جبر فون نيومان

في الرياضيات ، جبر فون نيومان أو جبر W* هو جبر *- لمشغلات محدودة على فضاء هيلبرت مغلق في طوبولوجيا المشغل الضعيف ويحتوي على مشغل الهوية . وهو نوع خاص من جبر C* .

تم تقديم جبر فون نيومان في الأصل بواسطة جون فون نيومان ، بدافع دراسته للمشغلات الفردية وتمثيلات المجموعات ونظرية الإرجوديك وميكانيكا الكم . تُظهر نظرية المقايضة المزدوجة الخاصة به أن التعريف التحليلي يعادل التعريف الجبري البحت كجبر التناظرات.

فيما يلي مثالان أساسيان لجبر فون نيومان:

• حلقة الدوال القابلة للقياس المحدودة أساسًا على خط الأعداد الحقيقية هي جبر فون نيومان التبادلي، حيث تعمل عناصره كمشغلات ضرب عن طريق الضرب النقطي على فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي .${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$
• إن جبر جميع العوامل المحدودة في فضاء هيلبرت هو جبر فون نيومان، غير تبديلي إذا كان فضاء هيلبرت له بعد لا يقل عن .${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle 2}$

تمت دراسة جبر فون نيومان لأول مرة بواسطة فون نيومان (1930) في عام 1929؛ حيث قام هو وفرانسيس موراي بتطوير النظرية الأساسية، تحت الاسم الأصلي لحلقات المشغلين ، في سلسلة من الأوراق المكتوبة في ثلاثينيات وأربعينيات القرن العشرين (FJ Murray & J. von Neumann 1936، 1937، 1943؛ J. von Neumann 1938، 1940، 1943، 1949)، وأعيد طبعها في الأعمال المجمعة لفون نيومان (1961).

تم تقديم مقدمة لجبر فون نيومان في الملاحظات الإلكترونية لجونز (2003) وفاسرمان (1991) والكتب التي كتبها ديكسميير (1981) وشوارتز (1967) وبلاكادار (2005) وساكاي (1971). يقدم العمل المكون من ثلاثة مجلدات لتاكيساكي (1979) وصفًا موسوعيًا للنظرية. يناقش كتاب كونيس (1994) موضوعات أكثر تقدمًا.

هناك ثلاث طرق شائعة لتعريف جبر فون نيومان.

الطريقة الأولى والأكثر شيوعًا هي تعريفها على أنها جبر *-مغلق ضعيف لمشغلات محدودة (على فضاء هيلبرت) تحتوي على الهوية. في هذا التعريف، يمكن استبدال طوبولوجيا (المشغل) الضعيف بالعديد من الطوبولوجيات الشائعة الأخرى بما في ذلك طوبولوجيات المشغلات القوية أو القوية للغاية أو الضعيفة للغاية . جبر *- للمشغلات المحدودة المغلقة في طوبولوجيا القاعدة هي جبر C* ، لذلك على وجه الخصوص، أي جبر فون نيومان هو جبر C*.

التعريف الثاني هو أن جبر فون نيومان هو جبر فرعي للمشغلات المحدودة المغلقة تحت الالتفاف (عملية *) ويساوي مبدله المزدوج ، أو على نحو مكافئ مبدل بعض الجبر الفرعي المغلق تحت *. تقول نظرية المبدل المزدوج لفون نيومان (فون نيومان 1930) أن التعريفين الأولين متكافئان.

يصف التعريفان الأولان جبر فون نيومان بشكل ملموس كمجموعة من العوامل المؤثرة على فضاء هيلبرت معين. أظهر ساكاي (1971) أن جبر فون نيومان يمكن تعريفه أيضًا بشكل تجريدي على أنه جبر C*- له مقدمات ؛ بعبارة أخرى، جبر فون نيومان، الذي يُعتبر فضاء باناخ ، هو مقدمات لبعض فضاءات باناخ الأخرى التي تسمى المقدمات. المقدمات لجبر فون نيومان فريدة في الواقع حتى التماثل. يستخدم بعض المؤلفين "جبر فون نيومان" للجبر مع فعل فضاء هيلبرت، و"جبر W*" للمفهوم المجرد، لذا فإن جبر فون نيومان هو جبر W*- مع فضاء هيلبرت ومقدمات مناسبة على فضاء هيلبرت. التعريفات الملموسة والمجردة لجبر فون نيومان تشبه التعريفات الملموسة والمجردة لجبر C*، والذي يمكن تعريفه إما كجبر مغلق معياريًا للمشغلات على فضاء هيلبرت، أو كجبر باناخ بحيث || aa* ||=|| a || || a* ||.

قد تكون بعض المصطلحات المستخدمة في نظرية جبر فون نيومان مربكة، وغالبًا ما تحمل المصطلحات معاني مختلفة خارج الموضوع.

• العامل هو جبر فون نيومان ذو مركز تافه ، أي مركز يتكون فقط من مشغلات قياسية.
• جبر فون نيومان المحدود هو جبر يمثل التكامل المباشر لعوامل محدودة (أي أن جبر فون نيومان له حالة تتبع طبيعية دقيقة ^[1] ). وبالمثل، فإن جبر فون نيومان اللانهائي بشكل صحيح هو التكامل المباشر لعوامل لا نهائية بشكل صحيح.${\displaystyle \tau :M\rightarrow \mathbb {C} }$
• تُسمى جبر فون نيومان الذي يعمل على فضاء هيلبرت القابل للفصل بالجبر القابل للفصل . لاحظ أن مثل هذه الجبر نادرًا ما تكون قابلة للفصل في طوبولوجيا القاعدة.
• جبر فون نيومان الناتج عن مجموعة من العوامل المحدودة في فضاء هيلبرت هو أصغر جبر فون نيومان يحتوي على كل تلك العوامل.
• يتم تعريف حاصل ضرب موتر جبرين فون نيومان يعملان على فضائي هيلبرت بأنه جبر فون نيومان الناتج عن حاصل ضرب موترهما الجبري، والذي يُعتبر بمثابة مشغلين على حاصل ضرب موتر فضاء هيلبرت لمساحات هيلبرت.

