تبادل آرتين

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 54 صور
الموسوعة الحرة

قانون التبادلية لآرتين ، الذي وضعه إميل آرتين في سلسلة من الأبحاث (1924، 1927، 1930)، هو نظرية عامة في نظرية الأعداد تُشكّل جزءًا أساسيًا من نظرية حقل الفئات الشاملة . [ 1 ] يشير مصطلح " قانون التبادلية " إلى سلسلة طويلة من العبارات النظرية العددية الأكثر تحديدًا التي عمّمها، بدءًا من قانون التبادلية التربيعي وقوانين التبادلية لأيزنشتاين وكومر ، وصولًا إلى صيغة هيلبرت للضرب لرمز المعيار . وقدّمت نتيجة آرتين حلًا جزئيًا لمسألة هيلبرت التاسعة .

إفادة

يتركل/ك{\displaystyle L/K}أن تكون امتدادًا لغالوا للحقول العالمية ،غال(ل/ك){\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}كن مجموعة غالوا لهذا الامتداد وجك،جل{\displaystyle C_{K},C_{L}}تشير إلى مجموعات الفئات المثالية على التواليك{\displaystyle K}ول{\displaystyle L}. يترك:

شمالل/ك:جل→جك{\displaystyle N_{L/K}:C_{L}\rightarrow C_{K}}

يرمز إلى خريطة المعيار المثالي. ينص قانون التبادلية لآرتين على وجود تماثل قانوني بين مجموعة القسمة والتحويل التبديلي لمجموعة غالوا: [ 2 ] [ 3 ]

θ:جك/شمالل/ك(جل)→غال⁡(ل/ك)أب،{\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}},}

يتم تحديد ذلك من خلال تجميع الخرائط المحلية:

θv:كv×/شماللv/كv(لv×)→غال(ل/ك)أب،{\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to {\text{Gal}}(L/K)^{\text{ab}},}

لأماكن مختلفةv{\displaystyle v}لك{\displaystyle K}.

ملاحظات

  • الخريطةθ{\displaystyle \theta }يُطلق عليه اسم خريطة الرموز العالمية أو رمز آرتين .
  • لكل مكانv{\displaystyle v}الخريطة المحليةθv{\displaystyle \theta _{v}}يُطلق عليه رمز أرتين المحلي ، أو خريطة التبادلية المحلية ، أو رمز البقايا المعيارية .
  • الخرائط المحليةθv{\displaystyle \theta _{v}}هي التشاكلات نفسها، وهذا هو محتوى قانون التبادل المحلي، وهي نتيجة رئيسية في نظرية حقل الفئة المحلية .

دليل

يمكن التوصل إلى برهان كوهومولوجي لقانون التبادل العالمي من خلال إثبات أن

(غال⁡(كسبتمبر/ك)،ليم→⁡جل){\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}

يشكل ذلك تشكيلاً طبقياً بالمعنى الذي قصده آرتين وتيت. [ 4 ] ثم يثبت المرء أن

ح^0(غال⁡(ل/ك)،جل)≃ح^-2(غال⁡(ل/ك)،Z)،{\displaystyle {\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),}

أينح^أنا{\displaystyle {\hat {H}}^{i}}تشير إلى مجموعات التماثل لـ تيت . ويثبت حساب مجموعات التماثل أنθ{\displaystyle \theta }هو تماثل.

دلالة

ينص قانون التبادلية لآرتن على وصفٍ لعملية التبديلية لمجموعة غالوا المطلقة لحقلٍ شامل K ، استنادًا إلى مبدأ هاس المحلي-الشامل واستخدام عناصر فروبينيوس . ويُستخدم هذا القانون، إلى جانب نظرية تاكاغي للوجود ، لوصف الامتدادات التبديلية لـ K بدلالة حسابية K ، وفهم سلوك المواضع غير الأرخميدية فيها. لذا، يُمكن تفسير قانون التبادلية لآرتن كأحد النظريات الرئيسية في نظرية حقول الفئات الشاملة. كما يُمكن استخدامه لإثبات أن دوال آرتن L ميرومورفية ، وكذلك لإثبات نظرية كثافة تشيبوتاريف . [ 5 ]

