قائمة بمجموع مقلوبات الأعداد

في الرياضيات ونظرية الأعداد ، يُعرَّف مجموع المقلوبات (أو مجموع المعكوسات ) بأنه مجموع مقلوبات سلسلة من الأعداد الصحيحة الموجبة (أعداد العد). وهو مجموع كسور الوحدة . إذا جُمعت مقلوبات عدد لا نهائي من الأعداد، فعادةً ما تُعطى الحدود على شكل متتالية يُعرَّف حدها $النوني$ بأنه مجموع أول $ن$ مقلوبات.

بالنسبة لمجموع مقلوبات الأعداد على سلسلة من الأعداد المحدودة، تشمل الأسئلة الرئيسية ما إذا كان هناك تعبير بسيط لقيمة المجموع، وما إذا كان المجموع يجب أن يكون أقل من قيمة معينة، وما إذا كان المجموع عددًا صحيحًا في أي وقت.

عندما يكون مجموع مقلوبات الأعداد على متسلسلة لانهائية ، تُطرح أسئلة من بينها: أولًا، هل تتباعد متسلسلة المجاميع - أي هل تتجاوز في النهاية أي عدد مُعطى - أم تتقارب ، بمعنى وجود عدد ما تقترب منه بشكل عشوائي دون أن تتجاوزه أبدًا؟ (يُقال إن مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة كبيرة إذا كان مجموع مقلوباتها متباعدًا، وصغيرة إذا كانت متقاربة). ثانيًا، إذا كانت متقاربة، فما هو التعبير البسيط للقيمة التي تتقارب إليها؟ هل هذه القيمة نسبية أم غير نسبية ، وهل هي جبرية أم متسامية ؟

عدد لا نهائي من المصطلحات

المتوسط التوافقي لمجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة هو عدد الأعداد مضروبًا في مقلوب مجموع مقلوباتها.
تتطلب معادلة البصريات أن يساوي مجموع مقلوب عددين صحيحين موجبين a و b مقلوب عدد صحيح موجب ثالث c . جميع الحلول معطاة بالصيغة a = mn + m² ^،b = mn + n² ^،c = mn . تظهر هذه المعادلة في سياقات متنوعة في الهندسة الابتدائية .
تتعلق حدسية فيرما -كاتالان بمعادلة ديوفانتية معينة ، تُساوي مجموع حدين، كل منهما عدد صحيح موجب مرفوع إلى قوة عدد صحيح موجب، بحد ثالث هو أيضًا عدد صحيح موجب مرفوع إلى قوة عدد صحيح موجب (مع عدم وجود عوامل أولية مشتركة بين الأعداد الأساسية). تتساءل الحدسية عما إذا كانت للمعادلة عدد لا نهائي من الحلول التي يكون فيها مجموع مقلوب الأسس الثلاثة في المعادلة أقل من 1. والغرض من هذا القيد هو استبعاد العدد اللانهائي المعروف من الحلول التي يكون فيها أسّان يساويان 2 والأس الثالث أي عدد زوجي.
إن العدد التوافقي رقم n ، وهو مجموع مقلوبات أول n عدد صحيح موجب، لا يكون عددًا صحيحًا أبدًا باستثناء الحالة n = 1.
علاوة على ذلك، أثبت جوزيف كورشاك في عام 1918 أن مجموع مقلوب الأعداد الطبيعية المتتالية (سواء بدأ من 1 أم لا) لا يكون عددًا صحيحًا أبدًا.
إن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية n الأولى ليس عددًا صحيحًا لأي قيمة لـ n .
يوجد 14 تركيبة مختلفة من أربعة أعداد صحيحة بحيث يكون مجموع مقلوباتها 1، منها ست تركيبات تستخدم أربعة أعداد صحيحة مختلفة، وثماني تركيبات تتكرر فيها أعداد صحيحة واحدة على الأقل. ^{[ 1 ]}
الكسر المصري هو مجموع عدد محدود من مقلوبات الأعداد الصحيحة الموجبة. وفقًا لبرهان مسألة إردوش-غراهام ، إذا قُسّمت مجموعة الأعداد الصحيحة الأكبر من واحد إلى عدد محدود من المجموعات الجزئية، فإنه يمكن استخدام إحدى هذه المجموعات الجزئية لتكوين تمثيل كسر مصري للعدد 1.
تنص فرضية إردوش -ستراوس على أنه بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة n ≥ 2، يمكن التعبير عن العدد النسبي 4/ n على أنه مجموع ثلاثة مقلوبات لأعداد صحيحة موجبة.
حاصل قسمة فيرما ذو الأساس 2، وهو ${\frac {2^{p-1}-1}{p}}$ بالنسبة للعدد الأولي الفردي p ، عند التعبير عنه بصيغة mod p وضربه في −2، يساوي مجموع مقلوبات mod p للأعداد التي تقع في النصف الأول من النطاق {1، p − 1}.
في أي مثلث ، يكون مجموع مقلوب الارتفاعات مساوياً لمقلوب نصف قطر الدائرة الداخلية (بغض النظر عما إذا كانت أعدادًا صحيحة أم لا).
في المثلث القائم الزاوية ، يساوي مجموع مقلوب مربعي الارتفاعين من الضلعين القائمين (أو مربعي الضلعين القائمين أنفسهما) مقلوب مربع الارتفاع من الوتر ( نظرية فيثاغورس العكسية ). ويتحقق هذا سواء كانت الأعداد صحيحة أم لا؛ إذ توجد صيغة (انظر هنا ) تُعطي جميع الحالات الصحيحة.
يمكن تحديد المثلث الذي لا يقع بالضرورة في المستوى الإقليدي بأنه ذو زوايا ${\frac {\pi }{p}},$ ${\frac {\pi }{q}},$ و ${\frac {\pi }{r}}.$ ثم يكون المثلث في الفضاء الإقليدي إذا كان مجموع مقلوبات p و q و r يساوي 1، وفي الفضاء الكروي إذا كان هذا المجموع أكبر من 1، وفي الفضاء الزائدي إذا كان المجموع أقل من 1.
العدد التوافقي هو عدد صحيح موجب يكون متوسط قواسمه التوافقي عددًا صحيحًا. أول خمسة أعداد توافقية هي 1، 6، 28، 140، و270. من غير المعروف ما إذا كانت هناك أعداد توافقية فردية (باستثناء 1)، ولكن لا يوجد عدد فردي أقل من 10^ ²⁴ .
مجموع مقلوب قواسم العدد الكامل يساوي 2.
عند توزيع ثماني نقاط على سطح كرة بهدف زيادة المسافة بينها إلى أقصى حد ممكن، فإن الشكل الناتج يُشبه منشورًا مربعًا مضادًا . ومن بين الطرق المحددة لتوزيع هذه النقاط، على سبيل المثال، تقليل مجموع مقلوب مربعات المسافات بين النقاط.

عدد لا نهائي من المصطلحات

المتسلسلات المتقاربة

المتتالية الخالية من المجموع من الأعداد الصحيحة الموجبة المتزايدة هي متتالية لا يكون فيها أي عدد مجموع أي مجموعة جزئية من الأعداد السابقة. ويكون مجموع مقلوبات الأعداد في أي متتالية خالية من المجموع أقل من $2.8570$ .

يتقارب مجموع مقلوبات الأعداد السباعية إلى قيمة معروفة ليست فقط غير نسبية ولكنها أيضًا متسامية ، والتي توجد لها صيغة معقدة .

يُعرف أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم ، والتي قد يكون عددها محدودًا أو غير محدود، هو عدد محدود ويُسمى ثابت برون ، وقيمته التقريبية $1.90216$ . (اصطلاحًا، مقلوب $5$ (يظهر مرتين في المجموع.)

من المعروف أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية لبروث ، والتي قد يكون عددها محدودًا أو غير محدود، هو عدد محدود، ويبلغ تقريبًا $0.747392479$ . ^{[ 2 ]}

الرباعيات الأولية هي أزواج من الأعداد الأولية المتطابقة التي يفصل بينها عدد فردي واحد فقط. مجموع مقلوبات الأعداد في الرباعيات الأولية يساوي تقريبًا $0.8706$ .

مجموع مقلوب القوى الكاملة (بما في ذلك المكررة) يساوي $1$ .

مجموع مقلوب القوى الكاملة (باستثناء التكرارات) يساوي تقريبًا $0.8745$ . ^{[ 3 ]}

مجموع مقلوب القوى $\ n^{n}\$ يساوي تقريبًا $1.2913$ . المجموع يساوي تمامًا تكاملًا محددًا : $\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{n}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\ dx\ }{\ x^{x}}}\$

تم اكتشاف هذه الهوية من قبل يوهان برنولي في عام 1697، وهي تُعرف الآن بأنها واحدة من هويتي حلم طالب السنة الثانية .

تنص نظرية غولدباخ -أويلر على أن مجموع مقلوبات الأعداد التي تقل بمقدار 1 عن قوة كاملة (باستثناء التكرارات) يساوي 1.

مجموع مقلوبات جميع الأعداد المثلثية غير الصفرية يساوي $2$ .

ثابت فيبوناتشي المقلوب هو مجموع مقلوبات أعداد فيبوناتشي ، وهو عدد محدود وغير نسبي، ويساوي تقريبًا 3.3599. للاطلاع على مجاميع محدودة أخرى لمجموعات جزئية من مقلوبات أعداد فيبوناتشي، انظر هنا .

المضروب الأسي هو عملية معرفة بشكل متكرر على النحو التالي $\ a_{0}=1,~a_{n}=n^{a_{n-1}}~.$ على سبيل المثال، $\ a_{4}=4^{3^{2^{1}}}\$ حيث يتم حساب الأسس من الأعلى إلى الأسفل. مجموع مقلوب مضروب الأس من 1 فصاعدًا يساوي تقريبًا 1.6111 وهو عدد متسامٍ.

العدد " القوي " هو عدد صحيح موجب يظهر فيه كل عدد أولي في تحليله إلى عوامله الأولية مرتين على الأقل. مجموع مقلوبات الأعداد القوية قريب من 1.9436. ^{[ 4 ]}

مجموع مقلوب المضروب يساوي العدد المتسامي $e$ (أحد الثابتين المسميين " عدد أويلر ").

مجموع مقلوبات الأعداد المربعة ( مسألة بازل ) هو العدد المتسامي $π 2 / 6 ،$ أو $ζ$ $($ $2)$ حيث $ζ$ هي دالة زيتا لريمان .

يُطلق على مجموع مقلوب مكعبات الأعداد الصحيحة الموجبة اسم ثابت أبيري $ζ (3)$ ، ويساوي تقريبًا 1.2021. هذا العدد غير نسبي ، ولكن من غير المعروف ما إذا كان متساميًا أم لا .

مجموع مقلوبات قوى العدد 2 غير السالبة يساوي $2.$ هذه حالة خاصة من مجموع مقلوبات أي متسلسلة هندسية يكون حدها الأول ونسبتها المشتركة عددين صحيحين موجبين. إذا كان الحد الأول هو $a$ والنسبة المشتركة هي $r،$ فإن المجموع يساوي $r$ $/$ $a$ $($ $r$ $-$ $1)$ $.$

متسلسلة كيمبنر هي مجموع مقلوبات جميع الأعداد الصحيحة الموجبة التي لا تحتوي على الرقم "9" في النظام $العشري$ . وعلى عكس المتسلسلة التوافقية ، التي لا تستثني هذه الأعداد، فإن هذه المتسلسلة تتقارب، وتحديداً إلى حوالي $22.9207$ .

العدد المتناظر هو العدد الذي يبقى كما هو عند عكس أرقامه. مجموع مقلوبات الأعداد المتناظرة يتقارب إلى حوالي $3.3703$ .

العدد الخماسي هو عدد يقع في الخلية الخامسة من أي صف في مثلث باسكال بدءًا من الصف ذي الخمسة حدود $1 4 6 4 1.$ مجموع مقلوبات الأعداد الخماسية هو 4/3 .

متتالية سيلفستر هي متتالية أعداد صحيحة ، كل حد فيها هو حاصل ضرب الحدين السابقين مضافًا إليه واحد. الحدود الأولى من المتتالية هي: $٢، ٣، ٧، ٤٣، ١٨٠٧.$ مجموع مقلوبات الأعداد في متتالية سيلفستر يساوي $١$ .

دالة زيتا لريمان ζ $(s) هي$ دالة لمتغير عقدي s $،$ وهي امتداد تحليلي لمجموع المتسلسلة اللانهائية. $\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{s}\ }}~$ إلى دالة تحليلية على كامل المستوى المركب باستثناء s = 1، حيث يكون لـ $ζ (s)$ قطب. تتقارب هذه المتسلسلة إذا وفقط إذا كان الجزء الحقيقي من $s$ أكبر من $1$ .

مجموع مقلوبات جميع أعداد ميرسين هو ثابت إردوش-بورفين .

مجموع مقلوبات جميع أعداد فيرما (أعداد من الشكل $\ 2^{(2^{n})}+1\$ ) (التسلسل A051158 في OEIS ) غير منطقي .

مجموع مقلوبات الأعداد البرونية (حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين) (باستثناء $0$ ) يساوي $1$ (انظر سلسلة التلسكوب ).

الفرق بين $H_{k(n+1)}$ و $H_{k}$ يقترب من اللوغاريتم الطبيعي لـ $n+1$ مثل $k$ يزداد.

سلسلة دايفرجنت

يتباعد المجموع الجزئي النوني للمتسلسلة $التوافقية$ ، وهو مجموع مقلوبات أول $n$ عدد صحيح موجب، عندما يؤول $n$ إلى اللانهاية، وإن كان ذلك ببطء شديد: مجموع أول $10 عدد الحدود 43$ أقل من $100.$ الفرق بين المجموع التراكميواللوغاريتم الطبيعيلـ $n$ يتقارب إلىثابت أويلر-ماسكيروني، والذي يُشار إليه عادةً بـ $\gamma ,$ وهو ما يعادل تقريبًا $0.5772$ .

مجموع مقلوبات الأعداد الأولية متباعد.

بفرض وجود عددين صحيحين موجبين أوليين فيما بينهما $a$ و $b$ ، فإن مجموع مقلوب هذين العددين الأوليين من الشكل $an + b$ يكون متباعدًا. تُستخدم هذه النتيجة لإثبات نظرية ديريشليه ، التي تنص على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. $p$ مُرضٍ $p\equiv a{\text{ }}(\mathrm {mod} {\text{ }}b)$ .
مجموع مقلوبات الأعداد الأولية من الشكل $4n + 1$ متباعد. وبحسب نظرية فيرما حول مجموع مربعين ، فإن مجموع مقلوبات الأعداد من الشكل $a^{2}+b^{2},$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان غير سالبين، وليس كلاهما يساوي $0$ ، متباعدة، مع أو بدون تكرار.

إذا كانت $a (k) أي سلسلة تصاعدية من الأعداد الصحيحة$ $الموجبة$ مع الخاصية التي يوجد بها $N$ بحيث يكون $a (k + 1) - a (k) < N$ لجميع $k$ ، فإن مجموع المقلوب $1$ $/$ $a$ $($ $k$ $)$ $يتباعد$ .

تنص فرضية إردوش حول المتتابعات الحسابية على أنه إذا كان مجموع مقلوبات عناصر مجموعة $A$ من الأعداد الصحيحة الموجبة متباعدًا، فإن $A$ تحتوي على متتابعات حسابية مهما كان طولها. اعتبارًا من عام 2024لا تزال هذه الفرضية غير مثبتة.

القوى العكسية

يمكن توسيع مجموع المعكوسات ليشمل مجموع القوى المعكوسة :

مسألة بازل ، مجموع المربعات العكسية
ثابت أبيري ، وهو مجموع المكعبات المعكوسة

انظر أيضاً

مراجع

↑ جميع التركيبات هي (2،3،7،42)، (2،3،8،24)، (2،3،9،18)، (2،3،10،15)، (2،4،5،20)، (2،4،6،12)، (3،3،4،12)، (3،4،4،6)، (2،3،12،12)، (2،4،8،8)، (2،5،5،10)، (3،3،6،6)، (2،6،6،6)، و(4،4،4،4).
^ بورسوس، بيرتالان؛ كوفاكس، أتيلا؛ تيهاني ، نوربرت (1 سبتمبر 2022). “حدود عليا ودنيا ضيقة للمجموع المتبادل لأعداد بروث الأولية”. مجلة رامانوجان . 59 (1): 181-198 . دوى : 10.1007 / s11139-021-00536-2 . اتش دي ال : 10831/83020 . S2CID 246024152 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "القوة الكاملة" . عالم الرياضيات .
↑ غولومب، إس دبليو (1970). "أعداد قوية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 77 (8): 848-852 . doi : 10.2307/2317020 . JSTOR 2317020 .

[1] جميع التركيبات هي (2،3،7،42)، (2،3،8،24)، (2،3،9،18)، (2،3،10،15)، (2،4،5،20)، (2،4،6،12)، (3،3،4،12)، (3،4،4،6)، (2،3،12،12)، (2،4،8،8)، (2،5،5،10)، (3،3،6،6)، (2،6،6،6)، و(4،4،4،4).

[2] بورسوس، بيرتالان؛ كوفاكس، أتيلا؛ تيهاني ، نوربرت (1 سبتمبر 2022). “حدود عليا ودنيا ضيقة للمجموع المتبادل لأعداد بروث الأولية”. مجلة رامانوجان . 59 (1): 181-198 . دوى : 10.1007 / s11139-021-00536-2 . اتش دي ال : 10831/83020 . S2CID 246024152 .

[3] وايسشتاين، إريك دبليو. "القوة الكاملة" . عالم الرياضيات .

[4] غولومب، إس دبليو (1970). "أعداد قوية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 77 (8): 848-852 . doi : 10.2307/2317020 . JSTOR 2317020 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