المجموعة الفضائية

في الرياضيات والفيزياء والكيمياء ، تُعرف المجموعة الفراغية بأنها مجموعة التناظر لنمط متكرر في الفضاء، عادةً في ثلاثة أبعاد . ^[¹^] عناصر المجموعة الفراغية ( عمليات التناظر الخاصة بها ) هي التحويلات الجامدة للنمط التي تُبقيه دون تغيير. يُستخدم هذا المصطلح عادةً للإشارة إلى المجموعات التي تتكرر في الأبعاد الثلاثة، ولكن مجموعات الخطوط ومجموعات ورق الجدران تنطبق أيضًا، أو يمكن أن تنطبق، على الترتيبات ثلاثية الأبعاد. تُصنف المجموعات الفراغية المتكررة في الأبعاد الثلاثة إلى 219 نوعًا متميزًا، أو 230 نوعًا إذا اعتُبرت النسخ الكيرالية متميزة. المجموعات الفراغية هي مجموعات منفصلة متراصة من التماثلات في فضاء إقليدي موجه في أي عدد من الأبعاد. في الأبعاد الأخرى غير 3، تُسمى أحيانًا مجموعات بيبرباخ .

في علم البلورات ، تُسمى المجموعات الفراغية أيضاً بالمجموعات البلورية أو مجموعات فيدوروف ، وهي تمثل وصفاً لتناظر البلورة . وتتوفر مصادر كبيرة لهذه المعلومات. ^{[ 2 ]}

تاريخ

تُعدّ المجموعات الفراغية ثنائية الأبعاد مجموعات ورق الحائط السبعة عشر المعروفة منذ عدة قرون، على الرغم من أن الدليل على اكتمال القائمة لم يُقدّم إلا في عام 1891، بعد أن تم الانتهاء إلى حد كبير من تصنيف المجموعات الفراغية الأكثر صعوبة. ^{[ 3 ]}

في عام 1879، أدرج عالم الرياضيات الألماني ليونارد سونكه 65 مجموعة فراغية (تُسمى مجموعات سونكه) تحافظ عناصرها على خاصية الكيرالية . ^{[ 4 ]} وبشكل أدق، أدرج 66 مجموعة، لكن لاحظ كل من عالم الرياضيات وعالم البلورات الروسي إيفغراف فيدوروف وعالم الرياضيات الألماني آرثر موريتز شونفليس أن اثنتين منها متطابقتان. أُدرجت المجموعات الفراغية في ثلاثة أبعاد لأول مرة عام 1891 على يد فيدوروف (الذي احتوت قائمته على حذف مجموعتين (I 4 3d وFdd2) وتكرار مجموعة واحدة (Fmm2))، وبعد ذلك بوقت قصير في عام 1891، أدرجها شونفليس بشكل مستقل (الذي احتوت قائمته على حذف أربع مجموعات (I 4 3d، Pc، Cc، ؟) وتكرار مجموعة واحدة (P 4 2 ₁ m)). ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} تم التوصل إلى القائمة الصحيحة التي تضم 230 مجموعة فضائية بحلول عام 1892 خلال مراسلات بين فيدوروف وشونفليس. ^{[ 7 ]} قام ويليام بارلو لاحقًا بحصر المجموعات باستخدام طريقة مختلفة، لكنه أغفل أربع مجموعات (Fdd2، I 4 2d، P 4 2 ₁ d، وP 4 2 ₁ c). ^{[ 8 ]} كُتب وصفٌ مفصل لتاريخ اكتشاف المجموعات الفضائية. ^{[ 9 ]}

عناصر

تتكون المجموعات الفراغية في ثلاثة أبعاد من تركيبات من المجموعات النقطية البلورية الـ 32 مع شبكات برافي الـ 14 ، حيث تنتمي كل شبكة من هذه الشبكات إلى أحد أنظمة الشبكات السبعة. وهذا يعني أن تأثير أي عنصر من مجموعة فراغية معينة يمكن التعبير عنه كتأثير عنصر من المجموعة النقطية المناسبة ، متبوعًا اختياريًا بعملية إزاحة. وبالتالي، فإن المجموعة الفراغية هي مزيج من التناظر الإزاحي للخلية الأولية (بما في ذلك تمركز الشبكة )، وعمليات تناظر المجموعة النقطية المتمثلة في الانعكاس والدوران والدوران غير الصحيح (المعروف أيضًا باسم الدوران العكسي)، وعمليات تناظر محور اللولب ومستوى الانزلاق . ينتج عن الجمع بين جميع عمليات التناظر هذه ما مجموعه 230 مجموعة فراغية مختلفة تصف جميع تناظرات البلورات الممكنة.

عدد النسخ المتكررة للوحدة غير المتناظرة في خلية الوحدة يساوي عدد نقاط الشبكة في الخلية مضروبًا في رتبة المجموعة النقطية. ويتراوح هذا العدد من 1 في حالة المجموعة الفراغية P1 إلى 192 لمجموعة فراغية مثل Fm3m ، وهي بنية كلوريد الصوديوم (NaCl) .

عناصر تثبيت نقطة

عناصر المجموعة الفضائية التي تثبت نقطة في الفضاء هي عنصر الوحدة، والانعكاسات، والدورانات، والدورانات غير الصحيحة ، بما في ذلك نقاط الانعكاس .

الترجمات

تُشكّل الإزاحات زمرةً أبيليةً عاديةً من الرتبة 3، تُسمى شبكة برافي (نسبةً إلى الفيزيائي الفرنسي أوغست برافي ). يوجد 14 نوعًا ممكنًا من شبكة برافي. خارج قسمة الزمرة الفضائية على شبكة برافي هو زمرة منتهية، وهي إحدى الزمر النقطية الـ 32 الممكنة .

طائرات انزلاقية

مستوى الانزلاق هو انعكاس في مستوى، يتبعه انتقال موازٍ لهذا المستوى. ويُرمز إليه بالرموز $a$ أو $b$ أو $c$ ، حسب المحور الذي يقع عليه الانزلاق. يوجد أيضًا الانزلاق $n$ ، وهو انزلاق على طول نصف قطر أحد أوجه الخلية، والانزلاق $d$ ، وهو انزلاق على طول ربع المسافة على طول أحد أوجه الخلية أو قطرها الفراغي. يُسمى الأخير مستوى انزلاق المعين لأنه يظهر في بنية المعين . في 17 مجموعة فراغية، وبسبب تمركز الخلية، تحدث الانزلاقات في اتجاهين متعامدين في آنٍ واحد، أي يمكن تسمية مستوى الانزلاق نفسه $b$ أو $c$ ، أو $a$ أو $b$ ، $أو a$ أو $c$ . على سبيل المثال، يمكن تسمية المجموعة Abm2 أيضًا Acm2، ويمكن تسمية المجموعة Ccca أيضًا Cccb. في عام 1992، اقتُرح استخدام الرمز $e$ لمثل هذه المستويات. تم تعديل رموز خمس مجموعات فراغية.

رقم المجموعة الفضائية	39	41	64	67	68
رمز جديد	Aem2	Aea2	Cmce	تعال	Ccce
الرموز القديمة	ABM2	أبا2	سي إم سي إيه	فاصلة	Ccca

محاور لولبية

محور الدوران هو دوران حول محور، يتبعه انتقال على طول اتجاه هذا المحور. يُشار إلى هذه الحركات برقم $n$ ، يصف درجة الدوران، حيث يمثل هذا الرقم عدد العمليات اللازمة لإتمام دورة كاملة (على سبيل المثال، 3 تعني دورانًا بمقدار ثلث المسافة حول المحور في كل مرة). تُضاف درجة الانتقال كدليل سفلي يوضح مدى بُعد الانتقال على طول المحور، كجزء من متجه الشبكة الموازي. لذا، فإن 2 1_هو دوران مزدوج يتبعه انتقال بمقدار 1/2 من متجه الشبكة .

الصيغة العامة

الصيغة العامة لتأثير عنصر من عناصر المجموعة الفراغية هي

ص = م \times س + د

حيث $M$ هي مصفوفة الشبكة، $وD$ هو متجهها، وحيث يحوّل العنصر النقطة $x$ إلى النقطة $y$ . بشكل عام، $D = D (الشبكة) + D (M)$ ، حيث $D (M)$ دالة فريدة لـ $M$ تساوي صفرًا عندما تكون $M$ هي مصفوفة الوحدة. تُشكّل المصفوفات $M$ زمرة نقطية تُعدّ أساسًا للزمرة الفراغية؛ يجب أن تكون الشبكة متناظرة تحت تأثير هذه الزمرة النقطية، ولكن قد لا يكون التركيب البلوري نفسه متناظرًا تحت تأثير هذه الزمرة النقطية عند تطبيقها على أي نقطة معينة (أي بدون إزاحة). على سبيل المثال، لا يحتوي التركيب المكعب للماس على أي نقطة تنطبق عليها الزمرة النقطية المكعبة .

