انعكاس داخلي كامل

في الفيزياء ، يُعرف الانعكاس الكلي الداخلي ( TIR ) ​​بأنه ظاهرة لا تنكسر فيها الموجات الواصلة إلى السطح الفاصل (الحدود) بين وسطين (مثلًا، من الماء إلى الهواء) داخل الوسط الثاني ("الخارجي")، بل تنعكس كليًا عائدةً إلى الوسط الأول ("الداخلي"). يحدث هذا عندما يكون للوسط الثاني سرعة موجية أعلى (أي معامل انكسار أقل ) من الوسط الأول، وعندما تسقط الموجات بزاوية مائلة كافية على السطح الفاصل. على سبيل المثال، يعكس سطح الماء والهواء في حوض أسماك نموذجي، عند النظر إليه بشكل مائل من الأسفل، المشهد تحت الماء كمرآة دون فقدان للسطوع (الشكل 1). أما الحالة المعاكسة للانعكاس الكلي الداخلي، والتي تُعرف بالانعكاس الكلي الخارجي ، فتحدث في نطاق الأشعة فوق البنفسجية القصوى والأشعة السينية .

لا يقتصر الانعكاس الكلي الداخلي على الموجات الكهرومغناطيسية كالضوء والميكروويف ، بل يشمل أنواعًا أخرى من الموجات، بما فيها موجات الصوت والماء . إذا كانت الموجات قادرة على تشكيل حزمة ضيقة (الشكل 2)، يُوصف الانعكاس عادةً بأنه " أشعة " وليس موجات؛ أما في وسط لا تتأثر خصائصه بالاتجاه، كالهواء أو الماء أو الزجاج ، فتكون "الأشعة" عمودية على جبهات الموجات المرتبطة بها . ويحدث الانعكاس الكلي الداخلي عند تجاوز الزاوية الحرجة.

عادةً ما يصاحب الانكسار انعكاس جزئي . فعندما تنكسر الموجات من وسط ذي سرعة انتشار منخفضة ( معامل انكسار مرتفع ) إلى وسط ذي سرعة انتشار أعلى (معامل انكسار منخفض) - مثلاً من الماء إلى الهواء - تكون زاوية الانكسار (بين الشعاع الخارج والعمود المقام على السطح ) أكبر من زاوية السقوط (بين الشعاع الساقط والعمود المقام). وعندما تقترب زاوية السقوط من عتبة معينة تُسمى الزاوية الحرجة ، تقترب زاوية الانكسار من 90 درجة، وعندها يصبح الشعاع المنكسر موازياً للسطح الفاصل. وعندما تتجاوز زاوية السقوط الزاوية الحرجة، لا تتحقق شروط الانكسار، فلا ينكسر الشعاع، ويصبح الانعكاس كلياً. بالنسبة للضوء المرئي ، تبلغ الزاوية الحرجة حوالي 49 درجة عند السقوط من الماء إلى الهواء، وحوالي 42 درجة عند السقوط من الزجاج العادي إلى الهواء.

تُفضي تفاصيل آلية الانعكاس الكلي الداخلي إلى ظواهر أكثر دقة. فبينما لا ينطوي الانعكاس الكلي، بحكم تعريفه، على تدفق مستمر للطاقة عبر السطح الفاصل بين الوسطين، يحمل الوسط الخارجي ما يُسمى بالموجة المتلاشية ، التي تنتقل على طول السطح الفاصل بسعة تتناقص أُسّيًا مع المسافة من السطح الفاصل. ويكون الانعكاس "كليًا" بالفعل إذا كان الوسط الخارجي عديم الفقد (شفافًا تمامًا)، ومتصلًا، وذا امتداد لانهائي، ولكنه قد يكون أقل بكثير من الكلي إذا امتصّ وسط خارجي ذو فقد الموجة المتلاشية (" انعكاس كلي مُخفَّف ")، أو انحرفت بفعل الحد الخارجي للوسط الخارجي أو بفعل أجسام مغمورة فيه ("  انعكاس كلي داخلي مُحبط"). وعلى عكس الانعكاس الجزئي بين الأوساط الشفافة، يترافق الانعكاس الكلي الداخلي مع إزاحة طورية غير بسيطة (ليست صفرًا أو 180 درجة فقط) لكل مُركِّبة من مُركِّبات الاستقطاب (عمودية أو موازية لمستوى السقوط )، وتختلف هذه الإزاحات باختلاف زاوية السقوط. أضاف تفسير أوغستين جان فرينل لهذا التأثير في عام 1823 إلى الأدلة المؤيدة لنظرية الموجة للضوء .

تُستخدم إزاحات الطور في اختراع فرينل، وهو معين فرينل ، لتعديل الاستقطاب. وتُستغل كفاءة الانعكاس الداخلي الكلي في الألياف البصرية (المستخدمة في كابلات الاتصالات وفي مناظير الألياف الضوئية المُكوِّنة للصور )، وفي الموشورات العاكسة ، مثل موشورات بورو / السقف المُقوِّمة للصور في المناظير الأحادية والثنائية .

على الرغم من أن الانعكاس الداخلي الكلي يمكن أن يحدث مع أي نوع من الموجات التي يمكن القول أنها ذات سقوط مائل، بما في ذلك (على سبيل المثال) الموجات الدقيقة ^{[ 1 ]} والموجات الصوتية ، ^{[ 2 ]} إلا أنه أكثر شيوعًا في حالة الموجات الضوئية .

يمكن إثبات الانعكاس الكلي الداخلي للضوء باستخدام كتلة نصف دائرية أسطوانية الشكل مصنوعة من الزجاج العادي أو زجاج الأكريليك  . في الشكل 3، يُسقط "صندوق الأشعة" شعاعًا ضيقًا من الضوء (  " شعاعًا ") شعاعيًا نحو الداخل. يسمح المقطع العرضي نصف الدائري للزجاج للشعاع الساقط بالبقاء عموديًا على الجزء المنحني من سطح الهواء/الزجاج، وبالتالي الاستمرار في خط مستقيم نحو الجزء المسطح من السطح، على الرغم من تغير زاويته مع الجزء المسطح.

عند نقطة التقاء الشعاع بالسطح الفاصل بين الزجاج والهواء، تُسمى الزاوية بين الشعاع والعمود المقام على السطح الفاصل بزاوية السقوط . ^{[ 3 ]} إذا كانت هذه الزاوية صغيرة بما يكفي، ينعكس جزء من الشعاع بينما ينفذ معظمه، وينكسر الجزء المنفذ مبتعدًا عن العمود المقام، بحيث تكون زاوية الانكسار (بين الشعاع المنكسر والعمود المقام على السطح الفاصل) أكبر من زاوية السقوط. لنُسمِّ زاوية السقوط θi وزاوية الانكسار θt ₍ حيث t للشعاع المنفذ ، و r للشعاع المنعكس). مع ازدياد θi واقترابها من "زاوية حرجة" معينة، يُرمز لها بـ θc ( أو أحيانًا θcr _{) ،} تقترب زاوية _{الانكسار} من 90 _° (أي أن الشعاع المنكسر يقترب من مماس السطح الفاصل)، فيصبح الشعاع المنكسر أضعف بينما يصبح الشعاع المنعكس أكثر سطوعًا. ^{[ 4 ]} عندما تتجاوز الزاوية θ _i الزاوية θ _c ، يختفي الشعاع المنكسر ولا يبقى سوى الشعاع المنعكس، بحيث تنعكس كل طاقة الشعاع الساقط؛ وهذا ما يُعرف بالانعكاس الكلي الداخلي. باختصار : 

• إذا كانت θ _i < θ _c ‍ ، فإن الشعاع ينعكس جزئيًا وينكسر جزئيًا؛
• إذا كانت θ _i > θ _c ‍ ،فإن الشعاع الساقط يعاني من انعكاس داخلي كلي (TIR)؛ لا يتم نقل أي جزء منه.

