرتبطة بالضرب: ω₂ = _kω₁ ، حيث k ثابت. بدمج هاتين المعادلتين _، يتضح أن السرعة الزاوية للترنح تساوي Ω = ( k - 1) _ω₁ . بالتالي _، تكون Ω ثابتة فقط إذا _{كانت ω₁} ثابتة . وفقًا لقانون حفظ الزخم الزاوي، تتغير قيمة ω ₁ بتغير نصف القطر r$${\displaystyle \omega _{1}={\frac {L_{1}}{mr^{2}}};}$$ حيث m و L1 هما كتلة الجسيم الأول وعزمه الزاوي على التوالي، وكلاهما ثابت. لذا، _فإن ω1 ثابت فقط إذا كان نصف القطر r ثابتًا، أي عندما يكون المدار دائريًا. مع ذلك، في هذه الحالة _، لا يتغير المدار أثناء دورانه.

تتجلى أبسط صورة لنظرية نيوتن عندما لا توجد قوة ابتدائية، أي F₁ ( r ) = 0. في هذه الحالة، يكون الجسيم الأول ساكنًا أو يتحرك في خط مستقيم. إذا تحرك في خط مستقيم لا يمر بنقطة الأصل (الخط الأصفر في الشكل 6) _، فيمكن كتابة معادلة هذا الخط في الإحداثيات القطبية ( r , θ₁ ₎ على النحو التالي:  $${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cos \ (\theta _{1}-\theta _{0})}$$ where θ₀ is the angle at which the distance is minimized (Figure 6). The distance r begins at infinity (when θ₁ – θ₀ = −90°), and decreases gradually until θ₁ – θ₀ = 0°, when the distance reaches a minimum, then gradually increases again to infinity at θ₁ – θ₀ = 90°. The minimum distance b is the impact parameter, which is defined as the length of the perpendicular from the fixed center to the line of motion. The same radial motion is possible when an inverse-cube central force is added.

An inverse-cube central force F₂(r) has the form $${\displaystyle F_{2}(r)={\frac {\mu }{r^{3}}}}$$ where the numerator μ may be positive (repulsive) or negative (attractive). If such an inverse-cube force is introduced, Newton's theorem says that the corresponding solutions have a shape called Cotes's spirals.^[32] These are curves defined by the equation^[33][34]$${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cos \left({\frac {\theta _{2}-\theta _{0}}{k}}\right)}$$ where the constant k equals $${\displaystyle k^{2}=1-{\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}}$$

عندما يكون الطرف الأيمن من المعادلة عددًا حقيقيًا موجبًا ، يكون الحل على شكل حلزوني . ^{[ 35 ]} عندما تكون الزاوية θ₁ _– θ₀ = ±90° × k _، فإن جيب التمام يؤول إلى الصفر، ويؤول نصف القطر إلى اللانهاية. بالتالي، عندما تكون قيمة k أقل من واحد، يصبح نطاق الزوايا المسموح بها ضيقًا، وتكون القوة تنافرية (المنحنى الأحمر على اليمين في الشكل  7). من ناحية أخرى، عندما تكون قيمة k أكبر من واحد، يزداد نطاق الزوايا المسموح بها، مما يُشير إلى قوة جاذبة (المنحنيات الأخضر والسماوي والأزرق على اليسار في الشكل 7)؛ وقد يدور الجسيم حول المركز عدة مرات. تتراوح  القيم الممكنة للمعامل k من الصفر إلى اللانهاية، وهو ما يُقابل قيمًا لـ μ تتراوح من سالب اللانهاية إلى الحد الأعلى ^الموجب ، L₁² _/ m . وبالتالي، بالنسبة لجميع قوى التجاذب ذات الشكل المكعب العكسي ( μ السالبة )، يوجد مدار حلزوني مطابق، كما هو الحال بالنسبة لبعض القوى التنافرية ( μ < L ₁ ² / m )، كما هو موضح في الشكل 7. وتتوافق قوى التنافر الأقوى مع حركة خطية أسرع. 