يمكن أن يكون بُعد الشبكة أقل من البُعد الكلي، مما ينتج عنه مجموعة فراغية "شبه دورية". بالنسبة لـ (البُعد الكلي، بُعد الشبكة):

(1,1): مجموعات خطية أحادية البعد
(2,1): مجموعات الخطوط ثنائية الأبعاد : مجموعات الإفريز
(2,2): مجموعات ورق الحائط
(3,1): مجموعات خطية ثلاثية الأبعاد ؛ مع مجموعات النقاط البلورية ثلاثية الأبعاد، مجموعات القضبان
(3,2): مجموعات الطبقات
(3,3): المجموعات الفضائية التي تمت مناقشتها في هذه المقالة

الكيرالية

تُنتج مجموعات الفضاء "سونكه" الـ 65، التي لا تحتوي على أي مرايا أو نقاط انعكاس أو دورانات غير صحيحة أو مستويات انزلاق، بلورات كيرالية ، أي أنها لا تُطابق صورتها المرآوية؛ بينما تُنتج مجموعات الفضاء التي تحتوي على واحد على الأقل من هذه العناصر بلورات غير كيرالية. تُشكّل الجزيئات غير الكيرالية أحيانًا بلورات كيرالية، لكن الجزيئات الكيرالية تُشكّل دائمًا بلورات كيرالية، في إحدى مجموعات الفضاء التي تسمح بذلك.

من بين مجموعات سونكه الـ 65، هناك 22 مجموعة تأتي في 11 زوجًا متماثلًا .

التوليفات

لا يمكن أن توجد في الزمرة الفراغية إلا تركيبات محددة من عناصر التناظر. توجد عمليات الإزاحة دائمًا، والزمرة الفراغية P1 لا تحتوي إلا على عمليات الإزاحة وعنصر الوحدة. وجود المرايا يستلزم وجود مستويات انزلاق، ووجود محاور دوران يستلزم وجود محاور لولبية، ولكن العكس غير صحيح. وجود انعكاس ومرآة يستلزم وجود محاور لولبية ثنائية، وهكذا.

الترميز

توجد عشر طرق على الأقل لتسمية المجموعات الفضائية. بعض هذه الطرق يمكن أن تُعطي عدة أسماء مختلفة لنفس المجموعة الفضائية، لذا يوجد إجمالاً آلاف الأسماء المختلفة.

رقم

ينشر الاتحاد الدولي لعلم البلورات جداول لجميع أنواع المجموعات الفراغية، ويخصص لكل منها رقمًا فريدًا من 1 إلى 230. الترقيم اعتباطي، باستثناء المجموعات التي لها نفس النظام البلوري أو المجموعة النقطية التي يتم إعطاؤها أرقامًا متتالية.

تدوين الرموز الدولية

تدوين هيرمان-ماوجين

يصف ترميز هيرمان-ماوجين (أو الترميز الدولي) الشبكة وبعض مولدات المجموعة. وله شكل مختصر يُسمى الرمز الدولي المختصر ، وهو الأكثر شيوعًا في علم البلورات، ويتكون عادةً من أربعة رموز. يصف الرمز الأول تمركز شبكة برافي ( P ، A ، C ، I ، R، أو F ). أما الرموز الثلاثة التالية فتصف عملية التناظر الأبرز التي تظهر عند إسقاطها على طول أحد اتجاهات التناظر العالي للبلورة. هذه الرموز هي نفسها المستخدمة في مجموعات النقاط ، مع إضافة مستويات الانزلاق ومحور الدوران اللولبي، كما هو موضح سابقًا. على سبيل المثال، المجموعة الفراغية للكوارتز هي P3 ₁ 21، مما يدل على أنها تُظهر تمركزًا بدائيًا للوحدة البنائية (أي مرة واحدة لكل وحدة خلية)، مع محور دوران لولبي ثلاثي ومحور دوران ثنائي. لاحظ أنه لا يحتوي صراحة على النظام البلوري ، على الرغم من أن هذا فريد لكل مجموعة فراغية (في حالة P 3 ₁ 21، يكون ثلاثيًا).

في الرمز المختصر الدولي، يرمز الرمز الأول (3 ₁ في هذا المثال) إلى التناظر حول المحور الرئيسي (المحور c في الحالات الثلاثية)، ويرمز الرمز الثاني (2 في هذه الحالة) إلى التناظر حول محاور ثانوية (a وb)، ويرمز الرمز الثالث إلى التناظر في اتجاه آخر. في الحالة الثلاثية، توجد أيضًا زمرة فراغية P3 ₁ 12. في هذه الزمرة الفراغية، لا تقع محاور التناظر الثنائي على المحورين a وb، بل في اتجاه مُدار بزاوية 30 درجة.

تم تغيير الرموز الدولية والرموز الدولية المختصرة لبعض المجموعات الفضائية بشكل طفيف بين عامي 1935 و 2002، لذلك فإن العديد من المجموعات الفضائية لديها 4 رموز دولية مختلفة قيد الاستخدام.

يتم عرض اتجاهات الرؤية لأنظمة البلورات السبعة على النحو التالي.

موضع الرمز	عيادة ثلاثية الانحناء	عيادة أحادية	معيني قائم	رباعي الزوايا	ثلاثي الزوايا	سداسي	مكعب
1	—	ب	أ	ج	ج	ج	أ
2	—		ب	أ	أ	أ	[111]
3	—		ج	[110]	[210]	[210]	[110]

تدوين هول

ترميز الزمرة الفراغية مع أصل واضح. يتم فصل رموز الدوران والانتقال واتجاه المحور بوضوح، كما يتم تحديد مراكز الانعكاس بشكل صريح. إن بنية الترميز وتنسيقه يجعلان منه مناسبًا بشكل خاص لتوليد معلومات التناظر بواسطة الحاسوب. على سبيل المثال، تحتوي الزمرة رقم 3 على ثلاثة رموز هول: P 2y (P 1 2 1)، P 2 (P 1 1 2)، P 2x (P 2 1 1). ^{[ 10 ]}

تدوين شونفليس

تُرقّم المجموعات الفراغية ذات المجموعة النقطية المحددة بالأرقام من 1 إلى 5 (بنفس ترتيب رقمها الدولي)، ويُضاف هذا الرقم كرمز علوي لرمز شونفليس للمجموعة النقطية. على سبيل المثال، المجموعات من 3 _إلى⁵ التي مجموعتها النقطية C2 لها _رموز شونفليس _C12و ^C22^و_C32 .

تدوين فيدوروف

رمز شوبنيكوف

تسمية التقرير الهيكلي

رمز ذو صلة بالهياكل البلورية يُعطى بحرف وفهرس:

رمز	معنى
أ	العناصر (أحادية الذرة)
ب	مركبات AB.
ج	مركبات AB _{2 .}
د	مركبات A _m B _n .
هـ	مركبات أكثر تعقيداً.
F
...
ك
ل	السبائك
يا	المركبات العضوية
S	السيليكات

تشترك بعض تسميات البنية في نفس المجموعات الفراغية. على سبيل المثال، المجموعة الفراغية 225 هي A1 _و B1 _و C1 _. والمجموعة الفراغية 221 هي Ah _و B2 _. [ ^{11 ] ومع} ذلك، لا يستخدم علماء البلورات ترميز Strukturbericht لوصف المجموعة الفراغية، بل يُستخدم لوصف بنية بلورية محددة (مثل المجموعة الفراغية + الترتيب الذري (النمط)).

تدوين الأوربيفولد (ثنائي الأبعاد)

تدوين الألياف المفردة (ثلاثي الأبعاد)

يصف هذا المصطلح الفضاء المداري ، الذي يُعرَّف بأنه حاصل قسمة الفضاء الإقليدي على زمرة الفضاء، وليس مولدات زمرة الفضاء. وقد قدّمه كونواي وثورستون ، ولا يُستخدم كثيرًا خارج نطاق الرياضيات. بعض زمر الفضاء لها عدة فضاءات ليفية مختلفة مرتبطة بها، وبالتالي لها رموز ليفية مختلفة.

تدوين كوكسيتر

مجموعات التناظر المكاني والنقطي، ممثلة كتعديلات على مجموعات كوكسيتر الانعكاسية البحتة .