الزاوية الحرجة هي أصغر زاوية سقوط تؤدي إلى انعكاس كلي، أو بعبارة أخرى، أكبر زاوية يوجد عندها شعاع منكسر. _[ ^{5 ] بالنسبة} لموجات الضوء الساقطة من وسط "داخلي" ذي معامل انكسار واحد n1 إلى وسط "خارجي" ذي معامل انكسار واحد n2 _، تُعطى الزاوية الحرجة بالعلاقة التالية:${\displaystyle \theta _{\text{c}}=\arcsin(n_{2}/n_{1})}$ويُعرَّف هذا الشرط إذا كان _{n₂ ≤} n₁ . بالنسبة لبعض أنواع الموجات الأخرى، يكون من الأنسب التفكير من حيث سرعات الانتشار بدلاً من معاملات الانكسار. يُعدّ شرح الزاوية الحرجة بدلالة السرعات أكثر عمومية، ولذلك سيتم تناوله أولاً.

عندما تنكسر جبهة الموجة من وسط إلى آخر، يلتقي الجزء الساقط (الداخل) والجزء المنكسر (الخارج) من جبهة الموجة عند خط مشترك على سطح الانكسار (السطح الفاصل). لنفترض أن هذا الخط، الذي يُرمز له بـ L ، يتحرك بسرعة u عبر السطح، ^{[ 6 ] [ 7 ]} حيث تُقاس u عموديًا على L (الشكل 4). ولنفترض أن جبهتي الموجة الساقطة والمنكسرة تنتشران بسرعات عمودية.  ${\displaystyle v_{1}}$و${\displaystyle v_{2}}$على التوالي، ولنجعلهما يشكلان زاويتين ثنائيتي السطوح θ ₁ و θ ₂ على التوالي مع السطح الفاصل. من الهندسة،${\displaystyle v_{1}}$يمثل مركبة u في الاتجاه العمودي على الموجة الساقطة، بحيث${\displaystyle v_{1}=u\sin \theta _{1}.}$بصورة مماثلة،${\displaystyle v_{2}=u\sin \theta _{2}.}$بحل كل معادلة لإيجاد 1/ u ومساواة النتائج، نحصل على القانون العام لانكسار الموجات:

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}.}$

1

لكن الزاوية ثنائية السطوح بين مستويين هي أيضاً الزاوية بين عموديهما. لذا، فإن _θ1 هي الزاوية بين العمودي على جبهة الموجة الساقطة والعمودي على السطح الفاصل، بينما θ2 هي الزاوية بين العمودي على جبهة الموجة المنكسرة والعمودي على السطح الفاصل؛ وتوضح المعادلة ( ₁ ) أن جيوب هاتين الزاويتين تتناسب مع السرعات المقابلة. ^{[ 8 ]} 

تتخذ هذه النتيجة شكل " قانون سنيل "، باستثناء أننا لم نذكر بعد أن نسبة السرعات ثابتة، ولم نربط θ₁ _و θ₂ بزوايا السقوط والانكسار (المشار إليهما أعلاه _بـ θᵢ و θᵗ ₎ . مع ذلك، إذا افترضنا الآن أن خصائص الوسط متجانسة _{(غير مرتبطة بالاتجاه) ،} فإن استنتاجين إضافيين يترتبان على ذلك: أولًا، أن السرعتين، وبالتالي نسبتهما، مستقلتان عن اتجاهيهما؛ وثانيًا، أن اتجاهات العمود على الموجة تتطابق مع اتجاهات الأشعة ، بحيث تتطابق θ₁ _و θ₂ مع زاويتي السقوط والانكسار كما هو مُعرَّف أعلاه. _[ ^{ملاحظة 1 ]}

من الواضح أن زاوية الانكسار لا يمكن أن تتجاوز 90 درجة. في الحالة الحدية، نضع θ ₂ = 90 درجة و θ ₁ = θ _c في المعادلة  ( 1 )، ونحل لإيجاد الزاوية الحرجة:

${\displaystyle \theta _{\text{c}}=\arcsin(v_{1}/v_{2}).}$

2

عند استخلاص هذه النتيجة، نحتفظ بافتراض تجانس الأوساط لكي نربط θ ₁ و θ ₂ بزوايا السقوط والانكسار. ^{[ ملاحظة 3 ]}

بالنسبة للموجات الكهرومغناطيسية ، وخاصة الضوء، من المعتاد التعبير عن النتائج المذكورة أعلاه بدلالة معاملات الانكسار . معامل انكسار وسط ذي سرعة طبيعية${\displaystyle v_{1}}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle n_{1}=c/v_{1},}$حيث c هي سرعة الضوء في الفراغ. ^{[ 9 ]} ومن ثم${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}.}$بصورة مماثلة،${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}.}$بإجراء هذه التعويضات في المعادلتين  ( 1 ) و( 2 )، نحصل على

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$

3

و

${\displaystyle \theta _{\text{c}}=\arcsin(n_{2}/n_{1}).}$

4

تمثل المعادلة  ( 3 _{) قانون الانكسار للأوساط العامة، بدلالة معاملات الانكسار ،} بشرط اعتبار θ₁ _و θ₂ زاويتي ثنائي السطوح؛ أما إذا كانت الأوساط متجانسة الخواص ، فإن n₁ و _{n₂ تصبحان} مستقلتين عن الاتجاه، ويمكن اعتبار θ₁ _و θ₂ زاويتي السقوط والانكسار للأشعة، وتتبع ذلك المعادلة (4). لذا ، _{بالنسبة} للأوساط متجانسة الخواص، تصف المعادلتان ( 3 ) و ( 4 ) معًا السلوك الموضح في الشكل 5 .   

وفقًا للمعادلة  ( 4 )، بالنسبة لسقوط _الضوء من الماء ( _n1 ≈ 1.333 ) إلى الهواء ( n2 ≈ 1 )، لدينا θc ≈ 48.6° ، بينما بالنسبة لسقوط الضوء من الزجاج العادي أو الأكريليك ( _{n1 ≈} 1.50 ) إلى الهواء ( n2 _≈ 1 )، لدينا θc ≈ 41.8 _° .

تُعرَّف دالة الجيب العكسي التي تُعطي _{θc فقط} إذا _كان n2 ≤ n1${\displaystyle (v_{2}\geq v_{1}).}$لذا، في الأوساط المتجانسة، لا يمكن أن يحدث الانعكاس الكلي الداخلي إذا كان للوسط الثاني معامل انكسار أعلى (سرعة عمودية أقل) من الوسط الأول. على سبيل المثال، لا يمكن أن يحدث انعكاس كلي داخلي عند سقوط الموجة من الهواء إلى الماء؛ بل إن الزاوية الحرجة لسقوط الموجة من الماء إلى الهواء هي زاوية الانكسار عند السقوط المماسي من الهواء إلى الماء (الشكل  6). ^{[ 10 ]}

يُوصف الوسط ذو معامل الانكسار الأعلى عادةً بأنه أكثر كثافةً بصريًا ، بينما يُوصف الوسط ذو معامل الانكسار الأقل بأنه أقل كثافةً بصريًا . ^{[ 11 ]} ولذلك يُقال إن الانعكاس الداخلي الكلي ممكن عند سقوط الضوء من وسط كثيف إلى وسط أقل كثافةً، ولكنه غير ممكن عند سقوط الضوء من وسط أقل كثافةً إلى وسط كثيف.

عند الوقوف بجانب حوض أسماك مع توجيه النظر أسفل مستوى الماء، من المرجح رؤية الأسماك أو الأجسام المغمورة منعكسة على سطح الماء والهواء (الشكل 1). وقد يكون سطوع الصورة المنعكسة - الذي يضاهي سطوع الرؤية المباشرة - مذهلاً.

