نظرية فيرما حول مجموع مربعين

بافتراض عدد أولي فردي${\displaystyle p}$على شكل${\displaystyle 4k+1}$، ابحث أولاً${\displaystyle x\in \{1,\dots ,{\frac {p-1}{2}}\}}$بحيث${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}}$يمكن القيام بذلك عن طريق إيجاد باقي تربيعي modulo${\displaystyle p}$، يقول${\displaystyle q}$، والسماح ${\displaystyle x=q^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}}$.

مثل هذا${\displaystyle x}$سيحقق الشرط لأن البواقي غير التربيعية تحقق${\displaystyle q^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}}$.

مرة واحدة${\displaystyle x}$إذا تم تحديد ذلك، يمكن تطبيق خوارزمية إقليدس مع${\displaystyle p}$و${\displaystyle x}$. مثّل أول باقيين أقل من الجذر التربيعي لـ${\displaystyle p}$مثل${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$عندها سيكون الأمر كما يلي:${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p}$[ ^{6 ]​}

إثبات الخوارزمية

في خوارزمية إقليدس، لدينا سلسلة من البواقي${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$التي تنتهي بالقاسم المشترك الأكبر${\displaystyle r_{n}=\gcd(r_{0},r_{1})}$. نحسب هذه القيم بشكل متكرر باستخدام القيم الأولية${\displaystyle r_{0}=p,r_{1}=x}$: ${\displaystyle r_{i-1}=q_{i}r_{i}+r_{i+1}\quad {\text{ where }}q_{i}=\lfloor r_{i-1}/r_{i}\rfloor .}$ يمكننا تعريف متتالية أخرى${\displaystyle (t_{i})}$بنفس التكرار، ولكن بقيم أولية${\displaystyle t_{0}=0}$،${\displaystyle t_{1}=1}$: ${\displaystyle t_{i-1}=q_{i}t_{i}+t_{i+1}\quad {\text{ where }}q_{i}=\lfloor r_{i-1}/r_{i}\rfloor .}$ اتضح أن${\displaystyle (t_{i})}$التسلسل هو عكس التسلسل تمامًا${\displaystyle (r_{i})}$، حتى اللافتات. علاوة على ذلك، يمكن للمرء أن يرى باستخدام التكرار أن${\displaystyle t_{i}x\equiv r_{i}{\pmod {p}}}$للجميع${\displaystyle i}$قم بتربيع هذه المعادلة واستخدمها${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}}$للحصول على${\displaystyle t_{i}^{2}+r_{i}^{2}\equiv 0{\pmod {p}}}$ومن هناك ، كل ما نحتاجه هو إيجاد${\displaystyle t_{i}}$و${\displaystyle r_{i}}$والتي تكون بالحجم المناسب بحيث${\displaystyle t_{i}^{2}+r_{i}^{2}=p}$.

يأخذ${\displaystyle p=97}$أحد الاحتمالات الممكنة لقيمة غير متبقية تربيعية للعدد 97 هو 13، لأن${\displaystyle 13^{\frac {97-1}{2}}\equiv -1{\pmod {97}}}$لذلك نترك${\displaystyle x=13^{\frac {97-1}{4}}=22{\pmod {97}}}$. ينتج عن تطبيق خوارزمية إقليدس على 97 و22 ما يلي: $${\displaystyle 97=22(4)+9,}$$$${\displaystyle 22=9(2)+4,}$$$${\displaystyle 9=4(2)+1,}$$$${\displaystyle 4=1(4).}$$ أول باقيين أصغر من الجذر التربيعي لـ 97 هما 9 و 4؛ وبالفعل لدينا${\displaystyle 97=9^{2}+4^{2}}$كما هو متوقع.

