نظرية هيلبرت الصفرية

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية هيلبرت الصفرية (بالألمانية: Nullstellensatz، وتعني "نظرية الأصفار" أو حرفيًا "نظرية الموضع الصفري") نظريةً تُرسّخ علاقةً جوهريةً بين الهندسة والجبر . وقد برهنها ديفيد هيلبرت في بحثه الرئيسي الثاني حول نظرية الثوابت عام 1893 (بعد بحثه الرائد عام 1890 الذي برهن فيه نظرية هيلبرت الأساسية )، وأصبحت نتيجةً أساسيةً في الهندسة الجبرية .

توجد عدة صيغ لنظرية نولستيلنساتز، وأبسطها تتناول شروط وجود حلول لأنظمة المعادلات متعددة المتغيرات متعددة الحدود على حقل مغلق جبريًا (مثل الأعداد المركبة).${\displaystyle \mathbb {C} }$تُعدّ نظرية نولستيلينساتز الضعيفة نتيجةً (أو لمّةً ، بحسب أيّهما يُثبت أولًا) لنظرية نولستيلينساتز التي يُمكن صياغتها على النحو التالي. ^{[ 1 ]} لنفترض نظامًا من المعادلات متعددة الحدود

$${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\end{cases}}}$$

في المتغيرات${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$، أين${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$هي كثيرات حدود متعددة المتغيرات على حقل مغلق جبريًا${\displaystyle K}$إذا لم يكن لدى النظام حل${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}}$إذن، هناك "سبب جبري" لهذا الوضع: وهو أن هذا يحدث تحديدًا عندما توجد كثيرات حدود${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$بحيث

$${\displaystyle g_{1}f_{1}+\cdots +g_{m}f_{m}=1.}$$

بما أن التعبير الموجود على الجانب الأيسر يجب أن يكون قيمته 0 عند أي${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$إذا كان هذا الشرط يحل نظام المعادلات، فمن الواضح من التناقض أنه لا يمكن أن يوجد حل إذا تحقق هذا الشرط. بعبارة أخرى، تنص نظرية نولستيلنساتز (الضعيفة) على أنه في غياب هذا التناقض، يجب أن يوجد حل لنظام المعادلات.

الصيغة الكاملة لـ Nullstellensatz هي التحسين التالي: إذا${\displaystyle f\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$هي متعددة حدود بحيث يكون كل حل لنظام المعادلات هو أيضًا حل لـ

$${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=0,}$$

ثم هناك نوع مماثل من "السبب الجبري" لهذا الحدث: يحدث هذا تحديدًا عندما يوجد عدد طبيعي${\displaystyle r}$وكثيرات الحدود${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}}$بحيث

$${\displaystyle f^{r}=g_{1}f_{1}+\cdots +g_{m}f_{m}.}$$

ليكن k حقلاً (مثل الأعداد النسبية ) وليكن K امتداداً جبرياً مغلقاً للحقل k (مثل الأعداد المركبة ). لنعتبر حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$وليكن J مثالياً في هذه الحلقة. المجموعة الجبرية${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$يتكون هذا المثال المحدد من جميع المجموعات المكونة من n عنصرًا${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$في${\displaystyle K^{n}}$بحيث${\displaystyle f(a)=0}$للجميع${\displaystyle f\in J}$تنص نظرية هيلبرت الصفرية على أنه إذا كانت p متعددة حدود في${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$الذي يتلاشى على المجموعة الجبرية${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$، أي،${\displaystyle p(a)=0}$للجميع${\displaystyle a\in \mathrm {V} (J)}$إذن يوجد عدد طبيعي${\displaystyle r}$بحيث${\displaystyle p^{r}\in J}$[ ^{2 ]​}

باستخدام الترميز الشائع في الهندسة الجبرية، يمكن صياغة نظرية الأصفار على النحو التالي:

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

لكل J مثالي في${\displaystyle K[X_{1},...,X_{n}]}$مع كون K مجموعة مغلقة جبريًا. هنا،${\displaystyle {\sqrt {J}}}$يرمز إلى جذر J (${\displaystyle p\in {\sqrt {J}}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \exists r\in \mathbb {N} ,\ p^{r}\in J}$)${\displaystyle \mathrm {I} (U)}$هو المثال المتلاشي للمجموعة U (مجموعة كثيرات الحدود التي تتلاشى عند النقاط في U )، و${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$هو الموضع الصفري لـ J (مجموعة النقاط التي تتلاشى عندها كثيرات الحدود في J ). التأكيد على أن${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))\subseteq {\sqrt {J}}}$وهو مكافئ للصيغة الأولى أعلاه مع k = K مغلق جبريًا، في حين أن التضمين المعاكس هو نتيجة مباشرة للتعريفات.

والنتيجة المباشرة لذلك هي نظرية الأصفار الضعيفة : إذا كان J مثاليًا مناسبًا في${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$، ثم${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$غير فارغة، أي لكل امتداد مغلق جبريًا${\displaystyle K\supseteq k}$يوجد صفر مشترك في${\displaystyle K^{n}}$لجميع كثيرات الحدود في المثالي J. ^{[ 3} ] هذا هو سبب تسمية النظرية، والتي يمكن إثبات صيغتها الكاملة بسهولة من الصيغة "الضعيفة" باستخدام ^خدعة رابينوفيتش . يُعد افتراض اعتبار الأصفار المشتركة في حقل مغلق جبريًا أمرًا أساسيًا هنا؛ على سبيل المثال، عناصر المثالي المناسب${\displaystyle (X^{2}+1)}$في${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$لا يوجد بينهما صفر مشترك${\displaystyle \mathbb {R} .}$

التخصص في حالة متعددة الحدود المفردة عندما${\displaystyle K=\mathbb {C} }$و${\displaystyle n=1}$وبذلك، يستعيد المرء على الفور إعادة صياغة للنظرية الأساسية في الجبر : متعددة الحدود P في${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$له أصل في${\displaystyle \mathbb {C} }$إذا وفقط إذا${\displaystyle \deg P\neq 0}$ولهذا السبب، فإن نظرية نولستيلينساتز (الضعيفة) المطبقة على${\displaystyle K=\mathbb {C} }$يمكن اعتبارها تعميماً للنظرية الأساسية للجبر لأنظمة المعادلات متعددة المتغيرات متعددة الحدود. ^{[ 4 ]}

باعتبار K مجموعة مغلقة جبريًا، فإن نظرية Nullstellensatz تُثبت تناظرًا تقابليًا معكوسًا للترتيب بين المجموعات الجبرية في${\displaystyle K^{n}}$والمُثُل الراديكالية لـ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$في الواقع، وبشكل أكثر عمومية، يكون هناك اتصال غالوا بين المجموعات الفرعية للفضاء والمجموعات الفرعية للجبر، حيث أن " إغلاق زاريسكي " و "جذر المثالي المتولد" هما عوامل الإغلاق .

كمثال محدد، لنفترض مجموعة جبرية تتكون من نقطة واحدة${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}}$. ثم${\displaystyle \mathrm {I} (\{a\})=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$هو مثالي أقصى. وعلى العكس من ذلك، كل مثالي أقصى في حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$(لاحظ أن${\displaystyle K}$(مغلقة جبريًا) تكون على الشكل${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$بالنسبة للبعض${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$يُعدّ هذا التوصيف للمثاليّات القصوى لحلقات كثيرات الحدود فوق الحقول المغلقة جبريًا صياغةً شائعةً أخرى لنظرية الأصفار الضعيفة. وكمثال آخر على هذا التناظر، وكنتيجة لنظرية الأصفار، يمكن إثبات أن مجموعةً جزئيةً جبريةً W في${\displaystyle K^{n}}$تكون غير قابلة للاختزال (في طوبولوجيا زاريسكي) إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathrm {I} (W)}$هو مثال مثالي .