الترميز الهندسي

تدوين الجبر الهندسي . ^{[ 12 ]}

أنظمة التصنيف

توجد (على الأقل) عشر طرق مختلفة لتصنيف المجموعات الفراغية إلى فئات. يوضح الجدول التالي العلاقات بين بعض هذه الطرق. كل نظام تصنيف هو تحسين للأنظمة التي تليه. لفهم أي شرح هنا، قد يكون من الضروري فهم الشرح الذي يليه.

أنواع المجموعات الفراغية (البلورية) (230 في ثلاثة أبعاد)
تُعتبر مجموعتان فضائيتان، كمجموعتين فرعيتين من مجموعة التحويلات الأفينية للفضاء، من نفس نوع المجموعة الفضائية إذا كانتا متطابقتين حتى تحويل أفيني للفضاء يحافظ على التوجيه . على سبيل المثال، لا يؤثر تغيير الزاوية بين متجهات الإزاحة على نوع المجموعة الفضائية إذا لم يُضف أو يُزيل أي تناظر. يتضمن تعريف أكثر دقة مفهوم الاقتران (انظر مجموعة التناظر ). في ثلاثة أبعاد، بالنسبة لـ 11 مجموعة من المجموعات الفضائية الأفينية، لا يوجد تحويل يحافظ على الكيرالية (أي يحافظ على التوجيه) من المجموعة إلى صورتها المرآوية، لذلك إذا ميزنا المجموعات عن صورها المرآوية، فإن كل مجموعة تنقسم إلى حالتين (مثل P4 ₁ وP4 ₃ ). لذا، بدلاً من 54 مجموعة فضائية أفينية تحافظ على الكيرالية، يوجد $54 + 11 = 65$ نوعًا من المجموعات الفضائية التي تحافظ على الكيرالية ( مجموعات سونكه ). بالنسبة لمعظم البلورات الكيرالية، ينتمي الشكلان المتماثلان إلى نفس المجموعة الفراغية البلورية، مثل P2 ₁ 3 لـ FeSi ، ولكن بعضها الآخر، مثل الكوارتز، ينتمي إلى مجموعتين فراغيتين متماثلتين. ^{[ 13 ]}
أنواع مجموعات الفضاء الأفيني (219 في ثلاثة أبعاد)
تتشابه مجموعتان فضائيتان، تُعتبران مجموعتين فرعيتين من مجموعة التحويلات الأفينية للفضاء، في نوع المجموعة الفضائية الأفينية إذا كانتا متطابقتين حتى تحويل أفيني، حتى لو عكس هذا التحويل اتجاههما. ويُحدد نوع المجموعة الفضائية الأفينية بواسطة المجموعة المجردة الأساسية للمجموعة الفضائية. في ثلاثة أبعاد، تحافظ 54 نوعًا من أنواع المجموعات الفضائية الأفينية على الكيرالية وتُنتج بلورات كيرالية. ويشترك المتماثلان المرآويان لبلورة كيرالية في نفس المجموعة الفضائية الأفينية.
فئات البلورات الحسابية (73 فئة في ثلاثة أبعاد)
تُسمى أحيانًا فئات Z. تُحدد هذه الفئات بواسطة مجموعة النقاط بالإضافة إلى تأثير مجموعة النقاط على المجموعة الفرعية للإزاحات. بعبارة أخرى، تتوافق فئات البلورات الحسابية مع فئات الترافق لمجموعة فرعية منتهية من المجموعة الخطية العامة GL _n ( Z ) على الأعداد الصحيحة. تُسمى المجموعة الفراغية متماثلة (أو منقسمة ) إذا وُجدت نقطة بحيث تكون جميع التناظرات ناتجة عن تناظر يُثبت هذه النقطة وإزاحة. وبالمثل، تكون المجموعة الفراغية متماثلة إذا كانت ناتجًا شبه مباشر لمجموعة نقاطها مع مجموعة الإزاحات الفرعية الخاصة بها. يوجد 73 مجموعة فراغية متماثلة، واحدة فقط في كل فئة من فئات البلورات الحسابية. كما يوجد 157 نوعًا من المجموعات الفراغية غير المتماثلة بأعداد متفاوتة في فئات البلورات الحسابية. يمكن تفسير فئات البلورات الحسابية على أنها اتجاهات مختلفة للمجموعات النقطية في الشبكة، حيث تكون معاملات مصفوفة عناصر المجموعة صحيحة في فضاء الشبكة. يسهل تصور ذلك في حالة المجموعة ثنائية الأبعاد، كما في حالة مجموعة ورق الجدران . بعض المجموعات النقطية لها انعكاسات، ويمكن أن تكون خطوط الانعكاس على امتداد اتجاهات الشبكة، أو في منتصف المسافة بينها، أو كليهما. لا شيء: C ₁ : p1؛ C ₂ : p2؛ C ₃ : p3؛ C ₄ : p4؛ C ₆ : p6 على طول: D ₁ : pm, pg; D ₂ : pmm, pmg, pgg; D ₃ : p31m بين: D ₁ : سم؛ D ₂ : سم؛ D ₃ : ب3 م1 كلاهما: D ₄ : p4m, p4g; D ₆ : p6m
(هندسي) فئات البلورات (32 في ثلاثة أبعاد)	قطعان برافي (14 في ثلاثة أبعاد)
تُسمى أحيانًا فئات Q. تُحدد فئة البلورة لمجموعة فراغية من خلال مجموعتها النقطية: وهي ناتج قسمة المجموعة النقطية على المجموعة الفرعية للإزاحات، المؤثرة على الشبكة. تنتمي مجموعتان فراغيتان إلى نفس فئة البلورة إذا وفقط إذا كانت مجموعاتهما النقطية، وهي مجموعات فرعية من GL _n ( Z )، مترافقة في المجموعة الأكبر GL _n ( Q ).	يتم تحديد هذه العوامل من خلال نوع شبكة برافي الأساسية. تتوافق هذه مع فئات الترافق لمجموعات نقاط الشبكة في GL _n ( Z )، حيث تكون مجموعة نقاط الشبكة هي مجموعة التناظرات للشبكة الأساسية التي تثبت نقطة من الشبكة، وتحتوي على مجموعة النقاط.
الأنظمة البلورية (7 في ثلاثة أبعاد)	أنظمة الشبكة (7 في ثلاثة أبعاد)
تُعدّ الأنظمة البلورية تعديلاً خاصاً لأنظمة الشبكة البلورية لجعلها متوافقة مع التصنيف وفقاً للمجموعات النقطية. وهي تختلف عن عائلات البلورات في أن عائلة البلورات السداسية تُقسّم إلى مجموعتين فرعيتين، تُسميان النظام البلوري الثلاثي والنظام البلوري السداسي. النظام البلوري الثلاثي أكبر من النظام الشبكي المعيني، والنظام البلوري السداسي أصغر منه، أما باقي الأنظمة البلورية والشبكية فهي متطابقة.	يُحدد نظام الشبكة لمجموعة فراغية بواسطة فئة الاقتران لمجموعة نقاط الشبكة (وهي مجموعة فرعية من GL _n ( Z )) في المجموعة الأكبر GL _n ( Q ). في ثلاثة أبعاد، يمكن أن يكون لمجموعة نقاط الشبكة إحدى الرتب السبع المختلفة: 2، 4، 8، 12، 16، 24، أو 48. تُقسم عائلة البلورات السداسية إلى مجموعتين فرعيتين، تُسميان نظامي الشبكة المعينية والسداسية.
عائلات البلورات (6 في ثلاثة أبعاد)
لا تُحدد المجموعة النقطية لمجموعة فراغية نظامها الشبكي بشكل كامل، إذ قد توجد مجموعتان فراغيتان لهما نفس المجموعة النقطية في نظامين شبكيين مختلفين. تتشكل عائلات البلورات من أنظمة شبكية عن طريق دمج النظامين عند حدوث ذلك، بحيث تُحدد عائلة البلورات لمجموعة فراغية إما بنظامها الشبكي أو بمجموعتها النقطية. في ثلاثة أبعاد، العائلتان الشبكيتان الوحيدتان اللتان تُدمجان بهذه الطريقة هما النظامان السداسي والمعيني، واللذان يُشكلان عائلة البلورات السداسية. تُسمى عائلات البلورات الست في ثلاثة أبعاد: ثلاثية الميل، أحادية الميل، معينية قائمة، رباعية، سداسية، ومكعبة. تُستخدم عائلات البلورات بشكل شائع في الكتب المبسطة عن البلورات، حيث تُسمى أحيانًا أنظمة بلورية.

