سرعة

متوسط ​​سرعة الجسم خلال فترة زمنية معينة هو تغير موضعه .${\displaystyle \Delta s}$، مقسومة على مدة الفترة،${\displaystyle \Delta t}$، معطاة رياضياً على النحو التالي ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$$

السرعة اللحظية لجسم ما هي متوسط ​​السرعة الحدية عندما يقترب الفاصل الزمني من الصفر. عند أي لحظة زمنية معينة t ، يمكن حسابها كمشتقة للموضع بالنسبة للزمن: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {s}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {s}}}{dt}}.}$$

من هذه المعادلة التفاضلية، في الحالة أحادية البعد، يتضح أن المساحة تحت منحنى السرعة مقابل الزمن ( رسم بياني v مقابل t ) هي الإزاحة s . وبعبارة أخرى، فإن تكامل دالة السرعة v ( t ) هو دالة الإزاحة s ( t ) . في الشكل، يُمثل هذا المساحة الصفراء تحت المنحنى. $${\displaystyle {\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt.}$$

على الرغم من أن مفهوم السرعة اللحظية قد يبدو في البداية غير بديهي، إلا أنه يمكن اعتباره السرعة التي سيستمر الجسم في التحرك بها إذا توقف عن التسارع في تلك اللحظة.

على الرغم من أن مصطلحي السرعة والسرعة المتجهة يُستخدمان بشكل شائع ومتبادل للدلالة على مدى سرعة حركة الجسم، إلا أنهما يختلفان في المصطلحات العلمية. فالسرعة، وهي القيمة العددية لمتجه السرعة المتجهة، تدل فقط على مدى سرعة حركة الجسم، بينما تشير السرعة المتجهة إلى كل من سرعة الجسم واتجاهه. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

لكي يتحرك الجسم بسرعة ثابتة ، يجب أن تكون سرعته ثابتة في اتجاه ثابت. ويُقيد الاتجاه الثابت حركة الجسم في مسار مستقيم، وبالتالي، فإن السرعة الثابتة تعني الحركة في خط مستقيم بسرعة ثابتة.

على سبيل المثال، السيارة التي تسير بسرعة ثابتة تبلغ 20 كيلومترًا في الساعة في مسار دائري لها سرعة ثابتة، ولكن ليس لها سرعة متجهة ثابتة لأن اتجاهها يتغير. ولذلك، تُعتبر السيارة في حالة تسارع.

بما أن مشتق الموضع بالنسبة للزمن يعطي التغير في الموضع (بالمتر ) مقسومًا على التغير في الزمن (بالثواني ) ، فإن السرعة تقيس بالمتر في الثانية (م/ث).

تُعرَّف السرعة بأنها معدل تغير الموضع بالنسبة للزمن، ويُشار إليها أيضًا بالسرعة اللحظية للتأكيد على الفرق بينها وبين متوسط ​​السرعة. في بعض التطبيقات، قد تكون هناك حاجة إلى متوسط ​​سرعة الجسم، أي السرعة الثابتة التي تُعطي نفس الإزاحة الناتجة التي تُعطيها سرعة متغيرة في نفس الفترة الزمنية، v ( t ) ، خلال فترة زمنية معينة Δt . يمكن حساب متوسط ​​السرعة كما يلي: ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {v} (t)\,dt}{t_{1}-t_{0}}}.}$$

تكون السرعة المتوسطة دائمًا أقل من أو تساوي السرعة المتوسطة للجسم. ويتضح ذلك من خلال ملاحظة أن المسافة تتزايد دائمًا بشكل مطرد، بينما يمكن أن تزداد الإزاحة أو تنقص في مقدارها، كما يمكن أن يتغير اتجاهها.

من حيث الرسم البياني للإزاحة والزمن ( x مقابل t )، يمكن اعتبار السرعة اللحظية (أو ببساطة السرعة) بمثابة ميل الخط المماس للمنحنى عند أي نقطة ، والسرعة المتوسطة بمثابة ميل الخط القاطع بين نقطتين بإحداثيات t تساوي حدود الفترة الزمنية للسرعة المتوسطة.

