عملية بواسون النقطية

تتميز عملية بواسون النقطية بتوزيع بواسون . توزيع بواسون هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي${\textstyle N}$(يُطلق عليه متغير عشوائي من نوع بواسون ) بحيث يكون احتمال أن${\displaystyle \textstyle N}$يساوي${\displaystyle \textstyle n}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }}$

أين${\textstyle n!}$يرمز إلى المضروب والمعامل${\textstyle \Lambda }$يحدد شكل التوزيع. (في الواقع،${\textstyle \Lambda }$يساوي القيمة المتوقعة لـ${\textstyle N}$.)

بحسب التعريف، تتميز عملية بواسون النقطية بخاصية أن عدد النقاط في منطقة محدودة من الفضاء الأساسي للعملية هو متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون. ^{[ 36 ]}

لنفترض مجموعة من المناطق الفرعية المنفصلة والمحدودة في الفضاء الأساسي. بحسب التعريف، سيكون عدد نقاط عملية بواسون النقطية في كل منطقة فرعية محدودة مستقلاً تماماً عن جميع المناطق الأخرى.

تُعرف هذه الخاصية بعدة أسماء، مثل العشوائية التامة ، والاستقلال التام ، ^{[ 38 ]} أو التشتت المستقل ، ^{[ 39 ] [ 40 ]} وهي خاصية مشتركة بين جميع عمليات بواسون النقطية. بعبارة أخرى، ينعدم التفاعل بين المناطق المختلفة والنقاط عمومًا، ^{[ 41 ]} مما يُبرر تسمية عملية بواسون أحيانًا بالعملية العشوائية البحتة أو الكاملة . ^{[ 38 ]}

يمكن تعريف عملية بواسون النقطية المتجانسة، عند النظر إليها على نصف الخط الموجب، على أنها عملية عد ، وهي نوع من العمليات العشوائية، والتي يمكن الإشارة إليها على النحو التالي:${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$[ ^{29 ] [ 32 ]} تمثل عملية العد العدد الإجمالي للوقائع أو الأحداث التي وقعت حتى وقت معين ^.${\textstyle t}$عملية العد هي عملية عد بواسون متجانسة بمعدل${\textstyle \lambda >0}$إذا كانت لها الخصائص الثلاث التالية: ^{[ 29 ] [ 32 ]}

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• له زيادات مستقلة ؛ و
• عدد الأحداث (أو النقاط) في أي فترة زمنية ذات طول${\textstyle t}$هو متغير عشوائي من نوع بواسون ذو معلمة (أو متوسط)${\textstyle \lambda t}$.

الخاصية الأخيرة تعني ما يلي:

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.}$

بمعنى آخر، احتمال المتغير العشوائي${\textstyle N(t)}$مساوياً لـ${\textstyle n}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

يمكن تعريف عملية عد بواسون أيضًا بالقول إن الفروق الزمنية بين أحداث عملية العد هي متغيرات أسية ذات متوسط${\textstyle 1/\lambda }$[ ^{45 ]} تُعرف الفروق الزمنية بين الأحداث أو الوصولات باسم ^أوقات الوصول ^{[ 46 ]} أو أوقات الحدوث . ^{[ 45 ]}

يمكن تعريف عملية بواسون النقطية، التي تُفسَّر على أنها عملية نقطية، على خط الأعداد الحقيقية من خلال النظر في عدد نقاط العملية في الفترة${\textstyle (a,b]}$بالنسبة لعملية بواسون النقطية المتجانسة على خط الأعداد الحقيقية ذات المعامل${\textstyle \lambda >0}$، احتمال هذا العدد العشوائي من النقاط، مكتوب هنا على النحو التالي:${\textstyle N(a,b]}$، مساوياً لعدد من أعداد العد${\textstyle n}$يتم تحديده بواسطة: ^{[ 47 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (ba)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (ba)},}$

لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة${\textstyle k}$، فإن عملية بواسون النقطية المتجانسة لها التوزيع ذو الأبعاد المحدودة المعطى بواسطة: ^{[ 47 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},}$

حيث الأعداد الحقيقية${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$.