يُطلق على تصنيف آخر للمجموعات الفضائية اسم ترميز الألياف ، وذلك وفقًا لبنية الألياف على الفضاء المداري المقابل . تُقسّم المجموعات الفضائية الأفينية البالغ عددها 219 مجموعة إلى مجموعات قابلة للاختزال ومجموعات غير قابلة للاختزال. تنقسم المجموعات القابلة للاختزال إلى 17 فئة تُقابل مجموعات ورق الجدران الـ 17 ، أما المجموعات غير القابلة للاختزال الـ 35 المتبقية فهي تُشابه المجموعات المكعبة وتُصنّف بشكل منفصل. ^{[ 14 ]}

في أبعاد أخرى

نظريات بيبرباخ

في فضاء $ذي n$ بُعد، تُعرف زمرة الفضاء الأفيني، أو زمرة بيبرباخ ، بأنها زمرة فرعية منفصلة من التماثلات في فضاء إقليدي $ذي n$ بُعد، ولها مجال أساسي مضغوط. أثبت بيبرباخ أن الزمرة الفرعية للإزاحات لأي زمرة من هذا النوع تحتوي على $n$ إزاحة مستقلة خطيًا، وهي زمرة أبيلية حرة ذات دليل منتهٍ، كما أنها الزمرة الأبيلية الطبيعية القصوى الوحيدة. وبيّن أيضًا أنه في أي بُعد $n،$ يوجد عدد محدود فقط من الاحتمالات لفئة التشاكل للزمرة الأساسية لزمرة الفضاء، وأن تأثير الزمرة على الفضاء الإقليدي فريد حتى الاقتران بالتحويلات الأفينية. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} يُجيب هذا على جزء من مسألة هيلبرت الثامنة عشرة . وقد بُيّن ^، على العكس، أن أي زمرة تُمثل امتدادًا لـ Zₙ بواسطة زمرة منتهية تعمل بأمانة هي زمرة فضاء أفيني . ^[¹⁷^] إن الجمع بين هذه النتائج يوضح أن تصنيف مجموعات الفضاء في $n$ أبعاد حتى الاقتران عن طريق التحويلات الأفينية هو نفسه أساسًا تصنيف فئات التشاكل للمجموعات التي هي امتدادات لـ Z ⁿ بواسطة مجموعة منتهية تعمل بأمانة.

من الضروري في نظريات بيبرباخ افتراض أن المجموعة تعمل كمتساويات قياس؛ ولا يمكن تعميم هذه النظريات على مجموعات التحويلات الأفينية المتقطعة والمتراصة للفضاء الإقليدي. ويُقدم مثال مضاد من خلال مجموعة هايزنبرغ ثلاثية الأبعاد للأعداد الصحيحة التي تعمل عن طريق الإزاحة على مجموعة هايزنبرغ للأعداد الحقيقية، والتي تُعرف بالفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. هذه مجموعة تحويلات أفينية متقطعة ومتراصة للفضاء، ولكنها لا تحتوي على مجموعة جزئية Z³ ^.

التصنيف في أبعاد صغيرة

يُبيّن هذا الجدول عدد أنواع الزمر الفراغية في الأبعاد الصغيرة، بما في ذلك أعداد فئات الزمر الفراغية المختلفة. ويُشار إلى عدد الأزواج المتناظرة بين قوسين.

أبعاد	عائلات البلورات، تسلسل OEIS A004032	الأنظمة البلورية، تسلسل OEIS A004031	شبكات برافي، تسلسل OEIS A256413	مجموعات النقاط البلورية المجردة، تسلسل OEIS A006226	فئات البلورات الهندسية، فئات Q، مجموعات النقاط البلورية، تسلسل OEIS A004028	فئات البلورات الحسابية، فئات Z، تسلسل OEIS A004027	أنواع مجموعات الفضاء الأفيني، تسلسل OEIS A004029	أنواع المجموعات الفراغية البلورية، تسلسل OEIS A006227
0 ^{[ أ ]}	1	1	1	1	1	1	1	1
1 ^{[ ب ]}	1	1	1	2	2	2	2	2
2 ^{[ ج ]}	4	4	5	9	10	13	17	17
3 ^{[ د ]}	6	7	14	18	32	73	219 (+11)	230
4 ^{[ هـ ]}	23 (+6)	33 (+7)	64 (+10)	118	227 (+44)	710 (+70)	4783 (+111)	4894
5 ^{[ f ]}	32	59	189	239	955	6079	222018 (+79)	222097
6 ^{[ غ ]}	91	251	841	1594	7103	85308 (+؟)	28927915 (+؟)	؟

↑ مجموعة تافهة
↑ أحدهما مجموعة الأعداد الصحيحة والآخر مجموعة ثنائية السطوح اللانهائية ؛ انظر مجموعات التناظر في بُعد واحد .
↑ تُسمىهذه المجموعات الفضائية ثنائية الأبعاد أيضًا مجموعات ورق الحائط أو مجموعات المستوى .
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يوجد 230 نوعًا من الزمر الفراغية البلورية، والتي تُختزل إلى 219 نوعًا من الزمر الفراغية الأفينية نظرًا لاختلاف بعض الأنواع عن صورتها المرآوية؛ ويُقال إن هذه الأنواع تختلف بخاصية التماثل المرآوي (مثل P3₁ 12 وP3₂ 12). عادةً ما يُشير مصطلح الزمرة الفراغية إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد. وقد تم حصرها بشكل مستقل من قِبل العديد من الباحثين.^[⁸^]^[⁵^]^[¹⁸^]
↑ تم حصر (وتصحيح) 4894 مجموعة رباعية الأبعاد بمرور الوقت؛ في الأصل تم إدراج 4895 مجموعة بسبب وجود عدد زائد من المجموعات المتماثلة.^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}
↑ تم تعداد البعد الخامس أولاً.^{[ 21 ]} ثم تم إحصاء الأشكال المتناظرة.^{[ 22 ]}
↑ تم الانتهاء من تعداد البُعد السادس أولاً؛ ثم تم العثور على الأرقام المصححة لاحقاً.^{[ 21 ]}^{[ 23 ]} تم تصحيحالعدد المنشور مبدئياً لأنواع الشبكة، والبالغ 826 نوعاً في^{[ 24 ] ، إلى 841 نوعاً.}^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

المجموعات المغناطيسية وانعكاس الزمن

بالإضافة إلى المجموعات الفراغية البلورية، توجد أيضًا مجموعات فراغية مغناطيسية (تُسمى أيضًا المجموعات البلورية ثنائية اللون (الأبيض والأسود) أو مجموعات شوبنيكوف ). تحتوي هذه التناظرات على عنصر يُعرف باسم انعكاس الزمن. وهي تُعامل الزمن كبعد إضافي، ويمكن أن تتضمن عناصر المجموعة انعكاس الزمن كانعكاس فيه. وتكتسب هذه التناظرات أهمية في البنى المغناطيسية التي تحتوي على لفات مغناطيسية غير مزدوجة مرتبة، أي البنى المغناطيسية الحديدية أو الفيرومغناطيسية أو المضادة للحديدية، كما دُرست باستخدام حيود النيوترونات . يقوم عنصر انعكاس الزمن بعكس اللف المغناطيسي مع الحفاظ على جميع عناصر البنية الأخرى كما هي، ويمكن دمجه مع عدد من عناصر التناظر الأخرى. وبإضافة انعكاس الزمن، يوجد 1651 مجموعة فراغية مغناطيسية في ثلاثة أبعاد. ^{[ 27 ]} وقد أمكن أيضًا بناء نسخ مغناطيسية لأبعاد كلية وشبكية أخرى. ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}^{[ 30 ]} مجموعات الزخرفة هي مجموعات خطية مغناطيسية أحادية البعد، ومجموعات الطبقات هي مجموعات ورق جدران مغناطيسية، ومجموعات النقاط المحورية ثلاثية الأبعاد هي مجموعات نقاط مغناطيسية ثنائية الأبعاد. عدد المجموعات الأصلية والمغناطيسية حسب البعد (الإجمالي، الشبكي): ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}

الأبعاد الكلية	أبعاد الشبكة	المجموعات العادية			المجموعات المغناطيسية
الأبعاد الكلية	أبعاد الشبكة	اسم	رمز	عدد	رمز	عدد
0	0	مجموعة التناظر ذات البعد الصفري	$G$ ₀	1	$G$ ¹₀	2
1	0	مجموعات النقاط أحادية البعد	$G$ ₁₀	2	$G$ ¹₁₀	5
1	1	مجموعات التناظر المنفصلة أحادية البعد	$G$ ₁	2	$G$ ¹₁	7
2	0	مجموعات النقاط ثنائية الأبعاد	$مجموعة$ _{العشرين}	10	$G$ ¹₂₀	31
	1	مجموعات الزخارف الجدارية	$G$ ₂₁	7	$G$ ¹₂₁	31
	2	مجموعات خلفيات الشاشة	$جي$ ₂	17	$G$ ¹₂	80
3	0	مجموعات النقاط ثلاثية الأبعاد	$جي$ ₃₀	32	$G$ ¹₃₀	122
	1	مجموعات قضبان الصيد	$G$ ₃₁	75	$G$ ¹₃₁	394
	2	مجموعات الطبقات	$G$ ₃₂	80	$G$ ¹₃₂	528
	3	مجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد	$جي$ ₃	230	$G$ ¹₃	1651
4	0	مجموعات النقاط رباعية الأبعاد	$جي$ ₄₀	271	$G$ ¹₄₀	1202
	1		$جي$ ₄₁	343
	2		$جي$ ₄₂	1091
	3		$جي$ ₄₃	1594
	4	مجموعات التناظر المنفصلة رباعية الأبعاد	$جي$ ₄	4894	$G$ ¹₄	62227

جدول المجموعات الفراغية في بعدين (مجموعات ورق الحائط)

جدول مجموعات ورق الجدران باستخدام تصنيف مجموعات الفضاء ثنائية الأبعاد:

النظام البلوري ، شبكة برافي	الفئة الهندسية، المجموعة النقطية					الحساب فصل	مجموعات ورق الحائط (مخطط الخلية)
النظام البلوري ، شبكة برافي	دولي	شون.	أوربيفولد	كوكس.	أمر.	الحساب فصل	مجموعات ورق الحائط (مخطط الخلية)
منحرف	1	ج ₁	(1)	[ ] ⁺	1	لا أحد	ص1 (1)
منحرف	2	ج ₂	(22)	[2] ⁺	2	لا أحد	ص2 (2222)
مستطيل	م	د ₁	(*)	[ ]	2	على امتداد	مساءً (**)	صفحة (××)
مستطيل	2 مم	د ₂	(*22)	[2]	4	على امتداد	pmm (*2222)	pmg (22*)
مستطيل مركزي	م	د ₁	(*)	[ ]	2	بين	سم (*×)
مستطيل مركزي	2 مم	د ₂	(*22)	[2]	4	بين	سم (2*22)	pgg (22×)
مربع	4	ج ₄	(44)	[4] ⁺	4	لا أحد	ص4 (442)
مربع	4 مم	د ₄	(*44)	[4]	8	كلاهما	p4m (*442)	p4g (4*2)
سداسي	3	ج ₃	(33)	[3] ⁺	3	لا أحد	ص3 (333)
	3 أمتار	د ₃	(*33)	[3]	6	بين	p3m1 (*333)	ص31م (3*3)
	6	ج ₆	(66)	[6] ⁺	6	لا أحد	ص6 (632)
	6 مم	د ₆	(*66)	[6]	12	كلاهما	p6m (*632)

لكل فئة هندسية، تكون الفئات الحسابية الممكنة هي

لا شيء: لا توجد خطوط انعكاس
على طول: خطوط الانعكاس على طول اتجاهات الشبكة
بين: خطوط الانعكاس في منتصف المسافة بين اتجاهات الشبكة
كلاهما: خطوط انعكاس على طول اتجاهات الشبكة وبينها

جدول المجموعات الفراغية في ثلاثة أبعاد

رقم	النظام البلوري ، (عدد)، شبكة برافي	مجموعة النقاط					المجموعات الفضائية (رمز مختصر دولي)
رقم	النظام البلوري ، (عدد)، شبكة برافي	دولي	شون.	أوربيفولد	كوكس.	أمر.	المجموعات الفضائية (رمز مختصر دولي)
1	عيادة ثلاثية الانحناء (2)	1	ج ₁	11	[ ] ⁺	1	P1
2	عيادة ثلاثية الانحناء (2)	1	C _i	1×	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2	الصفحة 1
3-5	عيادة أحادية (13)	2	ج ₂	22	[2] ⁺	2	P2، P2 ₁ C2
6-9		م	C _s	*11	[ ]	2	مساءً، كمبيوتر سم، ج
10-15		2/م	C _2h	2*	[2,2 ⁺ ]	4	P2/m، P2 ₁ /m C2/m، P2/c، P2 ₁ /c C2/c
16-24	معيني قائم (59)	222	د ₂	222	[2,2] ⁺	4	P222، P222 ₁ ، P2 ₁ 2 ₁ 2، P2 ₁ 2 ₁ 2 ₁ C222 ₁ ، C222 F222 I222، I2 ₁ 2 ₁ 2 ₁
25-46		مم2	C _2v	*22	[2]	4	Pmm2، Pmc2 ₁ ، Pcc2، Pma2، Pca2 ₁ ، Pnc2، Pmn2 ₁ ، Pba2، Pna2 ₁ ، Pnn2 Cmm2، Cmc2 ₁ ، Ccc2، Amm2، Aem2، Ama2، Aea2 Fmm2، Fdd2 Imm2، Iba2، Ima2
47–74		ممم	D _2h	*222	[2,2]	8	Pmmm، Pnnn، Pccm، Pban، Pmma، Pnna، Pmna، Pcca، Pbam، Pccn، Pbcm، Pnnm، Pmmn، Pbcn، Pbca، Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce فمم، فدد Immm, Ibam, Ibca, Imma
75-80	رباعي الزوايا (68)	4	ج ₄	44	[4] ⁺	4	P4، P4 ₁ ، P4 ₂ ، P4 ₃ ، I4، I4 ₁
81–82		4	S ₄	2×	[2 ⁺ ،4 ⁺ ]	4	P 4 , I 4
83-88		4/م	ج _{4 ساعات}	4*	[2,4 ⁺ ]	8	P4/m، P4 ₂ /m، P4/n، P4 ₂ /n I4/m, I4 ₁ /a
89–98		422	د ₄	224	[2,4] ⁺	8	P422، P42 ₁ 2، P4 ₁ 22، P4 ₁ 2 ₁ 2، P4 ₂ 22، P4 ₂ 2 ₁ 2، P4 ₃ 22، P4 ₃ 2 ₁ 2 I422، I4 ₁ 22
99–110		4 مم	C _4v	*44	[4]	8	P4mm، P4bm، P4 ₂ سم، P4 ₂ نانومتر، P4cc، P4nc، P4 ₂ mc، P4 ₂ bc I4mm، I4cm، I4 ₁ md، I4 ₁ cd
111–122		4 2 متر	D _2d	2*2	[2 ⁺ ,4]	8	P 4 2m، P 4 2c، P 4 2 ₁ m، P 4 2 ₁ c، P 4 m2، P 4 c2، P 4 b2، P 4 n2 I 4 m2، I 4 c2، I 4 2m، I 4 2d
123–142		4/ممم	D _4h	*224	[2,4]	16	P4/mmm، P4/mcc، P4/nbm، P4/nnc، P4/mbm، P4/mnc، P4/nmm، P4/ncc، P4 ₂ /mmc، P4 ₂ /mcm، P4 ₂ /nbc، P4 ₂ /nnm، P4 ₂ /mbc، P4 ₂ /mnm، P4 ₂ /nmc، P4 ₂ /ncm I4/mmm، I4/mcm، I4 ₁ /amd، I4 ₁ /acd
143–146	ثلاثي الزوايا (25)	3	ج ₃	33	[3] ⁺	3	P3، P3 ₁ ، P3 ₂ R3
147–148		3	S ₆	3×	[2 ⁺ ,6 ⁺ ]	6	P 3 ، R 3
149–155		32	د ₃	223	[2,3] ⁺	6	P312، P321، P3 ₁ 12، P3 ₁ 21، P3 ₂ 12، P3 ₂ 21 R32
156–161		3 أمتار	C _3v	*33	[3]	6	P3m1، P31m، P3c1، P31c R3m، R3c
162–167		3 أمتار	D _3d	2*3	[2 ⁺ ,6]	12	P 3 1m، P 3 1c، P 3 m1، P 3 c1 R 3 م، R 3 ج
168–173	سداسي (27)	6	ج ₆	66	[6] ⁺	6	P6، P6 ₁ ، P6 ₅ ، P6 ₂ ، P6 ₄ ، P6 ₃
174		6	ج _{3 ساعات}	3*	[2,3 ⁺ ]	6	ص 6
175–176		6/م	ج _{6 ساعات}	6*	[2,6 ⁺ ]	12	P6/m، P6 ₃ /m
177–182		622	د ₆	226	[2,6] ⁺	12	P622، P6 ₁ 22، P6 ₅ 22، P6 ₂ 22، P6 ₄ 22، P6 ₃ 22
183–186		6 مم	C _{6 فولت}	*66	[6]	12	P6 مم، P6 سم مكعب، P6 ₃ سم، P6 ₃ ميكرومتر
187–190		6 م2	D _{3 ساعات}	*223	[2,3]	12	P 6 m2، P 6 c2، P 6 2m، P 6 2c
191–194		6/ممم	D _{6 ساعات}	*226	[2,6]	24	P6/mmm، P6/mcc، P6 ₃ /mcm، P6 ₃ /mmc
195–199	مكعب (36)	23	تي	332	[3,3] ⁺	12	P23، F23، I23 P2 ₁ 3, I2 ₁ 3
200–206		م 3	ذ	3*2	[3 ⁺ ,4]	24	Pm 3 ، Pn 3 ، Fm 3 ، Fd 3 ، Im 3 ، Pa 3 ، Ia 3
207–214		432	يا	432	[3,4] ⁺	24	ص432، ص4 ₂ 32 F432، F4 ₁ 32 I432 P4 ₃ 32، P4 ₁ 32، I4 ₁ 32
215–220		4 3م	تي _دي	*332	[3,3]	24	P 4 3m، F 4 3m، I 4 3m P 4 3n، F 4 3c، I 4 3d
221–230		م 3 م	أوه	*432	[3,4]	48	Pm 3 m, Pn 3 n, Pm 3 n, Pn 3 m Fm 3 m, Fm 3 c, Fd 3 m, Fd 3 c أنا 3 م، أنا 3 د