يمكن ملاحظة تأثير مماثل عند فتح العينين أثناء السباحة أسفل سطح الماء مباشرةً. فإذا كان الماء ساكنًا، يبدو السطح خارج الزاوية الحرجة (المقاسة من الخط العمودي) كمرآة، عاكسًا الأجسام الموجودة أسفله. ولا يمكن رؤية المنطقة فوق الماء إلا من الأعلى، حيث ينضغط مجال الرؤية نصف الكروي إلى مجال مخروطي يُعرف بنافذة سنيل ، ويبلغ قطره الزاوي ضعف الزاوية الحرجة (انظر  الشكل 6). ^{[ 12 ]} يبلغ مجال الرؤية فوق الماء نظريًا 180 درجة، ولكنه يبدو أقل من ذلك لأنه كلما اقتربنا من الأفق، ازداد انضغاط البعد العمودي بفعل الانكسار؛ على سبيل المثال، وفقًا للمعادلة. ( 3 ) بالنسبة لزوايا سقوط الضوء من الهواء إلى الماء البالغة 90° و80° و70°، تكون زوايا الانكسار المقابلة 48.6° ( θ _cr في الشكل 6) و47.6° و44.8° على التوالي، مما يشير إلى أن صورة نقطة تقع على ارتفاع 20° فوق الأفق تبعد 3.8° عن حافة نافذة سنيل، بينما تبعد صورة نقطة تقع على ارتفاع 10° فوق الأفق 1° فقط عن الحافة. ^{​​[ 13 ]}

على سبيل المثال، تُظهر الصورة رقم 7 لقطةً فوتوغرافيةً التُقطت بالقرب من قاع الجزء الضحل من حوض سباحة. ما يبدو كشريط أفقي عريض على الجدار الأيمن يتكون من الحواف السفلية لصف من البلاط البرتقالي وانعكاساته؛ وهذا يُشير إلى مستوى الماء، الذي يُمكن تتبعه عبر الجدار الآخر. لقد أحدثت السباحة اضطرابًا في سطح الماء فوقها، مما أدى إلى تشويش النصف السفلي من انعكاسها، وتشويه انعكاس السلم (إلى اليمين). لكن معظم سطح الماء لا يزال هادئًا، مما يُعطي انعكاسًا واضحًا لقاع حوض السباحة المُبلّط. المساحة فوق الماء غير مرئية إلا في أعلى الإطار، حيث يُمكن تمييز مقابض السلم بالكاد فوق حافة نافذة سنيل - التي يكون انعكاس قاع حوض السباحة فيها جزئيًا فقط، ولكنه لا يزال ملحوظًا في الصورة. يُمكن حتى تمييز تداخل الألوان على حافة نافذة سنيل، نتيجةً لتغير معامل الانكسار، وبالتالي الزاوية الحرجة، مع الطول الموجي (انظر التشتت ).

تؤثر الزاوية الحرجة على زوايا قطع الأحجار الكريمة . فالقطع الدائري اللامع ، على سبيل المثال، مصمم لكسر الضوء الساقط على الأوجه الأمامية، وعكسه مرتين عن طريق الانعكاس الداخلي الكلي من الأوجه الخلفية، ثم نقله مرة أخرى عبر الأوجه الأمامية، مما يجعل الحجر يبدو لامعًا. يُعد الماس (الشكل 8) مناسبًا بشكل خاص لهذه المعالجة، نظرًا لمعامل انكساره العالي (حوالي 2.42) وبالتالي زاويته الحرجة الصغيرة (حوالي 24.5 درجة)، مما يُعطيه السلوك المطلوب على نطاق واسع من زوايا الرؤية. ^{[ 14 ]} تشمل المواد الأرخص التي تُناسب هذه المعالجة أيضًا الزركونيا المكعبة (معامل انكسارها ≈ 2.15) والمويسانيت (غير متجانس الخواص، وبالتالي ذو معامل انكسار مزدوج  ، ويتراوح معامل انكساره من حوالي 2.65 إلى 2.69، ^{[ ملاحظة 4 ]} اعتمادًا على الاتجاه والاستقطاب)؛ ولذلك، يُعد كلاهما شائعًا كبديل للماس .

رياضيًا، تُوصف الموجات بدلالة الحقول المتغيرة مع الزمن ، حيث يُمثل "الحقل" دالةً للموقع في الفضاء. تتطلب الموجة المنتشرة حقل "جهد" وحقل "تدفق"، ويكون الأخير متجهًا (إذا كنا نعمل في بُعدين أو ثلاثة أبعاد). يرتبط حاصل ضرب الجهد والتدفق بالقدرة (انظر تكافؤ النظام ). على سبيل المثال، بالنسبة للموجات الصوتية في سائل غير لزج ، يمكننا اعتبار حقل الجهد هو الضغط (  كمية قياسية)، وحقل التدفق هو سرعة السائل (كمية  متجهة). حاصل ضرب هذين الحقلين هو الشدة (القدرة لكل وحدة مساحة). ^{[ 15 ] [ ملاحظة 5 ]} بالنسبة للموجات الكهرومغناطيسية، سنعتبر حقل الجهد هو المجال الكهربائي E ، وحقل التدفق هو المجال المغناطيسي H. كلاهما متجهان، وحاصل ضربهما المتجهي هو أيضًا الشدة (انظر متجه بوينتينغ ). ^{[ 16 ]} 

 عندما تنعكس موجة في الوسط 1 (على سبيل المثال) عن السطح الفاصل بين الوسطين  1 و  2، يكون مجال التدفق في الوسط  1 هو المجموع الاتجاهي لمجالي التدفق الناتجين عن الموجتين الساقطة والمنعكسة. ^{[ ملاحظة 6 ]} إذا كان الانعكاس مائلاً، فإن المجالين الساقط والمنعكس لا يكونان في اتجاهين متعاكسين، وبالتالي لا يمكنهما إلغاء بعضهما البعض عند السطح الفاصل؛ حتى لو كان الانعكاس كليًا، يجب أن تكون إحدى المركبتين، العمودية أو المماسية، للمجال الناتج (كدالة للموقع والزمن) غير صفرية بالقرب من السطح الفاصل. علاوة على ذلك، تشير القوانين الفيزيائية التي تحكم المجالات عمومًا إلى أن إحدى المركبتين تكون متصلة عبر السطح الفاصل (أي أنها لا تتغير فجأة عند عبور السطح الفاصل)؛ على سبيل المثال، بالنسبة للموجات الكهرومغناطيسية، أحد شروط السطح الفاصل هو أن تكون المركبة المماسية لـ H متصلة إذا لم يكن هناك تيار سطحي. ^{[ 17 ]} وبالتالي، حتى لو كان الانعكاس كليًا، يجب أن يكون هناك بعض الاختراق لمجال التدفق في الوسط  2. وهذا، بالإضافة إلى القوانين التي تربط بين مجالي الجهد والتدفق، يعني وجود اختراق لمجال الجهد. ويشير شرط الاستمرارية نفسه إلى أن تغير (تموج) المجال في الوسط  2 سيكون متزامنًا مع تغير الموجات الساقطة والمنعكسة في الوسط  1.

لكن، إذا كان الانعكاس كليًا، فلا بد من تقييد الاختراق المكاني للحقول في الوسط  2 بطريقة ما، وإلا فإن المدى الكلي وبالتالي الطاقة الكلية لتلك الحقول سيستمر في الزيادة، مما يؤدي إلى استنزاف الطاقة من الوسط  1. يسمح الانعكاس الكلي لسلسلة موجات مستمرة بتخزين بعض الطاقة في الوسط  2، ولكنه لا يسمح بنقل مستمر للطاقة من الوسط  1 إلى الوسط  2.

وبالتالي، باستخدام الاستدلال النوعي في الغالب، يمكننا أن نستنتج أن الانعكاس الداخلي الكلي يجب أن يكون مصحوبًا بمجال يشبه الموجة في الوسط "الخارجي"، ينتقل على طول السطح البيني بالتزامن مع الموجات الساقطة والمنعكسة، ولكن مع نوع من الاختراق المكاني المحدود في الوسط "الخارجي"؛ يمكن تسمية هذا المجال بالموجة المتلاشية .

يوضح الشكل 9 الفكرة الأساسية. يُفترض أن الموجة الساقطة مستوية وجيبية . ولتبسيط الأمر، لم تُعرض الموجة المنعكسة. تنتقل الموجة المتلاشية إلى اليمين بالتزامن مع الموجتين الساقطة والمنعكسة، لكن سعتها تتناقص مع ازدياد المسافة من السطح الفاصل.

( سيتم شرح سمتين للموجة المتلاشية في الشكل 9 لاحقًا: أولًا، أن قمم الموجة المتلاشية عمودية على السطح البيني؛ وثانيًا، أن الموجة المتلاشية تتقدم قليلاً على الموجة الساقطة.)