على الرغم من أن السرعة تُعرَّف بأنها معدل تغير الموضع، فإنه من الشائع البدء بتعبير عن تسارع الجسم . وكما هو موضح في الشكل من خلال الخطوط الخضراء الثلاثة المماسية، فإن التسارع اللحظي للجسم عند لحظة زمنية معينة هو ميل الخط المماس لمنحنى السرعة بالنسبة للزمن ^عند تلك اللحظة . بعبارة أخرى ^، يُعرَّف التسارع اللحظي بأنه مشتق السرعة بالنسبة للزمن ^: [ 9 ]$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}.}$$

ومن ثم، تُعبّر السرعة عن المساحة تحت منحنى التسارع مقابل الزمن ( a ( t) ) . وكما سبق، يتم ذلك باستخدام مفهوم التكامل.

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt.}$$

في الميكانيكا الكلاسيكية، يُعرّف قانون نيوتن الثاني الزخم ، p، بأنه متجه ناتج ضرب كتلة الجسم في سرعته، ويُعطى رياضياً على النحو التالي:$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}$$حيث m هي كتلة الجسم.

تعتمد الطاقة الحركية لجسم متحرك على سرعته ويتم إعطاؤها بالمعادلة ^{[ 10 ]}$${\displaystyle E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$$حيث E _k هي الطاقة الحركية. الطاقة الحركية كمية قياسية لأنها تعتمد على مربع السرعة.

في ديناميكا الموائع ، تُعرف قوة السحب بأنها قوة تعمل في اتجاه معاكس للحركة النسبية لأي جسم يتحرك بالنسبة إلى المائع المحيط به. قوة السحب،${\displaystyle F_{D}}$يعتمد على مربع السرعة ويُعطى على النحو التالي:$${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A}$$أين

• ${\displaystyle \rho }$هي كثافة السائل، ^{[ 11 ]}
• ${\displaystyle v}$هي سرعة الجسم بالنسبة للسائل،
• ${\displaystyle A}$هي مساحة المقطع العرضي ، و
• ${\displaystyle C_{D}}$معامل السحب هو رقم بلا أبعاد .

سرعة الإفلات هي أقل سرعة يحتاجها جسم مقذوف للإفلات من جسم ضخم كالأرض. وهي تمثل الطاقة الحركية التي، عند جمعها مع طاقة الوضع التثاقلية للجسم (وهي سالبة دائمًا)، تساوي صفرًا. الصيغة العامة لسرعة الإفلات لجسم على مسافة r من مركز كوكب كتلته M هي ^{[ 12 ].}$${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},}$$حيث G هو ثابت الجاذبية و g هو تسارع الجاذبية . تبلغ سرعة الإفلات من سطح الأرض حوالي 11200  متر  /ثانية، وهي ثابتة بغض النظر عن اتجاه الجسم. وهذا يجعل مصطلح "سرعة الإفلات" غير دقيق إلى حد ما، إذ أن المصطلح الأدق هو "سرعة الإفلات": أي جسم يصل إلى سرعة بهذا المقدار، بغض النظر عن الغلاف الجوي، سيغادر محيط الجسم الأساسي ما لم يعترض طريقه أي شيء.

في النسبية الخاصة ، يظهر عامل لورنتز عديم الأبعاد بشكل متكرر، ويتم إعطاؤه بواسطة ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$حيث γ هو عامل لورنتز و c هي سرعة الضوء.

في الحالة أحادية البعد، ^{[ 14 ]} تكون السرعات كميات قياسية وتكون المعادلة إما: $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(-w),}$$إذا كان الجسمان يتحركان في اتجاهين متعاكسين، أو: $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(+w),}$$إذا كان الجسمان يتحركان في نفس الاتجاه.