وبشكل أعم، لأي J مثالي في${\displaystyle K[X_{1},...,X_{n}]}$،

${\displaystyle {\sqrt {J}}=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\supseteq J}{\mathfrak {m}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathrm {V} (J)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}),}$

حيث يتم أخذ التقاطع الأول على المُثُل القصوى${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subsetneq K[X_{1},...,X_{n}]}$هذه العلاقة هي صيغة شائعة أخرى لنظرية نولستيلينساتز. (المساواة الأولى صحيحة في الواقع بالنسبة للمثاليّات في أي حلقة جاكوبسون ، بما في ذلك أي جبر مولد نهائيًا على حقل، بينما المساواة الثانية صحيحة بالنسبة لـ K المغلق جبريًا .)

توجد العديد من البراهين المعروفة لهذه النظرية. بعضها غير بنائي ، مثل البرهان الأول. والبعض الآخر بنائي، كما هو الحال في البراهين القائمة على خوارزميات للتعبير عن 1 أو p ^r كمزيج خطي من مولدات المثالي.

تندرج نظرية Nullstellensatz ضمن تطوير منهجي لنظرية حلقات جاكوبسون ، وهي الحلقات التي يكون فيها كل مثالي جذري عبارة عن تقاطع لمثاليات عظمى. وبالنظر إلى مبرهنة زاريسكي، فإن إثبات نظرية Nullstellensatz يُعادل إظهار أنه إذا كان k حقلاً، فإن كل جبر k- مولد نهائيًا R (بالضرورة من الشكل${\textstyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$) هو جاكوبسون. وبشكل أعم، لدينا النظرية التالية:

يترك${\displaystyle R}$أن تكون حلقة جاكوبسون. إذا${\displaystyle S}$إذا كانت R- جبرًا مولدًا بشكل منتهٍ ، فإن${\displaystyle S}$هي حلقة جاكوبسون. علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq S}$إذا كان مثالاً أقصى،${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$هو مثال مثالي أقصى لـ${\textstyle R}$، و${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$هو امتداد محدود لـ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$[ ^{8 ]​}

تنطلق تعميمات أخرى من النظر إلى نظرية Nullstellensatz من منظور نظرية المخططات، حيث تنص على أنه لأي حقل k وجبر k غير صفري مولد نهائيًا R ، فإن التشكل${\textstyle \mathrm {Spec} \,R\to \mathrm {Spec} \,k}$يقبل قسمًا محليًا إيتاليًا (بصورة مكافئة، بعد تغيير القاعدة على طول${\textstyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,k}$لبعض امتدادات الحقول المحدودة${\textstyle L/k}$وفي هذا السياق، لدينا النظرية التالية:

أي تشاكل مسطح أمين للمخططات${\textstyle f:Y\to X}$يقبل العرض المحدود محليًا مقطعًا شبهيًا ، بمعنى أنه يوجد تشاكل مسطح بأمانة وشبه محدود محليًا${\textstyle g:X'\to X}$محليًا من عرض محدود بحيث يكون التغيير الأساسي${\textstyle f':Y\times _{X}X'\to X'}$ل${\textstyle f}$على امتداد${\textstyle g}$يقبل قسمًا. ^{[ 9 ]} علاوة على ذلك، إذا${\textstyle X}$إذا كان شبه متراص (أو شبه متراص وشبه منفصل )، فيمكن للمرء أن يأخذ${\textstyle X'}$أن يكون متقاربًا (على التوالي).${\textstyle X'}$أفين و${\textstyle g}$(شبه محدود)، وإذا${\textstyle f}$إذا كانت دالة شاملة سلسة ، فيمكن للمرء أن يأخذ${\textstyle g}$أن يكون إيتالي . ^{[ 10 ]}

قدم سيرج لانغ امتداداً لنظرية Nullstellensatz ليشمل حالة وجود عدد لا نهائي من المولدات:

يترك${\textstyle \kappa }$ليكن عددًا أصليًا لانهائيًا وليكن${\textstyle K}$ليكن حقلاً مغلقاً جبرياً تكون درجة تجاوزه على حقله الفرعي الأولي أكبر تماماً من${\displaystyle \kappa }$ثم لأي مجموعة${\textstyle S}$من حيث العددية${\textstyle \kappa }$، حلقة كثيرات الحدود${\textstyle A=K[x_{i}]_{i\in S}}$يحقق نظرية Nullstellensatz، أي، لأي مثالي${\textstyle J\subset A}$لدينا ذلك${\displaystyle {\sqrt {J}}={\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))}$[ ^{11 ]​}

في جميع صيغها، تنصّ نظرية هيلبرت للنقاط الصفرية على أن متعددة حدود g تنتمي أو لا _تنتمي إلى مثالي مُوَلَّد، على سبيل المثال، بواسطة _f₁ , ..., fₖ _؛ لدينا g = fᵣ في الصيغة القوية، و _{g = 1 في الصيغة الضعيفة. هذا يعني وجود أو عدم وجود متعددات حدود g₁, ..., gₖ بحيث يكون g = f₁g₁} ⁺ ... + _fₖgₖ . البراهين المعتادة لنظرية النقاط الصفرية ليست بنائية ، أي _غير فعّالة _، بمعنى _أنها لا تُقدّم أي طريقة لحساب gᵢ _.

لذا، من الطبيعي التساؤل عما إذا كانت هناك طريقة فعّالة لحساب gᵢ ₍ والأس r في الصيغة القوية) أو إثبات عدم وجودهما. لحل هذه المشكلة، يكفي تحديد حد أعلى للدرجة الكلية لـ _gᵢ : يُختزل هذا الحد المشكلة إلى نظام محدود من المعادلات الخطية التي يمكن حلها باستخدام تقنيات الجبر الخطي المعتادة . يُطلق على أي حد أعلى من هذا القبيل اسم " نظرية نولستيلينساتز الفعّالة" .

تُعدّ مسألة الانتماء المثالي مشكلةً ذات صلة ، وتتمثل في اختبار ما إذا كانت كثيرة الحدود تنتمي إلى مثالي. ويُقدّم حلّ لهذه المسألة أيضًا حدٌّ أعلى لدرجة gᵢ _. ويُوفّر حلّ عام لمسألة الانتماء المثالي نظريةً فعّالة لتحديد الأصفار، على الأقل بالنسبة للصيغة الضعيفة.

في عام 1925، قدمت غريت هيرمان حدًا أعلى لمسألة العضوية المثالية، وهو حدٌّ أُسّيٌّ مضاعف بالنسبة لعدد المتغيرات. وفي عام 1982، قدم ماير وماير مثالًا حيث يكون للمتغيرات _gᵢ درجة أُسّية مضاعفة على الأقل، مما يُبين أن كل حدٍّ أعلى عام لمسألة العضوية المثالية هو حدٌّ أُسّيٌّ مضاعف بالنسبة لعدد المتغيرات.

بما أن معظم علماء الرياضيات في ذلك الوقت افترضوا أن نظرية نولستيلنساتز الفعّالة لا تقل صعوبة عن نظرية العضوية المثالية، فقد سعى قلة منهم إلى إيجاد حد أفضل من الحد الأسي المزدوج. مع ذلك، في عام ١٩٨٧، قدّم دبليو ديل براوناويل حدًا أعلى لنظرية نولستيلنساتز الفعّالة، وهو حد أسي ببساطة بالنسبة لعدد المتغيرات. ^{[ ١٢ ]} اعتمد برهان براوناويل على تقنيات تحليلية صالحة فقط في الخاصية صفر، ولكن بعد عام واحد، قدّم يانوس كولار برهانًا جبريًا بحتًا، صالحًا في أي خاصية، لحد أفضل قليلًا.

في حالة نظرية Nullstellensatz الضعيفة، يكون حد كولار كما يلي: ^{[ 13 ]}

لتكن f₁ _, ..., fₛ كثيرات حدود في _n ≥ 2 متغيرات ، _من الدرجة الكلية d₁ _≥ ... ≥ _dₛ . _إذا وُجدت كثيرات حدود gᵢ _بحيث يكون f₁g₁ ₊ ... + fₛgₛ ₌ 1 ، فإنه يمكن اختيارها بحيث

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).}$

يكون هذا الحد الأمثل إذا كانت جميع الدرجات أكبر من 2.