بعد عامين من نشر قانون التبادل العام الخاص به في عام 1927، أعاد آرتين اكتشاف تشاكل النقل الخاص بـ I. Schur واستخدم قانون التبادل لترجمة مشكلة التأسيس لفئات مثالية من حقول الأعداد الجبرية إلى مهمة نظرية الزمر المتمثلة في تحديد نوى عمليات النقل للزمر غير التبديلية المنتهية. [ 6 ]

امتدادات محدودة للحقول العالمية

(راجع موقع math.stackexchange.com للاطلاع على شرح لبعض المصطلحات المستخدمة هنا)

تعريف خريطة آرتين لامتداد أبيلي محدود L / K للحقول العامة (مثل امتداد أبيلي محدود لـسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }) له وصف ملموس من حيث المُثُل الأولية وعناصر فروبينيوس .

لوص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}إذا كان عددًا أوليًا في K ، فإن مجموعات التفكيك للأعداد الأوليةP{\displaystyle {\mathfrak {P}}}فوقص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}تكون متساوية في Gal( L / K ) لأن المجموعة الأخيرة تبديلية . إذاص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}إذا لم يكن متفرعًا في L ، فإن مجموعة التفكيكدص{\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}متماثل قانونيًا مع مجموعة غالوا لامتداد حقول البقايايال،P/P{\displaystyle {\mathcal {O}} _ {L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}زيادةياك،ص/ص{\displaystyle {\mathcal {O}} _ {K،{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}وبالتالي، يوجد عنصر فروبينيوس مُعرَّف بشكل قانوني في Gal( L / K ) ويُرمز إليه بـFرoبص{\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}}أو(ل/كص){\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}إذا كان Δ يرمز إلى المميز النسبي لـ L / K ، فإن رمز آرتين (أو خريطة آرتين ، أو خريطة التبادلية (العالمية) ) لـ L / K يُعرَّف على مجموعة المثاليّات الكسرية من العدد الأولي إلى Δ .أناكΔ{\displaystyle I_{K}^{\Delta }}، بالخطية:

{(ل/ك⋅):أناكΔ⟶غال⁡(ل/ك)∏أنا=1مصأنانأنا⟼∏أنا=1م(ل/كصأنا)نأنا{\displaystyle {\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}}

ينص قانون التبادلية لآرتين ( أو قانون التبادلية العالمي ) على وجود معامل c لـ K بحيث يُحدث تطبيق آرتين تماثلاً.

أناكج/أنا(كج،1)شمالل/ك(أنالج)⟶∼جيأل(ل/ك){\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)}

حيث K c ,1 هو الشعاع modulo c ، وN L / K هي خريطة المعيار المرتبطة بـ L / K وأنالج{\displaystyle I_{L}^{\mathbf {c} }}هي المُثُل الكسرية لـ L أولية بالنسبة إلى c . يُسمى هذا المعامل c معاملًا مُحددًا لـ L / K. يُسمى أصغر معامل مُحدد موصل L / K ويُرمز إليه عادةً بـو(ل/ك).{\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K).}

أمثلة

الحقول التربيعية

لود≠1{\displaystyle d\neq 1}هو عدد صحيح خالٍ من المربعات ،ك=سؤال،{\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}ول=سؤال(د){\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}، ثمغال⁡(ل/سؤال){\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}يمكن تحديدها بـ {±1}. المميز Δ لـ L علىسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يكون d أو 4d اعتمادًا على ما إذا كان d ≡ 1 (mod 4) أم لا. ثم تُعرَّف خريطة آرتين على الأعداد الأولية p التي لا تقسم Δ على

ص↦(Δص){\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}

أين(Δص){\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}هو رمز كرونكر . [ 7 ] وبشكل أكثر تحديدًا، هو موصلل/سؤال{\displaystyle L/\mathbb {Q} }يكون المثالي الرئيسي (Δ) أو (Δ)∞ وفقًا لما إذا كانت Δ موجبة أم سالبة، [ 8 ] ويتم إعطاء خريطة آرتين على مثالي أولي إلى Δ ( n ) بواسطة رمز كرونكر(Δن).{\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right).}يُظهر هذا أن العدد الأولي p ينقسم أو يكون خاملاً في L وفقًا لما إذا كان(Δص){\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}هو 1 أو -1 .