نجح أويلر في إثبات نظرية فيرما حول مجموع مربعين عام ١٧٤٩، وكان عمره آنذاك اثنين وأربعين عامًا. وقد أبلغ غولدباخ بهذا الإنجاز في رسالة مؤرخة في ١٢ أبريل ١٧٤٩. ^{[ ١١ ]} يعتمد البرهان على مبدأ الانحدار اللانهائي ، وقد وردت تفاصيله بإيجاز في الرسالة. يتألف البرهان الكامل من خمس خطوات، ونُشر في ورقتين بحثيتين. الخطوات الأربع الأولى هي القضايا من ١ إلى ٤ من الورقة الأولى ^{[ ١٢ ]} ، ولا تتطابق تمامًا مع الخطوات الأربع التالية. أما الخطوة الخامسة التالية فهي من الورقة الثانية. ^{[ ١٣ ] [ ١٤ ]}

ولتجنب الغموض، سيكون الصفر دائمًا مكونًا صالحًا محتملاً لـ "مجموع مربعين"، على سبيل المثال، يمكن التعبير عن كل مربع من عدد صحيح بشكل بديهي على أنه مجموع مربعين عن طريق جعل أحدهما يساوي صفرًا.

1. حاصل ضرب عددين، كل منهما عبارة عن مجموع مربعين، هو نفسه مجموع مربعين.

هذه خاصية معروفة، تستند إلى الهوية

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

بسبب ديوفانتوس .

2. إذا كان عدد ما هو مجموع مربعين يقبل القسمة على عدد أولي هو مجموع مربعين، فإن ناتج القسمة هو مجموع مربعين. (هذه هي القضية الأولى لأويلر).

لنفترض مثلاً أن${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$يقبل القسمة على${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$وأن هذا الأخير عدد أولي. ثم${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$يقسم

${\displaystyle p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2})=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=(pb-aq)(pb+aq).}$

منذ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$إذا كان عددًا أوليًا، فإنه يقسم أحد العاملين. لنفترض أنه يقسم${\displaystyle pb-aq}$. منذ

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

(هوية ديوفانتوس) يترتب على ذلك${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$يجب تقسيمها${\displaystyle (ap+bq)^{2}}$إذن، يمكن قسمة المعادلة على مربع${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$قسمة التعبير على${\displaystyle (p^{2}+q^{2})^{2}}$ينتج عنه:

${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}$

وبالتالي يعبر عن ناتج القسمة كمجموع مربعين، كما هو مزعوم.

من ناحية أخرى إذا${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$يقسم${\displaystyle pb+aq}$، وينطبق استدلال مماثل باستخدام الصيغة التالية لهوية ديوفانتوس:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}.}$

3. إذا كان عدد يمكن كتابته على صورة مجموع مربعين يقبل القسمة على عدد ليس مجموع مربعين، فإن ناتج القسمة يحتوي على عامل ليس مجموع مربعين. (هذه هي القضية الثانية لأويلر).

يفترض${\displaystyle q}$هو عدد لا يمكن التعبير عنه كمجموع مربعين، وهو ما يقسم${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$اكتب ناتج القسمة، مُحللاً إلى عوامله الأولية (التي قد تتكرر)، كما يلي:${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$لهذا السبب.${\displaystyle a^{2}+b^{2}=qp_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$إذا كانت جميع العوامل${\displaystyle p_{i}}$يمكن كتابة ذلك على شكل مجموع مربعين، ثم يمكننا القسمة${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$على التوالي بواسطة${\displaystyle p_{1}}$،${\displaystyle p_{2}}$إلخ، وبتطبيق الخطوة (2) أعلاه، نستنتج أن كل ناتج قسمة أصغر لاحق هو مجموع مربعين. إذا وصلنا إلى النهاية${\displaystyle q}$ثم${\displaystyle q}$يجب أن يكون العدد نفسه مساوياً لمجموع مربعين، وهذا تناقض. لذا، يجب أن يكون أحد العددين الأوليين على الأقل${\displaystyle p_{i}}$ليس مجموع مربعين.

4. إذا${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$إذا كانت الأعداد الصحيحة الموجبة أولية فيما بينها، فإن كل عامل من عواملها${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$هو مجموع مربعين. (هذه هي الخطوة التي تستخدم الخطوة (3) لإنتاج "نزول لانهائي" وكانت هي القضية الرابعة لأويلر. يتضمن البرهان الموضح أدناه أيضًا برهان قضيته الثالثة).