الانعكاس الداخلي الكلي المحبط (FTIR)

لكي يكون الانعكاس الداخلي كليًا، يجب ألا يحدث أي انحراف للموجة المتلاشية. لنفترض، على سبيل المثال، أن الموجات الكهرومغناطيسية الساقطة من الزجاج (ذي معامل انكسار أعلى) إلى الهواء (ذي معامل انكسار أقل) بزاوية سقوط معينة تخضع للانعكاس الداخلي الكلي. ولنفترض أيضًا وجود وسط ثالث (غالبًا ما يكون مطابقًا للوسط الأول) ذي معامل انكسار عالٍ بما يكفي بحيث لو استُبدل بالوسط الثاني، لحصلنا على سلسلة موجات قياسية منقولة عند زاوية السقوط نفسها. عندئذٍ، إذا وُضع الوسط الثالث على مسافة بضعة أطوال موجية من سطح الوسط الأول، حيث تكون سعة الموجة المتلاشية كبيرة في الوسط الثاني، فإن الموجة المتلاشية تنكسر فعليًا داخل الوسط الثالث، مما يُعطي نفاذية غير صفرية فيه، وبالتالي انعكاسًا أقل من الانعكاس الكلي عائدًا إلى الوسط الأول. ^{[ 18 ]} مع انخفاض سعة الموجة المتلاشية عبر الفجوة الهوائية، تتضاءل الموجات المنتقلة ، مما يقلل من انتقالها وبالتالي يزيد من انعكاسها، مقارنةً بما يحدث في حالة عدم وجود فجوة؛ ولكن طالما أن هناك انتقالًا ، فإن الانعكاس يكون أقل من الانعكاس الكلي. تُسمى هذه الظاهرة بالانعكاس الكلي الداخلي المُعاق (حيث تنفي كلمة "معاق" كلمة "كلي")، ويُختصر إلى "الانعكاس الكلي الداخلي المُعاق" أو "FTIR".

يمكن ملاحظة ظاهرة الانعكاس الداخلي الكلي المحبط بالنظر إلى أعلى كوب ماء ممسك باليد (الشكل 10). إذا كان  الكوب غير محكم الإمساك، فقد لا يكون التلامس وثيقًا وواسعًا بما يكفي لإحداث تأثير ملحوظ. أما إذا كان محكم الإمساك، فإن خطوط بصمات الأصابع تتفاعل بقوة مع الموجات المتلاشية، مما يسمح برؤية هذه الخطوط من خلال سطح الزجاج العاكس للهواء. ^{[ 19 ]}

يمكن إثبات التأثير نفسه باستخدام الموجات الدقيقة، وذلك باستخدام شمع البارافين كوسيط "داخلي" (حيث توجد الموجات الساقطة والمنعكسة). في هذه الحالة، قد يكون عرض الفجوة المسموح به (على سبيل المثال) 1 سم أو عدة سنتيمترات، وهو ما يسهل ملاحظته وتعديله. ^{[ 1 ] [ 20 ]}

ينطبق مصطلح الانعكاس الداخلي الكلي المحبط أيضاً على الحالة التي تتشتت فيها الموجة المتلاشية بواسطة جسم قريب بما فيه الكفاية من السطح العاكس. يُستغل هذا التأثير، إلى جانب اعتماد كمية الضوء المتشتت بشدة على المسافة من السطح، في مجهر الانعكاس الداخلي الكلي . ^{[ 21 ]}

تُعرف آلية مطيافية الأشعة تحت الحمراء بتحويل فورييه (FTIR) باسم اقتران الموجة المتلاشية ، وهي تشبيه جيد لتصور النفق الكمومي . ^{[ 22 ]} نظرًا للطبيعة الموجية للمادة، فإن للإلكترون احتمالًا غير صفري لعبور حاجز، حتى لو أشارت الميكانيكا الكلاسيكية إلى أن طاقته غير كافية. ^{[ 18 ] [ 19 ]} وبالمثل، نظرًا للطبيعة الموجية للضوء، فإن للفوتون احتمالًا غير صفري لعبور فجوة، حتى لو أشارت البصريات الشعاعية  إلى أن مساره مائل للغاية.

من الأسباب الأخرى التي قد تجعل الانعكاس الداخلي أقل من الانعكاس الكلي، حتى بعد تجاوز الزاوية الحرجة، أن الوسط الخارجي قد يكون "مُبددًا" (أقل شفافية)، وفي هذه الحالة سيمتص الوسط الخارجي الطاقة من الموجة المتلاشية، مما يؤدي إلى استمداد طاقة من الموجة الساقطة للحفاظ على الموجة المتلاشية. يُسمى الانعكاس الناتج الأقل من الانعكاس الكلي بالانعكاس الكلي المخفف (ATR). يمكن استخدام هذا التأثير، وخاصة اعتماد الامتصاص على التردد، لدراسة تركيب وسط خارجي غير معروف. ^{[ 23 ]}

اشتقاق الموجة المتلاشية

في موجة كهرومغناطيسية جيبية مستوية منتظمة، يكون للمجال الكهربائي E الشكل التالي:

${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)},}$

5

حيث E _{_k} هو متجه السعة المركبة (الثابت) ، و i هي الوحدة التخيلية ، و k هو متجه الموجة (الذي مقداره k هو العدد الموجي الزاوي )، و r هو متجه الموضع ، و ω هي التردد الزاوي ، و t هو الزمن، ومن المفهوم أن الجزء الحقيقي من التعبير هو المجال الفيزيائي. ^{[ ملاحظة 7 ]} للمجال المغناطيسي H نفس الشكل مع نفس قيم k و ω . تبقى قيمة التعبير ثابتة إذا تغير الموضع r في اتجاه عمودي على k ؛ وبالتالي فإن k عمودي على جبهات الموجة .

إذا كان ℓ هو مركبة r في اتجاه k ، فيمكن كتابة المجال ( 5 ) على النحو التالي${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(k\ell -\omega t)}.}$إذا كانت حجة${\displaystyle e^{i(\cdots )}}$لكي يكون ثابتًا، يجب أن تزداد قيمة ℓ مع السرعة.${\displaystyle \omega /k,}$تُعرف باسم سرعة الطور . ^{[ 24 ]} وهذا بدوره يساوي${\displaystyle c/n,}$حيث c هي سرعة الطور في الوسط المرجعي (المفترض أنه فراغ)، و n هو معامل الانكسار المحلي بالنسبة للوسط المرجعي. وبحل المعادلة لإيجاد قيمة k، نحصل على${\displaystyle k=n\omega /c,}$أي

${\displaystyle k=nk_{0},}$

6

أين${\displaystyle k_{0}=\أوميغا /c}$هو العدد الموجي في الفراغ. ^{[ 25 ] [ ملاحظة 8 ]}

من ( 5 )، يكون للمجال الكهربائي في الوسط "الخارجي" الشكل التالي

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{t}}=\mathbf {E} _{\mathbf {k} {\text{t}}}e^{i(\mathbf {k_{\text{t}}\cdot r} -\omega t)},}$

7

حيث k _t هو متجه الموجة للموجة المنقولة (نفترض وسطًا متجانسًا، ولكن لم يُفترض بعد أن الموجة المنقولة متلاشية).

في الإحداثيات الديكارتية ( x , y , z ) ، لنفترض أن المنطقة y < 0 لها معامل انكسار n1 ، وأن المنطقة y > 0 لها معامل انكسار n2 _. عندئذٍ، _{يكون المستوى} xz هو السطح الفاصل، ويكون المحور y عموديًا على السطح الفاصل (الشكل  11). لنفترض أن i و j متجهان وحدة في الاتجاهين x و y على التوالي. ولنفترض أن مستوى السقوط (الذي يحتوي على الموجة الساقطة العمودية على _السطح الفاصل والعمودي على السطح الفاصل) هو المستوى xy (مستوى الصفحة)، بزاوية سقوط θi مقاسة من j باتجاه i . ولنفترض أن زاوية الانكسار، مقاسة بنفس الاتجاه، هي _θt ( "t" للموجة المنقولة ، مع الاحتفاظ بـ "r" للموجة المنعكسة ).

