مرشح كالمان

في الإحصاء ونظرية التحكم ، يُعدّ ترشيح كالمان (المعروف أيضًا بالتقدير التربيعي الخطي ) خوارزمية تستخدم سلسلة من القياسات المرصودة عبر الزمن، بما في ذلك الضوضاء الإحصائية وأوجه عدم الدقة الأخرى، لإنتاج تقديرات للمتغيرات المجهولة تكون عادةً أكثر دقة من تلك القائمة على قياس واحد، وذلك من خلال تقدير توزيع احتمالي مشترك للمتغيرات لكل خطوة زمنية. يُبنى المرشح على أساس تقليل متوسط ​​مربع الخطأ ، ولكن يُقدّم أيضًا اشتقاق بديل للمرشح يوضح كيفية ارتباطه بإحصاءات الاحتمال الأقصى. ^{[ 1 ]} سُمّي المرشح نسبةً إلى رودولف إي. كالمان .

تُستخدم مرشحات كالمان في العديد من التطبيقات التقنية. ومن أبرزها توجيه المركبات، لا سيما الطائرات والمركبات الفضائية والسفن، والتحكم بها، خاصةً عند تغيير مواقعها ديناميكيًا . ^{[ 2 ]} كما تُستخدم مرشحات كالمان على نطاق واسع في تحليل السلاسل الزمنية ، مثل معالجة الإشارات والاقتصاد القياسي . وتُعدّ مرشحات كالمان مهمة أيضًا لتخطيط حركة الروبوتات والتحكم بها، ^{[ 3 ] [ 4 ]} ويمكن استخدامها لتحسين مساراتها . ^{[ 5 ]} وتُستخدم مرشحات كالمان أيضًا في نمذجة تحكم الجهاز العصبي المركزي في الحركة. ونظرًا للتأخير الزمني بين إصدار الأوامر الحركية واستقبال التغذية الراجعة الحسية ، فإن استخدام مرشحات كالمان يوفر نموذجًا واقعيًا لتقدير الحالة الراهنة للنظام الحركي وإصدار أوامر مُحدَّثة. ^{[ 6 ]}

تعمل الخوارزمية عبر عملية ثنائية المراحل: مرحلة التنبؤ ومرحلة التحديث . في مرحلة التنبؤ، يُنتج مرشح كالمان تقديرات لمتغيرات الحالة الحالية ، بما في ذلك عدم اليقين فيها. بمجرد رصد نتيجة القياس التالي (والتي تتضمن بالضرورة بعض الأخطاء، بما في ذلك الضوضاء العشوائية)، يتم تحديث هذه التقديرات باستخدام المتوسط ​​المرجح ، مع إعطاء وزن أكبر للتقديرات ذات اليقين الأعلى. الخوارزمية تكرارية ، ويمكنها العمل في الوقت الفعلي ، باستخدام قياسات الإدخال الحالية فقط والحالة المحسوبة سابقًا ومصفوفة عدم اليقين الخاصة بها؛ ولا تتطلب أي معلومات سابقة إضافية.

تعتمد كفاءة ترشيح كالمان على افتراض أن الأخطاء تتبع توزيعًا طبيعيًا (غاوسيًا) بمتوسط ​​صفر . وكما يقول رودولف إي. كالمان : "تُفترض الافتراضات التالية حول العمليات العشوائية: يمكن اعتبار الظواهر العشوائية الفيزيائية ناتجة عن مصادر عشوائية أولية تُثير أنظمة ديناميكية. يُفترض أن هذه المصادر الأولية عبارة عن عمليات عشوائية غاوسية مستقلة بمتوسط ​​صفر؛ وستكون الأنظمة الديناميكية خطية." ^{[ 7 ]} ومع ذلك، وبغض النظر عن التوزيع الغاوسي، إذا كانت تباينات العملية والقياس معروفة وكان المتوسط ​​صفرًا، فإن مرشح كالمان يُعد أفضل مُقدِّر خطي ممكن من حيث الحد الأدنى لمتوسط ​​مربع الخطأ ، ^{[ 8 ]} على الرغم من وجود مُقدِّرات غير خطية أفضل. ومن المفاهيم الخاطئة الشائعة (التي لا تزال رائجة في الأدبيات) أن مرشح كالمان لا يمكن تطبيقه بدقة إلا إذا افترضنا أن جميع عمليات الضوضاء تتبع التوزيع الغاوسي. ^{[ 9 ]}

تم تطوير امتدادات وتعميمات لهذه الطريقة، مثل مرشح كالمان الموسع ومرشح كالمان غير الخطي، واللذان يعملان على الأنظمة غير الخطية . ويعتمد هذا الأسلوب على نموذج ماركوف المخفي، حيث تكون فضاءات حالة المتغيرات الكامنة متصلة ، وتتبع جميع المتغيرات الكامنة والمُرصَدة توزيعًا غاوسيًا. وقد استُخدم ترشيح كالمان بنجاح في دمج البيانات من أجهزة استشعار متعددة ^{[ 10 ]} ، وفي شبكات الاستشعار الموزعة لتطوير ترشيح كالمان الموزع أو التوافقي ^{[ 11 ] .}

سُميت طريقة الترشيح نسبةً إلى المهاجر المجري رودولف إي. كالمان ، على الرغم من أن ثورفالد نيكولاي ثيل ^{[ 12 ] [ 13 ]} وبيتر سويرلينغ قد طورا خوارزمية مشابهة في وقت سابق. ساهم ريتشارد إس. بوسي من مختبر الفيزياء التطبيقية بجامعة جونز هوبكنز في تطوير النظرية، مما جعلها تُعرف أحيانًا باسم ترشيح كالمان-بوسي. استلهم كالمان فكرة مرشح كالمان من خلال تطبيق متغيرات الحالة على مسألة ترشيح وينر . ^{[ 14 ]} يُنسب الفضل عمومًا إلى ستانلي إف. شميدت في تطوير أول تطبيق لمرشح كالمان. أدرك شميدت أنه يمكن تقسيم المرشح إلى جزأين متميزين، أحدهما للفترات الزمنية بين مخرجات المستشعرات، والآخر لدمج القياسات. ^{[ 15 ]} خلال زيارة قام بها كالمان إلى مركز أبحاث ناسا أميس ، رأى شميدت إمكانية تطبيق أفكار كالمان على مشكلة تقدير المسار غير الخطية لبرنامج أبولو، مما أدى إلى دمجها في حاسوب الملاحة الخاص بأبولو . ^{[ 16 ] : 16}

يُطلق على هذا المرشح الرقمي أحيانًا اسم مرشح ستراتونوفيتش-كالمان-بوسي، لأنه حالة خاصة من مرشح غير خطي أكثر عمومية، طوره عالم الرياضيات السوفيتي رسلان ستراتونوفيتش . ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} في الواقع، ظهرت بعض معادلات هذا المرشح الخطي الخاص في أوراق بحثية لستراتونوفيتش نُشرت قبل صيف عام 1961، عندما التقى كالمان بستراتونوفيتش خلال مؤتمر في موسكو. ^{[ 21 ]}

تم وصف وتطوير ترشيح كالمان هذا جزئيًا لأول مرة في أوراق فنية من قبل سويرلينج (1958) وكالمان (1960) وكالمان وبوسي (1961).

