مهد نيوتن

يمكن استخدام قانوني حفظ الزخم (الكتلة × السرعة) والطاقة الحركية ( ^½ × الكتلة × السرعة² ⁾ لإيجاد السرعات الناتجة عن تصادم جسمين مرنين تمامًا _. تُستخدم هاتان المعادلتان لتحديد السرعات الناتجة للجسمين. في حالة كرتين مقيدتين في مسار مستقيم بواسطة خيوط في مهد، تكون السرعات قيمة عددية واحدة بدلًا من متجه ثلاثي الأبعاد، لذا تتطلب الحسابات معادلتين فقط لإيجاد مجهولين. عندما يكون للجسمين نفس الكتلة، يكون الحل بسيطًا: يتوقف الجسم المتحرك بالنسبة للجسم الساكن، ويكتسب الجسم الساكن كامل السرعة الابتدائية للجسم المتحرك. يفترض هذا أن الأجسام مرنة تمامًا، لذا لا حاجة لحساب فقدان الطاقة الحرارية والصوتية.

لا ينضغط الفولاذ كثيرًا، لكن مرونته عالية جدًا، لذا لا يُنتج الكثير من الحرارة المهدرة . ويُعدّ التأثير البسيط الناتج عن تصادم جسمين متساويين في الكتلة ومرنين بكفاءة عالية، ومقيدين بمسار مستقيم، أساس التأثير الملاحظ في المهد، ويُعطي حلًا تقريبيًا لجميع أنشطته.

بالنسبة لسلسلة من الأجسام المرنة ذات الكتلة نفسها والمقيدة بمسار مستقيم، يستمر التأثير إلى كل جسم لاحق. على سبيل المثال، عند إسقاط كرتين لتصطدما بثلاث كرات ساكنة في مهد، توجد مسافة صغيرة غير ملحوظة ولكنها حاسمة بين الكرتين الساقطتين، ويكون الفعل كما يلي: الكرة المتحركة الأولى التي تصطدم بالكرة الساكنة الأولى (الكرة الثانية التي تصطدم بالكرة الثالثة) تنقل كل زخمها إلى الكرة الثالثة وتتوقف. ثم تنقل الكرة الثالثة الزخم إلى الكرة الرابعة وتتوقف، ثم تنقل الكرة الرابعة الزخم إلى الكرة الخامسة.

مباشرةً بعد هذه السلسلة، تنقل الكرة المتحركة الثانية زخمها إلى الكرة المتحركة الأولى التي توقفت للتو، وتتكرر السلسلة فورًا وبشكل غير محسوس خلف السلسلة الأولى، لتُقذف الكرة الرابعة خلف الكرة الخامسة مباشرةً بنفس المسافة الصغيرة التي كانت بين الكرتين المصطدمتين في البداية. إذا كانت الكرات متلامسة فقط عند اصطدامها بالكرة الثالثة، فإن الدقة تتطلب الحل الأكثر شمولًا الموضح أدناه.

عندما ينطبق الحل البسيط

للحصول على حل بسيط للتنبؤ بدقة بالحركة، يجب ألا تلامس أي كرتين متصادمتين الكرة الثالثة، لأن وجود الكرة الثالثة يجعل الكرة المصطدمة تبدو أكبر حجماً. تطبيق معادلتَي الحفظ لحساب السرعات النهائية لثلاث كرات أو أكثر في تصادم واحد ينتج عنه حلول متعددة، لذا فإن هذين المبدأين غير كافيين لتحديد الحركة الناتجة.

حتى في حالة وجود مسافة فاصلة أولية صغيرة، قد تدخل كرة ثالثة في التصادم إذا لم تكن المسافة الفاصلة الأولية كبيرة بما يكفي. عند حدوث ذلك، يجب استخدام طريقة الحل الكاملة الموضحة أدناه.

تُعدّ الكرات الفولاذية الصغيرة فعّالة لأنها تحافظ على مرونتها بكفاءة عالية مع فقدان ضئيل للحرارة عند الاصطدامات القوية، ولا تنضغط كثيرًا (حتى 30  ميكرومتر تقريبًا في مهد نيوتن صغير). ويعني هذا الانضغاط الطفيف والصلب أنه يحدث بسرعة، في أقل من 200 ميكروثانية، مما يزيد من احتمالية إتمام الكرات الفولاذية للتصادم قبل ملامسة كرة ثالثة قريبة. أما الكرات المرنة الأقل صلابة، فتتطلب مسافة أكبر بينها لتعظيم تأثير التصادمات الثنائية.