من ( 6 )، يكون لمتجه الموجة المنتقلة k _t مقدار n ₂ k _0. ومن ثم، من الهندسة، $${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}=n_{2}k_{0}(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})=k_{0}(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _ {\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})،}$$ حيث تستخدم الخطوة الأخيرة قانون سنيل. بأخذ الضرب القياسي مع متجه الموضع، نحصل على $${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}\cdot \mathbf {r} =k_{0}(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}}),}$$ وبذلك تصبح المعادلة  ( 7 )

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{t}}=\mathbf {E} _{\mathbf {k} {\text{t}}}\exp[i(n_{1}k_{0}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}k_{0}y\cos \theta _{\text{t}}-\omega t)].}$

8

في حالة الانعكاس الكلي الداخلي، لا توجد الزاوية _θt بالمعنى المعتاد. ولكن لا يزال بإمكاننا تفسير المعادلة ( ₈ ) للموجة المنتقلة (المتلاشية) بجعل cos θt عددًا مركبًا . يصبح هذا ضروريًا عند كتابة cos _θt بدلالة sin θt _، ومن ثم بدلالة sin θi _{باستخدام} قانون سنيل. $${\displaystyle \cos \theta _{\text{t}}={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta _{\text{t}}}}={\sqrt {1-(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}}}.}$$ بالنسبة لـ θ _i أكبر من الزاوية الحرجة، تكون القيمة الموجودة تحت رمز الجذر التربيعي سالبة، بحيث ^{[ 26 ]}

${\displaystyle \cos \theta _{\text{t}}=\pm i\,{\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}.}$

9

لتحديد الإشارة المناسبة، نستبدل ( 9 ) في ( 8 )، فنحصل على

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{t}}=\mathbf {E} _{\mathbf {k} {\text{t}}}e^{\mp {\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _ {\text{i}}-n_{2}^{2}}}\,k_{0}y}e^{i[(n_{1}k_{0}\sin \theta _{\text{i}})x-\أوميغا t]},}$

10

حيث تكون إشارة المتغير غير المحدد معاكسة لتلك الموجودة في ( 9 ). بالنسبة للموجة المنتقلة المتلاشية - أي الموجة التي يتناقص سعتها مع ازدياد قيمة y - يجب أن تكون إشارة المتغير غير المحدد في ( 10 ) سالبة ، وبالتالي يجب أن تكون إشارة المتغير غير المحدد في ( 9 ) موجبة . ^{[ ملاحظة 9 ]}  

مع الإشارة الصحيحة، يمكن اختصار النتيجة ( 10 ).

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{t}}\propto e^{-\kappa y}e^{i(k_{x}x-\omega t)},}$

11

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &=k_{0}{\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-n_{2}^{2}}},\\k_{x}&=n_{1}k_{0}\sin \theta _{\text{i}},\end{aligned}}}$

12

و k ₀ هو العدد الموجي في الفراغ، أي ${\displaystyle \omega /c.}$

إذن، الموجة المتلاشية هي موجة جيبية مستوية تنتشر في اتجاه المحور السيني ، بسعة تتناقص أُسّيًا في اتجاه المحور الصادي (الشكل  9). من الواضح أن الطاقة المخزنة في هذه الموجة تنتشر أيضًا في اتجاه المحور السيني ولا تعبر السطح الفاصل. وبالتالي، فإن متجه بوينتينغ له عادةً مركبة في اتجاه المحور السيني ، لكن متوسط ​​مركبته الصادية يساوي صفرًا (مع أن مركبته الصادية اللحظية لا تساوي صفرًا تمامًا ). ^{[ 27 ] [ 28 ]}

تشير المعادلة  ( 11 ) إلى أن سعة الموجة المتلاشية تتناقص بمعامل e مع زيادة الإحداثي y (المقاس من السطح الفاصل) بمقدار المسافة${\displaystyle d=1/\kappa ,}$يُطلق عليه عادةً " عمق الاختراق " للموجة المتلاشية. ^{[ 29 ]} بأخذ مقلوب المعادلة الأولى من ( 12 )، نجد أن عمق الاختراق هو ^{[ 28 ]}$${\displaystyle d={\frac {\lambda _{0}}{2\pi {\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-n_{2}^{2}}}}},}$$ حيث λ ₀ هو الطول الموجي في الفراغ، أي${\displaystyle 2\pi /k_{0}.}$^{[ 30 ]} بقسمة البسط والمقامعلى n²_ينتج$${\displaystyle d={\frac {\lambda _{2}}{2\pi {\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}},}$$ أين${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{0}/n_{2}}$يمثل λ الطول الموجي في الوسط الثاني (الخارجي). وبالتالي، يمكننا رسم d بوحدات λ² كدالة لزاوية السقوط لقيم مختلفة من λ² _.${\displaystyle n_{1}/n_{2}}$(الشكل  12). مع انخفاض _قيمة θᵢ باتجاه الزاوية الحرجة، يقترب المقام من الصفر، مما يؤدي إلى زيادة قيمة d بلا حدود - وهو أمر متوقع، لأنه بمجرد أن تصبح θᵢ أقل من الزاوية الحرجة، يُسمح بوجود موجات مستوية منتظمة في الوسط الخارجي. وعندما تقترب θᵢ _من 90° (زاوية سقوط مماسية)، تقترب قيمة d من أدنى قيمة لها _.  $${\displaystyle d_{\text{min}}={\frac {\lambda _{2}}{2\pi {\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}-1}}}}.}$$ عند سقوط الموجة من الماء إلى الهواء، أو من الزجاج العادي إلى الهواء، _لا يختلف _{الحد الأدنى} لـ d كثيرًا عن λ² /(2π ) . لكن قيمة d تكون أكبر عند زوايا السقوط الأصغر (الشكل 12)، وقد يظل اتساع الموجة كبيرًا عند مسافات تساوي عدة أضعاف d ؛ على سبيل المثال، بما أن e⁻⁴⁶ أكبر بقليل من 0.01، فإن اتساع الموجة المتلاشية ضمن مسافة 4.6 d ^{من السطح الفاصل لا يقل عن 1% من قيمتها عند السطح الفاصل. لذا، يمكننا القول ،} بشكل عام، إن اتساع الموجة المتلاشية كبير ضمن "بضع أطوال موجية" من السطح الفاصل. 

بين عامي 1817 و1823، اكتشف أوغستين-جان فرينل أن الانعكاس الكلي الداخلي مصحوب بانزياح طور غير تافه (أي انزياح طور لا يقتصر على 0° أو 180°)، حيث يكتسب معامل انعكاس فرينل جزءًا تخيليًا غير صفري . ^{[ 31 ]} سنشرح الآن هذا التأثير للموجات الكهرومغناطيسية في حالة الأوساط الخطية والمتجانسة والمتناحية وغير المغناطيسية. يتضح أن انزياح الطور هو تقدم ، يزداد مع ازدياد زاوية السقوط بعد الزاوية الحرجة، ولكنه يعتمد على استقطاب الموجة الساقطة.

في المعادلات ( 5 )، ( 7 )، ( 8 )، ( 10 )، و( 11 )، نُقدِّم الطور بالزاوية ϕ إذا استبدلنا ωt بـ ωt  + ϕ  (أي إذا استبدلنا − ωt بـ − ωt  − ϕ  )، مما يؤدي إلى ضرب الحقل (المركب) في e ^{− iϕ} . لذا، فإن تقديم الطور يُكافئ الضرب بثابت مركب ذي وسيط سالب . ويتضح هذا أكثر عند تحليل الحقل ( 5 ) على سبيل المثال.${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r} }e^{-i\omega t},}$حيث يحتوي العامل الأخير على التبعية الزمنية. ^{[ ملاحظة 10 ]}

لتمثيل استقطاب الموجة الساقطة أو المنعكسة أو المنتقلة، يمكن تحليل المجال الكهربائي المجاور للسطح الفاصل إلى مركبتين متعامدتين، تُعرفان بالمركبتين s و p ، وهما موازيتان للسطح ومستوى السقوط على التوالي؛ بعبارة أخرى، تكون المركبتان s و p مربعتين وموازيتين لمستوى السقوط على التوالي. [ ^{ملاحظة 11 ]}