استخدم حاسوب أبولو ذاكرة وصول عشوائي مغناطيسية بسعة 2 كيلوبايت و36 كيلوبايت من الأسلاك [...]. صُممت وحدة المعالجة المركزية من دوائر متكاملة [...]. كانت سرعة الساعة أقل من 100 كيلوهرتز [...]. إن قدرة مهندسي معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا على دمج برنامج بهذه الجودة (أحد أوائل تطبيقات مرشح كالمان) في حاسوب صغير الحجم أمرٌ مذهل حقًا.

لعبت مرشحات كالمان دورًا حيويًا في تنفيذ أنظمة الملاحة لغواصات الصواريخ الباليستية النووية التابعة للبحرية الأمريكية ، وفي أنظمة التوجيه والملاحة لصواريخ كروز مثل صاروخ توماهوك التابع للبحرية الأمريكية وصاروخ كروز الجوي التابع للقوات الجوية الأمريكية . كما تُستخدم أيضًا في أنظمة التوجيه والملاحة لمركبات الإطلاق القابلة لإعادة الاستخدام ، وأنظمة التحكم في الوضع والملاحة للمركبات الفضائية التي ترسو في محطة الفضاء الدولية . ^{[ 22 ]}

تستخدم خوارزمية ترشيح كالمان النموذج الديناميكي للنظام (مثل قوانين الحركة الفيزيائية)، ومدخلات التحكم المعروفة لهذا النظام، وقياسات متسلسلة متعددة (مثل تلك التي تُجرى بواسطة أجهزة الاستشعار) لتكوين تقدير لقيم النظام المتغيرة (حالته ) يكون أدق من التقدير الناتج عن استخدام قياس واحد فقط. ولذلك، تُعد هذه الخوارزمية من الخوارزميات الشائعة في دمج البيانات من أجهزة الاستشعار .

تُحدّ بيانات المستشعرات المشوّشة، والتقريبات في المعادلات التي تصف تطور النظام، والعوامل الخارجية غير المحسوبة، من دقة تحديد حالة النظام. يتعامل مرشح كالمان بفعالية مع عدم اليقين الناتج عن بيانات المستشعرات المشوّشة، وإلى حدٍّ ما، مع العوامل الخارجية العشوائية. يُنتج مرشح كالمان تقديرًا لحالة النظام كمتوسط ​​لحالة النظام المتوقعة والقياس الجديد باستخدام المتوسط ​​المرجّح . يكمن الغرض من الأوزان في إعطاء ثقة أكبر للقيم ذات عدم اليقين المُقدّر الأفضل (أي الأصغر). تُحسب الأوزان من التباين المشترك ، وهو مقياس لعدم اليقين المُقدّر لتوقع حالة النظام. ينتج عن المتوسط ​​المرجّح تقدير جديد للحالة يقع بين الحالة المتوقعة والمقاسة، ويتميز بعدم يقين مُقدّر أفضل من أيٍّ منهما على حدة. تُكرّر هذه العملية في كل خطوة زمنية، حيث يُستخدَم التقدير الجديد وتباينه المشترك في التنبؤ المستخدم في التكرار التالي. هذا يعني أن مرشح كالمان يعمل بشكل متكرر ولا يتطلب سوى "أفضل تخمين" الأخير، بدلاً من التاريخ الكامل لحالة النظام لحساب حالة جديدة.

يُعدّ تصنيف دقة القياسات وتقدير الحالة الراهنة من الاعتبارات المهمة. ومن الشائع مناقشة استجابة المرشح من حيث كسب مرشح كالمان . يُمثل كسب كالمان الوزن المُعطى للقياسات وتقدير الحالة الراهنة، ويمكن ضبطه لتحقيق أداء مُحدد. فمع كسب عالٍ، يُولي المرشح وزنًا أكبر لأحدث القياسات، وبالتالي يستجيب لها بشكل أسرع. أما مع كسب منخفض، فيستجيب المرشح لتوقعات النموذج بشكل أدق. وفي الحالات القصوى، يؤدي الكسب العالي (القريب من واحد) إلى مسار مُقدّر أكثر تذبذبًا، بينما يؤدي الكسب المنخفض (القريب من الصفر) إلى تنعيم الضوضاء ولكنه يُقلل من الاستجابة.

عند إجراء الحسابات الفعلية للمرشح (كما هو موضح أدناه)، يتم ترميز تقدير الحالة والتباينات في مصفوفات نظرًا لتعدد الأبعاد التي تتضمنها مجموعة واحدة من الحسابات. وهذا يسمح بتمثيل العلاقات الخطية بين متغيرات الحالة المختلفة (مثل الموضع والسرعة والتسارع) في أي من نماذج الانتقال أو التباينات.

كمثال تطبيقي، لنفترض مشكلة تحديد الموقع الدقيق لشاحنة. يمكن تجهيز الشاحنة بجهاز تحديد المواقع العالمي (GPS) الذي يُقدّر الموقع بدقة تصل إلى بضعة أمتار. غالبًا ما يكون تقدير نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) غير دقيق؛ إذ تتذبذب القراءات بسرعة، مع بقائها ضمن نطاق بضعة أمتار من الموقع الحقيقي. إضافةً إلى ذلك، وبما أن الشاحنة تخضع لقوانين الفيزياء، يمكن أيضًا تقدير موقعها بتكامل سرعتها مع الزمن، وذلك من خلال تتبع عدد دورات العجلات وزاوية عجلة القيادة. تُعرف هذه التقنية باسم " الملاحة التقديرية" . عادةً ما تُقدّم الملاحة التقديرية تقديرًا دقيقًا لموقع الشاحنة، لكنها ستتغير بمرور الوقت مع تراكم الأخطاء الصغيرة.