الحقول السيكلوتومية

ليكن m > 1 إما عددًا فرديًا أو مضاعفًا للعدد 4، وζم{\displaystyle \zeta _{m}}ليكن جذرًا أوليًا من الرتبة m للوحدة ، وليكنل=سؤال(ζم){\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})}ليكن الحقل الحلقي رقم m .غال⁡(ل/سؤال){\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}يمكن التعرف عليها من خلال(Z/مZ)×{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}عن طريق إرسال σ إلى σ المعطاة بالقاعدة

σ(ζم)=ζمأσ.{\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}

قائد الأوركسترال/سؤال{\displaystyle L/\mathbb {Q} }هي ( m )∞، [ 9 ] وخريطة آرتين على مثالي أولي إلى m ( n ) هي ببساطة n (mod m ) في(Z/مZ)×.{\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}[ 10 ]

العلاقة بالمعاملة التربيعية

ليكن p وℓ{\displaystyle \ell }لتكن أعدادًا أولية فردية مختلفة. وللتسهيل، ليكنℓ*=(-1)ℓ-12ℓ{\displaystyle \ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell }(وهو دائمًا 1 (باقي القسمة على 4)). ثم، تنص خاصية التبادلية التربيعية على أن

(ℓ*ص)=(صℓ).{\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).}

تُحدد العلاقة بين قوانين التبادل التربيعية وقوانين أرتين من خلال دراسة الحقل التربيعي.F=سؤال(ℓ*){\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})}والمجال الدائريل=سؤال(ζℓ){\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })}كما يلي. [ 7 ] أولاً، F حقل جزئي من L ، لذا إذا كان H = Gal( L / F ) وجي=غال⁡(ل/سؤال)،{\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),}ثمغال⁡(F/سؤال)=جي/ح.{\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.}بما أن المجموعة الأخيرة لها رتبة 2، فإن المجموعة الفرعية H يجب أن تكون مجموعة المربعات في(Z/ℓZ)×.{\displaystyle (\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.}تنص إحدى الخصائص الأساسية لرمز آرتين على أنه لكل مثالي أولي إلى ℓ ( n )

(F/سؤال(ن))=(ل/سؤال(ن))(تعديلح).{\displaystyle \left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.}

عندما n = p ، فإن هذا يدل على أن(ℓ*ص)=1{\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1}إذا وفقط إذا كان p modulo ℓ موجودًا في H ، أي إذا وفقط إذا كان p مربعًا modulo ℓ.

بيان بدلالة دوال L

تربط نسخة بديلة من قانون التبادل، والتي تؤدي إلى برنامج لانجلاندز ، دوال آرتين L المرتبطة بالامتدادات الأبيلية لحقل عددي بدوال هيك L المرتبطة بخصائص مجموعة فئة idèle. [ 11 ]

يُعرَّف حرف هيك (أو حرف غروسين) لحقل عددي K بأنه شبه حرف لمجموعة فئات الأديل لـ K. وقد فسر روبرت لانغلاندز حروف هيك على أنها أشكال ذاتية الشكل على المجموعة الجبرية المختزلة GL ( 1) فوق حلقة الأديل لـ K. [ 12 ]

يتركهـ/ك{\displaystyle E/K}ليكن امتدادًا لغالوا أبيليًا مع مجموعة غالوا G. ثم لأي حرفσ:جي→ج×{\displaystyle \sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }}(أي التمثيل المركب أحادي البعد للمجموعة G )، يوجد محرف هيكχ{\displaystyle \chi }من K بحيث

لهـ/كأرتأنان(σ،s)=لكحهـجكهـ(χ،s){\displaystyle L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)}

حيث يمثل الجانب الأيسر دالة Artin L المرتبطة بالامتداد ذي الخاصية σ ويمثل الجانب الأيمن دالة Hecke L المرتبطة بـ χ، القسم 7.D من [ 12 ] .