أحد أنواع الحلول الأخرى يُعطى بدلالة جيب التمام الزائدي : $${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{b}}\cosh \left({\frac {\theta _{0}-\theta _{2}}{\lambda }}\right)}$$حيث يحقق الثابت λ الشرط التالي:$${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {m\mu }{L_{1}^{2}}}-1}$$

يتوافق هذا الشكل من حلزونات كوتس مع أحد حلزوني بوانسو (الشكل  8). ^{[ 35 ]} تتراوح القيم الممكنة لـ λ من الصفر إلى اللانهاية، وهو ما يتوافق مع قيم μ أكبر من العدد الموجب _L² / m . وبالتالي، لا تحدث حركة حلزون بوانسو إلا في حالة ^وجود قوى مركزية تنافرية مكعبة معكوسة، وينطبق ذلك في حالة عدم كون L كبيرة جدًا بالنسبة لقيمة μ المعطاة .

يؤدي أخذ نهاية k أو λ إلى الصفر إلى الشكل الثالث من حلزون كوتس، وهو ما يسمى بالحلزون المتبادل أو الحلزون الزائدي ، كحل ^{[ 36 ].}$${\displaystyle {\frac {1}{r}}=A\theta _{2}+\varepsilon }$$ حيث A و ε ثابتان اختياريان. وتنتج هذه المنحنيات عندما تتوازن قوة التنافر μ تمامًا مع حد الزخم الزاوي-الكتلة. $${\displaystyle \mu ={\frac {L_{1}^{2}}{m}}}$$

هناك نوعان من القوى المركزية - القوى التي تزداد خطيًا مع المسافة، F = Cr ، مثل قانون هوك ، والقوى التي تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة، F = C / r² ^، مثل قانون نيوتن للجاذبية الكونية وقانون كولوم - لهما خاصية فريدة. فالجسيم المتحرك تحت أي من هذين النوعين من القوى يعود دائمًا إلى نقطة انطلاقه بنفس سرعته الابتدائية، شريطة ألا يمتلك طاقة كافية للتحرك إلى ما لا نهاية. بعبارة أخرى، يكون مسار الجسيم المقيد مغلقًا دائمًا، وتتكرر حركته إلى ما لا نهاية، بغض النظر عن موضعه أو سرعته الابتدائية. وكما تُبين نظرية برتراند ، فإن هذه الخاصية لا تنطبق على أنواع القوى الأخرى؛ فعمومًا، لا يعود الجسيم إلى نقطة انطلاقه بنفس السرعة. ^{[ 37 ] [ 38 ]}

مع ذلك، تُبين نظرية نيوتن أنه يُمكن تطبيق قوة عكسية تكعيبية على جسيم يتحرك تحت تأثير قوة خطية أو قوة عكسية تربيعية بحيث يبقى مداره مغلقًا، شريطة أن يكون k عددًا نسبيًا . (يُسمى العدد "نسبيًا" إذا أمكن كتابته على شكل كسر m / n ، حيث m و n عددان صحيحان. ^{[ 39 ]} ) في مثل هذه الحالات، تُؤدي إضافة القوة العكسية التكعيبية إلى إكمال الجسيم m دورة حول مركز القوة في نفس الوقت الذي يُكمل فيه الجسيم الأصلي n دورة. لا تُخالف هذه الطريقة لإنتاج مدارات مغلقة نظرية برتراند، لأن القوة العكسية التكعيبية المُضافة تعتمد على السرعة الابتدائية للجسيم.

المدارات التوافقية والتوافقية الفرعية هي أنواع خاصة من المدارات المغلقة. يُسمى المسار المغلق مدارًا توافقيًا إذا كان k عددًا صحيحًا، أي إذا كان n = 1 في الصيغة k = m / n . على سبيل المثال، إذا كان k = 3 (الكوكب الأخضر في الشكلين  1 و4، والمدار الأخضر في الشكل  9)، فإن المدار الناتج هو التوافقي الثالث للمدار الأصلي. وعلى العكس، يُسمى المسار المغلق مدارًا توافقيًا فرعيًا إذا كان k مقلوب عدد صحيح، أي إذا كان m = 1 في الصيغة k = m / n . على سبيل المثال، إذا كان k = 1/3 (الكوكب الأخضر في الشكل  5، والمدار الأخضر في الشكل  10)، فإن المدار الناتج يُسمى التوافقي الفرعي الثالث للمدار الأصلي. على الرغم من أن هذه المدارات نادرة الحدوث في الطبيعة، إلا أنها مفيدة لتوضيح نظرية نيوتن. ^{[ 25 ]}

في الاقتراح 45 من كتابه " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" ، يطبق نيوتن نظريته حول المدارات الدوارة لتطوير طريقة لإيجاد قوانين القوى التي تحكم حركة الكواكب. ^{[ 40 ]} لاحظ يوهانس كيبلر أن مدارات معظم الكواكب والقمر تبدو بيضاوية الشكل، ويمكن تحديد المحور الطويل لهذه المدارات بدقة من القياسات الفلكية. يُعرَّف المحور الطويل بأنه الخط الواصل بين أدنى وأقصى مسافة من النقطة المركزية، أي الخط الواصل بين نقطتي الأوج والحضيض . على سبيل المثال، يُعرَّف المحور الطويل لكوكب عطارد بأنه الخط المار بنقطتي الحضيض والأوج المتتاليتين. بمرور الوقت، يدور المحور الطويل لمعظم الأجرام المدارية تدريجيًا، عادةً لا يزيد عن بضع درجات لكل دورة كاملة، بسبب الاضطرابات الجاذبية من الأجرام الأخرى، وتفلطح الجسم الجاذب ، وتأثيرات النسبية العامة ، وغيرها من التأثيرات. تستخدم طريقة نيوتن هذا التبادر المداري كأداة حساسة لقياس نوع القوة المؤثرة على الكواكب. ^{[ 41 ]}

لا تصف نظرية نيوتن سوى تأثير إضافة قوة مركزية تتناسب عكسيًا مع مكعب المسافة. مع ذلك، وسّع نيوتن نطاق نظريته لتشمل أي قوة مركزية F ( r ) من خلال تركيزه على المدارات شبه الدائرية، مثل المدارات الإهليلجية ذات الانحراف المداري المنخفض ( ε  ≤  0.1)، وهو ما ينطبق على سبعة من مدارات الكواكب الثمانية في المجموعة الشمسية . كما طبّق نيوتن نظريته على كوكب عطارد، ^{[ 42 ]} الذي يبلغ انحرافه المداري ε حوالي 0.21، واقترح أنها قد تنطبق أيضًا على مذنب هالي ، الذي يبلغ انحراف مداره حوالي 0.97. ^{[ 41 ]}

قدّم فالوري وويلسون وهاربر تبريرًا نوعيًا لهذا الاستقراء لمنهجه. ^{[ 41 ]} وفقًا لحجتهم، اعتبر نيوتن زاوية ترنح الأوج α (الزاوية بين متجهي أدنى وأقصى مسافة متتالية من المركز) دالة سلسة ومتصلة للانحراف المداري ε . بالنسبة لقوة التربيع العكسي، تساوي α 180°؛ وتقع متجهات مواضع أدنى وأقصى المسافات على خط واحد. إذا لم تكن α تساوي 180° في البداية عند قيم ε المنخفضة (المدارات شبه الدائرية)، فإنها ستساوي 180° فقط لقيم معزولة من ε ؛ ومن غير المرجح أن تعطي قيمة مختارة عشوائيًا لـ ε قيمة α = 180° . لذلك، يشير الدوران البطيء الملحوظ لأوج مدارات الكواكب إلى أن قوة الجاذبية تخضع لقانون التربيع العكسي.

يمكن قياس حركة القمر بدقة ، وهي أكثر تعقيدًا بشكل ملحوظ من حركة الكواكب. ^{[ 47 ]} لاحظ الفلكيان اليونانيان القديمان، هيبارخوس وبطليموس ، العديد من التغيرات الدورية في مدار القمر، ^{[ 47 ]} مثل التذبذبات الطفيفة في انحراف مداره وميل مداره بالنسبة لمستوى مسار الشمس الظاهري . تحدث هذه التذبذبات عمومًا مرة أو مرتين شهريًا. يتقدم خط أوج القمر تدريجيًا بفترة تقارب 8.85 سنة، بينما يدور خط عقده دورة كاملة في ضعف هذه المدة تقريبًا، أي 18.6 سنة. ^{[ 48 ]} وهذا يفسر دورية الكسوف والخسوف التي تبلغ حوالي 18 عامًا ، والمعروفة بدورة ساروس . مع ذلك، يشهد كلا الخطين تقلبات طفيفة في حركتهما، مرة أخرى على نطاق زمني شهري.

في عام 1673، نشر جيريميا هوروكس نموذجًا دقيقًا نسبيًا لحركة القمر، حيث افترض أن القمر يتبع مدارًا إهليلجيًا متقدمًا. ^{[ 49 ] [ 50 ]} كان من شأن طريقة بسيطة ودقيقة بما يكفي للتنبؤ بحركة القمر أن تحل مشكلة تحديد خط طول السفينة في الملاحة ؛ ^{[ 51 ]} في زمن نيوتن، كان الهدف هو التنبؤ بموقع القمر بدقة 2 دقيقة قوسية ، وهو ما يعادل خطأً قدره درجة واحدة في خط الطول الأرضي. ^{[ 52 ]} تنبأ نموذج هوروكس بموقع القمر بأخطاء لا تتجاوز 10 دقائق قوسية؛ ^{[ 52 ]} وللمقارنة، يبلغ قطر القمر حوالي 30 دقيقة قوسية.

استخدم نيوتن نظريته حول المدارات الدوارة بطريقتين لتفسير ترنح القمر حول محوره. ^{[ 53 ]} أولاً، أظهر أن ترنح القمر المرصود حول محوره يمكن تفسيره بتغيير قانون قوة الجاذبية من قانون التربيع العكسي إلى قانون القوة حيث يكون الأس 2 + 4/243 (حوالي 2.0165) ^{[ 54 ]}$${\displaystyle F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2+4/243}}}}$$

In 1894, Asaph Hall adopted this approach of modifying the exponent in the inverse-square law slightly to explain an anomalous orbital precession of the planetMercury,^[55] which had been observed in 1859 by Urbain Le Verrier.^[56][57] Ironically, Hall's theory was ruled out by careful astronomical observations of the Moon.^[58] The currently accepted explanation for this precession involves the theory of general relativity, which (to first approximation) adds an inverse-quartic force, i.e., one that varies as the inverse fourth power of distance.^[59]

As a second approach to explaining the Moon's precession, Newton suggested that the perturbing influence of the Sun on the Moon's motion might be approximately equivalent to an additional linear force $${\displaystyle F(r)={\frac {A}{r^{2}}}+Br}$$

The first term corresponds to the gravitational attraction between the Moon and the Earth, where r is the Moon's distance from the Earth. The second term, so Newton reasoned, might represent the average perturbing force of the Sun's gravity of the Earth-Moon system. Such a force law could also result if the Earth were surrounded by a spherical dust cloud of uniform density.^[60] Using the formula for k for nearly circular orbits, and estimates of A and B, Newton showed that this force law could not account for the Moon's precession, since the predicted apsidal angle α was (≈ 180.76°) rather than the observed α (≈ 181.525°). For every revolution, the long axis would rotate 1.5°, roughly half of the observed 3.0°.^[53]

Isaac Newton first published his theorem in 1687, as Propositions 43–45 of Book I of his Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. However, as astrophysicist Subrahmanyan Chandrasekhar noted in his 1995 commentary on Newton's Principia, the theorem remained largely unknown and undeveloped for over three centuries.^[23]

افترض نيوتن أن الحركة الزاوية للجسيم الثاني أسرع بمقدار k مرة من حركة الجسيم الأول، _أي θ₂ = kθ₁ . وأن الحركة القطرية للجسيمين متساوية، أي _r₁ = r₂ . ويمكن توسيع نطاق هذه المعالجة لتشمل ربط مقلوب نصف القطر بمعادلة ^{خطية [} ₂₉ ^] _.$${\displaystyle {\frac {1}{r_{2}(t)}}={\frac {a}{r_{1}(t)}}+b}$$

يُغيّر هذا التحويل للمتغيرات مسار الجسيم. فإذا كُتب مسار الجسيم الأول على النحو التالي: _{r₁ =} g ( θ₁ ) ، يُمكن كتابة مسار الجسيم الثاني على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {ar_{2}}{1-br_{2}}}=g{\left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right)}}$$

إذا كانت حركة الجسيم الأول ناتجة عن قوة مركزية F1 ( r ) _، فقد أثبت محمد وفودا أن حركة الجسيم الثاني يمكن أن تنتج عن القوة التالية $${\displaystyle F_{2}(r_{2})={\frac {a^{3}}{\left(1-br_{2}\right)^{2}}}F_{1}{\left({\frac {ar_{2}}{1-br_{2}}}\right)}+{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)-{\frac {bL^{2}}{mr^{2}}}}$$

وفقًا لهذه المعادلة، يتم الحصول على القوة الثانية F ₂ ( r ) عن طريق قياس القوة الأولى وتغيير وسيطها، وكذلك عن طريق إضافة القوى المركزية ذات التربيع العكسي والتكعيب العكسي.

للمقارنة، تتوافق نظرية نيوتن للمدارات الدوارة مع الحالة a = 1 و b = 0 ، بحيث يكون _r₁ = r₂ . في هذه الحالة، لا تتغير القوة الأصلية، ويبقى مقدارها دون تغيير؛ تُضاف قوة التكعيب العكسي، لكن لا يُضاف حد التربيع العكسي. ^{[ 29 ]} كذلك، يكون مسار الجسيم الثاني r₂ ₌ g ( θ² _/ k ) ، _وهو ما يتوافق مع الصيغة المذكورة أعلاه.

يمكن العثور على اشتقاق نيوتن في القسم التاسع من كتابه " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية"، وتحديداً في القضايا 43-45. ^{[ 61 ] [ 62 ]} تستند اشتقاقاته لهذه القضايا إلى حد كبير على الهندسة.

الاقتراح 43؛ المسألة 30

يشترط تحريك جسم في مسار منحني يدور حول مركز القوة بنفس طريقة تحريك جسم آخر في نفس المسار وهو في حالة سكون. ^{[ 63 ]}

يعتمد اشتقاق نيوتن للمبرهنة 43 على مبرهنته 2، التي اشتقها سابقًا في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" . ^{[ 64 ]} تُقدّم المبرهنة 2 اختبارًا هندسيًا لتحديد ما إذا كانت محصلة القوى المؤثرة على كتلة نقطية (جسيم) قوة مركزية . وقد بيّن نيوتن أن القوة مركزية إذا وفقط إذا مسح الجسيم مساحات متساوية في أزمنة متساوية، مقاسة من المركز.

يبدأ اشتقاق نيوتن بجسيم يتحرك تحت تأثير قوة مركزية اختيارية F₁ ( _r )؛ وتُوصَف حركة هذا الجسيم تحت تأثير هذه القوة بنصف قطره r ( t ) من المركز كدالة للزمن، وكذلك زاويته θ₁ ( _t ) . في زمن متناهي الصغر dt ، يمسح الجسيم مثلثًا قائم الزاوية تقريبًا مساحته هي $${\displaystyle dA_{1}={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta _{1}}$$ بما أن القوة المؤثرة على الجسيم تُفترض أنها قوة مركزية، فإن الجسيم يمسح زوايا متساوية في أزمنة متساوية، وفقًا لفرضية نيوتن الثانية. أما جسيم ثانٍ له نفس نصف القطر في مداره، وتغيره الزاوي مضروب في عامل ثابت k ، فإنه سيمسح في نفس الفترة الزمنية dt مساحةً $${\displaystyle dA_{2}={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta _{2}={\frac {1}{2}}r^{2}kd\theta _{1}}$$ نسبة dA₂ إلى dA₁ هي k لأي زيادة زمنية متناهية الصغر، وبالتالي، من الصحيح عمومًا أن الجسيم الثاني يمسح _{مساحةً تساوي} k ضعف _مساحة الجسيم الأول في نفس الفترة الزمنية. لذلك، يمسح الجسيم الثاني مساحات متساوية في أزمنة متساوية، وبحسب الخاصية 2، فإن الجسيم الثاني يخضع أيضًا لقوة مركزية _F₂ ( r ) . ^{[ 65 ]}

نُشرت اشتقاقات حديثة لنظرية نيوتن بواسطة ويتاكر (1937) ^{[ 24 ]} وتشاندراسيكار ( 1995 ) ^{[ 63 ]} . وبافتراض أن السرعة الزاوية الثانية أسرع بمقدار k مرة من السرعة الزاوية الأولى $${\displaystyle \omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}}$$

بما أن نصفي القطرين لهما نفس السلوك مع الزمن، r ( t )، فإن الزخم الزاوي المحفوظ يرتبط بنفس العامل k$${\displaystyle L_{2}=mr^{2}\omega _{2}=mr^{2}k\omega _{1}=kL_{1}\,\!}$$

تُعطى معادلة الحركة لنصف قطر r لجسيم كتلته m يتحرك في جهد مركزي V ( r ) بواسطة معادلات لاغرانج.$${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=F(r)}$$

بتطبيق الصيغة العامة على المدارين نحصل على المعادلة $${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}&=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\\[1ex]&=F_{2}(r)+{\frac {L_{2}^{2}}{mr^{3}}}=F_{2}(r)+{\frac {k^{2}L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\end{aligned}}}$$ والتي يمكن إعادة ترتيبها إلى الشكل التالي $${\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$$

يمكن فهم هذه المعادلة التي تربط بين القوتين الشعاعيتين نوعياً على النحو التالي. يؤدي اختلاف السرعات الزاوية (أو ما يعادلها، الزخم الزاوي) إلى اختلاف في متطلبات القوة المركزية ؛ ولتعويض ذلك، يجب تعديل القوة الشعاعية بقوة مكعبة عكسية.

• متجه لابلاس-رونج-لينز
• مسألة الجسمين في النسبية العامة
• نظرية نيوتن حول الأشكال البيضاوية

• كوك، أ. (1988). حركة القمر . بريستول: آدم هيلجر. ISBN 0-85274-348-3.
• غوتشيارديني، نيكولو (1999). قراءة كتاب المبادئ: النقاش حول أساليب نيوتن الرياضية للفلسفة الطبيعية من 1687 إلى 1736. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-54403-0.
• نيوتن الأول (1966). كتاب المبادئ، المجلد الأول: حركة الأجسام (مستند إلى الطبعة الثانية لنيوتن (1713)؛ ترجمة أندرو موت (1729) ومراجعة فلوريان كاجوري (1934)  . بيركلي، كاليفورنيا: مطبعة جامعة كاليفورنيا. الصفحات 135-147 (القسم التاسع من الكتاب الأول) . ISBN  978-0-520-00928-8.ترجمة بديلة للطبعة السابقة (الثانية) من كتاب نيوتن " برينسيبيا" .

• ناقش آلان شينسينر مسألة الأجسام الثلاثة في موقع سكولاربيديا.