يترك${\displaystyle a,b}$أن تكون أعدادًا صحيحة موجبة أولية فيما بينها : دون فقدان للعمومية${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ليس عددًا أوليًا بحد ذاته، وإلا فلا يوجد ما يُثبت. ليكن${\displaystyle q}$لذلك كن عاملاً مناسباً لـ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ليس بالضرورة عددًا أوليًا: نريد أن نبين أن${\displaystyle q}$هو مجموع مربعين. ومرة ​​أخرى، لا نخسر شيئًا بافتراضنا${\displaystyle q>2}$منذ القضية${\displaystyle q=2=1^{2}+1^{2}}$هذا واضح.

يترك${\displaystyle m,n}$لتكن أعدادًا صحيحة غير سالبة بحيث${\displaystyle mq,nq}$هي أقرب مضاعفات${\displaystyle q}$(بالقيمة المطلقة) إلى${\displaystyle a,b}$على التوالي. لاحظ الاختلافات${\displaystyle c=a-mq}$و${\displaystyle d=b-nq}$الأعداد الصحيحة ذات القيمة المطلقة الأقل من${\displaystyle q/2}$في الواقع، عندما${\displaystyle q>2}$زوجي، القاسم المشترك الأكبر${\displaystyle (a,q/2)=1}$وإلا لأن القاسم المشترك الأكبر${\displaystyle (a,q/2)\mid q/2\mid q\mid a^{2}+b^{2}}$، سيكون لدينا أيضًا القاسم المشترك الأكبر${\displaystyle (a,q/2)\mid b}$.

وبضرب الطرفين نحصل على

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=m^{2}q^{2}+2mqc+c^{2}+n^{2}q^{2}+2nqd+d^{2}=Aq+(c^{2}+d^{2})}$

تحديد فريد لعدد صحيح غير سالب${\displaystyle A}$. منذ${\displaystyle q}$بقسمة طرفي هذه المتتالية من المعادلات، يترتب على ذلك أن${\displaystyle c^{2}+d^{2}}$يجب أن يكون قابلاً للقسمة على${\displaystyle q}$: يقول${\displaystyle c^{2}+d^{2}=qr}$. يترك${\displaystyle g}$يكون القاسم المشترك الأكبر لـ${\displaystyle c}$و${\displaystyle d}$والتي من خلال أولية الأعداد${\displaystyle a,b}$يُعدّ موقعاً متميزاً نسبياً لـ${\displaystyle q}$. هكذا${\displaystyle g^{2}}$يقسم${\displaystyle r}$لذا الكتابة${\displaystyle e=c/g}$،${\displaystyle f=d/g}$و${\displaystyle s=r/g^{2}}$، فنحصل على التعبير${\displaystyle e^{2}+f^{2}=qs}$بالنسبة للجودة العالية نسبياً${\displaystyle e}$و${\displaystyle f}$ومع${\displaystyle s<q/2}$، منذ

${\displaystyle qs=e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}<\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}=q^{2}/2.}$

وأخيرًا، خطوة النزول : إذا${\displaystyle q}$إذا لم يكن مجموع مربعين، فبحسب الخطوة (3) يجب أن يكون هناك عامل${\displaystyle q_{1}}$يقول عن${\displaystyle s}$وهو ليس مجموع مربعين. لكن${\displaystyle q_{1}\leq s<q/2<q}$وبالتالي تكرار هذه الخطوات (في البداية مع${\displaystyle e,f;q_{1}}$بدلاً من${\displaystyle a,b;q}$وهكذا إلى ما لا نهاية ، سنتمكن من إيجاد متتالية لانهائية متناقصة تمامًا.${\displaystyle q,q_{1},q_{2},\ldots }$من الأعداد الصحيحة الموجبة التي لا تُمثل مجموع مربعين، ولكنها تقسم مجموع مربعين أوليين فيما بينهما. وبما أن هذا النزول اللانهائي مستحيل، نستنتج أن${\displaystyle q}$يجب أن يكون قابلاً للتعبير عنه كمجموع مربعين، كما هو مزعوم.

5. كل عدد أولي من الشكل${\displaystyle 4n+1}$هو مجموع مربعين. (هذه هي النتيجة الرئيسية للورقة البحثية الثانية لأويلر).