في هذا المثال، يمكن اعتبار مرشح كالمان يعمل على مرحلتين متميزتين: التنبؤ والتحديث. في مرحلة التنبؤ، يتم تعديل موقع الشاحنة السابق وفقًا لقوانين الحركة الفيزيائية (النموذج الديناميكي أو "نموذج انتقال الحالة"). لا يتم حساب تقدير جديد للموقع فحسب، بل يتم أيضًا حساب تباين جديد. ربما يكون التباين متناسبًا مع سرعة الشاحنة، لأننا نكون أقل يقينًا بشأن دقة تقدير الموقع بالتقدير الملاحي عند السرعات العالية، ولكننا على يقين تام من دقة تقدير الموقع عند السرعات المنخفضة. بعد ذلك، في مرحلة التحديث، يتم أخذ قياس لموقع الشاحنة من وحدة تحديد المواقع العالمية (GPS). يصاحب هذا القياس قدر من عدم اليقين، ويحدد تباينه بالنسبة إلى تباين التنبؤ من المرحلة السابقة مدى تأثير القياس الجديد على التنبؤ المُحدَّث. من الناحية المثالية، نظرًا لأن تقديرات التقدير الملاحي تميل إلى الانحراف عن الموقع الحقيقي، يجب أن يُعيد قياس نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) تقدير الموقع نحو الموقع الحقيقي دون التأثير عليه لدرجة أن يصبح مشوشًا ومتقلبًا بشكل سريع.

مرشح كالمان هو مرشح تكراري فعال يُقدّر الحالة الداخلية لنظام ديناميكي خطي من سلسلة من القياسات المشوشة . يُستخدم في نطاق واسع من التطبيقات الهندسية والاقتصادية القياسية ، بدءًا من الرادار ورؤية الحاسوب وصولًا إلى تقدير نماذج الاقتصاد الكلي الهيكلية ^{[ 23 ] [ 24 ]} ، ويُعدّ موضوعًا هامًا في نظرية التحكم وهندسة أنظمة التحكم . يُساهم مرشح كالمان، بالاشتراك مع منظم التربيع الخطي (LQR)، في حل مشكلة التحكم الخطي التربيعي الغاوسي (LQG). يُعتبر كل من مرشح كالمان، ومنظم التربيع الخطي، ووحدة التحكم الخطية التربيعية الغاوسية حلولًا لما يُمكن اعتباره من أهم المشكلات الأساسية في نظرية التحكم.

في معظم التطبيقات، تكون الحالة الداخلية أكبر بكثير (تتمتع بدرجات حرية أكثر ) من المعلمات "القابلة للملاحظة" القليلة التي يتم قياسها. ومع ذلك، من خلال دمج سلسلة من القياسات، يمكن لمرشح كالمان تقدير الحالة الداخلية بأكملها.

في نظرية دمبستر-شيفر ، تُعتبر كل معادلة حالة أو مشاهدة حالة خاصة من دالة اعتقاد خطية ، وتُعدّ عملية ترشيح كالمان حالة خاصة من دمج دوال الاعتقاد الخطية على شجرة مشتركة أو شجرة ماركوف . وتشمل الطرق الإضافية ترشيح الاعتقاد الذي يستخدم تحديثات بايز أو تحديثات الأدلة لمعادلات الحالة.

توجد اليوم مجموعة واسعة من مرشحات كالمان: منها الصيغة الأصلية لكالمان - والتي تُعرف الآن بمرشح كالمان "البسيط"، ومرشح كالمان-بوسي ، ومرشح شميدت "الموسع"، ومرشح المعلومات ، بالإضافة إلى مجموعة متنوعة من مرشحات "الجذر التربيعي" التي طورها بيرمان وثورنتون وغيرهما. ولعلّ أكثر أنواع مرشحات كالمان البسيطة شيوعًا هو مرشح الحلقة المغلقة الطورية ، والذي بات يُستخدم بكثرة في أجهزة الراديو، وخاصة أجهزة راديو تعديل التردد (FM)، وأجهزة التلفزيون، وأجهزة استقبال الاتصالات عبر الأقمار الصناعية ، وأنظمة الاتصالات الفضائية، وفي جميع معدات الاتصالات الإلكترونية تقريبًا.

تعتمد خوارزمية كالمان على أنظمة ديناميكية خطية مُجزأة زمنيًا. تُنمذج هذه الأنظمة على سلسلة ماركوف مبنية على مؤثرات خطية مُشوشة بأخطاء قد تشمل ضوضاء غاوسية . تشير حالة النظام المستهدف إلى تكوين النظام الحقيقي (المخفي) محل الاهتمام، والذي يُمثل كمتجه من الأعداد الحقيقية . عند كل زيادة زمنية منفصلة ، ​​يُطبق مؤثر خطي على الحالة لتوليد الحالة الجديدة، مع إضافة بعض الضوضاء، وربما بعض المعلومات من عناصر التحكم في النظام إذا كانت معروفة. بعد ذلك، يُولد مؤثر خطي آخر، ممزوج بمزيد من الضوضاء، المخرجات القابلة للقياس (أي الملاحظة) من الحالة الحقيقية ("المخفية"). يمكن اعتبار مرشح كالمان مماثلاً لنموذج ماركوف المخفي، مع اختلاف أن متغيرات الحالة المخفية لها قيم في فضاء متصل، على عكس فضاء الحالة المنفصل في نموذج ماركوف المخفي. ثمة تشابه كبير بين معادلات مرشح كالمان ومعادلات نموذج ماركوف المخفي. تم تقديم مراجعة لهذا النموذج وغيره في Roweis و Ghahramani (1999) ^{[ 25 ]} و Hamilton (1994)، الفصل 13. ^{[ 26 ]}

لاستخدام مرشح كالمان لتقدير الحالة الداخلية لعملية ما بالاعتماد فقط على سلسلة من الملاحظات المشوشة، يجب نمذجة العملية وفقًا للإطار التالي. وهذا يعني تحديد المصفوفات لكل خطوة زمنية.${\displaystyle k}$، التالي:

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$، نموذج انتقال الحالة؛
• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$، نموذج الملاحظة؛
• ${\displaystyle \mathbf {Q} _{ك}}$، التباين المشترك لضوضاء العملية؛
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$، التباين المشترك لضوضاء الملاحظة؛
• وأحياناً${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$، نموذج التحكم والإدخال كما هو موضح أدناه؛ إذا${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$إذا تم تضمين ذلك، فهناك أيضًا
• ${\displaystyle \mathbf {u} _{ك}}$، متجه التحكم، الذي يمثل مدخل التحكم في نموذج التحكم والمدخل.