لكل مُركّبة من مُركّبات الاستقطاب، يكون للمجال الكهربائي الساقط أو المنعكس أو المنتقل ( E في المعادلة  ( 5 )) اتجاه مُحدد، ويمكن تمثيله بمُركّبته العددية (المركبة) في ذلك الاتجاه. يُمكن تعريف مُعامل الانعكاس أو النفاذ كنسبة بين المُركّبات المركبة عند النقطة نفسها، أو عند نقاط مُتباعدة بشكل مُتناهٍ في الصغر على جانبي السطح الفاصل. ولكن، لتحديد إشارات المُعاملات ، يجب اختيار اتجاهات موجبة. بالنسبة للمُركّبات s ، الخيار البديهي هو القول بأن الاتجاهات الموجبة للمجالات الساقطة والمنعكسة والمنتقلة هي نفسها (مثل الاتجاه z في الشكل  11). أما بالنسبة للمُركّبات p ، فتعتمد هذه المقالة الاصطلاح القائل بأن الاتجاهات الموجبة للمجالات الساقطة والمنعكسة والمنتقلة تميل نحو الوسط نفسه (أي نحو الجانب نفسه من السطح الفاصل، كما هو مُوضّح بالأسهم الحمراء في الشكل  11). ^{[ ملاحظة 12 ]} ولكن ينبغي تنبيه القارئ إلى أن بعض الكتب تستخدم اصطلاحًا مختلفًا لمكونات p ، مما يؤدي إلى اختلاف الإشارة في الصيغة الناتجة لمعامل الانعكاس. ^{[ 32 ]}

بالنسبة للاستقطاب s ، لنفترض أن معاملات الانعكاس والنفاذ هي r _s و t _s على التوالي. أما بالنسبة للاستقطاب p ، فلنفترض أن المعاملات المقابلة هي r _p و t _p . عندئذٍ، بالنسبة للأوساط الخطية والمتجانسة والمتناحية وغير المغناطيسية ، تُعطى المعاملات بالمعادلة ^{[ 33 ]} .

${\displaystyle r_{s}={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},}$

13

${\displaystyle t_{s}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},}$

14

${\displaystyle r_{p}={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},}$

15

${\displaystyle t_{p}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.}$

16

(للاطلاع على اشتقاق ما سبق، انظر معادلات فرينل §  النظرية .)

نفترض الآن أن الموجة المنتقلة متلاشية. مع الإشارة الصحيحة (+)، وبالتعويض من ( 9 ) في ( 13 ) نحصل على $${\displaystyle r_{s}={\frac {n\cos \theta _{\text{i}}-i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{n\cos \theta _{\text{i}}+i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}},}$$ أين $${\displaystyle n=n_{1}/n_{2};}$$ أي أن n هو دليل الوسط "الداخلي" بالنسبة للوسط "الخارجي"، أو دليل الوسط الداخلي إذا كان الوسط الخارجي هو الفراغ. [ ^{ملاحظة 13 ]} لذا فإن مقدار r _s يساوي 1، وسعة r _s هي $${\displaystyle -2\arctan {\frac {\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}{n\cos \theta _{\text{i}}}},}$$ مما يعطي تقدماً في الطور مقداره ^{[ 34 ]}

${\displaystyle \delta _{s}=2\arctan {\frac {\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}{n\cos \theta _{\text{i}}}}.}$

17

بإجراء نفس الاستبدال في ( 14 )، نجد أن t _s له نفس المقام مثل r _s مع بسط حقيقي موجب (بدلاً من بسط مركب مترافق) وبالتالي له نصف وسيط r _s ، بحيث يكون تقدم الطور للموجة المتلاشية نصف تقدم الطور للموجة المنعكسة .

مع اختيار الإشارة نفسها، ^{[ ملاحظة 14 ]} استبدال ( 9 ) في ( 15 ) يعطي $${\displaystyle r_{p}={\frac {\cos \theta _{\text{i}}-in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}+in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}},}$$ مقداره 1، وحجته $${\displaystyle -2\arctan {\frac {n{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}}},}$$ مما يعطي تقدماً في الطور مقداره ^{[ 34 ]}

${\displaystyle \delta _{p}=2\arctan {\frac {n{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}.}$

18

وبإجراء نفس الاستبدال في ( 16 )، نجد مرة أخرى أن تقدم الطور للموجة المتلاشية هو نصف تقدم الطور للموجة المنعكسة.

تنطبق المعادلتان ( 17 ) و( 18 ) عندما تكون θ _{_c} ≤ θ _{_i} < 90° ، حيث θ _{_i} هي زاوية السقوط، و θ _{_c} هي الزاوية الحرجة arcsin (1/ n ) . تُظهر هاتان المعادلتان أن

• كل تقدم طور يساوي صفرًا عند الزاوية الحرجة (التي يكون البسط عندها صفرًا)؛
• تقترب كل مرحلة متقدمة من 180 درجة عندما θ _i → 90 درجة ؛ و
• δ _p > δ _s عند القيم المتوسطة لـ θ _i (لأن العامل n موجود في بسط ( 18 ) ومقام ( 17 )). ^{[ 35 ]}

بالنسبة لـ θ _i ≤ θ _c ، يتم إعطاء معاملات الانعكاس بواسطة المعادلات ( 13 ) و ( 15 ) وهي حقيقية ، بحيث يكون إزاحة الطور إما 0 درجة (إذا كان المعامل موجبًا) أو 180 درجة (إذا كان المعامل سالبًا).

في ( 13 )، إذا وضعنا${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$(قانون سنيل) وضرب البسط والمقام في 1 / n ₁ sin θ t _، نحصل على ^{[ 36 ] [ 37 ]}

${\displaystyle r_{s}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}},}$

19

وهو موجب لجميع زوايا السقوط مع شعاع منقول (لأن θ _t > θ _i )، مما يعطي إزاحة طور δ _s تساوي صفرًا.

إذا فعلنا الشيء نفسه مع ( 15 )، فمن السهل إثبات أن النتيجة مكافئة لـ ^{[ 38 ] [ 39 ]}

${\displaystyle r_{p}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}},}$

20

تكون هذه القيمة سالبة للزوايا الصغيرة (أي بالقرب من السقوط العمودي)، لكنها تتغير عند _زاوية بروستر ، حيث تكون θᵢ و θₜ متكاملتين. وبالتالي، فإن فرق الطور δₚ يساوي 180° للزوايا الصغيرة θᵢ _، ولكنه يتحول إلى 0° عند زاوية بروستر. وبدمج التكامل مع قانون سنيل، نحصل على _{θᵢ =} arctan ( 1/ n ) كزاوية بروستر عند الانتقال _من السقوط الكثيف إلى السقوط المتفرق. ^{[ ملاحظة 15 ]}

( تُعرف المعادلتان ( 19 ) و( 20 ) بقانون جيب فرينل وقانون ظل فرينل . ^{[ 40 ]} يؤول كلاهما إلى 0/0 عند السقوط العمودي، ولكنهما يعطيان النتائج الصحيحة في النهاية عندما θ _i → 0. إن اختلاف إشارتيهما عند الاقتراب من السقوط العمودي يُعد عيبًا واضحًا لاتفاقية الإشارة المستخدمة في هذه المقالة؛ أما الميزة المقابلة فهي أنهما يحملان نفس الإشارة عند السقوط المماسي.)

بذلك تكتمل المعلومات اللازمة لرسم δs _و δp لجميع زوايا السقوط. يوضح الشكل  13 ^{[ 34 ]} _ذلك ، حيث يُمثل _δp باللون الأحمر و δs باللون الأزرق، لثلاثة معاملات انكسار. على مقياس زاوية السقوط (المحور الأفقي)، تُمثل زاوية بروستر النقطة التي ينخفض ​​عندها δp _{( باللون الأحمر )} من 180° إلى 0°، بينما تُمثل الزاوية الحرجة النقطة التي يبدأ عندها كل من δp و δs ₍ باللونين _الأحمر والأزرق) بالارتفاع مجددًا. إلى يسار الزاوية الحرجة تقع منطقة الانعكاس الجزئي ، حيث يكون كلا معاملي الانعكاس حقيقيين (طور 0° أو 180°) بقيم أقل من  1. وإلى يمين الزاوية الحرجة تقع منطقة الانعكاس الكلي ، حيث يكون كلا معاملي الانعكاس مركبين بقيم تساوي  1. في هذه المنطقة، تُظهر المنحنيات السوداء تقدم طور المركبة p  بالنسبة للمركبة s  : ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \delta =\delta _{p}-\delta _{s}.}$$ يمكن ملاحظة أن معامل الانكسار 1.45 لا يكفي لإعطاء فرق طور 45 درجة، في حين أن معامل الانكسار 1.5 يكفي (بفارق ضئيل) لإعطاء فرق طور 45 درجة عند زاويتي سقوط: حوالي 50.2 درجة و 53.3 درجة.