ملاحظة: المستوى $e$ هو مستوى انزلاق مزدوج، أي أنه يحتوي على انزلاقات في اتجاهين مختلفين. توجد هذه المستويات في سبع مجموعات فراغية معينية قائمة، وخمس مجموعات فراغية رباعية، وخمس مجموعات فراغية مكعبة، جميعها ذات شبكة مركزية. أصبح استخدام الرمز $e$ رسميًا في عام 2002 تقريبًا. ^{[ 2 ]}

يمكن تحديد نظام الشبكة البلورية كما يلي: إذا لم يكن النظام البلوري ثلاثيًا، فإن نظام الشبكة البلورية يكون من نفس النوع. أما إذا كان النظام البلوري ثلاثيًا، فإن نظام الشبكة البلورية يكون سداسيًا، إلا إذا كانت المجموعة الفراغية إحدى المجموعات السبع في النظام البلوري المعيني، والذي يتكون من المجموعات الفراغية الثلاثية السبع المذكورة في الجدول أعلاه والتي يبدأ اسمها بالحرف R. (يُستخدم مصطلح النظام المعيني أحيانًا كاسم بديل للنظام الثلاثي بأكمله). يُعد النظام البلوري السداسي أكبر من النظام البلوري السداسي، ويتكون من النظام البلوري السداسي بالإضافة إلى المجموعات الثماني عشرة للنظام البلوري الثلاثي، باستثناء المجموعات السبع التي تبدأ أسماؤها بالحرف R.

تُحدد شبكة برافي للمجموعة الفراغية بواسطة نظام الشبكة بالإضافة إلى الحرف الأول من اسمها، والذي يكون P أو I أو F أو A أو C بالنسبة للمجموعات غير المعينية، حيث يرمز P إلى الشبكة الرئيسية، وI إلى الشبكة المركزية للجسم، وF إلى الشبكة المركزية للوجه، وA إلى الشبكة المركزية للوجه، وC إلى الشبكة المركزية للوجه. أما المجموعات الفراغية المعينية، فتبدأ بحرف R.

اشتقاق فئة البلورات من المجموعة الفراغية

استبعد نوع برافي
قم بتحويل جميع عناصر التناظر ذات المكونات الانتقالية إلى عناصر التناظر المقابلة لها بدون تناظر انتقالي (يتم تحويل مستويات الانزلاق إلى مستويات مرآة بسيطة؛ ويتم تحويل محاور الدوران إلى محاور دوران بسيطة).
تبقى محاور الدوران ومحاور الدوران العكسي ومستويات المرآة دون تغيير.

