مجموعة مجانية

في الرياضيات ، المجموعة الحرة${\displaystyle F_{S}}$على مجموعة معينة${\displaystyle S}$يتألف من جميع الكلمات التي يمكن تكوينها من أعضاء${\displaystyle S}$، مع اعتبار كلمتين مختلفتين ما لم تكن مساواتهما ناتجة عن بديهيات المجموعة (مثل${\displaystyle st=suu^{-1}t}$لكن${\displaystyle s\neq t^{-1}}$ل${\displaystyle s,t,u\in S}$أعضاء${\displaystyle S}$تُسمى هذه المولدات بمولدات${\displaystyle F_{S}}$وعدد المولدات هو رتبة المجموعة الحرة. مجموعة اختيارية${\displaystyle G}$يُطلق عليه اسم "حر" إذا كان متماثلاً مع${\displaystyle F_{S}}$لبعض المجموعات الفرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle G}$أي، إذا كانت هناك مجموعة جزئية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle G}$بحيث يكون كل عنصر من${\displaystyle G}$يمكن كتابتها بطريقة واحدة فقط كحاصل ضرب عدد محدود من العناصر من${\displaystyle S}$ومعكوساتها (بغض النظر عن الاختلافات البسيطة مثل${\displaystyle st=suu^{-1}t}$).

ثمة مفهوم ذو صلة ولكنه مختلف، وهو الزمرة الأبيلية الحرة ؛ وكلا المفهومين هما حالتان خاصتان من كائن حر من الجبر الشامل . وعلى هذا النحو، تُعرَّف الزمر الحرة بخاصيتها الشاملة .

ظهرت الزمر الحرة لأول مرة في دراسة الهندسة الزائدية ، كأمثلة على الزمر الفوشية (الزمر المنفصلة التي تعمل عن طريق التماثلات على المستوى الزائدي ). في ورقة بحثية نُشرت عام 1882، أشار والتر فون ديك إلى أن هذه الزمر لها أبسط تمثيل ممكن . ^{[ 1 ]} بدأ جاكوب نيلسن الدراسة الجبرية للزمر الحرة عام 1924، وهو من أطلق عليها هذا الاسم ووضع العديد من خصائصها الأساسية. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} أدرك ماكس دين الصلة بينها وبين الطوبولوجيا، وحصل على أول برهان كامل لنظرية نيلسن-شراير . ^{[ 5 ]} نشر أوتو شراير برهانًا جبريًا لهذه النتيجة عام 1927، ^{[ 6 ]} وأدرج كورت ريديميستر معالجة شاملة للزمر الحرة في كتابه الصادر عام 1932 حول الطوبولوجيا التوافقية . ^{[ 7 ]} وفي وقت لاحق من ثلاثينيات القرن العشرين، اكتشف ويلهلم ماغنوس العلاقة بين السلسلة المركزية السفلى للمجموعات الحرة وجبر لي الحر .

المجموعة${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$مجموعة الأعداد الصحيحة خالية من الرتبة 1؛ مجموعة مولدة هي${\displaystyle S=\{1\}}$الأعداد الصحيحة هي أيضًا زمرة أبيلية حرة ، على الرغم من أن جميع الزمر الحرة من الرتبة${\displaystyle \geq 2}$هي غير تبديلية. زمرة حرة على مجموعة مكونة من عنصرين${\displaystyle S}$يحدث ذلك في برهان مفارقة باناخ-تارسكي ويتم وصفه هناك.

من ناحية أخرى، لا يمكن لأي مجموعة منتهية غير تافهة أن تكون حرة، لأن عناصر مجموعة توليد حرة لمجموعة حرة لها ترتيب لانهائي.

في الطوبولوجيا الجبرية ، فإن المجموعة الأساسية لباقة من k دائرة (مجموعة من k حلقة لها نقطة واحدة مشتركة فقط) هي المجموعة الحرة على مجموعة من k عنصر.