يُستخدم هذا الإزاحة النسبية البالغة 45 درجة في اختراع فرينل، المعروف الآن باسم معين فرينل ، حيث تُختار زوايا السقوط بحيث يُحدث الانعكاسان الداخليان إزاحة طور نسبية كلية قدرها 90 درجة بين استقطابي الموجة الساقطة. يؤدي هذا الجهاز نفس وظيفة صفيحة ربع موجة ثنائية الانكسار ، ولكنه أكثر حيادية لونية (أي أن إزاحة طور المعين أقل حساسية للطول الموجي ) . يمكن استخدام أي من الجهازين، على سبيل المثال، لتحويل الاستقطاب الخطي إلى استقطاب دائري (وهو ما اكتشفه فرينل أيضًا) والعكس صحيح.

في الشكل  13، تُحسب قيمة δ عن طريق طرح نهائي؛ ولكن توجد طرق أخرى للتعبير عنها. وقد وضع فرينل نفسه، في عام 1823، ^{[ 42 ]} صيغة لـ cos δ . واشتق بورن وولف (1970، ص  50) تعبيرًا لـ tan ( δ /2) ووجدا قيمته القصوى تحليليًا.

في حالة الانعكاس الكلي الداخلي لشعاع ذي عرض محدود، يؤدي تغير فرق الطور مع زاوية السقوط إلى ظهور تأثير غوس-هانشن ، وهو عبارة عن إزاحة جانبية للشعاع المنعكس ضمن مستوى السقوط. ^{[ 28 ] [ 43 ]} ينطبق هذا التأثير على الاستقطاب الخطي في الاتجاه s أو p . أما تأثير إمبرت-فيدوروف فهو تأثير مماثل للاستقطاب الدائري أو الإهليلجي، ويُحدث إزاحة عمودية على مستوى السقوط. ^{[ 44 ]}

تستغل الألياف الضوئية الانعكاس الداخلي الكلي لنقل الإشارات عبر مسافات طويلة مع أدنى حد من التوهين. ^{[ 45 ]} وتُستخدم في كابلات الاتصالات ، وفي مناظير الألياف الضوئية المُكوِّنة للصور مثل مناظير القولون . ^{[ 46 ]}

في عدسة فريسنل العاكسة الكاسرة ، التي اخترعها أوغستين جان فريسنل لاستخدامها في المنارات ، تستخدم الموشورات الخارجية الانعكاس الداخلي الكلي لعكس الضوء من المصباح بزاوية أكبر مما يمكن تحقيقه باستخدام الموشورات الانكسارية البحتة، ولكن مع امتصاص أقل للضوء (وخطر أقل للتشوه) مقارنة بالمرايا التقليدية. ^{[ 47 ]}

تشمل الموشورات العاكسة الأخرى التي تستخدم الانعكاس الكلي الداخلي ما يلي (مع بعض التداخل بين الفئات): ^{[ 48 ]}

• تشمل المناشير المُقوِّمة للصور في المناظير والتلسكوبات المقربة مناشير بورو المزدوجة بزاوية 45°-90°-45° (الشكل14)، ومنشور بورو-آبي ، ومنشور كونيغ ^{[ 49 ]} ومنشور آبي-كونيغ المدمج، ومنشور شميدت-بيشان المدمج. (يتكون الأخير من عنصرين، أحدهما نوع من منشورات باورنفيند ، والذي يتطلب طلاءً عاكسًا على أحد وجهيه العاكسين، نظرًا لزاوية السقوط دون الحرجة). تتميز هذه المناشير بوظيفة إضافية تتمثل في طي المسار البصري من العدسة الشيئية إلى البؤرة الرئيسية ، مما يقلل الطول الإجمالي لبُعد بؤري رئيسي مُحدد .
• قد يتكون المنشور النجمي القطري للتلسكوب الفلكي من منشور بورو واحد (مُهيأ لانعكاس واحد، مما يعطي صورة معكوسة) أو منشور سقف أميتشي (الذي يعطي صورة غير معكوسة).
• تستخدم الموشورات السقفية الانعكاس الكلي الداخلي عند التقاء وجهين بزاوية حادة 90 درجة. تشمل هذه الفئة أنواع كونيغ، وآبي-كونيغ، وشميدت-بيشان، وأميتشي (المذكورة سابقًا)، بالإضافة إلى الموشور الخماسي السقفي المستخدم في كاميرات SLR  ؛ ويتطلب هذا الأخير طلاءً عاكسًا على أحدوجهيه غير العاكسين .
• يستخدم عاكس الزاوية المنشوري ثلاثة انعكاسات داخلية كلية لعكس اتجاه الضوء الوارد.
• يوفر منشور دوف رؤية خطية مع انعكاس المرآة.

الموشورات المستقطبة : على الرغم من أن معين فرينل، الذي يحول بين الاستقطاب الخطي والإهليلجي، ليس مزدوج الانكسار، إلا أن هناك أنواعًا أخرى من الموشورات تجمع بين الانكسار المزدوج والانعكاس الكلي الداخلي، بحيث ينعكس الضوء ذو الاستقطاب المحدد كليًا، بينما ينفذ الضوء ذو الاستقطاب المتعامد جزئيًا على الأقل. ومن الأمثلة على ذلك موشور نيكول ، ^{[ 50 ]} وموشور غلان-تومسون ، وموشور غلان-فوكو (أو "موشور فوكو")، ^{[ 51 ] [ 52 ]} وموشور غلان-تايلور . ^{[ 53 ]}

تستخدم أجهزة قياس الانكسار ، التي تقيس معامل الانكسار، الزاوية الحرجة في كثير من الأحيان. ^{[ 54 ] [ 55 ]}

تم تطبيق مستشعرات المطر لمساحات الزجاج الأمامي الأوتوماتيكيةباستخدام مبدأ أن الانعكاس الداخلي الكلي سيوجه شعاع الأشعة تحت الحمراء من المصدر إلى الكاشف إذا كان السطح الخارجي للزجاج الأمامي جافًا، ولكن أي قطرات ماء على السطح ستحرف جزءًا من الضوء. ^{[ 56 ]}

تستخدم لوحات LED ذات الإضاءة الجانبية ، المستخدمة (على سبيل المثال) للإضاءة الخلفية لشاشات الكمبيوتر LCD ، خاصية الانعكاس الكلي الداخلي لحصر ضوء LED في لوح زجاج الأكريليك، باستثناء أن بعض الضوء يتشتت بواسطة النقوش الموجودة على جانب واحد من اللوح، مما يعطي انبعاثًا ضوئيًا موحدًا تقريبًا . ^{[ 57 ]}

تستخدم مجهرية الانعكاس الداخلي الكلي (TIRM) الموجة المتلاشية لإضاءة الأجسام الصغيرة القريبة من السطح العاكس. ويؤدي تشتت هذه الموجة (وهو  شكل من أشكال الانعكاس الداخلي الكلي المحبط) إلى ظهور الأجسام ساطعة عند النظر إليها من الجانب الخارجي. ^{[ 21 ]} في مجهر التألق بالانعكاس الداخلي الكلي (TIRFM)، بدلاً من الاعتماد على التشتت البسيط، نختار طول موجة متلاشية قصيرًا بما يكفي لإحداث التألق (الشكل 15). ^{[ 58 ]} تسمح الحساسية العالية للإضاءة للمسافة من السطح بقياس الإزاحات والقوى الصغيرة للغاية. ^{[ 59 ]}

يستخدم مكعب فاصل الحزمة تقنية الانعكاس الداخلي الكلي المحبط لتقسيم طاقة الحزمة الواردة بين الحزمتين المنقولة والمنعكسة. ^{[ 18 ]} يمكن تعديل عرض الفجوة الهوائية (أو فجوة معامل الانكسار المنخفض) بين الموشورين، مما يوفر نفاذية أعلى وانعكاسًا أقل عند استخدام فجوة أضيق، أو انعكاسًا أعلى ونفاذية أقل عند استخدام فجوة أوسع. ^{[ 60 ]}

يمكن تحقيق التعديل البصري باستخدام الانعكاس الداخلي الكلي المحبط ذي الفجوة المتغيرة بسرعة. ^{[ 61 ]} ولأن معامل النقل حساس للغاية لعرض الفجوة (حيث تكون الدالة أسية تقريبًا حتى تكاد الفجوة أن تكون مغلقة)، فإن هذه التقنية تتيح نطاقًا ديناميكيًا واسعًا .