مراجع

↑ هيلر، هوارد (1986). "علم البلورات وتماثل المجموعات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 93 (10): 765-779 . doi : 10.2307/2322930 . JSTOR 2322930 .
1 2 هان، ث. (2002)، "تناظر المجموعة الفراغية"، في هان، ثيو (محرر)، الجداول الدولية لعلم البلورات ، المجلد أ (الطبعة الخامسة )، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1107/97809553602060000100 ، ISBN 978-0-7923-6590-7
^ فيدوروف، إس (1891 ب). "Simmetrija na ploskosti" [ Simmetrija na ploskosti , التماثل في المستوى ] . Записки Иператоского С.-Peterburgского Mineralogiческого Общества (Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva، وقائع جمعية المعادن الإمبراطورية في سانت بطرسبرغ) . السلسلة الثانية (بالروسية). 28 : 345 – 390.
^ سوهنكي ، ليونارد (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystalstruktur [ تطوير نظرية البنية البلورية ] (باللغة الألمانية). لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر .
1 2 فيدوروف، إي إس (1971). تناظر البلورات . دراسة الجمعية الأمريكية لعلم البلورات رقم 7. ترجمة ديفيد وكاثرين هاركر. بوفالو، نيويورك: الجمعية الأمريكية لعلم البلورات. الصفحات 50-131 .
^ شونفليس، آرثر م. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [ الأنظمة البلورية والبنية البلورية ] (بالألمانية). لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر.
^ فون فيدورو، إي. (1892). " Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen " [ تجميع النتائج البلورية للسيد شوينفليز ونتائجي ] . Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (في المانيا). 20 : 25 – 75.
1 2 ويليام بارلو (1894)، "Über die Geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle " [ حول الخصائص الهندسية للهياكل الصلبة وتطبيقها على البلورات ] ، Zeitschrift für Kristallographie ، 23 : 1– 63، دوى : 10.1524/zkri.1894.23.1.1 ، S2CID 102301331
^ بوركهارت، يوهان جاكوب (1967). "Zur Geschichte der Entdeckung der 230 Raumgruppen" [ حول تاريخ اكتشاف المجموعات الفضائية الـ 230 ] . أرشيف لتاريخ العلوم الدقيقة . 4 (3): 235-246 . دوى : 10.1007 / BF00412962 . ISSN 0003-9519 . السيد 0220837 . S2CID 121994079 .
↑ سيدني ر. هول؛ رالف و. غروس-كونستليف. "رموز مجموعات الفضاء الموجزة" .
^ "Strukturbericht - ويكيميديا كومنز" . commons.wikimedia.org .
↑ ديفيد هيستينز؛ جيريمي هولت (يناير 2007). "مجموعات الفضاء البلوري في الجبر الهندسي" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء الرياضية . 48 (2): 023514. Bibcode : 2007JMP....48b3514H . doi : 10.1063/1.2426416 .
↑ جيه سي إتش سبنس وجيه إم زو (1994). "حول الحد الأدنى لعدد الحزم اللازمة لتمييز المتماثلات الضوئية في حيود الأشعة السينية والإلكترونات". مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ . 50 (5): 647-650 . رمز Bibcode : 1994AcCrA..50..647S . doi : 10.1107/S0108767394002850 .
^ كونواي، جيه إتش ؛ ديلجادو فريدريش؛ هوسون؛ ثورستون، دبليو (2001). "على المجموعات الفضائية ثلاثية الأبعاد" . Beiträge zur Algebra und Geometry . 42 (2): 475– 507. ISSN 0138-4821 . السيد 1865535 .
^ بيبرباخ ، لودفيغ (1911). "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume" [ حول مجموعات التحولات الصلبة في الفضاءات الإقليدية ] . الرياضيات أنالن . 70 (3): 297-336 . دوى : 10.1007 / BF01564500 . ISSN 0025-5831 . S2CID 124429194 .
^ Bieberbach، Ludwig (1912)، “Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich” [ على مجموعات التحولات الصلبة في الفضاءات الإقليدية (المقال الثاني.) المجموعات ذات المجال الأساسي المحدود ] ، Mathematische Annalen ، 72 (3): 400–412 ، دوى : 10.1007/BF01456724 ، ISSN 0025-5831 ، S2CID 119472023
^ زاسينهاوس ، هانز (1948). "Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen" [ حول خوارزمية تحديد المجموعات الفضائية ] . تعليق رياضيات هلفيتيسي . 21 : 117 – 141. دوى : 10.1007 / BF02568029 . ISSN 0010-2571 . السيد 0024424 . S2CID 120651709 .
^ شونفليس، آرثر موريتز (1923). "Theorie der Kristallstruktur" [ نظرية البنية البلورية ] . جيبرودر بورنتراغر، برلين .
↑ براون، هارولد؛ بولو، رولف؛ نويبوزر، يواكيم؛ وندراتشيك، هانز؛ زاسنهاوس، هانز (1978). المجموعات البلورية للفضاء رباعي الأبعاد . نيويورك: وايلي-إنترساينس [جون وايلي وأولاده]. ISBN 978-0-471-03095-9MR 0484179 .
↑ نويبوزر، ج.؛ سوفينييه، ب.؛ ووندراتشيك، هـ. (2002)، "تصحيحات للمجموعات البلورية للفضاء رباعي الأبعاد بواسطة براون وآخرون (1978) [نيويورك: وايلي وأولاده]"، أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ ، 58 (الجزء 3): 301، doi : 10.1107/S0108767302001368 ، PMID 11961294
1 2 بليسكن، فيلهلم؛ شولز، تيلمان (2000). " حساب المجموعات البلورية في الأبعاد المنخفضة" . الرياضيات التجريبية . 9 (3): 407-411 . doi : 10.1080/10586458.2000.10504417 . ISSN 1058-6458 . MR 1795312. S2CID 40588234 .
↑ سوفينييه، بيرند (2003). "التماثل المرآوي للمجموعات البلورية في الأبعاد العليا مع نتائج في أبعاد تصل إلى 6" (ملف PDF) . مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ . 59 (3): 210-220 . doi : 10.1107/S0108767303004161 . PMID 12714771 .
↑ "الصفحة الرئيسية لـ CARAT" . wwwb.math.rwth-aachen.de . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مايو 2015 .
↑ بليسكن، فيلهلم؛ هانراث، دبليو (1984). "شبكات الفضاء سداسي الأبعاد" . الرياضيات الحاسوبية 43 ( 168): 573-587 . doi : 10.1090/s0025-5718-1984-0758205-5 .
↑ أوبجينورث، ج؛ بليسكن، و؛ شولز، ت (1998). "خوارزميات وجداول علم البلورات" . مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ . 54 (الجزء 5): 517-531 . رمز Bibcode : 1998AcCrA..54..517O . doi : 10.1107/S010876739701547X .
↑ جانسن، ت .؛ بيرمان، ج. ل.؛ دينوييه، ف.؛ كوبتسيك، ف. أ.؛ فيرجيه-جوجري، ج. ل.؛ ويجل، د.؛ ياماموتو، أ.؛ أبراهامز، س. س.؛ كوبسكي، ف. (2002)، "تقرير لجنة فرعية معنية بتسمية علم البلورات متعدد الأبعاد. الجزء الثاني: رموز فئات البلورات الحسابية، وفئات برافي، والمجموعات الفراغية"، مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ ، 58 (الجزء 6): 605-621 ، doi : 10.1107/S010876730201379X ، PMID 12388880
↑ كيم، شون ك. (1999). أساليب نظرية الزمر وتطبيقاتها على الجزيئات والبلورات . مطبعة جامعة كامبريدج . doi : 10.1017/CBO9780511534867 . ISBN 978-0-521-64062-6MR 1713786 . S2CID 117849701 .
↑ ليتفين، دانيال. "أوراق دانيال ليتفين" . www.bk.psu.edu . مؤرشف من الأصل بتاريخ 19-11-2011.
↑ ليتفين، د.ب. (مايو 2008). "جداول الخصائص البلورية للمجموعات الفراغية المغناطيسية". مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ . 64 (الجزء 3): 419-424 . رمز Bibcode : 2008AcCrA..64..419L . doi : 10.1107/S010876730800768X . PMID 18421131 .
↑ ليتفين، د.ب. (مايو 2005). "جداول خصائص المجموعات المغناطيسية شبه الدورية" (ملف PDF) . مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ . 61 (الجزء 3): 382-385 . رمز Bibcode : 2005AcCrA..61..382L . doi : 10.1107/S010876730500406X . PMID 15846043 .
↑ باليسترانت، أ. ف. (2012). "مخطط كامل لمجموعات التناظر البلوري رباعي الأبعاد" . تقارير علم البلورات . 57 (4): 471-477 . Bibcode : 2012CryRp..57..471P . doi : 10.1134/S1063774512040104 . S2CID 95680790 .
^ سوفينييه ، بيرند (2006). “النقطة المغناطيسية رباعية الأبعاد والمجموعات الفضائية”. Zeitschrift für Kristallographie . 221 : 77– 82. بيب كود : 2006ZK....221...77S . دوى : 10.1524/zkri.2006.221.1.77 . اتش دي ال : 2066/35218 . S2CID 99946564 .

روابط خارجية

الاتحاد الدولي لعلم البلورات
معلومات عن المجموعة الفضائية (جديدة)
هياكل الشبكة البلورية: فهرس حسب المجموعة الفراغية
قائمة كاملة تضم 230 مجموعة فراغية بلورية
عرض ثلاثي الأبعاد تفاعلي لجميع المجموعات الفراغية البلورية البالغ عددها 230. مؤرشف بتاريخ 18 أبريل 2021 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).

[18] مجموعة تافهة

[19] أحدهما مجموعة الأعداد الصحيحة والآخر مجموعة ثنائية السطوح اللانهائية ؛ انظر مجموعات التناظر في بُعد واحد .

[20] تُسمىهذه المجموعات الفضائية ثنائية الأبعاد أيضًا مجموعات ورق الحائط أو مجموعات المستوى .

[22] في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يوجد 230 نوعًا من الزمر الفراغية البلورية، والتي تُختزل إلى 219 نوعًا من الزمر الفراغية الأفينية نظرًا لاختلاف بعض الأنواع عن صورتها المرآوية؛ ويُقال إن هذه الأنواع تختلف بخاصية التماثل المرآوي (مثل P3₁ 12 وP3₂ 12). عادةً ما يُشير مصطلح الزمرة الفراغية إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد. وقد تم حصرها بشكل مستقل من قِبل العديد من الباحثين.^[⁸^]^[⁵^]^[¹⁸^]

[25] تم حصر (وتصحيح) 4894 مجموعة رباعية الأبعاد بمرور الوقت؛ في الأصل تم إدراج 4895 مجموعة بسبب وجود عدد زائد من المجموعات المتماثلة.^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

[28] تم تعداد البعد الخامس أولاً.^{[ 21 ]} ثم تم إحصاء الأشكال المتناظرة.^{[ 22 ]}

[33] تم الانتهاء من تعداد البُعد السادس أولاً؛ ثم تم العثور على الأرقام المصححة لاحقاً.^{[ 21 ]}^{[ 23 ]} تم تصحيحالعدد المنشور مبدئياً لأنواع الشبكة، والبالغ 826 نوعاً في^{[ 24 ] ، إلى 841 نوعاً.}^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

[1] هيلر، هوارد (1986). "علم البلورات وتماثل المجموعات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 93 (10): 765-779 . doi : 10.2307/2322930 . JSTOR 2322930 .

[Hahn-2] 1 2 هان، ث. (2002)، "تناظر المجموعة الفراغية"، في هان، ثيو (محرر)، الجداول الدولية لعلم البلورات ، المجلد أ (الطبعة الخامسة )، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1107/97809553602060000100 ، ISBN 978-0-7923-6590-7

[Fedorov1891b-3] فيدوروف، إس (1891 ب). "Simmetrija na ploskosti" [ Simmetrija na ploskosti , التماثل في المستوى ] . Записки Иператоского С.-Peterburgского Mineralogiческого Общества (Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva، وقائع جمعية المعادن الإمبراطورية في سانت بطرسبرغ) . السلسلة الثانية (بالروسية). 28 : 345 – 390.

[4] سوهنكي ، ليونارد (1879). Die Entwicklung einer Theorie der Krystalstruktur [ تطوير نظرية البنية البلورية ] (باللغة الألمانية). لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر .

[Fedorov1891a-5] 1 2 فيدوروف، إي إس (1971). تناظر البلورات . دراسة الجمعية الأمريكية لعلم البلورات رقم 7. ترجمة ديفيد وكاثرين هاركر. بوفالو، نيويورك: الجمعية الأمريكية لعلم البلورات. الصفحات 50-131 .