من خلال نسيان الطوبولوجيا في جبر فون نيومان، يمكننا اعتباره جبرًا أحاديًا (* ) ، أو مجرد حلقة. جبر فون نيومان شبه وراثي : كل وحدة فرعية متولدة بشكل نهائي من وحدة إسقاطية هي في حد ذاتها إسقاطية. كانت هناك عدة محاولات لإضفاء بديهية على الحلقات الأساسية لجبر فون نيومان، بما في ذلك حلقات باير * وجبر AW* . جبر * للمشغلات التابعة لجبر فون نيومان المحدود هو حلقة فون نيومان منتظمة . (جبر فون نيومان نفسه ليس جبرًا منتظمًا لفون نيومان بشكل عام.)

العلاقة بين جبر فون نيومان التبادلي ومساحات القياس مماثلة للعلاقة بين جبر C* التبادلي ومساحات هاوسدورف المدمجة محليًا . كل جبر فون نيومان التبادلي متماثل مع L ^∞ ( X ) لبعض مساحات القياس ( X ، μ) وعلى العكس من ذلك، لكل مساحة قياس منتهية σ X ، فإن جبر *- L ^∞ ( X ) هو جبر فون نيومان.

وبسبب هذا القياس، أُطلق على نظرية جبر فون نيومان اسم نظرية القياس غير التبادلية، في حين أن نظرية جبر C* تسمى أحيانًا الطوبولوجيا غير التبادلية (كونيس 1994).

تسمى العوامل E في جبر فون نيومان حيث E = EE = E* بالإسقاطات ؛ وهي بالضبط العوامل التي تعطي إسقاطًا متعامدًا لـ H على بعض الفضاءات الفرعية المغلقة. يقال إن الفضاء الفرعي لفضاء هيلبرت H ينتمي إلى جبر فون نيومان M إذا كان صورة لبعض الإسقاطات في M. وهذا يؤسس لمطابقة 1:1 بين إسقاطات M والفضاءات الفرعية التي تنتمي إلى M. بشكل غير رسمي، هذه هي الفضاءات الفرعية المغلقة التي يمكن وصفها باستخدام عناصر M ، أو التي "يعرفها" M.

يمكن إثبات أن إغلاق صورة أي عامل في M ونواة أي عامل في M ينتمي إلى M. أيضًا، فإن إغلاق الصورة تحت عامل M لأي فضاء فرعي ينتمي إلى M ينتمي أيضًا إلى M. (هذه النتائج هي نتيجة للتحلل القطبي ).

تم وضع النظرية الأساسية للإسقاطات بواسطة موراي وفون نيومان (1936). يُطلق على الفضاءين الفرعيين المنتميين إلى M اسم الفضاءين المتكافئين ( موراي - فون نيومان ) إذا كان هناك تماثل جزئي يرسم الأول بشكل متماثل على الآخر الذي يعد عنصرًا من عناصر جبر فون نيومان (بشكل غير رسمي، إذا كان M "يعرف" أن الفضاءين الفرعيين متماثلان). يؤدي هذا إلى علاقة تكافؤ طبيعية في الإسقاطات من خلال تعريف E ليكون مكافئًا لـ F إذا كانت الفضاءات الفرعية المقابلة متكافئة، أو بعبارة أخرى إذا كان هناك تماثل جزئي لـ H يرسم صورة E بشكل متماثل لصورة F وهو عنصر من عناصر جبر فون نيومان . هناك طريقة أخرى لبيان ذلك وهي أن E مكافئ لـ F إذا كانت E = uu * و F = u * u لبعض التماثل الجزئي u في M.

علاقة التكافؤ ~ المحددة على هذا النحو هي إضافية بالمعنى التالي: افترض أن E ₁ ~ F ₁ و E ₂ ~ F _2. إذا كانت E ₁ ⊥ E ₂ و F ₁ ⊥ F ₂ ، فإن E ₁ + E ₂ ~ F ₁ + F _2. لن تكون الإضافة صحيحة بشكل عام إذا كان المرء سيتطلب تكافؤًا وحدويًا في تعريف ~، أي إذا قلنا أن E تعادل F إذا كان u * Eu = F لبعض u الوحدوية . تعطي نظريات شرودر-برنشتاين لجبر المشغل شرطًا كافيًا لتكافؤ موراي فون نيومان.

المساحات الفرعية التي تنتمي إلى M مرتبة جزئيًا عن طريق التضمين، وهذا يحث على ترتيب جزئي ≤ للإسقاطات. يوجد أيضًا ترتيب جزئي طبيعي على مجموعة فئات التكافؤ للإسقاطات، يحثه الترتيب الجزئي ≤ للإسقاطات. إذا كانت M عاملًا، فإن ≤ هو ترتيب إجمالي على فئات التكافؤ للإسقاطات، كما هو موضح في القسم الخاص بالتتبعات أدناه.

يُقال عن الإسقاط (أو الفضاء الجزئي التابع لـ M ) E أنه إسقاط منتهٍ إذا لم يكن هناك إسقاط F < E (أي F ≤ E و F ≠ E ) مكافئ لـ E . على سبيل المثال، تكون جميع الإسقاطات (أو الفضاءات الجزئية) ذات الأبعاد المحدودة منتهية (نظرًا لأن التماثلات بين فضاءات هيلبرت تترك البعد ثابتًا)، ولكن عامل الهوية على فضاء هيلبرت غير المحدود الأبعاد ليس منتهيًا في جبر فون نيومان لجميع العوامل المحدودة عليه، لأنه متماثل القياس لمجموعة فرعية مناسبة منه. ومع ذلك، من الممكن أن تكون الفضاءات الجزئية ذات الأبعاد غير المحدودة منتهية.