استخدمت أجهزة البصمة الضوئية تقنية الانعكاس الداخلي الكلي المحبط لتسجيل صور بصمات أصابع الأشخاص دون استخدام الحبر (انظر  الشكل 11). ^{[ 62 ]}

يمكن إجراء تحليل المشية باستخدام تقنية التصوير الحراري الداخلي المحبط مع كاميرا عالية السرعة ، لالتقاط وتحليل آثار الأقدام. ^{[ 63 ]}

يستخدم منظار الزاوية ، في طب العيون وقياس البصر لتشخيص الجلوكوما ، تقنيةً لكبح الانعكاس الكلي الداخلي (TIR) ​​بهدف فحص الزاوية بين القزحية والقرنية . عادةً ما يكون هذا الفحص محجوبًا بالانعكاس الكلي الداخلي عند سطح التماس بين القرنية والهواء. يستبدل منظار الزاوية الهواء بوسط ذي معامل انكسار أعلى، مما يسمح بمرور الضوء بزاوية سقوط مائلة، يتبعها عادةً انعكاس في "مرآة"، والتي يمكن تحقيقها بدورها باستخدام الانعكاس الكلي الداخلي. ^{[ 64 ] [ 65 ]}

تستخدم بعض الطاولات التفاعلية متعددة اللمس والسبورات البيضاء تقنية FTIR للكشف عن لمس الأصابع للشاشة. توضع كاميرا تعمل بالأشعة تحت الحمراء خلف سطح الشاشة، الذي يُضاء من حافته بواسطة مصابيح LED تعمل بالأشعة تحت الحمراء؛ عند لمس السطح، تتسبب تقنية FTIR في خروج جزء من ضوء الأشعة تحت الحمراء من مستوى الشاشة، فترصده الكاميرا على شكل مناطق مضيئة. ثم يُستخدم برنامج رؤية حاسوبية لترجمة هذه المناطق إلى سلسلة من الإحداثيات والإيماءات.

• 
  سمكة الزناد الهندية وانعكاسها الكامل على سطح الماء
• 
  الانعكاس الكلي لفرشاة الرسم بواسطة سطح الماء والهواء في الزجاج
• 
  الانعكاس الداخلي الكلي لليزر الأخضر في ساق كأس النبيذ

• S. Bochner (يونيو  1963)، "أهمية بعض المفاهيم الرياضية الأساسية للفيزياء"، Isis ، 54  (2): 179-205؛ JSTOR 228537 . 
• م. بورن وإي. وولف، 1970، مبادئ البصريات ، الطبعة الرابعة  ، أكسفورد: مطبعة بيرغامون.
• سي بي بوير، 1959، قوس قزح: من الأسطورة إلى الرياضيات ، نيويورك: توماس يوسيلوف.
• JZ Buchwald (ديسمبر  1980)، "التحقيقات التجريبية للانكسار المزدوج من Huygens إلى Malus"، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 21  (4): 311-373.
• جيه زد بوخوالد، 1989، نشأة نظرية الموجة للضوء: النظرية البصرية والتجربة في أوائل القرن التاسع عشر ، مطبعة جامعة شيكاغو، رقم ISBN 0-226-07886-8.
• أو. داريغول، 2012، تاريخ علم البصريات: من العصور اليونانية القديمة إلى القرن التاسع عشر ، أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-964437-7.
• آر. فيتزباتريك، 2013، التذبذبات والأمواج: مقدمة ، بوكا راتون، فلوريدا:  مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-1-4665-6608-8.
• R. Fitzpatrick, 2013a, "التأمل الداخلي الكامل" ، جامعة تكساس في أوستن، تم الاطلاع عليه في 14  مارس 2018.
• A. فريسنل، 1866 (ed. H.  de Senarmont، E.  Verdet، and L.  Fresnel)، Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel ، باريس: Imprimerie Impériale (3  مجلدات، 1866–70)، المجلد. 1  (1866) .
• إي. هيشت، 2017، البصريات ، الطبعة الخامسة، بيرسون للتعليم، رقم ISBN 978-1-292-09693-3.
• سي. هيغنز، 1690، Traité de la Lumière (ليدن: فان دير آ)، ترجمه إس بي  طومسون بعنوان Treatise on Light ، مطبعة جامعة شيكاغو، 1912؛ مشروع غوتنبرغ، 2005. (أرقام الصفحات المذكورة تتطابق مع طبعة 1912 وطبعة غوتنبرغ HTML.)
• إف. إيه. جينكينز وإتش. إي. وايت، 1976، أساسيات البصريات ، الطبعة الرابعة  ،  نيويورك: ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-032330-5.
• تي إتش ليفيت، 2013، ومضة ساطعة قصيرة: أوغستين فرينل وولادة المنارة الحديثة ، نيويورك: دبليو دبليو  نورتون، رقم ISBN 978-0-393-35089-0.
• H. Lloyd، 1834، "تقرير عن التقدم والحالة الراهنة للبصريات الفيزيائية" ، تقرير الاجتماع الرابع للجمعية البريطانية لتقدم العلوم (الذي عقد في إدنبرة عام 1834)، لندن: J.  Murray، 1835، ص 295-413.
• نيوتن، 1730، البصريات: أو، رسالة في انعكاسات الضوء وانكساراته وانعكاساته وألوانه ، الطبعة الرابعة  (لندن: ويليام إينيس، 1730؛ مشروع غوتنبرغ، 2010)؛ أعيد نشرها مع مقدمة بقلم أ.  أينشتاين ومقدمة بقلم إي. تي.  ويتاكر (لندن: جورج بيل وأولاده ، 1931)؛ أعيد طبعها مع مقدمة إضافية بقلم آي. بي.  كوهين وجدول محتويات تحليلي بقلم دي. إتش. دي.  رولر، مينولا، نيويورك: دوفر، 1952، 1979 (مع مقدمة منقحة)، 2012. (أرقام الصفحات المذكورة تتطابق مع نسخة غوتنبرغ HTML وطبعات دوفر).
• إتش جي جيه روتن وإم إيه إم فان فينروي، 1988 (الطبعة الخامسة، 2002)، بصريات التلسكوب:  دليل شامل لهواة الفلك ، ريتشموند، فيرجينيا: ويلمان-بيل، رقم ISBN 978-0-943396-18-7.
• جيه إيه ستراتون، 1941، النظرية الكهرومغناطيسية ، نيويورك: ماكجرو هيل.
• W. Whewell, 1857, تاريخ العلوم الاستقرائية: من أقدم العصور إلى الوقت الحاضر ، الطبعة الثالثة  ، لندن: JW  Parker & Son، المجلد 2 .
• إي تي ويتاكر ، 1910، [ https://archive.org/details/historyoftheorie00whitrich تاريخ نظريات الأثير والكهرباء: من عصر ديكارت إلى نهاية القرن التاسع عشر ، لندن: لونجمانز، جرين، وشركاه .

• السيد  مانجياكابري، "التألق في سائل" (فيديو، 1 دقيقة و28 ثانية )، تم تحميله في 13  مارس 2012. (التألق والانعكاس الحراري الداخلي لشعاع ليزر بنفسجي في ماء الكينين.)
• PhysicsatUVM، "انعكاس داخلي كلي محبط" (فيديو، 37 ثانية)، تم تحميله في 21  نوفمبر 2011. ("  يخضع شعاع ليزر لانعكاس داخلي كلي في قطعة من زجاج شبكي ضبابي...")
• SMUPhysics، "الانعكاس الداخلي" (فيديو، 12 ثانية)، تم تحميله في 20  مايو 2010. (الانتقال من الانكسار عبر الزاوية الحرجة إلى الانعكاس الداخلي الكلي في منشور 45°-90°-45°.)