كما هو موضح أدناه، من الشائع في العديد من التطبيقات أن تكون المصفوفات${\displaystyle \mathbf {F} }$،${\displaystyle \mathbf {H} }$،${\displaystyle \mathbf {Q} }$،${\displaystyle \mathbf {R} }$، و${\displaystyle \mathbf {B} }$ثابتة عبر الزمن، وفي هذه الحالة فإن${\displaystyle k}$قد يتم حذف الفهرس.

يفترض نموذج مرشح كالمان الحالة الحقيقية في الوقت${\displaystyle k}$وقد تطورت من الحالة في${\displaystyle k-1}$وفق

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}+\mathbf {w} _{k}}$

أين

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$هو نموذج انتقال الحالة الذي يتم تطبيقه على الحالة السابقة x _{k −1} ؛
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{k}}$هو نموذج التحكم والإدخال الذي يتم تطبيقه على متجه التحكم${\displaystyle \mathbf {u} _{ك}}$؛
• ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$هي ضوضاء العملية، والتي يُفترض أنها مستمدة من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمتوسط ​​صفري .${\displaystyle {\mathcal {N}}}$، مع التباين المشترك ،${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$:${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {Q} _{k}\right)}$.

لو${\displaystyle \mathbf {Q} }$إذا كان مستقلاً عن الزمن، فيمكن للمرء، تبعاً لرويس وغهراماني، ^{[ 25 ] : 307} أن يكتب${\displaystyle \mathbf {w} _{\bullet }}$بدلاً من${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$للتأكيد على أن الضوضاء ليس لديها معرفة صريحة بالوقت.

في وقت${\displaystyle k}$ملاحظة (أو قياس)${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$من الحالة الحقيقية${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$يتم صنعه وفقًا لـ

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

أين

• ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$هو نموذج الملاحظة، الذي يرسم خريطة لمساحة الحالة الحقيقية في المساحة المرصودة و
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$يمثل هذا ضوضاء الملاحظة، والتي يُفترض أنها ضوضاء بيضاء غاوسية ذات متوسط ​​صفري ومتباينة${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$:${\displaystyle \mathbf {v} _{k}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {R} _{k}\right)}$.

وبالمثل بالنسبة للوضع بالنسبة لـ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$يمكن للمرء أن يكتب${\displaystyle \mathbf {v} _{\bullet }}$بدلاً من${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ لو${\displaystyle \mathbf {R} }$مستقل عن الزمن.

الحالة الأولية، ومتجهات الضوضاء في كل خطوة${\displaystyle \{\mathbf {x} _{0},\mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{k},\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}\}}$يُفترض أن جميعها مستقلة عن بعضها البعض .

لا تتوافق العديد من الأنظمة الديناميكية الآنية تمامًا مع هذا النموذج. في الواقع، يمكن للديناميكيات غير المُنمذجة أن تُضعف أداء المرشح بشكلٍ كبير، حتى عندما يكون من المفترض أن يعمل مع إشارات عشوائية غير معروفة كمدخلات. والسبب في ذلك هو أن تأثير الديناميكيات غير المُنمذجة يعتمد على المدخلات، وبالتالي، يمكن أن يؤدي إلى عدم استقرار خوارزمية التقدير (أي تباعدها). من ناحية أخرى، لن تؤدي إشارات الضوضاء البيضاء المستقلة إلى تباعد الخوارزمية. تُعد مشكلة التمييز بين ضوضاء القياس والديناميكيات غير المُنمذجة مشكلةً معقدة، ويتم التعامل معها كمشكلة في نظرية التحكم باستخدام التحكم القوي . ^{[ 27 ] [ 28 ]}

مرشح كالمان هو مُقدِّر تكراري . هذا يعني أنه لا يلزم سوى الحالة المُقدَّرة من الخطوة الزمنية السابقة والقياس الحالي لحساب تقدير الحالة الحالية. على عكس تقنيات التقدير الدفعي، لا يتطلب الأمر أي سجل للملاحظات أو التقديرات. فيما يلي، سيتم استخدام الرموز التالية:${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$يمثل تقديرًا لـ${\displaystyle \mathbf {x} }$عند الزمن n بالنظر إلى الملاحظات حتى الزمن m ≤ n .

يتم تمثيل حالة المرشح بواسطة متغيرين:

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$، متوسط ​​تقدير الحالة اللاحقة عند الوقت k بالنظر إلى الملاحظات حتى الوقت k بما في ذلك ؛
• ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$، مصفوفة التغاير للتقدير اللاحق (مقياس لدقة تقدير الحالة).

يشبه هيكل خوارزمية مرشح كالمان هيكل مرشح ألفا بيتا . يمكن كتابة مرشح كالمان كمعادلة واحدة، إلا أنه يُصوَّر غالبًا على أنه مرحلتان متميزتان: "التنبؤ" و"التحديث". تستخدم مرحلة التنبؤ تقدير الحالة من الخطوة الزمنية السابقة لإنتاج تقدير للحالة في الخطوة الزمنية الحالية. يُعرف تقدير الحالة المتوقع هذا أيضًا باسم تقدير الحالة القبلي ، لأنه على الرغم من كونه تقديرًا للحالة في الخطوة الزمنية الحالية، إلا أنه لا يتضمن معلومات الملاحظة من هذه الخطوة. في مرحلة التحديث، يُضرب الابتكار (الباقي قبل التوفيق)، أي الفرق بين التنبؤ القبلي الحالي ومعلومات الملاحظة الحالية، في كسب كالمان الأمثل، ويُدمج مع تقدير الحالة السابق لتحسين تقدير الحالة. يُطلق على هذا التقدير المُحسَّن، بناءً على الملاحظة الحالية، اسم تقدير الحالة البعدي .