الإسقاطات المتعامدة هي نظائر غير تبادلية لدوال المؤشرات في L ^∞ ( R ). L ^∞ ( R ) هو إغلاق ||·|| _∞ للفضاء الفرعي الناتج عن دوال المؤشرات. وبالمثل، يتم إنشاء جبر فون نيومان من خلال إسقاطاته؛ هذه نتيجة لنظرية الطيف للمشغلات المترافقة الذاتية .

تشكل إسقاطات العامل المحدود هندسة متصلة .

يُطلق على جبر فون نيومان N الذي يتكون مركزه فقط من مضاعفات عامل الهوية اسم عامل . وكما أظهر فون نيومان (1949)، فإن كل جبر فون نيومان على فضاء هيلبرت القابل للفصل يكون متماثلًا مع التكامل المباشر للعوامل. هذا التحلل فريد من نوعه في الأساس. وبالتالي، يمكن اختزال مشكلة تصنيف فئات التماثل لجبر فون نيومان على فضاء هيلبرت القابل للفصل إلى مشكلة تصنيف فئات التماثل للعوامل.

أظهر موراي وفون نيومان (1936) أن كل عامل له أحد الأنواع الثلاثة كما هو موضح أدناه. يمكن توسيع تصنيف النوع ليشمل جبر فون نيومان الذي ليس عوامل، ويكون جبر فون نيومان من النوع X إذا كان من الممكن تحليله كتكامل مباشر لعوامل النوع X؛ على سبيل المثال، كل جبر فون نيومان تبديلي له النوع I _1. يمكن كتابة كل جبر فون نيومان بشكل فريد كمجموع جبر فون نيومان من الأنواع I وII وIII.

هناك عدة طرق أخرى لتقسيم العوامل إلى فئات والتي يتم استخدامها أحيانًا:

• يُسمى العامل منفصلًا (أو مروضًا أحيانًا ) إذا كان من النوع الأول، ومستمرًا (أو بريًا أحيانًا ) إذا كان من النوع الثاني أو الثالث.
• يُسمى العامل شبه منتهٍ إذا كان من النوع الأول أو الثاني، ويُسمى لانهائيًا تمامًا إذا كان من النوع الثالث.
• يُطلق على العامل اسم منتهٍ إذا كان الإسقاط 1 منتهيًا ولانهائيًا بشكل صحيح بخلاف ذلك. قد تكون عوامل النوع الأول والثاني منتهية أو لانهائية بشكل صحيح، ولكن عوامل النوع الثالث تكون دائمًا منتهية بشكل صحيح.

يقال أن العامل من النوع I إذا كان هناك إسقاط أدنى E ≠ 0 ، أي إسقاط E بحيث لا يوجد إسقاط آخر F حيث 0 < F < E. أي عامل من النوع I متماثل مع جبر فون نيومان لجميع العوامل المحدودة على بعض فضاءات هيلبرت؛ نظرًا لوجود فضاء هيلبرت واحد لكل عدد أساسي ، فإن فئات التماثل للعوامل من النوع I تتوافق تمامًا مع الأعداد الأساسية. نظرًا لأن العديد من المؤلفين يعتبرون جبر فون نيومان على فضاءات هيلبرت القابلة للفصل فقط، فمن المعتاد تسمية العوامل المحدودة على فضاء هيلبرت ذي البعد المحدود n بعامل من النوع I _n ، والعوامل المحدودة على فضاء هيلبرت القابل للفصل بلا حدود الأبعاد، بعامل من النوع I _∞ .

يقال أن العامل من النوع الثاني إذا لم يكن هناك إسقاطات دنيا ولكن هناك إسقاطات محدودة غير صفرية. وهذا يعني أن كل إسقاط E يمكن "تقسيمه إلى نصفين" بمعنى وجود إسقاطين F و G مكافئين لموراي-فون نيومان ويلبيان E = F + G. إذا كان عامل الهوية في عامل من النوع الثاني منتهيًا، يقال أن العامل من النوع الثاني ₁ ؛ وإلا، يقال أنه من النوع الثاني _∞ . أفضل العوامل المفهومة للنوع الثاني هي عامل النوع الثاني ₁ فائق الاكتمال والعامل فائق الاكتمال من النوع الثاني _∞ ، الذي وجده موراي وفون نيومان (1936). هذه هي العوامل الفائقة الاكتمال الفريدة للنوعين الثاني ₁ و الثاني _∞ ؛ هناك عدد لا يحصى من العوامل الأخرى من هذه الأنواع التي تشكل موضوع دراسة مكثفة. أثبت موراي وفون نيومان (1937) النتيجة الأساسية التي مفادها أن عامل من النوع الثاني ₁ له حالة أثرية منتهية فريدة، وأن مجموعة آثار الإسقاطات هي [0،1].

العامل من النوع II _∞ له أثر شبه منتهٍ، فريد حتى إعادة القياس، ومجموعة آثار الإسقاطات هي [0,∞]. مجموعة الأعداد الحقيقية λ بحيث يوجد تماثل ذاتي يعيد قياس الأثر بعامل λ تسمى المجموعة الأساسية للعامل من النوع II _∞ .

حاصل ضرب الموتر لعامل من النوع II ₁ وعامل لانهائي من النوع I له النوع II _∞ ، وعلى العكس من ذلك يمكن إنشاء أي عامل من النوع II _{∞ على هذا النحو. تُعرَّف} المجموعة الأساسية لعامل من النوع II ₁ بأنها المجموعة الأساسية لحاصل ضرب الموتر الخاص به مع العامل اللانهائي (القابل للفصل) من النوع I. لسنوات عديدة، كانت مشكلة مفتوحة إيجاد عامل من النوع II لم تكن مجموعته الأساسية هي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ، ولكن أظهر كونيس بعد ذلك أن جبر مجموعة فون نيومان لمجموعة منفصلة قابلة للعد مع خاصية كازدان (T) (يتم عزل التمثيل التافه في الفضاء المزدوج)، مثل SL(3, Z )، له مجموعة أساسية قابلة للعد. بعد ذلك، أظهر سورين بوبا أن المجموعة الأساسية يمكن أن تكون تافهة لمجموعات معينة، بما في ذلك حاصل الضرب شبه المباشر لـ Z ² بواسطة SL(2, Z ).