في أنظمة الإحداثيات الديكارتية متعددة الأبعاد ، تُقسّم السرعة إلى مركبات تتوافق مع كل محور من محاور نظام الإحداثيات. في نظام ثنائي الأبعاد، حيث يوجد محور س ومحور ص، تُعرّف مركبات السرعة المتناظرة كما يلي ^{[ 15 ].}

$${\displaystyle v_{x}=dx/dt,}$$

$${\displaystyle v_{y}=dy/dt.}$$

يُعرَّف متجه السرعة ثنائي الأبعاد على النحو التالي:${\displaystyle {\textbf {v}}=\langle v_{x},v_{y}\rangle }$يمثل مقدار هذا المتجه السرعة، ويُحسب باستخدام صيغة المسافة كما يلي:

$${\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}.}$$

في الأنظمة ثلاثية الأبعاد التي يوجد فيها محور z إضافي، يتم تعريف مركبة السرعة المقابلة على النحو التالي:

$${\displaystyle v_{z}=dz/dt.}$$

يُعرَّف متجه السرعة ثلاثي الأبعاد على النحو التالي:${\displaystyle {\textbf {v}}=\langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle }$حيث يمثل مقدارها أيضًا السرعة ويتم تحديده بواسطة

$${\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}$$

بينما تستخدم بعض الكتب المدرسية رموزًا سفلية لتعريف المركبات الديكارتية للسرعة، يستخدم البعض الآخر${\displaystyle u}$،${\displaystyle v}$، و${\displaystyle w}$لـ${\displaystyle x}$-,${\displaystyle y}$-، و${\displaystyle z}$-المحاور على التوالي. ^{[ 16 ]}

في الإحداثيات القطبية ، تُوصف السرعة ثنائية الأبعاد بسرعة شعاعية ، تُعرَّف بأنها مركبة السرعة المتجهة بعيدًا عن نقطة الأصل أو باتجاهها، وسرعة عرضية ، عمودية على السرعة الشعاعية. ^{[ 17 ] [ 18 ]} وتنشأ كلتاهما من السرعة الزاوية ، وهي معدل الدوران حول نقطة الأصل (حيث تمثل الكميات الموجبة الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة، وتمثل الكميات السالبة الدوران مع اتجاه عقارب الساعة، في نظام إحداثيات يميني).

يمكن اشتقاق السرعات القطرية والمستعرضة من متجهي السرعة والإزاحة في الإحداثيات الديكارتية عن طريق تحليل متجه السرعة إلى مركبتين: قطرية ومستعرضة. السرعة المستعرضة هي مركبة السرعة على طول دائرة مركزها نقطة الأصل. $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T}+{\boldsymbol {v}}_{R}}$$ أين

• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{T}}$هي السرعة العرضية
• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}}$هي السرعة الشعاعية.

السرعة الشعاعية (أو مقدار السرعة الشعاعية) هي حاصل الضرب النقطي لمتجه السرعة ومتجه الوحدة في الاتجاه الشعاعي. $${\displaystyle v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {r}}}}$$ أين${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$هو الموقع و${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}$هو الاتجاه القطري.

السرعة العرضية (أو مقدار السرعة العرضية) هي مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الوحدة في الاتجاه القطري ومتجه السرعة. وهي أيضًا حاصل الضرب القياسي للسرعة في الاتجاه العرضي، أو حاصل ضرب السرعة الزاوية.${\displaystyle \omega }$ونصف القطر (مقدار الموضع). $${\displaystyle v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {t}}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|}$$ بحيث $${\displaystyle \omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}.}$$

الزخم الزاوي في صورته القياسية هو الكتلة مضروبة في المسافة إلى نقطة الأصل مضروبة في السرعة العرضية، أو بصورة مكافئة، الكتلة مضروبة في مربع المسافة مضروبة في السرعة الزاوية. ويُعتمد نفس اصطلاح الإشارة للزخم الزاوي كما هو الحال بالنسبة للسرعة الزاوية. $${\displaystyle L=mrv_{T}=mr^{2}\omega }$$ أين

• ${\displaystyle m}$الكتلة
• ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {r}}|.}$

التعبير${\displaystyle mr^{2}}$يُعرف هذا بعزم القصور الذاتي . إذا كانت القوى في الاتجاه القطري فقط وتتناسب عكسيًا مع مربع المسافة، كما هو الحال في المدار الجاذبي ، فإن الزخم الزاوي يكون ثابتًا، والسرعة العرضية تتناسب عكسيًا مع المسافة، والسرعة الزاوية تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة، ومعدل مسح المساحة يكون ثابتًا. تُعرف هذه العلاقات بقوانين كبلر لحركة الكواكب .