عادةً، تتناوب المرحلتان، حيث تُقدِّم مرحلة التنبؤ الحالة حتى موعد الرصد المُجدول التالي، بينما تُدمج مرحلة التحديث نتائج الرصد. مع ذلك، ليس هذا شرطًا؛ فإذا لم يتوفر رصدٌ ما لسببٍ ما، يُمكن تخطي التحديث وإجراء عدة عمليات تنبؤ. وبالمثل، إذا توفرت عدة رصدات مستقلة في الوقت نفسه، يُمكن إجراء عدة عمليات تحديث (عادةً باستخدام مصفوفات رصد مختلفة H_{_k} ). ^{[ 29 ] [ 30 ]}

يتنبأ

تقدير الحالة المتوقع ( المسبق )	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}}$
التباين المقدرة (المتوقعة مسبقًا )	${\displaystyle {\mathbf {P} }_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}}$

تحديث

الابتكار أو القياس المتبقي قبل التركيب	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$
التغاير الابتكاري (أو التغاير المتبقي قبل التوفيق)	${\displaystyle \mathbf {S} _{k}=\mathbf {H} _{k}{\mathbf {P} }_{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}}$
كسب كالمان الأمثل	${\displaystyle \mathbf {K} _{k}={\mathbf {P} }_{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}}$
تقدير الحالة المحدث ( بعدي )	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}}$
تقدير التباين المحدث ( بعدي ) (الشكل المعتاد)	${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}}$
تقدير التباين المحدث ( بعدي ) (صيغة جوزيف)	${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$
قياس المتبقي بعد التركيب	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$

الصيغة الثانية لتقدير التغاير المُحدَّث ( بعدي ) أعلاه تُعرف باسم "صيغة جوزيف"، وهي شائعة الاستخدام في التطبيقات (أكثر استقرارًا عدديًا من الصيغة المعتادة الأبسط). يُمكن الاطلاع على برهان الصيغ في قسم الاشتقاقات ، حيث تُعرض أيضًا الصيغة الصالحة لأي قيمة _لـ K.

طريقة أكثر سهولة للتعبير عن تقدير الحالة المحدثة (${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$) يكون:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}){\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}}$

يذكرنا هذا التعبير بالاستيفاء الخطي ،${\displaystyle x=(1-t)(a)+t(b)}$ل${\displaystyle t}$بين [0،1]. في حالتنا:

• ${\displaystyle t}$هي المصفوفة${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}}$يأخذ القيم من${\displaystyle 0}$(خطأ كبير في المستشعر) إلى${\displaystyle I}$أو إسقاط (خطأ منخفض).
• ${\displaystyle a}$هي الحالة الداخلية${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$تم تقدير ذلك من خلال النموذج.
• ${\displaystyle b}$هي الحالة الداخلية${\displaystyle \mathbf {H} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}}$تم تقدير ذلك من القياس، بافتراض${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$غير منفرد (وهو في كثير من التطبيقات ليس افتراضًا معقولًا، على سبيل المثال عندما يكون بُعد الحالة أكبر من بُعد الملاحظة).

يشبه هذا التعبير أيضًا خطوة تحديث مرشح ألفا بيتا .

لنفترض شاحنة تسير على قضبان مستقيمة عديمة الاحتكاك. في البداية، تكون الشاحنة ثابتة عند الموضع 0، لكنها تتعرض لقوى عشوائية غير مُتحكَّم بها تُحركها في جميع الاتجاهات. نقيس موضع الشاحنة كل Δt ثانية ، لكن هذه القياسات غير دقيقة؛ نريد الحفاظ على نموذج لموضع الشاحنة وسرعتها . سنوضح هنا كيف نستنتج النموذج الذي نُنشئ منه مرشح كالمان.

منذ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {H} ,\mathbf {R} ,\mathbf {Q} }$إذا كانت ثابتة، يتم حذف مؤشراتها الزمنية.

يتم وصف موضع وسرعة الشاحنة بواسطة فضاء الحالة الخطي

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}}$

أين${\displaystyle {\dot {x}}}$هي السرعة، أي مشتقة الموضع بالنسبة للزمن.

نفترض أنه بين الخطوتين الزمنيتين ( k  -  1) و k ، تتسبب قوى غير متحكم بها في تسارع ثابت مقداره k _، يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​0 وانحراف معياري σa _. نستنتج من قوانين نيوتن للحركة أن

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {G} a_{k}}$

(لا يوجد${\displaystyle \mathbf {B} u}$مصطلح "k" لأنه لا توجد مدخلات تحكم معروفة. بدلاً من ذلك، يمثل _k تأثير مدخل غير معروف.${\displaystyle \mathbf {G} }$(يطبق هذا التأثير على متجه الحالة) حيث

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\mathbf {G} &={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{2}\\[6pt]\Delta t\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

لهذا السبب.

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k}}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} _{k}&\sim N(0,\mathbf {Q} )\\\mathbf {Q} &=\mathbf {G} \mathbf {G} ^{\textsf {T}}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}{\Delta t}^{4}&{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{3}&{\Delta t}^{2}\end{bmatrix}}\sigma _{a}^{2}.\end{aligned}}}$

المصفوفة${\displaystyle \mathbf {Q} }$ليست رتبة كاملة (إنها من الرتبة الأولى إذا${\displaystyle \Delta t\neq 0}$وبالتالي، فإن التوزيع${\displaystyle N(0,\mathbf {Q} )}$ليست متصلة بشكل مطلق وليس لها دالة كثافة احتمالية . وهناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، مع تجنب التوزيعات المنحلة الصريحة، وهي كالتالي:

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N\left(0,\sigma _{a}^{2}\right).}$

في كل مرحلة زمنية، يتم إجراء قياس مشوش للموقع الحقيقي للشاحنة. لنفترض أن ضوضاء القياس v _k موزعة توزيعًا طبيعيًا أيضًا، بمتوسط ​​0 وانحراف معياري σ _z .

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

أين

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}}$

و

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathrm {E} \left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]={\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

نعرف حالة بدء تشغيل الشاحنة بدقة تامة، لذلك نقوم بالتهيئة

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

ولإخبار المرشح بأننا نعرف الموضع والسرعة بدقة، نعطيه مصفوفة تباين صفرية:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

إذا لم يكن الموضع والسرعة الابتدائيان معروفين تمامًا، فيجب تهيئة مصفوفة التغاير بتباينات مناسبة على قطرها:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\\0&\sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}}$

سيفضل المرشح بعد ذلك المعلومات المستقاة من القياسات الأولى على المعلومات الموجودة بالفعل في النموذج.