إذا كانت d هي أكبر درجات f i _، فيمكن تبسيط هذا الحد إلى

${\displaystyle \max(3,d)^{\min(n,s)}.}$

أحد التحسينات التي تعود إلى م. سومبرا هو ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.}$

يتحسن مستوى كولار بمجرد أن يكون اثنان على الأقل من الدرجات المعنية أقل من  3.

يمكننا صياغة نوع من التوافق بين المُثُل المتجانسة لكثيرات الحدود والمجموعات الجبرية الجزئية لفضاء إسقاطي، يُسمى فضاء الأصفار الإسقاطي ، وهو مماثل للفضاء الأفيني. وللقيام بذلك، نُعرّف بعض الرموز. ليكن${\displaystyle R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].}$المثالي المتجانس،

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}}$

يُطلق عليه اسم المثالي المتجانس الأقصى (انظر أيضًا المثالي غير ذي الصلة ). كما هو الحال في الحالة الأفينية، نضع: لمجموعة جزئية${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ومثالي متجانس I من R ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ on }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in I\}.\end{aligned}}}$

بواسطة${\displaystyle f=0{\text{ on }}S}$نعني بذلك: لكل إحداثيات متجانسة${\displaystyle (a_{0}:\cdots :a_{n})}$بالنسبة لنقطة من S لدينا${\displaystyle f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0}$وهذا يعني أن المكونات المتجانسة للدالة f تساوي صفرًا أيضًا على S ، وبالتالي فإن${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$هو مثال متجانس. أو بعبارة أخرى،${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$هو المثالي المتجانس المتولد بواسطة كثيرات الحدود المتجانسة f التي تنعدم على S. الآن، لأي مثالي متجانس${\displaystyle I\subseteq R_{+}}$وبحسب نظرية Nullstellensatz المعتادة، لدينا:

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),}$

وهكذا، كما هو الحال في الحالة الأفينية، لدينا: ^{[ 15 ]}

توجد علاقة تناظرية عكسية أحادية بين المُثُل الجذرية المتجانسة الصحيحة لـ R ومجموعات جزئية من${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$من الشكل${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).}$يتم تقديم المراسلات بواسطة${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}}$و${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.}$

تنطبق نظرية Nullstellensatz أيضًا على جراثيم الدوال الهولومورفية عند نقطة من الفضاء المركب ذي البعد n${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$وبالتحديد، لكل مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} ^{n},}$يترك${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)}$لنرمز إلى حلقة الدوال التحليلية على U ؛ إذن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$هي حزمة على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$الساق​${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$على سبيل المثال، يمكن إثبات أن الأصل عبارة عن حلقة محلية نوثرية تمثل مجال تحليل فريد .

لو${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$هي جرثومة ممثلة بدالة هولومورفية${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C} }$ثم دع${\displaystyle V_{0}(f)}$لتكن فئة التكافؤ للمجموعة

${\displaystyle \left\{z\in U\mid {\widetilde {f}}(z)=0\right\},}$

حيث مجموعتان جزئيتان${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$تُعتبر متكافئة إذا${\displaystyle X\cap U=Y\cap U}$لبعض الجوار U الذي يساوي صفرًا. ملاحظة${\displaystyle V_{0}(f)}$مستقل عن اختيار الممثل${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$لكل مثالي${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},}$يترك${\displaystyle V_{0}(I)}$دل${\displaystyle V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})}$بالنسبة لبعض المولدات${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$من I. إنه محدد جيدًا؛ أي أنه مستقل عن اختيار المولدات.

لكل مجموعة فرعية${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$، يترك

${\displaystyle I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}\mid V_{0}(f)\supset X\right\}.}$

من السهل أن نرى ذلك${\displaystyle I_{0}(X)}$هو مثال لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$وذلك${\displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$لو${\displaystyle X\sim Y}$بالمعنى المذكور أعلاه.