[Schonflies1891-6] شونفليس، آرثر م. (1891). Krystallsysteme und Krystallstruktur [ الأنظمة البلورية والبنية البلورية ] (بالألمانية). لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر.

[7] فون فيدورو، إي. (1892). " Zusammenstellung der kirstallographischen Resultate des Herrn Schoenflies und der meinigen " [ تجميع النتائج البلورية للسيد شوينفليز ونتائجي ] . Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie (في المانيا). 20 : 25 – 75.

[Barlow-8] 1 2 ويليام بارلو (1894)، "Über die Geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle " [ حول الخصائص الهندسية للهياكل الصلبة وتطبيقها على البلورات ] ، Zeitschrift für Kristallographie ، 23 : 1– 63، دوى : 10.1524/zkri.1894.23.1.1 ، S2CID 102301331

[Burckhardt1967-9] بوركهارت، يوهان جاكوب (1967). "Zur Geschichte der Entdeckung der 230 Raumgruppen" [ حول تاريخ اكتشاف المجموعات الفضائية الـ 230 ] . أرشيف لتاريخ العلوم الدقيقة . 4 (3): 235-246 . دوى : 10.1007 / BF00412962 . ISSN 0003-9519 . السيد 0220837 . S2CID 121994079 .

[10] سيدني ر. هول؛ رالف و. غروس-كونستليف. "رموز مجموعات الفضاء الموجزة" .

[11] "Strukturbericht - ويكيميديا كومنز" . commons.wikimedia.org .

[12] ديفيد هيستينز؛ جيريمي هولت (يناير 2007). "مجموعات الفضاء البلوري في الجبر الهندسي" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء الرياضية . 48 (2): 023514. Bibcode : 2007JMP....48b3514H . doi : 10.1063/1.2426416 .

[13] جيه سي إتش سبنس وجيه إم زو (1994). "حول الحد الأدنى لعدد الحزم اللازمة لتمييز المتماثلات الضوئية في حيود الأشعة السينية والإلكترونات". مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ . 50 (5): 647-650 . رمز Bibcode : 1994AcCrA..50..647S . doi : 10.1107/S0108767394002850 .

[14] كونواي، جيه إتش ؛ ديلجادو فريدريش؛ هوسون؛ ثورستون، دبليو (2001). "على المجموعات الفضائية ثلاثية الأبعاد" . Beiträge zur Algebra und Geometry . 42 (2): 475– 507. ISSN 0138-4821 . السيد 1865535 .

[15] بيبرباخ ، لودفيغ (1911). "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume" [ حول مجموعات التحولات الصلبة في الفضاءات الإقليدية ] . الرياضيات أنالن . 70 (3): 297-336 . دوى : 10.1007 / BF01564500 . ISSN 0025-5831 . S2CID 124429194 .

[16] Bieberbach، Ludwig (1912)، “Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich” [ على مجموعات التحولات الصلبة في الفضاءات الإقليدية (المقال الثاني.) المجموعات ذات المجال الأساسي المحدود ] ، Mathematische Annalen ، 72 (3): 400–412 ، دوى : 10.1007/BF01456724 ، ISSN 0025-5831 ، S2CID 119472023

[Zassenhaus1948-17] زاسينهاوس ، هانز (1948). "Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen" [ حول خوارزمية تحديد المجموعات الفضائية ] . تعليق رياضيات هلفيتيسي . 21 : 117 – 141. دوى : 10.1007 / BF02568029 . ISSN 0010-2571 . السيد 0024424 . S2CID 120651709 .

[Schonflies-21] شونفليس، آرثر موريتز (1923). "Theorie der Kristallstruktur" [ نظرية البنية البلورية ] . جيبرودر بورنتراغر، برلين .

[Brown-23] براون، هارولد؛ بولو، رولف؛ نويبوزر، يواكيم؛ وندراتشيك، هانز؛ زاسنهاوس، هانز (1978). المجموعات البلورية للفضاء رباعي الأبعاد . نيويورك: وايلي-إنترساينس [جون وايلي وأولاده]. ISBN 978-0-471-03095-9MR 0484179 .

[24] نويبوزر، ج.؛ سوفينييه، ب.؛ ووندراتشيك، هـ. (2002)، "تصحيحات للمجموعات البلورية للفضاء رباعي الأبعاد بواسطة براون وآخرون (1978) [نيويورك: وايلي وأولاده]"، أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ ، 58 (الجزء 3): 301، doi : 10.1107/S0108767302001368 ، PMID 11961294

[Plesken2000-26] 1 2 بليسكن، فيلهلم؛ شولز، تيلمان (2000). " حساب المجموعات البلورية في الأبعاد المنخفضة" . الرياضيات التجريبية . 9 (3): 407-411 . doi : 10.1080/10586458.2000.10504417 . ISSN 1058-6458 . MR 1795312. S2CID 40588234 .

[Souvignier2003-27] سوفينييه، بيرند (2003). "التماثل المرآوي للمجموعات البلورية في الأبعاد العليا مع نتائج في أبعاد تصل إلى 6" (ملف PDF) . مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ . 59 (3): 210-220 . doi : 10.1107/S0108767303004161 . PMID 12714771 .

[29] "الصفحة الرئيسية لـ CARAT" . wwwb.math.rwth-aachen.de . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مايو 2015 .

[Plesken1984-30] بليسكن، فيلهلم؛ هانراث، دبليو (1984). "شبكات الفضاء سداسي الأبعاد" . الرياضيات الحاسوبية 43 ( 168): 573-587 . doi : 10.1090/s0025-5718-1984-0758205-5 .

[Opgenorth1998-31] أوبجينورث، ج؛ بليسكن، و؛ شولز، ت (1998). "خوارزميات وجداول علم البلورات" . مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ . 54 (الجزء 5): 517-531 . رمز Bibcode : 1998AcCrA..54..517O . doi : 10.1107/S010876739701547X .

[Janssen2002-32] جانسن، ت .؛ بيرمان، ج. ل.؛ دينوييه، ف.؛ كوبتسيك، ف. أ.؛ فيرجيه-جوجري، ج. ل.؛ ويجل، د.؛ ياماموتو، أ.؛ أبراهامز، س. س.؛ كوبسكي، ف. (2002)، "تقرير لجنة فرعية معنية بتسمية علم البلورات متعدد الأبعاد. الجزء الثاني: رموز فئات البلورات الحسابية، وفئات برافي، والمجموعات الفراغية"، مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ ، 58 (الجزء 6): 605-621 ، doi : 10.1107/S010876730201379X ، PMID 12388880

[Kim-34] كيم، شون ك. (1999). أساليب نظرية الزمر وتطبيقاتها على الجزيئات والبلورات . مطبعة جامعة كامبريدج . doi : 10.1017/CBO9780511534867 . ISBN 978-0-521-64062-6MR 1713786 . S2CID 117849701 .

[LitvinPapers-35] ليتفين، دانيال. "أوراق دانيال ليتفين" . www.bk.psu.edu . مؤرشف من الأصل بتاريخ 19-11-2011.

[Litvin2008-36] ليتفين، د.ب. (مايو 2008). "جداول الخصائص البلورية للمجموعات الفراغية المغناطيسية". مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ . 64 (الجزء 3): 419-424 . رمز Bibcode : 2008AcCrA..64..419L . doi : 10.1107/S010876730800768X . PMID 18421131 .

[Litvin2005-37] ليتفين، د.ب. (مايو 2005). "جداول خصائص المجموعات المغناطيسية شبه الدورية" (ملف PDF) . مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ . 61 (الجزء 3): 382-385 . رمز Bibcode : 2005AcCrA..61..382L . doi : 10.1107/S010876730500406X . PMID 15846043 .

[Palistrant-38] باليسترانت، أ. ف. (2012). "مخطط كامل لمجموعات التناظر البلوري رباعي الأبعاد" . تقارير علم البلورات . 57 (4): 471-477 . Bibcode : 2012CryRp..57..471P . doi : 10.1134/S1063774512040104 . S2CID 95680790 .

[Souvignier2006-39] سوفينييه ، بيرند (2006). “النقطة المغناطيسية رباعية الأبعاد والمجموعات الفضائية”. Zeitschrift für Kristallographie . 221 : 77– 82. بيب كود : 2006ZK....221...77S . دوى : 10.1524/zkri.2006.221.1.77 . اتش دي ال : 2066/35218 . S2CID 99946564 .

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

11 ] ومع

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[

[ أ ]

[ ب ]

[ ج ]

[ د ]

[ هـ ]

[ f ]

[ غ ]

[

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ] ، إلى 841 نوعاً.

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