إن صياغة قانون التبادلية لآرتين على أنه مساواة بين الدوال L تسمح بصياغة تعميم للتمثيلات ذات الأبعاد n ، على الرغم من أن التطابق المباشر لا يزال مفقودًا.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ هيلموت هاس ، تاريخ نظرية حقل الفئات ، في نظرية الأعداد الجبرية ، حرره كاسيلز وفروليش، دار النشر الأكاديمية، 1967،الصفحات 266-279
  2. ↑ نوكيرش (1999) ص 391
  3. ↑ يورغن نوكيرش ، نظرية الأعداد الجبرية ، سبرينغر، 1992، ص 408. في الواقع، هناك نسخة أكثر دقة من قانون المعاملة بالمثل تتتبع التداعيات.
  4. ↑ سير (1979) ص 164
  5. ^ يورغن نيوكيرش، Algebraische Zahlentheorie ، سبرينغر، 1992، الفصل السابع
  6. ^ أرتين، إميل (ديسمبر 1929)، “Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz”، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität هامبورغ ، 7 (1): 46–51 ، دوى : 10.1007 / BF02941159.
  7. 1 2 ليمرمير 2000 ، §3.2
  8. ↑ ميلن 2008 ، مثال 3.11
  9. ↑ ميلن 2008 ، مثال 3.10
  10. ↑ ميلن 2008 ، مثال 3.2
  11. ↑ جيمس ميلن، نظرية المجال الطبقي
  12. 1 2 جيلبارت، ستيفن س. (1975)، الأشكال التلقائية على مجموعات أديل ، حوليات دراسات الرياضيات، المجلد 83، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، MR 0379375  .

مراجع

  • إميل أرتين (1924) "Über eine neue Art von L-Reihen"، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108؛ الأوراق المجمعة ، أديسون ويسلي (1965)، 105-124
  • إميل أرتين (1927) "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes"، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363؛ الأوراق المجمعة ، 131-141
  • إميل أرتين (1930) "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes"، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51؛ الأوراق المجمعة ، 159-164
  • فراي، غونتر (2004)، "حول تاريخ قانون التبادلية لآرتين في الامتدادات الأبيلية لحقول الأعداد الجبرية: كيف توصل آرتين إلى قانون التبادلية الخاص به"، في أولاف أرنفين لاودال؛ راغني بين (محرران)، إرث نيلز هنريك أبيل. أوراق من مؤتمر أبيل المئوي الثاني، جامعة أوسلو، أوسلو، النرويج، 3-8 يونيو 2002 ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، ص 267-294 ، ISBN  978-3-540-43826-7، MR 2077576 ، Zbl 1065.11001  
  • يانوش، جيرالد (1973)، حقول الأعداد الجبرية ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  55، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 0-12-380250-4
  • لانغ، سيرج (1994)، نظرية الأعداد الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  110 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-94225-4MR 1282723​ 
  • ليميرماير، فرانز (2000)، قوانين المعاملة بالمثل: من أويلر إلى آيزنشتاين ، دراسات سبرينغر في الرياضيات، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-66957-9، MR 1761696 ، Zbl 0949.11002  
  • ميلن، جيمس (2008)، نظرية حقل الأصناف (  الإصدار 4.0) ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 22-02-2010
  • نيوكيرش ، يورغن (1999)، نظرية الأعداد الجبرية ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، المجلد.  322، ترجمة من الألمانية بواسطة نوربرت شاباخر ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 3-540-65399-6، Zbl 0956.11021 
  • سير، جان بيير (1979)، الحقول المحلية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  67، ترجمة مارفن جاي غرينبيرغ ، نيويورك، هايدلبرغ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 3-540-90424-7، Zbl 0423.12016 
  • سير، جان بيير (1967)، "السادس. نظرية حقل الأصناف المحلية"، في كاسيلز، جي دبليو إس ؛ فروليش، أ. (محرران)، نظرية الأعداد الجبرية. وقائع مؤتمر تعليمي نظمته جمعية لندن الرياضية (معهد دراسات متقدمة تابع لحلف الناتو) بدعم من الاتحاد الرياضي الدولي ، لندن: أكاديميك برس، ص 128-161 ، Zbl 0153.07403  
  • تيت، جون (1967)، "السابع. نظرية حقل الأصناف العالمية"، في كاسيلز، جي دبليو إس ؛ فروليش، أ. (محرران)، نظرية الأعداد الجبرية. وقائع مؤتمر تعليمي نظمته جمعية لندن الرياضية (معهد دراسات متقدمة تابع لحلف الناتو) بدعم من الاتحاد الرياضي الدولي ، لندن: أكاديميك برس، ص 162-203 ، Zbl 0153.07403