لتبسيط الأمور، افترض أن مدخل التحكم${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {0} }$ويمكن كتابة مرشح كالمان على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}].}$

تنطبق معادلة مماثلة إذا أضفنا مدخل تحكم غير صفري. مصفوفات الكسب${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$ومصفوفات التغاير${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$تتطور بشكل مستقل عن القياسات${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$بناءً على ما سبق، فإن المعادلات الأربع اللازمة لتحديث المصفوفات هي كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k},\\\mathbf {S} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k},\\\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1},\\\mathbf {P} _{k|k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k|k-1}.\end{aligned}}}$

بما أن هذه العوامل تعتمد فقط على النموذج، وليس على القياسات، فيمكن حسابها خارجياً. تقارب مصفوفات الكسب${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$إلى مصفوفة تقاربية${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$ينطبق ذلك على الشروط المنصوص عليها في قضيتي والراند وديماكيس. ^{[ 40 ]} إذا${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$إذا تقاربت المتسلسلة، فإنها تتقارب أُسّيًا إلى دالة تقاربية.${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$بافتراض وجود ضوضاء غير صفرية في النظام. ^{[ 41 ]} وقد أظهر تحليل حديث أن معدل وطبيعة هذا التقارب يمكن أن يشمل أنماطًا متعددة متساوية، بما في ذلك المكونات التذبذبية، اعتمادًا على البنية الذاتية لمصفوفة جاكوبي لخريطة ريكاتي المذكورة أعلاه المحسوبة عند${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$[ ^{42 ]} بالنسبة لمثال شاحنة النقل الموصوف أعلاه، ^مع${\displaystyle \Delta t=1}$و${\displaystyle \sigma _{a}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}^{2}=\sigma _{\dot {x}}^{2}=1}$تُظهر المحاكاة التقارب في${\displaystyle 10}$التكرارات.

باستخدام الكسب التقاربي، وبافتراض${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$و${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$مستقلة عن${\displaystyle k}$، يصبح مرشح كالمان مرشحًا خطيًا ثابتًا مع الزمن :

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}+\mathbf {K} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} \mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k-1}].}$

المكسب التقاربي${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }}$يمكن حساب ، إن وجدت، عن طريق حل معادلة ريكاتي المنفصلة التالية لتباين الحالة التقاربي أولاً${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }}$[ ^{40 ]​}

${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty }=\mathbf {F} \left(\mathbf {P} _{\infty }-\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}+\mathbf {R} \right)^{-1}\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\right)\mathbf {F} ^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} .}$

ثم يتم حساب الربح التقاربي كما كان من قبل.

${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty }=\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

بالإضافة إلى ذلك، يُعطى شكل من أشكال مرشح كالمان التقاربي الأكثر شيوعًا في نظرية التحكم بواسطة

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }[\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x} }}_{k}],}}$

أين

${\displaystyle {\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }=\mathbf {F} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\right)^{-1}.}$

وهذا يؤدي إلى مُقدِّر على الشكل التالي:

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k+1}=(\mathbf {F} -{\overline {\mathbf {K} }}_{\infty }\mathbf {H} ){\hat {\mathbf {x} }}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty }\mathbf {z} _{k}.}}$

يمكن اشتقاق مرشح كالمان كطريقة المربعات الصغرى المعممة التي تعمل على البيانات السابقة. ^{[ 43 ]}

توفر معادلات ترشيح كالمان تقديرًا للحالة${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$وتغاير الخطأ الخاص به${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$بشكل متكرر. يعتمد التقدير وجودته على معلمات النظام وإحصائيات الضوضاء المُدخلة إلى المُقدِّر. يحلل هذا القسم تأثير عدم اليقين في المدخلات الإحصائية للمرشح. ^{[ 44 ]} في حالة عدم وجود إحصائيات موثوقة أو القيم الحقيقية لمصفوفات تباين الضوضاء${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$و${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$، التعبير

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

لم يعد يوفر التباين الفعلي للخطأ. بعبارة أخرى،${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}\neq E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$في معظم التطبيقات الآنية، تختلف مصفوفات التغاير المستخدمة في تصميم مرشح كالمان عن مصفوفات تغاير الضوضاء الحقيقية. يصف تحليل الحساسية هذا سلوك تغاير خطأ التقدير عندما تكون مصفوفات تغاير الضوضاء، بالإضافة إلى مصفوفات النظام، مختلفة .${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$و${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$تكون المدخلات التي تُغذى إلى المرشح غير صحيحة. وبالتالي، يصف تحليل الحساسية مدى متانة (أو حساسية) المُقدِّر تجاه المدخلات الإحصائية والمعلمية غير المحددة بشكل صحيح.

يقتصر هذا النقاش على تحليل حساسية الخطأ في حالة عدم اليقين الإحصائي. ويُرمز هنا إلى التغايرات الفعلية للضوضاء بـ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$و${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$على التوالي، بينما تكون قيم التصميم المستخدمة في المُقدِّر هي${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$و${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$على التوالي. ويُرمز إلى تباين الخطأ الفعلي بـ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$و${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$يُشار إلى القيمة المحسوبة بواسطة مرشح كالمان باسم متغير ريكاتي. عندما${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}}$و${\displaystyle \mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}}$وهذا يعني أن${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$أثناء حساب تباين الخطأ الفعلي باستخدام${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=E\left[\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}\right)^{\textsf {T}}\right]}$، بدلاً من${\displaystyle {\widehat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$وباستخدام حقيقة أن${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}^{a}}$و${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}^{a}}$ينتج عن ذلك المعادلات التكرارية التالية لـ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ :

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}^{a}}$

و

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)^{\textsf {T}}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}^{a}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}$

أثناء الحوسبة${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$يفترض المرشح ضمنيًا، بحكم تصميمه، أن${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {Q} _{k}}$و${\displaystyle E\left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}}\right]=\mathbf {R} _{k}}$التعبيرات التكرارية لـ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$و${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$متطابقة باستثناء وجود${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$و${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$بدلاً من قيم التصميم${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$و${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$على التوالي. وقد أجريت أبحاث لتحليل متانة نظام مرشح كالمان. ^{[ 45 ]}

إحدى مشكلات مرشح كالمان هي استقراره العددي . فإذا كانت مصفوفة تباين ضوضاء العملية Qk صغيرة _، فإن خطأ التقريب غالبًا ما يتسبب في حساب قيمة ذاتية موجبة صغيرة لمصفوفة تباين الحالة P كقيمة سالبة. وهذا يجعل التمثيل العددي لـ P غير محدد ، بينما شكلها الحقيقي موجب محدد .