المجموعة المجانية${\displaystyle F_{S}}$مع مجموعة توليد مجانية${\displaystyle S}$يمكن بناؤها على النحو التالي. ${\displaystyle S}$هي مجموعة من الرموز، ونفترض لكل${\displaystyle s}$في${\displaystyle S}$يوجد رمز "معكوس" مطابق،${\displaystyle s^{-1}}$، في مجموعة${\displaystyle S^{-1}}$. يترك${\displaystyle T=S\cup S^{-1}}$، وتعريف كلمة في${\displaystyle S}$أن يكون أي منتج مكتوب من عناصر${\displaystyle T}$أي كلمة في${\displaystyle S}$هو عنصر من عناصر المونويد المتولد بواسطة${\displaystyle T}$الكلمة الفارغة هي الكلمة التي لا تحتوي على أي رموز على الإطلاق. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$، ثم${\displaystyle T=\{a,a^{-1},b,b^{-1},c,c^{-1}\}}$، و $${\displaystyle ab^{3}ج^{-1}ca^{-1}ج\,}$$ هي كلمة في${\displaystyle F_{S}}$.

إذا كان أحد عناصر${\displaystyle S}$إذا كانت الكلمة تقع مباشرة بجوار معكوسها، فيمكن تبسيطها بحذف الـ${\displaystyle c,c^{-1}}$زوج: $${\displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\;\;\longrightarrow \;\;ab^{3}\,a^{-1}c.}$$ الكلمة التي لا يمكن تبسيطها أكثر من ذلك تسمى كلمة مختزلة .

المجموعة المجانية${\displaystyle F_{S}}$يُعرَّف بأنه مجموعة جميع الكلمات المختزلة في${\displaystyle S}$، مع دمج الكلمات (متبوعًا بالاختزال إذا لزم الأمر) كعملية جماعية. الكلمة الفارغة هي العنصر المحايد.

تُسمى الكلمة المختزلة كلمة مختزلة دوريًا إذا لم يكن حرفاها الأول والأخير معكوسين. لكل كلمة مرافق لكلمة مختزلة دوريًا، ومرافق الكلمة المختزلة دوريًا هو تبديل دوري لأحرف الكلمة. على سبيل المثال${\displaystyle b^{-1}abcb}$لا يتم اختزالها دوريًا، ولكنها مترافقة مع${\displaystyle abc}$، والتي تُختزل دوريًا. المركبات المترافقة الوحيدة المختزلة دوريًا لـ${\displaystyle abc}$نكون${\displaystyle abc}$،${\displaystyle bca}$، و${\displaystyle cab}$.

المجموعة المجانية${\displaystyle F_{S}}$هي المجموعة الشاملة المولدة بواسطة المجموعة${\displaystyle S}$يمكن صياغة ذلك رسميًا من خلال الخاصية العامة التالية : بالنظر إلى أي دالة${\displaystyle f}$من${\displaystyle S}$إلى مجموعة${\displaystyle G}$يوجد تماثل فريد${\displaystyle \varphi :F_{S}\to G}$مما يجعل المخطط التالي قابلاً للتبادل (حيث يشير التعيين غير المسمى إلى التضمين من${\displaystyle S}$داخل${\displaystyle F_{S}}$):

أي، التشاكلات${\displaystyle F_{S}\to G}$وهي في تطابق واحد لواحد مع الدوال${\displaystyle S\to G}$بالنسبة لمجموعة غير حرة، فإن وجود العلاقات من شأنه أن يقيد الصور الممكنة للمولدات في ظل التماثل.

لفهم كيفية ارتباط ذلك بالتعريف البنّاء، فكّر في عملية الربط من${\displaystyle S}$ل${\displaystyle F_{S}}$كما هو الحال عند إرسال كل رمز إلى كلمة تتكون من ذلك الرمز. لإنشاء${\displaystyle \varphi }$بالنسبة لما هو معطى${\displaystyle f}$لاحظ أولاً أن${\displaystyle \varphi }$يرسل الكلمة الفارغة إلى هوية${\displaystyle G}$ويجب أن يتفق مع${\displaystyle f}$حول عناصر${\displaystyle S}$أما بالنسبة للكلمات المتبقية (التي تتكون من أكثر من رمز واحد)،${\displaystyle \varphi }$يمكن تمديدها بشكل فريد، لأنها تشاكل، أي${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}$.

تُميّز الخاصية المذكورة أعلاه الزمر الحرة حتى التشاكل ، وتُستخدم أحيانًا كتعريف بديل. وهي تُعرف بالخاصية الشاملة للزمر الحرة، ومجموعة التوليد.${\displaystyle S}$يُطلق عليه اسم أساس لـ${\displaystyle F_{S}}$إن أساس المجموعة الحرة ليس محدداً بشكل فريد.

إنّ امتلاك خاصية شاملة هو السمة الأساسية للكائنات الحرة في الجبر الشامل . في لغة نظرية الفئات ، يُعرَّف بناء المجموعة الحرة (على غرار معظم بناءات الكائنات الحرة) بأنه دالة من فئة المجموعات إلى فئة الزمر . هذه الدالة هي دالة مرافقة يسارية للدالة النسيانية من الزمر إلى المجموعات.

بعض خصائص المجموعات الحرة تستنتج بسهولة من التعريف:

1. أي مجموعة${\displaystyle G}$هي الصورة المتماثلة لبعض المجموعات الحرة${\displaystyle F_{S}}$. يترك${\displaystyle S}$لتكن مجموعة من مولدات${\displaystyle G}$الخريطة الطبيعية${\displaystyle \varphi }$:${\displaystyle F_{S}\to G}$هو تحويل شامل ، مما يثبت الادعاء. أو بعبارة أخرى،${\displaystyle G}$متماثل مع زمرة خارج قسمة زمرة حرة ما${\displaystyle F_{S}}$. لو${\displaystyle S}$يمكن اختيار أن تكون محدودة هنا، إذن${\displaystyle G}$يُطلق عليه اسم النواة المولدة نهائيًا .${\displaystyle \ker \varphi }$هي مجموعة جميع العلاقات في عرض${\displaystyle G}$؛ لو${\displaystyle \ker \varphi }$يمكن توليدها بواسطة مرافقات عدد محدود من عناصر${\displaystyle F}$، ثم${\displaystyle G}$يتم تقديمها بشكل نهائي.
2. لو${\displaystyle S}$إذا كان يحتوي على أكثر من عنصر واحد،${\displaystyle F_{S}}$ليست أبيلية ، وفي الواقع مركز${\displaystyle F_{S}}$هو تافه (أي أنه يتكون فقط من عنصر الهوية).
3. مجموعتان حرتان${\displaystyle F_{S}}$و${\displaystyle F_{T}}$تكون متماثلة إذا وفقط إذا${\displaystyle S}$و${\displaystyle T}$لها نفس العدد الأصلي . يُطلق على هذا العدد الأصلي اسم رتبة المجموعة الحرة${\displaystyle F}$وبالتالي، لكل عدد أصلي k ، يوجد، حتى التشاكل، مجموعة حرة واحدة بالضبط من الرتبة k .
4. تتمتع المجموعة الحرة ذات الرتبة المحدودة n > 1 بمعدل نمو أسي من الرتبة 2 n − 1.

بعض النتائج الأخرى ذات الصلة هي:

1. نظرية نيلسن-شراير : كل زمرة جزئية من زمرة حرة هي زمرة حرة. علاوة على ذلك، إذا كانت الزمرة الحرة${\displaystyle F}$لها رتبة n والمجموعة الفرعية${\displaystyle H}$له فهرس e في${\displaystyle F}$، ثم${\displaystyle H}$خالٍ من الرتبة 1 + e ( n– 1 ).
2. من الواضح أن المجموعة الحرة ذات الرتبة k تحتوي على مجموعات جزئية من كل رتبة أقل من k . وبشكل أقل وضوحًا، فإن المجموعة الحرة ( غير التبديلية! ) ذات الرتبة 2 على الأقل تحتوي على مجموعات جزئية من جميع الرتب القابلة للعد .
3. تتمتع المجموعة الجزئية التبادلية لمجموعة حرة من الرتبة k > 1 برتبة لانهائية؛ على سبيل المثال لـ${\displaystyle F(a,b)}$، يتم توليدها بحرية بواسطة المبدلات${\displaystyle [a^{m},b^{n}]}$بالنسبة لقيم m و n غير الصفرية .
4. المجموعة الحرة المكونة من عنصرين هي مجموعة SQ شاملة ؛ ويتبع ما سبق حيث أن أي مجموعة SQ شاملة لها مجموعات فرعية من جميع الرتب القابلة للعد.
5. أي مجموعة تعمل على شجرة، بحرية وتحافظ على التوجيه ، هي مجموعة حرة ذات رتبة قابلة للعد (معطاة بواسطة 1 زائد خاصية أويلر للرسم البياني للقسمة ).
6. إنّ مخطط كايلي لمجموعة حرة ذات رتبة منتهية، بالنسبة لمجموعة مولدة حرة، هو شجرة تعمل عليها المجموعة بحرية، مع الحفاظ على اتجاهها. وباعتباره فضاءً طوبولوجيًا ( مركبًا تبسيطيًا أحادي البعد )، فإنّ مخطط كايلي هذا${\displaystyle \Gamma (F)}$قابلة للانكماش . بالنسبة لمجموعة معروضة بشكل محدود${\displaystyle G}$، التشاكل الطبيعي المحدد أعلاه،${\displaystyle \varphi :F\to G}$، تُعرّف خريطة تغطية لرسوم كايلي البيانية${\displaystyle \varphi ^{*}:\Gamma (F)\to \Gamma (G)}$في الواقع، غطاء شامل. ومن ثم، فإن المجموعة الأساسية لمخطط كايلي${\displaystyle \Gamma (G)}$متماثل مع نواة${\displaystyle \varphi }$، المجموعة الفرعية الطبيعية للعلاقات بين مولدات${\displaystyle G}$الحالة القصوى هي عندما${\displaystyle G=\{e\}}$، المجموعة التافهة، التي تُعتبر بعدد من المولدات يساوي${\displaystyle F}$، وكلها تافهة؛ رسم كايلي البياني${\displaystyle \Gamma (G)}$هي باقة من الدوائر، ومجموعتها الأساسية هي${\displaystyle F}$نفسها.
7. أي مجموعة فرعية من مجموعة حرة،${\displaystyle H\subset F}$، يتوافق مع فضاء تغطية باقة الدوائر، أي مع مخطط شراير المشترك لـ${\displaystyle F/H}$. يمكن استخدام هذا لتقديم برهان طوبولوجي لنظرية نيلسن-شراير المذكورة أعلاه.
8. يرتبط منهج الزمر الجزئية لهذه النتائج، الوارد في عمل بي جيه هيغينز أدناه، باستخدام فضاءات التغطية المذكورة أعلاه. وهو يتيح نتائج أكثر قوة، على سبيل المثال فيما يتعلق بنظرية غروشكو ، وشكلاً معيارياً للزمرة الجزئية الأساسية لمخطط الزمر. في هذا المنهج، يُستخدم على نطاق واسع الزمر الجزئية الحرة على مخطط موجه.
9. تنص نظرية غروشكو على أنه إذا كانت مجموعة جزئية${\displaystyle B}$من مجموعة حرة${\displaystyle F}$ينتج عن n عنصر${\displaystyle F}$وإذا كان عدد عناصره n ، فإن${\displaystyle B}$يُنشئ${\displaystyle F}$بحرية.

المجموعة الأبيلية الحرة على مجموعة${\displaystyle S}$يتم تعريفها من خلال خاصيتها الشاملة بطريقة مماثلة، مع تعديلات واضحة: لنفترض زوجًا${\displaystyle (F,\varphi )}$، أين${\displaystyle F}$هي مجموعة أبيلية و${\displaystyle \varphi :S\to F}$هي دالة.${\displaystyle F}$ويُقال إنها المجموعة الأبيلية الحرة على${\displaystyle S}$بالنسبة إلى${\displaystyle \varphi }$إذا كان لأي مجموعة أبيلية${\displaystyle G}$وأي وظيفة${\displaystyle \psi :S\to G}$يوجد تماثل فريد${\displaystyle f:F\to G}$بحيث $${\displaystyle f(\varphi (s))=\psi (s),\ \forall s\in S.}$$

مجموعة الأبيليين الأحرار على${\displaystyle S}$يمكن تحديدها بشكل صريح على أنها المجموعة الحرة${\displaystyle F(S)}$modulo المجموعة الفرعية المولدة بواسطة مبدلاتها،${\displaystyle [F(S),F(S)]}$أي تحويلها إلى مجموعة أبيلية . بعبارة أخرى، المجموعة الأبيلية الحرة على${\displaystyle S}$هي مجموعة الكلمات التي لا يمكن تمييزها إلا بترتيب حروفها. وبالتالي، يمكن تعريف رتبة المجموعة الحرة بأنها رتبة تحويلها إلى مجموعة أبيلية حرة.

في حوالي عام 1945، تساءل ألفريد تارسكي عما إذا كانت المجموعات الحرة ذات مولدين أو أكثر تمتلك نفس نظرية الرتبة الأولى ، وما إذا كانت هذه النظرية قابلة للتقرير . أجاب سيلا (2006) على السؤال الأول بإثبات أن أي مجموعتين حرتين غير تبديليتين تمتلكان نفس نظرية الرتبة الأولى، وأجاب خارلامبوفيتش ومياسنيكوف (2006) على كلا السؤالين، مُثبتين أن هذه النظرية قابلة للتقرير.

هناك سؤال مشابه لم يتم حله (حتى عام 2011) في نظرية الاحتمالات الحرة يسأل عما إذا كانت جبر مجموعة فون نيومان لأي مجموعتين حرتين غير تبديليتين مولدتين بشكل نهائي متماثلة.

• مجموعة مولدة لمجموعة
• عرض مجموعة
• تحويل نيلسن ، وهو تحليل لعناصر مجموعة التشاكل الذاتي لمجموعة حرة
• الشكل الطبيعي للمجموعات الحرة والناتج الحر للمجموعات
• منتج مجاني

• خارلامبوفيتش، أولغا؛ مياسنيكوف، أليكسي (2006). "النظرية الأولية للمجموعات الحرة غير التبديلية" . مجلة الجبر . 302 (2): 451-552 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.03.033 . MR 2293770 . 
• W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "نظرية المجموعة التوافقية"، دوفر (1976).
• بي جيه هيغينز، 1971، "الفئات والمجموعات الجزئية"، فان نوستراند، {نيويورك}. إعادة طبع في نظرية وتطبيقات الفئات، 7 (2005) ص 1-195.
• سيلا، زليل (2006). " الهندسة الديوفانتية على الزمر. السادس: النظرية الأولية للزمرة الحرة". الهندسة والتحليل الوظيفي . 16 (3): 707-730 . doi : 10.1007/s00039-006-0565-8 . MR 2238945. S2CID 123197664 .  
• سيري، جان بيير ، الأشجار ، سبرينغر (2003) (الترجمة الإنجليزية لـ "arbres، amalgames، SL ₂ "، الطبعة الثالثة، astérisque 46 (1983))
• PJ Higgins, The fundamental groupoid of a graph of groups , Journal of the London Mathematical Society (2) 13 (1976), no. 1, 145–149.
• ألوفي، باولو (2009). الجبر: الفصل 0. مكتبة AMS. ص  70. ISBN 978-0-8218-4781-7..
• جريليه، بيير أنطوان (2007). الجبر المجرد . سبرينغر. ص.  27. رقم ISBN 978-0-387-71567-4..