يتطلب تصميم المهد الأمثل للحل البسيط وجود مسافة فاصلة أولية بين الكرات لا تقل عن ضعف مقدار انضغاط أي كرة منفردة، إلا أن معظمها لا يحقق ذلك. يصف هذا القسم آلية العمل عندما لا تكون المسافة الفاصلة الأولية كافية، وفي التصادمات اللاحقة التي تشمل أكثر من كرتين حتى مع وجود مسافة فاصلة أولية. يتبسط هذا الحل إلى الحل البسيط عندما تتلامس كرتان فقط أثناء التصادم. وينطبق على جميع الكرات المتطابقة المرنة تمامًا والتي لا تفقد الطاقة بسبب الاحتكاك، ويمكن تمثيلها بمواد مثل الفولاذ والزجاج والبلاستيك والمطاط.

في حالة تصادم كرتين، يكفي استخدام معادلتَي حفظ الزخم والطاقة لحساب السرعتين الناتجتين المجهولتين. أما في حالة تصادم ثلاث كرات مرنة أو أكثر في آنٍ واحد، فإن الانضغاطية النسبية للأسطح المتصادمة هي المتغيرات الإضافية التي تحدد النتيجة. على سبيل المثال، لخمس كرات أربع نقاط تصادم، فإن قسمة ثلاث منها على الرابعة تعطي المتغيرات الثلاثة الإضافية اللازمة لحساب السرعات الخمس بعد التصادم.

تُعدّ قوانين نيوتن، ولاغرانج، وهاملتون، والفعل الساكن، طرقًا مختلفة للتعبير الرياضي عن الميكانيكا الكلاسيكية . تصف هذه القوانين الفيزياء نفسها، ولكن يجب حلّها بطرق مختلفة. جميعها تُطبّق مبدأي حفظ الطاقة والزخم. وقد استُخدم قانون نيوتن في الأبحاث العلمية. يُطبّق هذا القانون على كل كرة، ويُساوي مجموع القوى صفرًا. لذا، توجد خمس معادلات، معادلة لكل كرة، وخمسة مجاهيل، مجاهيل لكل سرعة. إذا كانت الكرات متطابقة، فإنّ الانضغاطية المطلقة للأسطح تصبح غير ذات صلة، لأنه يُمكن قسمتها على طرفي المعادلات الخمس، ما يُنتج صفرًا.

يتم تحديد السرعات ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} في حالة اصطدام كرة واحدة بأربع كرات متلامسة في البداية، وذلك بنمذجة الكرات كأثقال مزودة بنوابض غير تقليدية على أسطح تصادمها. معظم المواد، كالفولاذ، التي تتمتع بمرونة عالية، تتبع تقريبًا قانون هوك للقوة للنوابض.${\displaystyle F=k\cdot x}$ولكن نظرًا لأن مساحة التلامس للكرة تزداد مع ازدياد القوة، فإن الكرات المرنة المتصادمة تتبع تعديل هيرتز لقانون هوك.${\displaystyle F=k\cdot x^{1.5}}$هذا وقانون نيوتن للحركة (${\displaystyle F=m\cdot a}$يتم تطبيق ) على كل كرة، مما يعطي خمس معادلات تفاضلية بسيطة ولكنها مترابطة يمكن حلها عدديًا.

عندما تبدأ الكرة الخامسة بالتسارع ، فإنها تكتسب زخمًا وطاقة من الكرتين الثالثة والرابعة عبر تأثير زنبرك أسطحهما المضغوطة. بالنسبة للكرات المرنة المتطابقة من أي نوع، والتي تتلامس في البداية، يكون التأثير نفسه عند الاصطدام الأول، باستثناء أن زمن التصادم يزداد في المواد الأكثر ليونة. يُخزَّن ما بين 40 و50% من الطاقة الحركية للكرة الأولى الناتجة عن اصطدام كرة واحدة في أسطح الكرات كطاقة كامنة خلال معظم عملية التصادم. من السرعة الابتدائية، تُنقل 13% منها إلى الكرة الرابعة (والتي يمكن اعتبارها حركة بزاوية 3.3 درجة إذا تحركت الكرة الخامسة بزاوية 25 درجة)، وهناك سرعة عكسية طفيفة في الكرات الثلاث الأولى، حيث تكون سرعة الكرة الأولى هي الأكبر بنسبة -7% من السرعة الابتدائية. هذا يُباعد بين الكرات، لكنها تعود إلى بعضها قبل عودة الكرة الخامسة مباشرة. ويعود ذلك إلى ظاهرة البندول، حيث تستغرق الاضطرابات الصغيرة ذات الزوايا المختلفة نفس الزمن تقريبًا للعودة إلى المركز.