تتميز المصفوفات الموجبة المحددة بخاصية إمكانية تحليلها إلى حاصل ضرب مصفوفة غير منفردة ، مثلثية سفلية S ، ومنقولتها :  P =  S · S T. ^يمكن حساب العامل S بكفاءة باستخدام خوارزمية تحليل تشوليسكي . يضمن هذا الشكل الناتج لمصفوفة التغاير P أن يكون متناظرًا، ولكل 1 ≤ k ≤ n، يكون العنصر القطري k في P _kk مساويًا لمربع المعيار الإقليدي للصف k من S ، وهو بالضرورة موجب. أما الشكل المكافئ، الذي يتجنب العديد من عمليات الجذر التربيعي المستخدمة في خوارزمية تحليل تشوليسكي ، مع الحفاظ على الخصائص العددية المرغوبة، فهو شكل تحليل UD، P = U · D · U ^T ، حيث U مصفوفة مثلثية وحدوية (قطرها يساوي واحدًا)، و D مصفوفة قطرية .   

يستخدم تحليل UD نفس مقدار التخزين تقريبًا، ولكنه يتطلب حسابًا أقل، وهو الأكثر شيوعًا بين طرق تحليل المثلثات. (كانت الدراسات المبكرة حول الكفاءة النسبية مضللة إلى حد ما، إذ افترضت أن حساب الجذور التربيعية يستغرق وقتًا أطول بكثير من القسمة، ^{[ 46 ] : 69} بينما في أجهزة الكمبيوتر الحديثة، لا يزيد الوقت اللازم إلا قليلًا).

قام كل من جي جي بيرمان وسي إل ثورنتون بتطوير خوارزميات فعالة لخطوات التنبؤ والتحديث باستخدام خوارزمية كالمان في شكلها المُعامل. ^{[ 46 ] [ 47 ]}

يُعدّ تحليل L · D · LT لمصفوفة ^{التغاير} الابتكاري S _k أساسًا لنوع آخر من مرشحات الجذر التربيعي الفعّالة عدديًا والمتينة. ^{[ 48 ]} تبدأ الخوارزمية بتحليل LU كما هو مُطبّق في حزمة الجبر الخطي ( LAPACK ⁾ . تُحلّل هذه النتائج لاحقًا إلى بنية L · D · LT باستخدام الطرق التي قدّمها غولوب وفان لون (الخوارزمية 4.1.2) لمصفوفة متناظرة غير منفردة. ^{[ 49 ]} تُحوّل أي مصفوفة تغاير منفردة بحيث يكون القسم القطري الأول غير منفرد وجيد التكييف . يجب أن تحتفظ خوارزمية التحويل بأي جزء من مصفوفة التغاير الابتكاري الذي يُقابل مباشرةً متغيرات الحالة المرصودة H _k · x _k|k-1 المرتبطة بالملاحظات المساعدة في y _k . يتطلب مرشح الجذر التربيعي ^l · d · lt تعامد متجه الملاحظة. ^{[ 47 ] [ 48 ]} يمكن القيام بذلك باستخدام الجذر التربيعي العكسي لمصفوفة التغاير للمتغيرات المساعدة باستخدام الطريقة 2 في هايام (2002، ص 263). ^{[ 50 ]} 

يُعدّ مرشح كالمان فعالاً لمعالجة البيانات المتسلسلة على وحدات المعالجة المركزية (CPU)، ولكنه في شكله الأصلي غير فعال على البنى المتوازية مثل وحدات معالجة الرسومات (GPU). ومع ذلك، من الممكن التعبير عن روتين تحديث المرشح باستخدام عامل تجميعي وفقًا للصيغة الواردة في Särkka و García-Fernández (2021). ^{[ 51 ]} ويمكن بعد ذلك استرجاع حل المرشح باستخدام خوارزمية مجموع البادئات ، والتي يمكن تنفيذها بكفاءة على وحدة معالجة الرسومات. ^{[ 52 ]} وهذا يقلل من التعقيد الحسابي الناتج عن${\displaystyle O(N)}$في عدد الخطوات الزمنية إلى${\displaystyle O(\log(N))}$.

يمكن اعتبار مرشح كالمان أحد أبسط الشبكات البايزية الديناميكية . يحسب مرشح كالمان تقديرات للقيم الحقيقية للحالات بشكل متكرر مع مرور الوقت باستخدام القياسات الواردة ونموذج رياضي للعملية. وبالمثل، يحسب التقدير البايزي المتكرر تقديرات لدالة كثافة احتمالية غير معروفة بشكل متكرر مع مرور الوقت باستخدام القياسات الواردة ونموذج رياضي للعملية. ^{[ 53 ]}

في التقدير البايزي المتكرر، يُفترض أن الحالة الحقيقية هي عملية ماركوف غير ملحوظة ، والقياسات هي الحالات الملحوظة لنموذج ماركوف المخفي (HMM).

بسبب فرضية ماركوف ، فإن الحالة الحقيقية مستقلة شرطياً عن جميع الحالات السابقة بالنظر إلى الحالة السابقة مباشرة.

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k-1})=p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})}$

وبالمثل، فإن القياس في الخطوة الزمنية k يعتمد فقط على الحالة الحالية وهو مستقل شرطيًا عن جميع الحالات الأخرى بالنظر إلى الحالة الحالية.

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k})=p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

باستخدام هذه الافتراضات، يمكن كتابة توزيع الاحتمالات على جميع حالات نموذج ماركوف المخفي ببساطة على النحو التالي:

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0},\dots ,\mathbf {x} _{k},\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{k}\right)=p\left(\mathbf {x} _{0}\right)\prod _{i=1}^{k}p\left(\mathbf {z} _{i}\mid \mathbf {x} _{i}\right)p\left(\mathbf {x} _{i}\mid \mathbf {x} _{i-1}\right)}$

مع ذلك، عند استخدام مرشح كالمان لتقدير الحالة x ، فإن التوزيع الاحتمالي المطلوب هو ذلك المرتبط بالحالات الحالية بناءً على القياسات حتى الخطوة الزمنية الحالية. ويتحقق ذلك باستبعاد الحالات السابقة وقسمة الناتج على احتمال مجموعة القياسات.

ينتج عن ذلك كتابة مرحلتي التنبؤ والتحديث لمرشح كالمان احتماليًا. ويُحسب التوزيع الاحتمالي المرتبط بالحالة المتوقعة كمجموع (تكامل) حاصل ضرب التوزيع الاحتمالي المرتبط بالانتقال من الخطوة الزمنية ( k - 1) إلى الخطوة الزمنية k ، والتوزيع الاحتمالي المرتبط بالحالة السابقة، وذلك على جميع الاحتمالات الممكنة.  ${\displaystyle x_{k-1}}$.

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k-1}}$

إعداد القياس حتى الزمن t هو

${\displaystyle \mathbf {Z} _{t}=\left\{\mathbf {z} _{1},\dots ,\mathbf {z} _{t}\right\}}$

إن التوزيع الاحتمالي للتحديث يتناسب مع حاصل ضرب احتمالية القياس والحالة المتوقعة.