من الأمثلة على العوامل من النوع الثاني ₁ جبر مجموعة فون نيومان لمجموعة منفصلة لا نهائية قابلة للعد بحيث تكون كل فئة اقتران غير تافهة لا نهائية. وجد ماك دوف (1969) عائلة غير قابلة للعد من هذه المجموعات مع جبر مجموعة فون نيومان غير متماثل، وبالتالي أظهر وجود عدد لا يحصى من العوامل المنفصلة المختلفة من النوع الثاني ₁ .

أخيرًا، عوامل النوع الثالث هي عوامل لا تحتوي على أي إسقاطات محدودة غير صفرية على الإطلاق. في ورقتهم الأولى، لم يتمكن موراي وفون نيومان (1936) من تحديد ما إذا كانت موجودة أم لا؛ تم العثور على الأمثلة الأولى لاحقًا بواسطة فون نيومان (1940). نظرًا لأن عامل الهوية يكون دائمًا لانهائيًا في تلك العوامل، فقد تم تسميتها أحيانًا بالنوع الثالث _∞ في الماضي، ولكن مؤخرًا تم استبدال هذا الترميز بالترميز III _λ ، حيث λ هو عدد حقيقي في الفاصل [0،1]. بتعبير أدق، إذا كان طيف كونيس (لمجموعته المعيارية) هو 1، فإن العامل يكون من النوع III ₀ ، وإذا كان طيف كونيس هو جميع القوى الصحيحة لـ λ لـ 0 < λ < 1، فإن النوع هو III _λ ، وإذا كان طيف كونيس هو جميع الأعداد الحقيقية الموجبة، فإن النوع هو III ₁ . (طيف كونيس هو مجموعة فرعية مغلقة من الأعداد الحقيقية الموجبة، لذا فهذه هي الاحتمالات الوحيدة.) الأثر الوحيد على عوامل النوع الثالث يأخذ قيمة ∞ على جميع العناصر الموجبة غير الصفرية، وأي إسقاطين غير صفريين متكافئين. في وقت ما، كانت عوامل النوع الثالث تعتبر أشياء مستعصية على الحل، لكن نظرية توميتا-تاكيساكي أدت إلى نظرية بنية جيدة. على وجه الخصوص، يمكن كتابة أي عامل من النوع الثالث بطريقة قانونية كحاصل ضرب متقاطع لعامل من النوع الثاني _∞ والأعداد الحقيقية.

أي جبر فون نيومان M له مزدوج أولي M _∗ ، وهو فضاء باناخ لجميع الدوال الخطية المتصلة بشكل ضعيف للغاية على M. وكما يوحي الاسم، فإن M (كفضاء باناخ) هو المزدوج لمزدوجه الأولي. والمزدوج الأولي فريد من نوعه بمعنى أن أي فضاء باناخ آخر يكون مزدوجه M متماثلًا بشكل قانوني مع M _∗ . أظهر ساكاي (1971) أن وجود مزدوج أولي يميز جبر فون نيومان بين جبر C*.

يبدو أن تعريف الثنائي المسبق المذكور أعلاه يعتمد على اختيار فضاء هيلبرت الذي يعمل عليه M ، حيث يحدد هذا الطوبولوجيا الفائقة الضعف. ومع ذلك، يمكن أيضًا تعريف الثنائي المسبق دون استخدام فضاء هيلبرت الذي يعمل عليه M ، من خلال تعريفه على أنه الفضاء الناتج عن جميع الدوال الخطية الطبيعية الموجبة على M. (هنا تعني "الطبيعية" أنها تحافظ على التفوق عند تطبيقها على شبكات متزايدة من مشغلات المرافقة الذاتية؛ أو على نحو مكافئ لتسلسلات متزايدة من الإسقاطات.)

إن ما قبل المزدوج M _∗ هو فضاء فرعي مغلق للمزدوج M* (الذي يتكون من جميع الدوال الخطية المستمرة المعيارية على M ) ولكنه أصغر عمومًا. إن الدليل على أن M _∗ (عادةً) لا تساوي M* ليس دليلاً بنائيًا ويستخدم بديهية الاختيار بطريقة أساسية؛ من الصعب جدًا إظهار عناصر صريحة من M* ليست في M _∗ . على سبيل المثال، تُعطى الأشكال الخطية الإيجابية الغريبة على جبر فون نيومان l ^∞ ( Z ) بواسطة مرشحات فائقة مجانية ؛ وهي تتوافق مع التماثلات الغريبة * في C وتصف ضغط ستون-تشيك لـ Z.

أمثلة:

1. إن المضاعف السابق لجبر فون نيومان L ^∞ ( R ) للدوال المحدودة أساسًا على R هو فضاء باناخ L ¹ ( R ) للدوال القابلة للتكامل. إن المضاعف لـ L ^∞ ( R ) أكبر تمامًا من L ¹ ( R ) على سبيل المثال، لا يمكن تمثيل دالة على L ^∞ ( R ) تمتد إلى مقياس ديراك δ ₀ على الفضاء المغلق للدوال المستمرة المحدودة C ⁰ _b ( R ) كدالة في L ¹ ( R ).
2. إن المقدم لجبر فون نيومان B ( H ) للمشغلات المحدودة على فضاء هيلبرت H هو فضاء باناخ لجميع مشغلات فئة التتبع مع معيار التتبع || A ||= Tr(| A |). إن فضاء باناخ لمشغلات فئة التتبع هو في حد ذاته المزدوج لجبر C* للمشغلات المدمجة (وهو ليس جبر فون نيومان).

تمت مناقشة الأوزان وحالاتها الخاصة وآثارها بالتفصيل في (تاكيساكي 1979).