تتنبأ المعادلات التفاضلية لهيرتز بأنه إذا اصطدمت كرتان بثلاث كرات، فإن الكرتين الخامسة والرابعة ستنطلقان بسرعتين تساويان 1.14 و0.80 ضعف السرعة الابتدائية على التوالي. ^{[ 7 ]} وهذا يعني أن الطاقة الحركية للكرة الخامسة تزيد بمقدار 2.03 ضعف عن الطاقة الحركية للكرة الرابعة، مما يعني أن الكرة الخامسة ستتأرجح رأسيًا لمسافة ضعف ارتفاع الكرة الرابعة. ولكن في مهد نيوتن الحقيقي، تتأرجح الكرة الرابعة لمسافة تساوي مسافة تأرجح الكرة الخامسة. ولتفسير الفرق بين النظرية والتجربة، يجب أن تكون  المسافة بين الكرتين المصطدمتين ≈ 10 ميكرومتر على الأقل (بافتراض أن الكرتين مصنوعتان من الفولاذ، وكتلتهما 100  غرام، وسرعتهما 1  متر/ثانية). وهذا يُظهر أنه في الحالة الشائعة للكرات الفولاذية، قد تكون المسافات غير الملحوظة مهمة، ويجب تضمينها في المعادلات التفاضلية لهيرتز، وإلا فإن الحل البسيط يُعطي نتيجة أكثر دقة.

في حل هيرتز المذكور أعلاه، افترضنا أن القوى تنتشر في الكرات فورًا، وهو ما ليس صحيحًا. تتراكم التغيرات المفاجئة في القوة بين ذرات المادة لتشكل موجة ضغط. تنتقل موجات الضغط (الصوت) في الفولاذ مسافة 5  سم تقريبًا في 10 ميكروثانية، أي أسرع بعشر مرات تقريبًا من الزمن بين اصطدام الكرة الأولى وانطلاق الكرة الأخيرة. تنعكس موجات الضغط ذهابًا وإيابًا عبر الكرات الخمس حوالي عشر مرات، مع تشتتها إلى جبهة موجية أصغر مع ازدياد الانعكاسات. هذه السرعة كافية لعدم الحاجة إلى تعديل جوهري في حل هيرتز لمراعاة تأخير انتشار القوة عبر الكرات. في الكرات الأقل صلابة ولكنها لا تزال مرنة للغاية، مثل المطاط، تكون سرعة الانتشار أبطأ، لكن مدة التصادمات أطول، لذا يظل حل هيرتز صالحًا. يؤدي الخطأ الناتج عن السرعة المحدودة لانتشار القوة إلى تحيز حل هيرتز نحو الحل البسيط لأن التصادمات لا تتأثر بقدر كبير بقصور الكرات البعيدة.

تساعد الكرات المتطابقة الشكل موجات الضغط على التقارب عند نقطة تلامس الكرة الأخيرة: عند نقطة الاصطدام الأولية، تتجه موجة ضغط للأمام نحو الكرات الأخرى، بينما تنعكس موجة أخرى للخلف عن الجانب المقابل للكرة الأولى، ثم تتبع الموجة الأولى، متأخرةً عنها بمقدار قطر كرة واحدة. تلتقي الموجتان عند نقطة التلامس الأخيرة لأن الموجة الأولى تنعكس عن الجانب المقابل للكرة الأخيرة وتلتقي عند نقطة التلامس الأخيرة مع الموجة الثانية. ثم يتردد صدى الموجاتتين ذهابًا وإيابًا على هذا النحو حوالي 10 مرات حتى تتوقف الكرة الأولى عن التلامس مع الكرة الثانية. بعد ذلك، ينعكس الصدى عن نقطة التلامس بين الكرتين الثانية والثالثة، ولكنه لا يزال يتقارب عند نقطة التلامس الأخيرة، حتى تُقذف الكرة الأخيرة - ولكن هذا يُمثل انخفاضًا في جبهة الموجة مع كل انعكاس.

لا يؤثر استخدام أنواع مختلفة من المواد على الأداء طالما كانت المادة مرنة بكفاءة. ولا يؤثر حجم الكرات على النتائج إلا إذا تجاوز الوزن الزائد حد المرونة للمادة. فإذا كانت الكرات الصلبة كبيرة جدًا، تُفقد الطاقة على شكل حرارة، لأن حد المرونة يزداد مع زيادة نصف القطر مرفوعًا للأس 1.5، بينما تزداد الطاقة التي يجب امتصاصها وإطلاقها مع مكعب نصف القطر. ويمكن التغلب على هذه المشكلة جزئيًا بجعل أسطح التلامس أكثر استواءً عن طريق توزيع الضغط على مساحة أكبر من المادة، لكن ذلك قد يُسبب مشكلة في المحاذاة. ويُعد الفولاذ أفضل من معظم المواد لأنه يسمح بتطبيق الحل البسيط بشكل متكرر في التصادمات بعد الضربة الأولى، كما أن نطاق مرونته لتخزين الطاقة يظل جيدًا رغم الطاقة العالية الناتجة عن وزنه، ويقلل الوزن الزائد من تأثير مقاومة الهواء.

المبدأ الذي يُجسّده الجهاز، وهو قانون التصادم بين الأجسام، أثبته لأول مرة الفيزيائي الفرنسي إدمي ماريوت في القرن السابع عشر. ^{[ 1 ] [ 8 ]} عُرض عمله في هذا الموضوع لأول مرة على الأكاديمية الفرنسية للعلوم عام 1671؛ ونُشر عام 1673 بعنوان " Traité de la percussion ou choc des corps " ("رسالة في قرع أو صدمة الأجسام"). ^{[ 9 ]}

أقر نيوتن بعمل ماريوت، إلى جانب كريستوفر رين وجون واليس وكريستيان هويغنز، باعتبارهم رواد تجارب تصادم كرات البندول، في كتابه "برينسيبيا " (1687). ^{[ 10 ]}

استخدم كريستيان هويغنز البندولات لدراسة التصادمات. يحتوي كتابه " De Motu Corporum ex Percussione " (حول حركة الأجسام بالتصادم)، الذي نُشر بعد وفاته عام 1703، على صيغة من قانون نيوتن الأول ، ويناقش تصادم الأجسام المعلقة، بما في ذلك جسمين متساويين في الكتلة، حيث تنتقل حركة الجسم المتحرك إلى الجسم الساكن. ^{[ 11 ]}

يكتنف أصول مهد نيوتن الحديث الكثير من الغموض. يُنسب الفضل إلى ماريوس ج. مورين في تسمية هذه اللعبة المكتبية الشهيرة وصنعها . مع ذلك، في أوائل عام ١٩٦٧، صاغ الممثل الإنجليزي سيمون بريبل اسم "مهد نيوتن" (المستخدم الآن بشكل عام) للنسخة الخشبية التي صنعتها شركته، "ساينتيفيك ديمونستريشنز ليمتد". ^{[ ١٢ ]} بعد بعض المقاومة الأولية من تجار التجزئة، بيعت هذه الألعاب لأول مرة في متجر هارودز بلندن، مما أدى إلى انطلاق سوق مستدام للألعاب المكتبية. لاحقًا، صمم النحات والمخرج السينمائي المستقبلي ريتشارد لونكرين نسخةً كرومية ناجحة للغاية لمتجر "جير" في شارع كارنابي .

صُمم أكبر جهاز حاضن في العالم من قِبل برنامج "ميثباسترز" ، ويتألف من خمس عوامات مملوءة بالخرسانة وقضبان التسليح الفولاذية، وزن كل منها طن واحد، معلقة على هيكل فولاذي. لم يكن الجهاز فعالاً لأن التصادمات لم تكن مرنة بما فيه الكفاية، مما أدى إلى فقدان كمية كبيرة من الطاقة الحركية. ^{[ 13 ]} أما النسخة المصغرة التي صنعوها، فتتكون من خمس كرات فولاذية مطلية بالكروم، قطر كل منها 15 سنتيمترًا (6 بوصات) ، ووزنها 15 كيلوغرامًا (33 رطلاً) ، وهي تكاد تكون بنفس كفاءة النموذج المكتبي.  

كان جهاز المهد، الذي يضم أكبر كرات تصادم معروضة للجمهور، مرئيًا لأكثر من عام في ميلووكي ، ويسكونسن، في متجر التجزئة "أمريكان ساينس آند سيربلاس" (انظر الصورة). كل كرة عبارة عن كرة تمارين قابلة للنفخ بقطر 66 سم (26 بوصة) (مغلفة بحلقات فولاذية)، ومثبتة من السقف باستخدام مغناطيسات قوية للغاية. تم تفكيكه في أوائل أغسطس 2010 لأسباب تتعلق بالصيانة.