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k}\right)={\frac {p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}{p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}}}$

المقام

${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k}}$

هو مصطلح توحيد.

دوال كثافة الاحتمال المتبقية هي

${\displaystyle {\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k-1},\mathbf {P} _{k-1}\right)\end{aligned}}}$

يُفترض استقرائيًا أن دالة كثافة الاحتمال في الخطوة الزمنية السابقة هي الحالة المقدرة والتباين المشترك. وهذا مُبرر لأن مرشح كالمان، باعتباره مُقدِّرًا أمثل، يستفيد على أفضل وجه من القياسات، وبالتالي فإن دالة كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ بالنظر إلى القياسات${\displaystyle \mathbf {Z} _{k}}$هذا هو تقدير مرشح كالمان.

فيما يتعلق بالتفسير البايزي التكراري الموصوف أعلاه، يمكن اعتبار مرشح كالمان نموذجًا توليديًا ، أي عملية لتوليد سلسلة من الملاحظات العشوائية z = ( z₀ , z₁ _, z₂ _{, ...). وبالتحديد، فإن} هذه العملية هي

1. قم بأخذ عينة من حالة مخفية${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$من التوزيع المسبق الغاوسي${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0},\mathbf {P} _{0\mid 0}\right)}$.
2. عينة من الملاحظة${\displaystyle \mathbf {z} _{0}}$من نموذج الملاحظة${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R} _{0}\right)}$.
3. ل${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$، يفعل
   1. قم بمعاينة الحالة المخفية التالية${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$من نموذج الانتقال${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k}\right).}$
   2. عينة من الملاحظة${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$من نموذج الملاحظة${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right).}$

تتمتع هذه العملية ببنية مماثلة لنموذج ماركوف المخفي ، باستثناء أنه يتم استبدال الحالة المنفصلة والملاحظات بمتغيرات مستمرة مأخوذة من التوزيعات الغاوسية.

في بعض التطبيقات، من المفيد حساب احتمالية أن يُولّد مرشح كالمان، بمجموعة معينة من المعاملات (التوزيع الاحتمالي المسبق، ونماذج الانتقال والملاحظة، ومدخلات التحكم)، إشارة مُلاحظة مُحددة. تُعرف هذه الاحتمالية بالاحتمالية الحدية لأنها تُكامل على قيم متغيرات الحالة الخفية ("تُهمّش")، لذا يُمكن حسابها باستخدام الإشارة المُلاحظة فقط. يُمكن أن تكون الاحتمالية الحدية مفيدة لتقييم خيارات المعاملات المختلفة، أو لمقارنة مرشح كالمان بنماذج أخرى باستخدام مقارنة النماذج البايزية .

من السهل حساب الاحتمالية الحدية كنتيجة ثانوية لحساب الترشيح التكراري. وباستخدام قاعدة السلسلة ، يمكن تحليل الاحتمالية كحاصل ضرب احتمالية كل مشاهدة بالنظر إلى المشاهدات السابقة.

${\displaystyle p(\mathbf {z} )=\prod _{k=0}^{T}p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)}$،

ولأن مرشح كالمان يصف عملية ماركوف، فإن جميع المعلومات ذات الصلة من الملاحظات السابقة موجودة في تقدير الحالة الحالية${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}.}$وبالتالي، فإن الاحتمالية الحدية تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {z} )&=\prod _{k=0}^{T}\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right){\mathcal {N}}\left(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\right)\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}\right),\end{aligned}}}$

أي، ناتج كثافات غاوسية، كل منها يتوافق مع كثافة مشاهدة واحدة z _k في ظل توزيع الترشيح الحالي${\displaystyle \mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}}$يمكن حساب ذلك بسهولة كتحديث تكراري بسيط؛ ومع ذلك، لتجنب حدوث نقص في البيانات العددية ، يُفضل عادةً في التطبيق العملي حساب دالة الاحتمالية الحدية اللوغاريتمية .${\displaystyle \ell =\log p(\mathbf {z} )}$بدلاً من ذلك. اعتماد الاتفاقية${\displaystyle \ell ^{(-1)}=0}$ويمكن القيام بذلك عبر قاعدة التحديث المتكرر

${\displaystyle \ell ^{(k)}=\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}+\log \left|\mathbf {S} _{k}\right|+d_{y}\log 2\pi \right),}$

أين${\displaystyle d_{y}}$يمثل بُعد متجه القياس. ^{[ 54 ]}

يُعدّ تتبّع الأهداف المتعددة تطبيقًا هامًا يُستخدم فيه احتمال (لوغاريتمي) الملاحظات (بمعلومية معلمات المرشح). على سبيل المثال، لنفترض سيناريو تتبّع جسم ما، حيث يكون المدخل عبارة عن سلسلة من الملاحظات، ولكن عدد الأجسام في المشهد غير معروف (أو معروف ولكنه أكبر من واحد). في مثل هذا السيناريو، قد يكون من غير المعروف مسبقًا أيّ الملاحظات/القياسات صادرة عن أيّ جسم. عادةً ما يُنشئ مُتتبّع الفرضيات المتعددة (MHT) فرضيات مختلفة لارتباط المسار، حيث يمكن اعتبار كل فرضية بمثابة مرشح كالمان (في حالة التوزيع الغاوسي الخطي) مع مجموعة محددة من المعلمات المرتبطة بالجسم المفترض. لذا، من المهم حساب احتمال الملاحظات للفرضيات المختلفة قيد الدراسة، بحيث يمكن إيجاد الفرضية الأكثر احتمالًا.

في الحالات التي يكون فيها بُعد متجه الملاحظة y أكبر من بُعد متجه فضاء الحالة x ، يمكن لمرشح المعلومات تجنب عكس مصفوفة أكبر في حساب كسب كالمان، وذلك على حساب عكس مصفوفة أصغر في خطوة التنبؤ، مما يوفر وقت الحساب. بالإضافة إلى ذلك، يسمح مرشح المعلومات بتهيئة معلومات النظام وفقًا لـ${\displaystyle {I_{1|0}=P_{1|0}^{-1}=0}}$وهو أمر غير ممكن في مرشح كالمان العادي. ^{[ 55 ]} في مرشح المعلومات، أو مرشح التغاير العكسي، يُستبدل التغاير المُقدَّر والحالة المُقدَّرة بمصفوفة المعلومات ومتجه المعلومات على التوالي. ويُعرَّفان كما يلي: