مشغل (فيزياء)

تحويل	المشغل	موضع	دَفعَة
التناظر الانتقالي	${\displaystyle X(\mathbf {a} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }$
تناظر الإزاحة الزمنية	${\displaystyle U(t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}$
الثبات الدوراني	${\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }$
تحويلات جاليليو	${\displaystyle G(\mathbf {v} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }$
التكافؤ	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }$
التناظر على شكل حرف T	${\displaystyle T}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$

أين${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}$هي مصفوفة الدوران حول محور محدد بواسطة متجه الوحدة${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$والزاوية θ .

يجب أن تكون الدالة الموجية قابلة للتكامل التربيعي (انظر فضاءات L ^p )، وهذا يعني:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }$

وقابلة للتطبيع، بحيث:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}$

حالتان من الحالات الذاتية (والقيم الذاتية) هما:

• للحالات الذاتية المنفصلة${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$تشكل أساسًا منفصلاً، لذا فإن أي حالة هي مجموع$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }$$حيث cᵢ أعداد ^مركبة بحيث يكون | cᵢ _| ^² = cᵢ _* cᵢ _هو احتمال قياس _الحالة${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$، ومجموعة القيم الذاتية المقابلة aᵢ منفصلة أيضًا - إما محدودة أو غير محدودة قابلة للعد . في هذه الحالة، يُعطى الجداء الداخلي لحالتين ذاتيتين بالصيغة التالية _:${\displaystyle \langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$، أين${\displaystyle \delta _{mn}}$يشير إلى دلتا كرونكر . ومع ذلك،
• بالنسبة لمجموعة متصلة من الحالات الذاتية التي تشكل أساسًا متصلًا، فإن أي حالة هي تكامل$${\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }$$حيث c ( φ ) دالة مركبة بحيث يكون | c (φ) | ^² = c (φ) ^* c (φ) هو احتمال قياس الحالة${\displaystyle |\phi \rangle }$وهناك مجموعة لا نهائية غير قابلة للعد من القيم الذاتية a . في هذه الحالة، يُعرَّف الجداء الداخلي لحالتين ذاتيتين على النحو التالي:${\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}$أين هنا${\displaystyle \delta (x-y)}$يشير إلى دالة ديراك دلتا .

لنفترض أن ψ هي الدالة الموجية لنظام كمومي، و${\displaystyle {\hat {A}}}$ليكن أي مؤثر خطي لمتغير قابل للرصد A (مثل الموضع، الزخم، الطاقة، الزخم الزاوي، إلخ). إذا كانت ψ دالة ذاتية للمؤثر${\displaystyle {\hat {A}}}$، ثم

${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}$

حيث a هي القيمة الذاتية للمؤثر، والتي تتوافق مع القيمة المقاسة للمتغير القابل للملاحظة، أي أن المتغير القابل للملاحظة A له قيمة مقاسة a .

إذا كانت ψ دالة ذاتية لمؤثر معين${\displaystyle {\hat {A}}}$إذا تم قياس الكمية القابلة للرصد A على الحالة ψ ، فسيتم رصد كمية محددة (القيمة الذاتية a ) . وعلى العكس من ذلك، إذا لم تكن ψ دالة ذاتية لـ${\displaystyle {\hat {A}}}$إذن، ليس لها قيمة ذاتية لـ${\displaystyle {\hat {A}}}$ولا يمتلك المتغير القابل للرصد قيمة محددة واحدة في هذه الحالة. بدلاً من ذلك، ستُعطي قياسات المتغير القابل للرصد A كل قيمة ذاتية باحتمالية معينة (مرتبطة بتحليل ψ بالنسبة إلى الأساس الذاتي المتعامد لـ${\displaystyle {\hat {A}}}$).

يمكن كتابة ما سبق باستخدام تدوين برا-كيت؛

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}$

متساوية إذا${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$هو متجه ذاتي ، أو غلاف ذاتي للمتغير القابل للملاحظة A.

بسبب خاصية الخطية، يمكن تعريف المتجهات في أي عدد من الأبعاد، حيث يؤثر كل مكون من مكونات المتجه على الدالة بشكل منفصل. ومن الأمثلة الرياضية على ذلك مؤثر دل ، وهو نفسه متجه (مفيد في المؤثرات الكمومية المتعلقة بالزخم، كما هو موضح في الجدول أدناه).

يمكن كتابة عامل في فضاء ذي أبعاد n كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}$

حيث تمثل e _j متجهات الأساس المقابلة لكل مؤثر مكون A _j . وسينتج عن كل مكون قيمة ذاتية مقابلة.${\displaystyle a_{j}}$تطبيق هذا على الدالة الموجية ψ :

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}$

والتي استخدمناها${\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}$

في تدوين برا-كيت:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}$

إذا كان للمتغيرين القابلين للرصد A و B مؤثرات خطية${\displaystyle {\hat {A}}}$و${\displaystyle {\hat {B}}}$، يتم تعريف المبدل بواسطة،

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

المبدل هو نفسه مؤثر (مركب). بتطبيق المبدل على ψ نحصل على:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}$

إذا كانت ψ دالة ذاتية ذات قيم ذاتية a و b للمتغيرات القابلة للرصد A و B على التوالي، وإذا كانت المؤثرات تتبادل:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}$

عندئذٍ يمكن قياس الكميتين القابلتين للرصد A و B في وقت واحد بدقة لا نهائية، أي بدون أي شكوك.${\displaystyle \Delta A=0}$،${\displaystyle \Delta B=0}$في آن واحد. ويُقال حينها أن ψ هي الدالة الذاتية المتزامنة للمصفوفتين A و B. ولتوضيح ذلك:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}$

يُظهر هذا أن قياس A وB لا يُسبب أي تغيير في الحالة، أي أن الحالة الابتدائية والنهائية متطابقتان (لا يوجد أي تشويش ناتج عن القياس). لنفترض أننا قمنا بقياس A للحصول على القيمة a، ثم قمنا بقياس B للحصول على القيمة b، ثم قمنا بقياس A مرة أخرى. ما زلنا نحصل على القيمة a نفسها. من الواضح أن حالة النظام ( ψ ) لم تتغير، وبالتالي يُمكننا قياس A وB في آنٍ واحد بدقة متناهية.

إذا لم يكن المشغلون يتنقلون يومياً:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}$

لا يمكن إعدادها في وقت واحد بدقة مطلقة، وهناك علاقة عدم يقين بين المتغيرات القابلة للرصد

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}$

حتى لو كانت ψ دالة ذاتية، فإن العلاقة المذكورة أعلاه تبقى صحيحة. ومن الأزواج المهمة علاقات عدم اليقين بين الموضع والزخم، والطاقة والزمن، والزخم الزاوي (اللف المغزلي، والمداري، والإجمالي) حول أي محورين متعامدين (مثل L _x و L _y ، أو s _y و s _z ، إلخ). ^{[ 2 ]}

القيمة المتوقعة (أو ما يعادلها القيمة المتوسطة) هي متوسط ​​قياس كمية قابلة للرصد، بالنسبة لجسيم في المنطقة R.${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }$المشغل${\displaystyle {\hat {A}}}$يتم حسابها من: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}$

يمكن تعميم ذلك على أي دالة F لمؤثر ما:

${\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}$

ومن الأمثلة على F التأثير المزدوج لـ A على ψ ، أي تربيع عامل أو القيام بذلك مرتين:

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}$

تعريف المؤثر الهرميتي هو: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}$

وبناءً على ذلك، في تدوين برا-كيت:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}$

تشمل الخصائص المهمة للمؤثرات الهرميتية ما يلي:

• القيم الذاتية الحقيقية،
• المتجهات الذاتية ذات القيم الذاتية المختلفة تكون متعامدة .
• يمكن اختيار المتجهات الذاتية لتكون أساسًا متعامدًا كاملًا ،

يمكن كتابة المؤثر في صورة مصفوفة لتحويل متجه أساس إلى آخر. ولأن المؤثرات خطية، فإن المصفوفة تمثل تحويلاً خطياً (أو مصفوفة انتقال) بين الأساسات. كل عنصر من عناصر الأساس${\displaystyle \phi _{j}}$يمكن ربطها بأخرى، ^{[ 3 ]} من خلال التعبير التالي:

${\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}$

وهو عنصر من عناصر المصفوفة:

${\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

من خصائص المؤثر الهيرميتي الأخرى أن الدوال الذاتية المناظرة للقيم الذاتية المختلفة متعامدة. ^{[ 1 ]} في صيغة المصفوفة، تسمح المؤثرات بإيجاد قيم ذاتية حقيقية، تتوافق مع القياسات. يتيح التعامد مجموعة أساسية مناسبة من المتجهات لتمثيل حالة النظام الكمومي. تُحسب القيم الذاتية للمؤثر بنفس طريقة حسابها للمصفوفة المربعة ، وذلك بحل متعددة الحدود المميزة .

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}$

حيث I هي مصفوفة الوحدة من الرتبة n × n ، وهي كمؤثر تُقابل مؤثر الوحدة. بالنسبة للأساس المتقطع:

${\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$

بينما بشكل مستمر:

${\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }$

عامل غير منفرد${\displaystyle {\hat {A}}}$له عكس${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$مُعرَّف بواسطة:

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}$

إذا لم يكن للمؤثر معكوس، فهو مؤثر شاذ. في فضاء محدود الأبعاد، يكون المؤثر غير شاذ إذا وفقط إذا كان محدده غير صفري.

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}$

وبالتالي فإن المحدد يساوي صفرًا بالنسبة للمؤثر المنفرد.

تُجمع المؤثرات المستخدمة في ميكانيكا الكم في الجدول أدناه (انظر على سبيل المثال ^{[ 1 ] [ 4 ]} ). المتجهات المكتوبة بخط غامق والمُحاطة بعلامات التشكيل ليست متجهات وحدة ، بل هي مؤثرات ثلاثية الأبعاد؛ أي جميع المكونات المكانية الثلاثة مجتمعة.

المشغل (الاسم الشائع/الأسماء الشائعة)	المكون الديكارتي	التعريف العام	وحدة النظام الدولي للوحدات	الأبعاد
موضع	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&=x,&{\hat {y}}&=y,&{\hat {z}}&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} \,\!}$	م	[L]
دَفعَة	عام ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},&{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},&{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}$	عام ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!}$	J sm −1 = N s	[M] [L] [T] −1
	المجال الكهرومغناطيسي ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}}$	المجال الكهرومغناطيسي (يستخدم الزخم الحركي ؛ A ، الجهد المتجهي) ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {p}} &=\mathbf {\hat {P}} -q\mathbf {A} \\&=-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \\\end{aligned}}\,\!}$	J sm −1 = N s	[M] [L] [T] −1
الطاقة الحركية	ترجمة ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!}$	ج	[M] [L] 2 [T] −2
	المجال الكهرومغناطيسي ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!}$	المجال الكهرومغناطيسي ( أ ، كمون متجهي ) ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!}$	ج	[M] [L] 2 [T] −2
	الدوران ( I ، عزم القصور الذاتي ) ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}\,\!}$	تناوب ${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!}$	ج	[M] [L] 2 [T] −2
الطاقة الكامنة	غير متوفر	${\displaystyle {\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!}$	ج	[M] [L] 2 [T] −2
إجمالي الطاقة	غير متوفر	الجهد المتغير مع الزمن: ${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!}$ مستقل عن الزمن: ${\displaystyle {\hat {E}}=E\,\!}$	ج	[M] [L] 2 [T] −2
الهاميلتوني		${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} +V\\&={\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+V\\\end{aligned}}\,\!}$	ج	[M] [L] 2 [T] −2
مؤثر الزخم الزاوي	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla }$	J s = N sm	[M] [L] 2 [T] −1
الزخم الزاوي الدوراني	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}&={\hbar \over 2}\sigma _{x}&{\hat {S}}_{y}&={\hbar \over 2}\sigma _{y}&{\hat {S}}_{z}&={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}}$ أين ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$ هي مصفوفات باولي للجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2 .	${\displaystyle \mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!}$ حيث σ هو المتجه الذي تكون مكوناته هي مصفوفات باولي.	J s = N sm	[M] [L] 2 [T] −1
الزخم الزاوي الكلي	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}}$	J s = N sm	[M] [L] 2 [T] −1
عزم ثنائي القطب الانتقالي (كهربائي)	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}},&{\hat {d}}_{y}&=q{\hat {y}},&{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$	سي متر	[I] [T] [L]

تتمثل إجراءات استخلاص المعلومات من دالة الموجة فيما يلي. لنأخذ الزخم p لجسيم كمثال. مؤثر الزخم في أساس الموضع في بُعد واحد هو:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

بجعل هذا التأثير يؤثر على ψ نحصل على:

${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}$

إذا كانت ψ دالة ذاتية لـ${\displaystyle {\hat {p}}}$إذن، فإن قيمة الزخم الذاتية p هي قيمة زخم الجسيم، والتي يتم إيجادها بواسطة:

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}$

في ثلاثة أبعاد، يستخدم عامل الزخم عامل نابلا ليصبح:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}$

في الإحداثيات الديكارتية (باستخدام متجهات الأساس الديكارتية القياسية e _x ، e _y ، e _z ) يمكن كتابة ذلك؛

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

إنه:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}$

عملية إيجاد القيم الذاتية هي نفسها. بما أن هذه معادلة متجهة ومؤثرة، فإذا كانت ψ دالة ذاتية، فسيكون لكل مركبة من مركبات مؤثر الزخم قيمة ذاتية مقابلة لتلك المركبة من الزخم.${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$على ψ نحصل على:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}$