ثم تنص نظرية Nullstellensatz التحليلية على ما يلي : ^{[ 16 ]} لكل مثالي${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$،

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$

حيث يكون الجانب الأيسر هو جذر العدد I.

في الهندسة الجبرية الكلاسيكية، تُطبَّق عملية الموضع الصفري (V) على مجموعات جزئية من حلقة كثيرات الحدود فوق حقل مغلق جبريًا، بينما تُطبَّق عملية المثالي المتلاشي (I) على مجموعات جزئية من الفضاء الأفيني ذي البعد n ، والتي تتطابق نقاطها تطابقًا تامًا مع المثاليّات القصوى لحلقة كثيرات الحدود وفقًا لنظرية نولستيلينساتز الضعيفة (انظر أعلاه). في نظرية المخططات ، تُعمَّم عمليتا V وI وتُعاد تعريفهما بحيث يمكن تطبيقهما على مجموعات جزئية من أي حلقة تبديلية (أحادية) وأطيافها الأولية ، على التوالي. على وجه الخصوص، لأي حلقة تبديلية A ، فإن مجموعة مثالياتها الأولية ( طيفها الأولي )${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$، والمجموعات الفرعية${\displaystyle S\subset A}$و${\displaystyle X\subset \mathrm {Spec} \ A}$، نحن نحدد

${\displaystyle \mathbb {V} (S)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \ A\mid {\mathfrak {p}}\supset S\}}$و${\displaystyle \mathbb {I} (X)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in X}{\mathfrak {p}}.}$

ثم لأي مثالي${\displaystyle J\triangleleft A}$، وهو نظير رسمي لكتاب هيلبرت Nullstellensatz:

${\displaystyle \mathbb {I} (\mathbb {V} (J))=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathbb {V} (J)}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \ A,\ {\mathfrak {p}}\supset J}{\mathfrak {p}}={\sqrt {J}},}$

حيث تُستنتج المساواة الأخيرة من خاصية قياسية للمثاليّات الأولية من الجبر التبادلي. ^{[ 17 ]} قياسًا على مواضع الأصفار في النظرية الكلاسيكية، فإن${\displaystyle \mathbb {V} (S)}$تُستخدم لتعريف المجموعات المغلقة في طوبولوجيا زاريسكي لـ${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$[ ^{6 ]​}

• معضلة أرتين-تيت
• نظرية الأصفار التوافقية
• نظرية الأصفار التفاضلية
• راديكالي حقيقي
• سلسلة القوى المقيدة#جبر تيت ، وهو نظير لنظرية هيلبرت Nullstellensatz ينطبق على جبر تيت.
• كريفين – ستينغل بوسيتيفستيلينساتز
• Weierstrass Nullstellensatz

• ألميرا، خوسيه ماريا (2007). "إعادة النظر في Nullstellensatz" (PDF) . مزق. سيمين. حصيرة. جامعة. بوليتيك. تورينو . 65 (3): 365 – 369.
• عطية، م. ف.؛ ماكدونالد ، إ. ج. (1994). مقدمة في الجبر التبادلي . أديسون-ويسلي. رقم ISBN 0-201-40751-5.
• أيزنبد، ديفيد (1999). الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  150. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-94268-1.
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  52، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 
• هيلبرت ، ديفيد (1893). "Ueber die vollen Invariantensysteme" . الرياضيات أنالن . 42 (3): 313-373 . دوى : 10.1007 / BF01444162 .
• هيبرشتس، دانيال (2005). الهندسة المعقدة: مقدمة . سبرينغر. رقم ISBN 3-540-21290-6.
• موكاي، شيغيرو (2003). مقدمة في الثوابت والمعاملات . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  81. ترجمة ويليام أوكسبري. ص  82. ISBN 0-521-80906-1.
• زاريسكي، أوسكار ؛ صموئيل، بيير (1960). الجبر التبادلي. المجلد الثاني . برلين. ISBN 978-3-662-27753-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) CS1 maint : موقع الناشر مفقود ( رابط )