• الوزن ω في جبر فون نيومان هو خريطة خطية من مجموعة العناصر الموجبة (تلك التي على شكل a*a ) إلى [0,∞].
• الوظيفة الخطية الإيجابية هي وزن ذو ω(1) منتهٍ (أو بالأحرى امتداد ω إلى الجبر بأكمله من خلال الخطية).
• الحالة هي الوزن الذي يكون فيه ω(1) = 1 .
• الأثر هو وزن مع ω( aa* ) = ω( a*a ) لجميع a .
• الحالة العرقية هي حالة أثرية مع ω(1) = 1.

أي عامل له أثر بحيث يكون أثر الإسقاط غير الصفري غير صفري ويكون أثر الإسقاط لانهائيًا إذا وفقط إذا كان الإسقاط لانهائيًا. مثل هذا الأثر فريد حتى إعادة القياس. بالنسبة للعوامل القابلة للفصل أو المحدودة، يكون الإسقاطان متكافئين إذا وفقط إذا كان لهما نفس الأثر. يمكن قراءة نوع العامل من القيم المحتملة لهذا الأثر على إسقاطات العامل، على النحو التالي:

• النوع الأول _n : 0، x ، 2 x ، ....، nx لبعض x الموجبة (عادة ما يتم تطبيعها لتكون 1/ n أو 1).
• النوع الأول _∞ : 0، x ، 2 x ، ....، ∞ لبعض x الموجبة (عادةً ما يتم تطبيعها لتكون 1).
• النوع الثاني ₁ : [0, x ] لبعض قيم x الإيجابية (عادةً ما يتم تطبيعها لتكون 1).
• النوع الثاني _∞ : [0,∞].
• النوع الثالث: {0,∞}.

إذا كان جبر فون نيومان يعمل على فضاء هيلبرت يحتوي على متجه معياري 1 v ، فإن الدالة a → ( av , v ) هي حالة طبيعية. يمكن عكس هذا البناء لإعطاء تأثير على فضاء هيلبرت من حالة طبيعية: هذا هو بناء GNS للحالات الطبيعية.

بالنظر إلى عامل مجرد قابل للفصل، يمكن للمرء أن يطلب تصنيف وحداته، أي فضاءات هيلبرت القابلة للفصل التي يعمل عليها. والإجابة هي كما يلي: يمكن إعطاء كل وحدة من هذا القبيل H بُعد M ( H ) (وليس بعدها كمساحة متجهة معقدة) بحيث تكون الوحدات متماثلة إذا وفقط إذا كان لها نفس البعد M. البعد M إضافي، والوحدة _{متماثلة} مع فضاء فرعي لوحدة أخرى إذا وفقط إذا كان لها بُعد M أصغر أو مساوٍ .

تسمى الوحدة النمطية قياسية إذا كان لها متجه فصل دوري. كل عامل له تمثيل قياسي، وهو فريد حتى التماثل الشكلي. التمثيل القياسي له تراجع مضاد للخطية J بحيث JMJ = M ′ . بالنسبة للعوامل المحدودة، يتم إعطاء الوحدة النمطية القياسية من خلال بناء GNS المطبق على الحالة التتبعية الطبيعية الفريدة ويتم تطبيع البعد M بحيث يكون للوحدة النمطية القياسية البعد M 1، بينما بالنسبة للعوامل اللانهائية، تكون الوحدة النمطية القياسية هي الوحدة ذات البعد M يساوي ∞.

يتم إعطاء الأبعاد M المحتملة للوحدات النمطية على النحو التالي:

• النوع الأول _n ( n منتهية): يمكن أن يكون البعد M أيًا من 0/ n ، 1/ n ، 2/ n ، 3/ n ، ...، ∞. تحتوي الوحدة القياسية على البعد M 1 (والبعد المركب n ² ).
• النوع الأول _∞ يمكن أن يكون البعد M أيًا من 0، 1، 2، 3، ...، ∞. التمثيل القياسي لـ B ( H ) هو H ⊗ H ؛ البعد M الخاص به هو ∞.
• النوع الثاني ₁ : يمكن أن يكون البعد M أي شيء في [0، ∞]. يتم تطبيعه بحيث تحتوي الوحدة القياسية على البعد M 1. يُطلق على البعد M أيضًا ثابت اقتران الوحدة H.
• النوع الثاني _∞ : يمكن أن يكون البعد M أي شيء في [0، ∞]. لا توجد بشكل عام طريقة قانونية لتطبيعه؛ قد يكون للعامل تماثلات خارجية تضرب البعد M بالثوابت. التمثيل القياسي هو التمثيل الذي يكون فيه البعد M ∞.
• النوع الثالث: يمكن أن يكون البعد M مساويًا للصفر أو ∞. أي وحدتين غير صفريتين متماثلتين، وكل الوحدات غير الصفرية قياسية.

أثبت كونيس (1976) وآخرون أن الشروط التالية على جبر فون نيومان M على فضاء هيلبرت المنفصل H كلها متكافئة :

• M هو فائق الدقة أو AFD أو ذو أبعاد محدودة تقريبًا أو محدود تقريبًا : وهذا يعني أن الجبر يحتوي على تسلسل تصاعدي من الجبر الفرعية ذات الأبعاد المحدودة مع اتحاد كثيف. (تحذير: يستخدم بعض المؤلفين "فائق الدقة" ليعني "AFD ومحدود").
• M قابلة للتطبيق : وهذا يعني أن مشتقات M مع القيم في ثنائي وحدة باناخ المزدوجة الطبيعية كلها داخلية. ^[2]
• تتمتع M بخاصية شوارتز P : لأي عامل محدود T على H، فإن العامل الضعيف ذو الغلاف المحدب المغلق للعناصر uTu* يحتوي على عنصر يتبادل مع M.
• M شبه منفصل : وهذا يعني أن خريطة الهوية من M إلى M هي حد نقطة ضعيف للخرائط الإيجابية تمامًا ذات الرتبة المحدودة.
• تتمتع M بخاصية E أو خاصية امتداد Hakeda–Tomiyama : وهذا يعني أن هناك إسقاطًا للمعيار 1 من المشغلات المحدودة على H إلى M '.
• M هو حقن : أي خريطة خطية موجبة تمامًا من أي فضاء فرعي مغلق مترافق ذاتيًا يحتوي على 1 من أي جبر أحادي C* من A إلى M يمكن تمديدها إلى خريطة موجبة تمامًا من A إلى M.