لو${\displaystyle p=4n+1}$ثم، وفقًا لنظرية فيرما الصغرى، كل عدد من${\displaystyle 1,2^{4n},3^{4n},\dots ,(4n)^{4n}}$متطابق مع واحد modulo${\displaystyle p}$الاختلافات${\displaystyle 2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots ,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}}$وبالتالي، فإن جميعها قابلة للقسمة على${\displaystyle p}$يمكن اعتبار كل اختلاف من هذه الاختلافات بمثابة عامل.

${\displaystyle a^{4n}-b^{4n}=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right).}$

منذ${\displaystyle p}$إذا كان العدد أوليًا، فلا بد أن يقسم أحد العاملين. إذا كان أي من العاملين أوليًا${\displaystyle 4n-1}$في هذه الحالة، يتم تقسيم العامل الأول، ثم نستنتج من الخطوة السابقة أن${\displaystyle p}$هو نفسه مجموع مربعين (لأن${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$يختلف بـ${\displaystyle 1}$(فهي أعداد أولية نسبياً). لذا يكفي إثبات ذلك.${\displaystyle p}$لا يمكن دائمًا قسمة العامل الثاني. إذا كان يقسم الكل${\displaystyle 4n-1}$الاختلافات${\displaystyle 2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}$ثم سيقسم كل شيء${\displaystyle 4n-2}$جميع الفروقات بين الحدود المتتالية${\displaystyle 4n-3}$اختلافات الاختلافات، وما إلى ذلك. منذ${\displaystyle k}$الاختلافات في التسلسل${\displaystyle 1^{k},2^{k},3^{k},\dots }$جميعها متساوية${\displaystyle k!}$( الفروق المحدودة )، الـ${\displaystyle 2n}$ستكون جميع الفروقات ثابتة ومتساوية${\displaystyle (2n)!}$وهو بالتأكيد لا يقبل القسمة على${\displaystyle p}$. لذلك،${\displaystyle p}$لا يمكن قسمة جميع العوامل الثانية، مما يثبت أن${\displaystyle p}$هو بالفعل مجموع مربعين.

أكمل لاغرانج برهانًا في عام 1775 ^{[ 15 ]} استنادًا إلى نظريته العامة للأشكال التربيعية التكاملية . ويتضمن العرض التالي تبسيطًا طفيفًا لحجته، منسوبًا إلى غاوس ، والذي يظهر في المادة 182 من كتاب Disquisitiones Arithmeticae .

الصيغة التربيعية ( الثنائية الصحيحة) هي تعبير من الشكل${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$مع${\displaystyle a,b,c}$الأعداد الصحيحة. عدد${\displaystyle n}$يُقال إن الصيغة ممثلة إذا وُجدت أعداد صحيحة${\displaystyle x,y}$بحيث${\displaystyle n=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$تُكافئ نظرية فيرما حول مجموع مربعين القول بأن عددًا أوليًا${\displaystyle p}$يتم تمثيلها بالشكل${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$(أي،${\displaystyle a=c=1}$،${\displaystyle b=0}$) بالضبط متى${\displaystyle p}$متطابق مع${\displaystyle 1}$modulo${\displaystyle 4}$.

يُعرَّف المميز للصيغة التربيعية على النحو التالي:${\displaystyle b^{2}-4ac}$. التمييز بين${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ثم يساوي${\displaystyle -4}$.

شكلان${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$و${\displaystyle a'x'^{2}+b'x'y'+c'y'^{2}}$تكون متكافئة إذا وفقط إذا وُجدت بدائل بمعاملات صحيحة.

${\displaystyle x=\alpha x'+\beta y'}$

${\displaystyle y=\gamma x'+\delta y'}$

مع${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1}$بحيث عند استبدالها في الصيغة الأولى، تُعطي الصيغة الثانية. ومن الواضح أن الصيغ المتكافئة لها نفس المميز، وبالتالي نفس الزوجية للمعامل الأوسط.${\displaystyle b}$وهذا يتوافق مع زوجية المميز. علاوة على ذلك، من الواضح أن الأشكال المتكافئة ستمثل نفس الأعداد الصحيحة تمامًا، لأن هذا النوع من الاستبدالات يمكن عكسه باستبدالات من نفس النوع.

أثبت لاغرانج أن جميع الصيغ الموجبة المحددة للمميز -4 متكافئة. وبالتالي، لإثبات نظرية فيرما، يكفي إيجاد أي صيغة موجبة محددة للمميز -4 تمثل${\displaystyle p}$على سبيل المثال، يمكن للمرء استخدام نموذج

${\displaystyle px^{2}+2mxy+\left({\frac {m^{2}+1}{p}}\right)y^{2},}$

حيث المعامل الأول a  = ${\displaystyle p}$تم اختيارها بحيث يمثل الشكل${\displaystyle p}$بوضع x  =  1 و y  =  0، يكون المعامل b  =  2m عددًا زوجيًا اختياريًا (كما يجب أن يكون للحصول على مميز زوجي)، وأخيرًا${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$يتم اختيارها بحيث يكون المميز${\displaystyle b^{2}-4ac=4m^{2}-4pc}$يساوي -4، مما يضمن أن الصيغة مكافئة بالفعل لـ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$بالطبع، المعامل${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$يجب أن يكون عددًا صحيحًا، لذا فإن المسألة تُختزل إلى إيجاد عدد صحيح m بحيث${\displaystyle p}$يقسم${\displaystyle m^{2}+1}$أو بعبارة أخرى، الجذر التربيعي لـ -1 بتردد 50${\displaystyle p}$' .

ندعي أن هذا الجذر التربيعي لـ${\displaystyle -1}$يُعطى بواسطة${\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}k}$أولاً، يترتب على نظرية إقليدس الأساسية في الحساب ما يلي:${\displaystyle ab\equiv 0{\pmod {p}}\iff a\equiv 0{\pmod {p}}\ \ {\hbox{or}}\ \ b\equiv 0{\pmod {p}}}$. بالتالي،${\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {p}}\iff a\equiv \pm 1{\pmod {p}}}$: إنه،${\displaystyle \pm 1}$هي معكوساتها الخاصة modulo${\displaystyle p}$وهذه الخاصية فريدة من نوعها بالنسبة لهم. ويترتب على ذلك صحة القسمة الإقليدية على الأعداد الصحيحة، وحقيقة أن${\displaystyle p}$هو عدد أولي، وذلك لكل${\displaystyle 2\leq a\leq p-2}$القاسم المشترك الأكبر لـ${\displaystyle a}$و${\displaystyle p}$يمكن التعبير عنها باستخدام خوارزمية إقليدس التي تنتج معكوسًا فريدًا ومتميزًا${\displaystyle a^{-1}\neq a}$ل${\displaystyle a}$modulo${\displaystyle p}$وبالتالي، فإن حاصل ضرب جميع البواقي غير الصفرية modulo${\displaystyle p}$يكون${\displaystyle -1}$. يترك${\displaystyle L=\prod _{l={\frac {p+1}{2}}}^{p-1}l}$بناءً على ما تم ملاحظته للتو،${\displaystyle KL\equiv -1{\pmod {p}}}$لكن بحكم التعريف، بما أن كل مصطلح في${\displaystyle K}$قد يقترن بنفيه في${\displaystyle L}$،${\displaystyle L=(-1)^{\frac {p-1}{2}}K}$، والتي منذ ذلك الحين${\displaystyle p}$هذا غريب، وهذا يدل على أن${\displaystyle K^{2}\equiv -1{\pmod {p}}\iff p\equiv 1{\pmod {4}}}$، حسب الحاجة.

قدّم ريتشارد ديديكيند برهانين على الأقل لنظرية فيرما حول مجموع مربعين، مستخدمًا في كليهما الخصائص الحسابية للأعداد الصحيحة الغاوسية ، وهي أعداد على الصورة a + bi ، حيث a و b عددان صحيحان، و i هو الجذر التربيعي لـ -1. يظهر أحدهما في القسم 27 من شرحه للمُثُل المنشور عام 1877؛ أما الثاني فقد ظهر في الملحق الحادي عشر لكتاب بيتر غوستاف ليجون ديريشليه " محاضرات في نظرية الأعداد" ، ونُشر عام 1894.

1. البرهان الأول. إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا ، فإننا نحصل على${\displaystyle i^{p-1}=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$في الأعداد الصحيحة الغاوسية. بالتالي، بكتابة عدد صحيح غاوسي ω = x + iy حيث x,y ∈ Z وتطبيق تشاكل فروبينيوس في Z [ i ]/( p )، نجد

${\displaystyle \omega ^{p}=(x+yi)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}i^{p}\equiv x+(-1)^{\frac {p-1}{2}}yi{\pmod {p}},}$

بما أن التشاكل الذاتي يثبت عناصر Z /( p ). في الحالة الحالية،${\displaystyle p=4n+1}$لبعض الأعداد الصحيحة n، وبالتالي في التعبير أعلاه لـ ω ^p ، يكون الأس ⁠${\displaystyle (p-1)/2}$العدد -1 زوجي. وبالتالي فإنالطرف الأيمن يساوي ω، لذا في هذه الحالة يكون التشكل الداخلي لفروبينيوس لـ Z [ i ]/( p ) هو التشكل المحايد.

كان كومر قد أثبت بالفعل أنه إذا كانت f ∈ {1,2} هي رتبة التشاكل الذاتي لفروبينيوس لـ Z [ i ]/( p )، فإن المثالي${\displaystyle (p)}$في Z [ i ]، يكون حاصل ضرب 2/ f من المثاليّات الأولية المختلفة . (في الواقع، أثبت كومر نتيجةً أكثر عموميةً لأي امتداد لـ Z يتم الحصول عليه بضم جذر أولي من الرتبة m للوحدة ، حيث m أي عدد صحيح موجب؛ وهذه هي الحالة m = 4 من تلك النتيجة). لذلك، فإن المثالي ( p ) هو حاصل ضرب مثاليّين أوليّين مختلفين في Z [ i ]. بما أن الأعداد الصحيحة الغاوسية هي مجال إقليدي لدالة المعيار، فإن${\displaystyle N(x+iy)=x^{2}+y^{2}}$كل مثال هو مثال رئيسي ومولد بواسطة عنصر غير صفري من المثال ذي المعيار الأدنى. وبما أن المعيار ضربي، فإن معيار المولد${\displaystyle \alpha }$يجب أن يكون أحد العوامل المثالية لـ ( p ) قاسمًا صارمًا لـ${\displaystyle N(p)=p^{2}}$لذلك يجب أن يكون لدينا${\displaystyle p=N(\alpha )=N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}$وهذا ما يُعطي نظرية فيرما.

2. البرهان الثاني. يعتمد هذا البرهان على نتيجة لاغرانج التي تنص على أنه إذا${\displaystyle p=4n+1}$إذا كان عدداً أولياً، فلا بد من وجود عدد صحيح m بحيث${\displaystyle m^{2}+1}$يقبل القسمة على p (يمكننا أيضًا إثبات ذلك باستخدام معيار أويلر )؛ كما أنه يعتمد على حقيقة أن الأعداد الصحيحة الغاوسية تمثل مجال تحليل فريد (لأنها مجال إقليدي). بما أن p ∈ Z لا يقسم أيًا من الأعداد الصحيحة الغاوسية${\displaystyle m+i}$و${\displaystyle m-i}$(لأنه لا يقسم أجزاءهما التخيلية )، ولكنه يقسم ناتج ضربهما${\displaystyle m^{2}+1}$وبناءً على ذلك، لا يمكن أن يكون p عنصرًا أوليًا في مجموعة الأعداد الصحيحة الغاوسية. لذا، يجب أن يكون لدينا تحليل غير تافه لـ p في مجموعة الأعداد الصحيحة الغاوسية، والذي، بالنظر إلى المعيار، لا يمكن أن يحتوي إلا على عاملين (لأن المعيار ضربي، و${\displaystyle p^{2}=N(p)}$(لا يمكن أن يكون هناك أكثر من عاملين لـ p)، لذا يجب أن يكون على الصورة${\displaystyle p=(x+yi)(x-yi)}$لبعض الأعداد الصحيحة x و y . وهذا يؤدي مباشرة إلى أن${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$.

ل${\displaystyle p}$متطابق مع${\displaystyle 1}$تعديل${\displaystyle 4}$رئيس الوزراء،${\displaystyle -1}$هو باقي تربيعي mod${\displaystyle p}$وفقًا لمعيار أويلر . لذلك، يوجد عدد صحيح${\displaystyle m}$بحيث${\displaystyle p}$يقسم${\displaystyle m^{2}+1}$. يترك${\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}}}$لتكن عناصر الأساس القياسية للفضاء المتجهي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$وضبط${\displaystyle {\vec {u}}={\hat {i}}+m{\hat {j}}}$و${\displaystyle {\vec {v}}=0{\hat {i}}+p{\hat {j}}}$ضع في اعتبارك الشبكة${\displaystyle S=\{a{\vec {u}}+b{\vec {v}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$. لو${\displaystyle {\vec {w}}=a{\vec {u}}+b{\vec {v}}=a{\hat {i}}+(am+bp){\hat {j}}\in S}$ثم${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}\equiv a^{2}+(am+bp)^{2}\equiv a^{2}(1+m^{2})\equiv 0{\pmod {p}}}$. هكذا${\displaystyle p}$يقسم${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}}$لأي${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$.

مساحة متوازي الأضلاع الأساسي للشبكة هي${\displaystyle p}$مساحة القرص المفتوح،${\displaystyle D}$، نصف قطر${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$يتمحور حول الأصل${\displaystyle 2\pi p>4p}$. بالإضافة إلى،${\displaystyle D}$يكون محدبًا ومتناظرًا حول نقطة الأصل. لذلك، وفقًا لنظرية مينكوفسكي، يوجد متجه غير صفري${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$بحيث${\displaystyle {\vec {w}}\in D}$. كلاهما${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}<2p}$و${\displaystyle p\mid \|{\vec {w}}\|^{2}}$لذا${\displaystyle p=\|{\vec {w}}\|^{2}}$. لذلك${\displaystyle p}$هو مجموع مربعات مكونات${\displaystyle {\vec {w}}}$.

يترك${\displaystyle p=4k+1}$كن عددًا أوليًا، دع${\displaystyle \mathbb {N} }$لنرمز إلى الأعداد الطبيعية (مع الصفر أو بدونه)، ولنعتبر المجموعة المنتهية${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}$من ثلاثيات الأرقام. ثم${\displaystyle S}$لها انعكاسان : أحدهما واضح${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}$نقاطها الثابتة${\displaystyle (x,y,y)}$تتوافق مع تمثيلات${\displaystyle p}$كمجموع مربعين، وكمجموع أكثر تعقيداً،

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~y-x-z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x<y-z\\(2y-x,~y,~x-y+z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,y-z<x<2y\\(x-2y,~x-y+z,~y),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x>2y\end{cases}}}$

والتي لها نقطة ثابتة واحدة فقط${\displaystyle (1,1,k)}$وهذا يثبت أن عدد عناصر${\displaystyle S}$هذا غريب. لذا،${\displaystyle S}$كما أن لها نقطة ثابتة فيما يتعلق بالانقلاب الواضح.

هذا البرهان، الذي يعود إلى زاغير [ ^{9 ] ،} هو تبسيط لبرهان سابق لهيث براون ، والذي استُلهم بدوره من برهان ليوفيل . وتُعدّ تقنية البرهان نظيرًا توافقيًا للمبدأ الطوبولوجي القائل بأن خصائص أويلر لفضاء طوبولوجي مع انعكاس ومجموعة نقاطه الثابتة لها نفس التكافؤ، وهي تُذكّر باستخدام الانعكاسات العكسية للإشارة في براهين التقابلات التوافقية.

هذا البرهان يعادل برهانًا هندسيًا أو "بصريًا" باستخدام أشكال "طاحونة الهواء"، والذي قدمه ألكسندر سبيفاك في عام 2006 ووصفه موريتز فيرشينج في منشور MathOverflow هذا وفي فيديو YouTube هذا من Mathologer .

في عام 2016، قدم أ. ديفيد كريستوفر برهانًا قائمًا على نظرية التقسيم من خلال دراسة تقسيمات العدد الأولي الفردي${\displaystyle n}$يتوفر بمقاسين فقط${\displaystyle a_{i}(i=1,2)}$، كل منها يحدث بالضبط${\displaystyle a_{i}}$مرات، ومن خلال إثبات وجود تقسيم واحد على الأقل من هذا القبيل إذا${\displaystyle n}$يتطابق مع 1 modulo 4. ^{[ 16 ]}