الطول الموجي

الموجة المستقرة هي حركة تموجية تبقى في مكان واحد. تتضمن الموجة المستقرة الجيبية نقاطًا ثابتة لا حركة لها، تسمى العقد ، ويكون طول الموجة ضعف المسافة بين العقد.

The upper figure shows three standing waves in a box. The walls of the box are considered to require the wave to have nodes at the walls of the box (an example of boundary conditions), thus determining the allowed wavelengths. For example, for an electromagnetic wave, if the box has ideal conductive walls, the condition for nodes at the walls results because the conductive walls cannot support a tangential electric field, forcing the wave to have zero amplitude at the wall.

The stationary wave can be viewed as the sum of two traveling sinusoidal waves of oppositely directed velocities.^[8] Consequently, wavelength, period, and wave velocity are related just as for a traveling wave. For example, the speed of light can be determined from observation of standing waves in a metal box containing an ideal vacuum.

Traveling sinusoidal waves are often represented mathematically in terms of their velocity v (in the x direction), frequency f and wavelength λ as: $${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-ft\right)\right)=A\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)}$$ where y is the value of the wave at any position x and time t, and A is the amplitude of the wave. They are also commonly expressed in terms of wavenumberk (2π times the reciprocal of wavelength) and angular frequencyω (2π times the frequency) as: $${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(kx-\omega t\right)=A\cos \left(k(x-vt)\right)}$$ in which wavelength and wavenumber are related to velocity and frequency as: $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}},}$$ or $${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{f}}.}$$

In the second form given above, the phase (kx − ωt) is often generalized to (k ⋅ r − ωt), by replacing the wavenumber k with a wave vector that specifies the direction and wavenumber of a plane wave in 3-space, parameterized by position vector r. In that case, the wavenumber k, the magnitude of k, is still in the same relationship with wavelength as shown above, with v being interpreted as scalar speed in the direction of the wave vector. The first form, using reciprocal wavelength in the phase, does not generalize as easily to a wave in an arbitrary direction.

تُعدّ التعميمات على الموجات الجيبية ذات الأطوار الأخرى، وعلى الدوال الأسية المركبة، شائعة أيضاً؛ انظر الموجة المستوية . ويستند الاصطلاح المعتاد لاستخدام طور جيب التمام بدلاً من طور الجيب عند وصف الموجة إلى حقيقة أن جيب التمام هو الجزء الحقيقي من الدالة الأسية المركبة في الموجة. $${\displaystyle Ae^{i\left(kx-\omega t\right)}.}$$

تعتمد سرعة الموجة على الوسط الذي تنتشر فيه. وعلى وجه الخصوص، تكون سرعة الضوء في الوسط أقل منها في الفراغ ، مما يعني أن التردد نفسه سيقابله طول موجي أقصر في الوسط مقارنةً بالفراغ، كما هو موضح في الشكل على اليمين.

يُسبب هذا التغير في السرعة عند دخول الوسط انكسارًا ، أو تغيرًا في اتجاه الموجات التي تصطدم بالسطح الفاصل بين الوسطين بزاوية. ^{[ 9 ]} بالنسبة للموجات الكهرومغناطيسية ، يخضع هذا التغير في زاوية الانتشار لقانون سنيل .

قد تختلف سرعة الموجة في وسط ما عن سرعتها في وسط آخر، بل وتتغير عادةً بتغير طول الموجة. ونتيجةً لذلك، يتغير اتجاه الموجة عند دخولها وسطاً مختلفاً بتغير طولها الموجي.

بالنسبة للموجات الكهرومغناطيسية، فإن سرعتها في الوسط تخضع لمعامل انكساره وفقًا لـ $${\displaystyle v={\frac {c}{n(\lambda _{0})}},}$$ حيث c هي سرعة الضوء في الفراغ، و n ( λ₀ ₎ هو معامل انكسار الوسط عند الطول الموجي λ₀ _، حيث يُقاس الأخير في الفراغ وليس في الوسط. الطول الموجي المقابل في الوسط هو $${\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n(\lambda _{0})}}.}$$

عند ذكر أطوال موجات الإشعاع الكهرومغناطيسي، يُقصد عادةً طول الموجة في الفراغ، إلا إذا تم تحديد طول الموجة تحديدًا على أنه طول الموجة في وسط آخر. في علم الصوتيات، حيث يُعد الوسط ضروريًا لوجود الموجات، تُعطى قيمة طول الموجة لهذا الوسط المحدد.

يُعرف تغير سرعة الضوء بتغير الطول الموجي بالتشتت ، وهو المسؤول أيضًا عن ظاهرة فصل الضوء إلى ألوانه المكونة بواسطة الموشور . يحدث الفصل عندما يتغير معامل الانكسار داخل الموشور بتغير الطول الموجي، لذا تنتشر الأطوال الموجية المختلفة بسرعات مختلفة داخل الموشور، مما يؤدي إلى انكسارها بزوايا مختلفة. تُعرف العلاقة الرياضية التي تصف كيفية تغير سرعة الضوء داخل وسط ما بتغير الطول الموجي بعلاقة التشتت .

الوسائط غير المتجانسة

يُعدّ الطول الموجي مفهومًا مفيدًا حتى لو لم تكن الموجة دورية في الفضاء. فعلى سبيل المثال، في موجة محيطية تقترب من الشاطئ، كما هو موضح في الشكل، تتذبذب الموجة الواردة بطول موجي محلي متغير يعتمد جزئيًا على عمق قاع البحر مقارنةً بارتفاع الموجة. ويمكن تحليل الموجة بناءً على مقارنة الطول الموجي المحلي بعمق الماء المحلي. ^{[ 10 ]}

قد تنتشر الموجات الجيبية في الزمن، ولكنها تنتشر عبر وسط تتغير خصائصه بتغير الموقع ( وسط غير متجانس )، بسرعة تتغير بتغير الموقع، وبالتالي قد لا تكون جيبية في الفضاء. يوضح الشكل على اليمين مثالاً على ذلك. مع تباطؤ الموجة، يقل طولها الموجي ويزداد سعتها؛ وبعد نقطة الاستجابة القصوى، يرتبط قصر الطول الموجي بفقدان كبير، فتتلاشى الموجة.

غالبًا ما يتم تحليل المعادلات التفاضلية لهذه الأنظمة تقريبًا باستخدام طريقة WKB (المعروفة أيضًا باسم طريقة ليوفيل-جرين ). تعتمد هذه الطريقة على تكامل الطور عبر المكان باستخدام عدد موجي محلي ، والذي يمكن تفسيره على أنه يشير إلى "طول موجي محلي" للحل كدالة للزمان والمكان. ^{[ 11 ] [ 12 ]} تتعامل هذه الطريقة مع النظام محليًا كما لو كان متجانسًا بخصائصه المحلية؛ وعلى وجه الخصوص، فإن سرعة الموجة المحلية المرتبطة بتردد معين هي الشيء الوحيد المطلوب لتقدير العدد الموجي المحلي أو الطول الموجي المقابل. بالإضافة إلى ذلك، تحسب الطريقة سعة متغيرة ببطء لتلبية قيود أخرى للمعادلات أو للنظام الفيزيائي، مثل حفظ الطاقة في الموجة.

البلورات

لا تكون الموجات في المواد الصلبة البلورية متصلة، لأنها تتكون من اهتزازات جسيمات منفصلة مرتبة في شبكة منتظمة. ينتج عن ذلك ظاهرة التداخل الطيفي ، حيث يمكن اعتبار الاهتزاز نفسه ذا أطوال موجية مختلفة، كما هو موضح في الشكل. ^{[ 13 ]} إن استخدام أكثر من طول موجي واحد في الوصف يُعدّ تكرارًا؛ ومن المتعارف عليه اختيار أطول طول موجي يُناسب الظاهرة. يتوافق نطاق الأطوال الموجية الكافي لوصف جميع الموجات الممكنة في وسط بلوري مع متجهات الموجة المحصورة في منطقة بريلوين . ^{[ 14 ]}

يُعدّ هذا التباين في الطول الموجي في المواد الصلبة ذا أهمية بالغة في تحليل الظواهر الموجية، مثل نطاقات الطاقة واهتزازات الشبكة البلورية . وهو يُعادل رياضيًا ظاهرة التداخل الطيفي لإشارة يتم أخذ عينات منها على فترات زمنية منفصلة.

تُستخدم حزم الموجات الموضعية ، وهي عبارة عن "انفجارات" من حركة الموجات حيث تنتقل كل حزمة كوحدة واحدة، في العديد من مجالات الفيزياء. تحتوي حزمة الموجات على غلاف يصف السعة الكلية للموجة؛ وداخل هذا الغلاف، تُسمى المسافة بين القمم أو القيعان المتجاورة أحيانًا بالطول الموجي المحلي . ^{[ 21 ] [ 22 ]} يوضح الشكل مثالًا على ذلك. بشكل عام، يتحرك غلاف حزمة الموجات بسرعة مختلفة عن سرعة الموجات المكونة لها. ^{[ 23 ]}

باستخدام تحليل فورييه ، يمكن تحليل حزم الموجات إلى مجاميع لانهائية (أو تكاملات) من الموجات الجيبية ذات أعداد موجية أو أطوال موجية مختلفة. ^{[ 24 ]}

افترض لويس دي بروي أن جميع الجسيمات ذات قيمة محددة للزخم p لها طول موجي λ = h / p ، حيث h هو ثابت بلانك . شكلت هذه الفرضية أساس ميكانيكا الكم . يُطلق على هذا الطول الموجي اليوم اسم طول موجة دي بروي . على سبيل المثال، يبلغ طول موجة دي بروي للإلكترونات في شاشة CRT حوالي 100 نانومتر.10⁻¹³ م  . ولمنع انتشار الدالة الموجية لمثل هذا الجسيم في جميع أنحاء الفضاء، اقترح دي برولي استخدام حزم موجية لتمثيل ^{الجسيمات المتمركزة في الفضاء. [ 25 ]} يتوافق الانتشار المكاني للحزمة الموجية، وانتشار الأعداد الموجية للموجات الجيبية التي تُكوّن الحزمة، مع عدم اليقين في موضع الجسيم وزخمه، والذي يكون حاصل ضربهما محدودًا بمبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ . ^{[ 24 ]}

عند تراكب الموجات الجيبية، قد تتعزز إحداها (تداخل بناء) أو تلغي الأخرى (تداخل هدام) تبعًا لطورها النسبي. تُستخدم هذه الظاهرة في جهاز التداخل . ومن الأمثلة البسيطة على ذلك تجربة يونغ التي يمرر فيها الضوء عبر شقين . ^{[ 26 ]} كما هو موضح في الشكل، يمر الضوء عبر الشقين ويسقط على شاشة. يختلف مسار الضوء إلى موضع معين على الشاشة باختلاف الشقين، ويعتمد ذلك على الزاوية θ التي يصنعها المسار مع الشاشة. إذا افترضنا أن الشاشة بعيدة بما يكفي عن الشقين (أي أن s كبيرة مقارنةً بالمسافة بين الشقين d )، فإن المسارين يكونان متوازيين تقريبًا، ويكون فرق المسار ببساطة d sin θ . وبناءً على ذلك، فإن شرط التداخل البناء هو: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle d\sin \theta =m\lambda \ ,}$$ حيث m عدد صحيح، وبالنسبة للتداخل الهدام يكون: $${\displaystyle d\sin \theta =(m+1/2)\lambda \ .}$$

وبالتالي، إذا كان طول موجة الضوء معروفًا، فيمكن تحديد المسافة بين الشقين من نمط التداخل أو الأهداب ، والعكس صحيح .

بالنسبة للشقوق المتعددة، يكون النمط ^{[ 28 ]}$${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$$ حيث q هو عدد الشقوق، و g هو ثابت المحزز. العامل الأول، I ₁ ، هو نتيجة الشق الواحد، والذي يُعدّل العامل الثاني الأسرع تغيراً والذي يعتمد على عدد الشقوق والمسافة بينها. في الشكل، تم ضبط I _{1 على الوحدة، وهو تقريب تقريبي للغاية.}

يتمثل تأثير التداخل في إعادة توزيع الضوء، وبالتالي فإن الطاقة الموجودة في الضوء لا تتغير، وإنما يتغير مكان ظهورها فقط. ^{[ 29 ]}

ينطبق مفهوم اختلاف المسار والتداخل البنّاء أو الهدّام، المستخدم سابقًا في تجربة الشق المزدوج، على عرض شقّ واحد من الضوء على شاشة. وتتمثل النتيجة الرئيسية لهذا التداخل في تشتيت الضوء من الشقّ الضيّق إلى صورة أوسع على الشاشة. ويُطلق على هذا التوزيع لطاقة الموجة اسم الحيود .

يتم تمييز نوعين من الانعراج، اعتمادًا على المسافة الفاصلة بين المصدر والشاشة: انعراج فراونهوفر أو انعراج المجال البعيد عند المسافات الكبيرة، وانعراج فريسنل أو انعراج المجال القريب عند المسافات القريبة.

في تحليل الشق الأحادي، يُؤخذ عرض الشق غير الصفري في الاعتبار، وتُعتبر كل نقطة في الفتحة مصدرًا لمساهمة واحدة في حزمة الضوء ( موجات هيغنز ). على الشاشة، يكون للضوء القادم من كل موضع داخل الشق مسار مختلف، وإن كان الفرق ضئيلاً للغاية. ونتيجة لذلك، يحدث التداخل.

في نمط حيود فراونهوفر بعيدًا بما فيه الكفاية عن شق واحد، ضمن تقريب الزاوية الصغيرة ، يرتبط انتشار الشدة S بالموضع x عبر دالة sinc مربعة : ^{[ 30 ]}$${\displaystyle S(u)=\mathrm {sinc} ^{2}(u)=\left({\frac {\sin \pi u}{\pi u}}\right)^{2}\$$ ؛} مع $${\displaystyle u={\frac {xL}{\lambda R}}\ ,}$$ حيث L هو عرض الشق، وR هي المسافة بين النمط (على الشاشة) والشق، وλ هو الطول الموجي للضوء المستخدم. للدالة S أصفار حيث u عدد صحيح غير صفري، وتكون قيم x عند مسافة تتناسب مع الطول الموجي.

يُعدّ الانعراج القيد الأساسي على قدرة التمييز للأجهزة البصرية، مثل التلسكوبات (بما في ذلك التلسكوبات الراديوية ) والمجاهر . ^{[ 31 ]} بالنسبة للفتحة الدائرية، تُعرف بقعة الصورة المحدودة بالانعراج باسم قرص آيري ؛ حيث تُستبدل المسافة x في صيغة الانعراج أحادي الشق بالمسافة القطرية r، ويُستبدل الجيب بـ 2J1 ، حيث _J1 دالة بيسل من ^الدرجة الأولى . ^[ ₃₂ ^]

يتم تحديد الحجم المكاني القابل للتمييز للأجسام التي يتم رؤيتها من خلال المجهر وفقًا لمعيار رايلي ، ونصف قطر أول نقطة صفرية لقرص إيري، إلى حجم يتناسب مع الطول الموجي للضوء المستخدم، ويعتمد على الفتحة العددية : ^{[ 33 ]}$${\displaystyle r_{Airy}=1.22{\frac {\lambda }{2\,\mathrm {NA} }}\ ,}$$ حيث تُعرَّف الفتحة العددية على النحو التالي:${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta \;}$حيث θ هي نصف زاوية مخروط الأشعة التي تستقبلها عدسة المجهر .

الحجم الزاوي للجزء المركزي الساطع (نصف القطر إلى أول نقطة انعدام لقرص إيري ) للصورة المنحرفة بواسطة فتحة دائرية، وهو مقياس شائع الاستخدام للتلسكوبات والكاميرات، هو: ^{[ 34 ]}$${\displaystyle \delta =1.22{\frac {\lambda }{D}}\ ,}$$ حيث λ هو الطول الموجي للموجات التي يتم تركيزها للتصوير، وD هو قطر بؤبؤ الدخول لنظام التصوير، بنفس الوحدات، والدقة الزاوية δ بالراديان.

كما هو الحال مع أنماط الحيود الأخرى، يتناسب حجم النمط مع الطول الموجي، لذا فإن الأطوال الموجية الأقصر يمكن أن تؤدي إلى دقة أعلى.