لا يوجد مصطلح مقبول بشكل عام لفئة الجبر المذكورة أعلاه؛ اقترح كونيس أن يكون المصطلح القياسي هو amenable .

تم تصنيف العوامل القابلة للتغيير: يوجد عامل فريد من كل نوع I _n ، I _∞ ، II ₁ ، II _∞ ، III _λ ، عند 0 < λ ≤ 1، والعوامل من النوع III ₀ تتوافق مع تدفقات إرجودية معينة. (بالنسبة للنوع III ₀ ، فإن تسمية هذا تصنيفًا مضلل بعض الشيء، حيث من المعروف أنه لا توجد طريقة سهلة لتصنيف التدفقات الإرجودية المقابلة.) تم تصنيف العوامل من النوع I وII ₁ بواسطة Murray & von Neumann (1943)، وتم تصنيف العوامل المتبقية بواسطة Connes (1976)، باستثناء حالة النوع III ₁ التي أكملها Haagerup.

يمكن إنشاء جميع العوامل القابلة للتنفيذ باستخدام بناء مساحة المجموعة-القياس لموري وفون نيومان لتحويل إرجوديكي واحد . في الواقع ، إنها على وجه التحديد العوامل الناشئة عن المنتجات المتقاطعة بواسطة الإجراءات الإرجوديكية الحرة لـ Z أو Z/nZ على جبر فون نيومان الإبيلي L ^∞ ( X ). تحدث عوامل النوع الأول عندما تكون مساحة القياس X ذرية والفعل متعدٍ. عندما تكون X منتشرة أو غير ذرية ، فإنها تعادل [0,1] كمساحة قياس . تحدث عوامل النوع الثاني عندما تسمح X بمقياس مكافئ منتهٍ (II ₁ ) أو لانهائي (II _∞ )، ثابت تحت تأثير Z. تحدث عوامل النوع الثالث في الحالات المتبقية حيث لا يوجد مقياس ثابت، ولكن فقط فئة مقياس ثابتة : تسمى هذه العوامل عوامل كريجر .

حاصل ضرب موتر فضاء هيلبرت لفضائي هيلبرت هو اكتمال حاصل ضرب موترهما الجبري. يمكن للمرء أن يحدد حاصل ضرب موتر لجبر فون نيومان (استكمال حاصل ضرب موتر جبري للجبر المعتبر كحلقات)، والذي هو مرة أخرى جبر فون نيومان، والعمل على حاصل ضرب موتر فضاءات هيلبرت المقابلة. حاصل ضرب موتر جبرين منتهيين هو منتهٍ، وحاصل ضرب موتر جبر لانهائي وجبر غير صفري هو لانهائي. نوع حاصل ضرب موتر جبرين فون نيومان (I أو II أو III) هو الحد الأقصى لأنواعهما. تنص نظرية التبديل لضرب الموتر على أن

${\displaystyle (M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },}$

حيث يشير M ′ إلى المبدل لـ M .

إن حاصل ضرب الموتر لعدد لا نهائي من جبر فون نيومان، إذا تم إجراؤه بطريقة ساذجة، يكون عادةً جبرًا غير قابل للفصل كبير بشكل مثير للسخرية. وبدلاً من ذلك، أظهر فون نيومان (1938) أنه يجب اختيار حالة لكل من جبر فون نيومان، واستخدام هذا لتحديد حالة على حاصل ضرب الموتر الجبري، والذي يمكن استخدامه لإنتاج فضاء هيلبرت وجبر فون نيومان (صغير إلى حد معقول). درس أراكي وودز (1968) الحالة التي تكون فيها جميع العوامل جبر مصفوفة منتهية؛ تسمى هذه العوامل عوامل أراكي وودز أو عوامل ITPFI (ITPFI تعني "حاصل ضرب الموتر اللانهائي لعوامل النوع الأول المحدودة"). يمكن أن يختلف نوع حاصل ضرب الموتر اللانهائي بشكل كبير مع تغير الحالات؛ على سبيل المثال، يمكن أن يكون حاصل ضرب الموتر اللانهائي لعدد لا نهائي من عوامل النوع الأول ₂ أي نوع اعتمادًا على اختيار الحالات. على وجه الخصوص، وجد باورز (1967) عائلة غير معدودة من عوامل _λ من النوع III غير المتماثلة الفائقة النهاية عند 0 < λ < 1، تسمى عوامل باورز ، عن طريق أخذ حاصل ضرب موتر لا نهائي من النوع I ₂ عاملين، كل منهما بحالة معينة بواسطة:

${\displaystyle x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.}$

جميع جبر فون نيومان الفائقة النهاية والتي ليست من النوع III ₀ متماثلة لعوامل أراكي-وودز، ولكن هناك عدد لا يحصى من النوع III ₀ التي ليست كذلك.

الوحدة الثنائية (أو المراسلات) هي فضاء هيلبرت H مع أفعال الوحدة لجبرين فون نيومان متبادلين. تتمتع الوحدات الثنائية ببنية أكثر ثراءً من بنية الوحدات. أي وحدة ثنائية على عاملين تعطي دائمًا عاملًا فرعيًا لأن أحد العوامل موجود دائمًا في مبدل العامل الآخر. هناك أيضًا عملية حاصل موتر نسبي دقيقة بسبب كونيس على الوحدات الثنائية. توفق نظرية العوامل الفرعية، التي بدأها فوغان جونز ، بين وجهتي النظر المختلفتين ظاهريًا.

تعتبر الوحدات الثنائية مهمة أيضًا لجبر مجموعة فون نيومان M للمجموعة المنفصلة Γ. في الواقع، إذا كانت V أي تمثيل موحد لـ Γ، فعندئذٍ، باعتبار Γ المجموعة الفرعية القطرية لـ Γ × Γ، فإن التمثيل المستحث المقابل على l ² (Γ, V ) هو بطبيعة الحال وحدة ثنائية لنسختين متبادلتين من M. يمكن صياغة الخصائص النظرية المهمة للتمثيل لـ Γ بالكامل من حيث الوحدات الثنائية وبالتالي تكون منطقية لجبر فون نيومان نفسه. على سبيل المثال، قدم كونيس وجونز تعريفًا لنظير لخاصية كازدان (T) لجبر فون نيومان بهذه الطريقة.

إن جبر فون نيومان من النوع الأول يكون دائمًا قابلاً للحل، ولكن بالنسبة للأنواع الأخرى يوجد عدد لا يحصى من العوامل المختلفة غير القابلة للحل، والتي يبدو من الصعب جدًا تصنيفها أو حتى تمييزها عن بعضها البعض. ومع ذلك، فقد أظهر فويكوليسكو أن فئة العوامل غير القابلة للحل القادمة من بناء مساحة مجموعة القياس منفصلة عن الفئة القادمة من جبر مجموعة فون نيومان للمجموعات الحرة. وفي وقت لاحق، أثبت ناروتاكا أوزاوا أن جبر مجموعة فون نيومان للمجموعات الزائدية ينتج عوامل أولية من النوع الثاني ₁ ، أي تلك التي لا يمكن تحليلها كعوامل موتر لعوامل النوع الثاني ₁ ، وهي النتيجة التي أثبتها لأول مرة ليمينغ جي لعوامل المجموعة الحرة باستخدام إنتروبيا فويكوليسكو الحرة . يمثل عمل بوبا على المجموعات الأساسية للعوامل غير القابلة للحل تقدمًا مهمًا آخر. تتوسع نظرية العوامل "ما وراء الحد الأقصى" بسرعة في الوقت الحاضر، مع العديد من النتائج الجديدة والمدهشة؛ إنها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بظواهر الصلابة في نظرية المجموعة الهندسية ونظرية الإرجوديك .

• تشكل الدوال المحدودة أساسًا على فضاء قياس منتهٍ بـ σ جبر فون نيومان تبديلي (النوع I ₁ ) يعمل على الدوال L ^2. بالنسبة لبعض فضاءات القياس غير المنتهية بـ σ، والتي تعتبر عادةً مرضية ، فإن L ^∞ ( X ) ليس جبر فون نيومان؛ على سبيل المثال، قد يكون جبر σ للمجموعات القابلة للقياس هو جبر قابل للعد-قابل للعد على مجموعة غير قابلة للعد. يمكن تمثيل نظرية التقريب الأساسية بواسطة نظرية كثافة كابلانسكي .
• تشكل العوامل المحدودة في أي فضاء هيلبرت جبر فون نيومان، وهو في الواقع عامل من النوع الأول.
• إذا كان لدينا أي تمثيل موحد لمجموعة G على فضاء هيلبرت H، فإن العوامل المحدودة التي تتبادل مع G تشكل جبر فون نيومان G ′ ، الذي تتوافق إسقاطاته تمامًا مع الفضاءات الفرعية المغلقة لـ H الثابتة تحت G. تتوافق التمثيلات الفرعية المكافئة مع الإسقاطات المكافئة في G ′ . المبدل المزدوج G ′ ′ لـ G هو أيضًا جبر فون نيومان.
• جبر مجموعة فون نيومان لمجموعة منفصلة G هو جبر جميع العوامل المحدودة على H = l ² ( G ) التي تتبادل مع فعل G على H من خلال الضرب الأيمن. يمكن للمرء أن يُظهِر أن هذا هو جبر فون نيومان الناتج عن العوامل المقابلة للضرب من اليسار بعنصر g ∈ G. وهو عامل (من النوع II ₁ ) إذا كانت كل فئة اقتران غير تافهة لـ G لا نهائية (على سبيل المثال، مجموعة حرة غير أبيلية)، وهو عامل فائق الاكتمال من النوع II _{1 إذا كانت} G بالإضافة إلى ذلك اتحادًا لمجموعات فرعية منتهية (على سبيل المثال، مجموعة جميع تبديلات الأعداد الصحيحة التي تثبت جميع العناصر باستثناء عدد محدود).
• إن حاصل ضرب موتر جبرين فون نيومان، أو عدد قابل للعد مع الحالات، هو جبر فون نيومان كما هو موضح في القسم أعلاه.
• يمكن تعريف حاصل الضرب المتقاطع لجبر فون نيومان بواسطة مجموعة منفصلة (أو بشكل عام مضغوطة محليًا)، وهو جبر فون نيومان. الحالات الخاصة هي إنشاء مساحة المجموعة-القياس لعوامل موراي وفون نيومان وكريجر .
• يمكن تعريف جبر فون نيومان لعلاقة التكافؤ القابلة للقياس والمجموعة القابلة للقياس . هذه الأمثلة تعمم جبر مجموعة فون نيومان وبناء مساحة المجموعة والقياس.

وجدت جبر فون نيومان تطبيقات في مجالات متنوعة من الرياضيات مثل نظرية العقد ، والميكانيكا الإحصائية ، ونظرية المجال الكمومي ، والفيزياء الكمومية المحلية ، والاحتمالية الحرة ، والهندسة غير التبادلية ، ونظرية التمثيل ، والهندسة التفاضلية ، والأنظمة الديناميكية .

على سبيل المثال، يوفر جبر C* بديهية بديلة لنظرية الاحتمالات. في هذه الحالة، تُعرف الطريقة باسم بناء جيلفاند-نايمارك-سيجال . وهذا مشابه للنهجين للقياس والتكامل، حيث يكون لدى المرء خيار إنشاء مقاييس المجموعات أولاً وتحديد التكاملات لاحقًا، أو إنشاء التكاملات أولاً وتحديد مقاييس المجموعة كتكاملات للوظائف المميزة.

• جبر AW*  – تعميم جبري لجبر W*الصفحات التي تعرض أوصاف ويكي بيانات كبديل
• الناقل المركزي
• نظرية توميتا-تاكيساكي  – الطريقة الرياضية في التحليل الوظيفي

• أراكي، هـ؛ وودز، إي جيه (1968)، "تصنيف العوامل"، مجلة بحوث عامة، معهد علوم الرياضيات، السلسلة أ ، 4 (1): 51-130، doi : 10.2977/prims/1195195263السيد 0244773
• بلاكادار، ب. (2005)، جبر المشغل ، سبرينغر، رقم ISBN 3-540-28486-9، مخطوطة مصححة (PDF) ، 2013
• كونيس، أ. (1976)، "تصنيف العوامل الحقنية"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 104 (1): 73-115، doi :10.2307/1971057، JSTOR  1971057
• كونيس، أ. (1994)، الهندسة غير التبادلية ، أكاديميك بريس، رقم ISBN 0-12-185860-X.
• Dixmier، J. (1981)، جبر فون نيومان ، ISBN 0-444-86308-7(ترجمة لـ Dixmier، J. (1957)، Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann ، Gauthier-Villars(أول كتاب عن جبر فون نيومان.)
• جونز، VFR (2003)، جبر فون نيومان (PDF)؛ ملاحظات غير كاملة من الدورة.
• كوستيكي، آر بي (2013)، جبر W* والتكامل غير التبادلي ، arXiv : 1307.4818 ، رمز Bibcode : 2013arXiv1307.4818P.
• ماك دوف، دوسا (1969)، "عدد لا يحصى من عوامل II ₁ "، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 90 (2): 372-377، doi :10.2307/1970730، JSTOR  1970730
• موري، إف جيه (2006)، "حلقات أوراق المشغلين"، إرث جون فون نيومان (هيمبستيد، نيويورك، 1988) ، ندوات وقائع الرياضيات البحتة، المجلد 50، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص 57-60، رقم ISBN 0-8218-4219-6رواية تاريخية لاكتشاف جبر فون نيومان.
• موري، ف. ج.؛ فون نيومان، ج. (1936)، "حول حلقات المشغلين"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 37 (1): 116-229، doi :10.2307/1968693، JSTOR  1968693تتناول هذه الورقة خصائصها الأساسية وتقسيمها إلى الأنواع الأول والثاني والثالث، وتكتشف على وجه الخصوص عوامل ليست من النوع الأول.
• موري، ف. ج.؛ فون نيومان، ج. (1937)، "حول حلقات المشغلين الجزء الثاني"، ترانس. الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 41 (2)، الجمعية الأمريكية للرياضيات: 208-248، doi : 10.2307/1989620 ، JSTOR  1989620هذه استمرارية للورقة السابقة، التي تدرس خصائص أثر العامل.
• موري، ف. ج.؛ فون نيومان، ج. (1943)، "حول حلقات المشغلات IV"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 44 (4): 716-808، doi :10.2307/1969107، JSTOR  1969107تدرس هذه الدراسة متى تكون العوامل متماثلة، وتظهر على وجه الخصوص أن جميع العوامل المحدودة تقريبًا من النوع الثاني ₁ متماثلة.
• باورز، روبرت ت. (1967)، "تمثيلات الجبر المتجانس فائق الدقة وحلقات فون نيومان المرتبطة بها"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 86 (1): 138-171، doi :10.2307/1970364، JSTOR  1970364
• ساكاي، س. (1971)، جبر C* وجبر W* ، سبرينغر، رقم ISBN 3-540-63633-1
• شوارتز، جاكوب (1967)، الجبر W-* ، ISBN 0-677-00670-5
• Shtern، AI (2001) [1994]، “جبر فون نيومان”، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
• Takesaki, M. (1979)، نظرية الجبر المؤثر I، II، III ، ISBN 3-540-42248-X
• von Neumann، J. (1930)، “Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der Normalen Operatoren”، الرياضيات. آن. ، 102 (1): 370-427، بيب كود :1930MatAn.102..685E، دوى :10.1007 / BF01782352، S2CID  121141866. الورقة الأصلية عن جبر فون نيومان.
• فون نيومان، ج. (1936)، "حول طوبولوجيا معينة لحلقات المشغلات"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 37 (1): 111-115، doi :10.2307/1968692، JSTOR  1968692. هذا يحدد الطوبولوجيا القوية للغاية.
• فون نيومان، ج. (1938)، "حول المنتجات المباشرة اللانهائية"، Compos. Math. ، 6 : 1–77يناقش هذا الموضوع حاصل ضرب الموتر اللانهائي لمساحات هيلبرت والجبر المؤثر عليها.
• فون نيومان، ج. (1940)، "حول حلقات المشغلين، المجلد الثالث"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 41 (1): 94-161، doi :10.2307/1968823، JSTOR  1968823وهذا يدل على وجود عوامل من النوع الثالث.
• فون نيومان، ج. (1943)، "حول بعض الخصائص الجبرية لحلقات المشغل"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 44 (4): 709-715، doi :10.2307/1969106، JSTOR  1969106يوضح هذا أن بعض الخصائص الطوبولوجية الظاهرة في جبر فون نيومان يمكن تعريفها جبريًا بحتًا.
• فون نيومان، ج. (1949)، "حول حلقات المشغلات. نظرية الاختزال"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 50 (2): 401-485، doi :10.2307/1969463، JSTOR  1969463يناقش هذا المقال كيفية كتابة جبر فون نيومان كمجموع أو تكامل للعوامل.
• فون نيومان، جون (1961)، تاوب، إيه إتش (محرر)، الأعمال الكاملة، المجلد الثالث: حلقات المشغلين ، نيويورك: مطبعة بيرغامون. إعادة طبع أوراق فون نيومان حول جبر فون نيومان.
• واسرمان، AJ (1991)، المشغلون في فضاء هيلبرت