بعبارة أخرى،${\textstyle N(a,b]}$هو متغير عشوائي بواسون بمتوسط${\textstyle \lambda (ba)}$، أين${\textstyle a\leq b}$علاوة على ذلك، فإن عدد النقاط في أي فترتين منفصلتين، على سبيل المثال،${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$و${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$مستقلة عن بعضها البعض، وينطبق هذا على أي عدد محدود من الفترات المنفصلة. ^{[ 47 ]} في سياق نظرية الطوابير، يمكن اعتبار نقطة موجودة (في فترة زمنية) حدثًا ، لكن هذا يختلف عن مفهوم الحدث في نظرية الاحتمالات. ^{[ ب ]} ويترتب على ذلك أن${\textstyle \lambda }$^{[ 32 ]} هو العدد المتوقع للوافدين الذين يحدثون في وحدة زمنية واحدة.

عملية بواسون المكانية هي عملية بواسون نقطية معرفة في المستوى${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$[ ^{57 ] [ 64 ]} ولتعريفها رياضياً، يُنظر أولاً إلى منطقة محدودة، مفتوحة أو مغلقة (أو بتعبير أدق، قابلة للقياس بوريل ) ^.${\textstyle B}$من المستوى. عدد نقاط عملية النقطة${\displaystyle \textstyle N}$موجود في هذه المنطقة${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$هو متغير عشوائي، يُرمز إليه بـ${\displaystyle \textstyle N(B)}$إذا كانت النقاط تنتمي إلى عملية بواسون متجانسة ذات معامل${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ثم احتمال${\displaystyle \textstyle n}$النقاط الموجودة في${\displaystyle \textstyle B}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

أين${\displaystyle \textstyle |B|}$يشير إلى مساحة${\displaystyle \textstyle B}$.

لبعض الأعداد الصحيحة المحدودة${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$يمكننا إعطاء التوزيع ذي الأبعاد المحدودة لعملية بواسون النقطية المتجانسة من خلال النظر أولاً في مجموعة من مجموعات بوريل (القابلة للقياس) المنفصلة والمحدودة.${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$عدد نقاط عملية النقطة ${\displaystyle \textstyle N}$موجود في${\displaystyle \textstyle B_{i}}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$ثم عملية بواسون النقطية المتجانسة ذات المعامل${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$له توزيع ذو أبعاد محدودة: ^{[ 65 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

التطبيقات

تُعدّ عملية بواسون النقطية المكانية عنصرًا أساسيًا في الإحصاء المكاني ، ^{[ 21 ] [ 22 ]} والهندسة العشوائية ، ونظرية الترشيح المتصل . ^{[ 23 ]} وتُطبّق هذه العملية النقطية في العديد من العلوم الفيزيائية، مثل نموذج طُوّر لرصد جسيمات ألفا. في السنوات الأخيرة، شاع استخدامها لنمذجة التكوينات المكانية التي تبدو غير منتظمة في بعض شبكات الاتصالات اللاسلكية. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} على سبيل المثال، طُوّرت نماذج لشبكات الهاتف الخلوي أو المحمول، حيث يُفترض أن أجهزة إرسال شبكة الهاتف، المعروفة باسم المحطات الأساسية، موضوعة وفقًا لعملية بواسون النقطية المتجانسة.

يمكن توسيع عملية بواسون النقطية المتجانسة السابقة مباشرةً إلى أبعاد أعلى عن طريق استبدال مفهوم المساحة بالحجم (عالي الأبعاد). بالنسبة لبعض المناطق المحدودة${\displaystyle \textstyle B}$من الفضاء الإقليدي${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$إذا كانت النقاط تشكل عملية بواسون متجانسة ذات معامل${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ثم احتمال${\displaystyle \textstyle n}$النقاط الموجودة في${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

أين${\displaystyle \textstyle |B|}$يشير الآن إلى${\displaystyle \textstyle d}$حجم ذو أبعاد${\displaystyle \textstyle B}$علاوة على ذلك، بالنسبة لمجموعة من مجموعات بوريل المنفصلة والمحدودة${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}}$، يترك${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$يشير إلى عدد النقاط${\displaystyle \textstyle N}$موجود في${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ثم عملية بواسون النقطية المتجانسة المقابلة ذات المعامل${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$له توزيع محدود الأبعاد: ^{[ 67 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

لا تعتمد عمليات بواسون النقطية المتجانسة على موضع الفضاء الأساسي من خلال معلماتها${\displaystyle \textstyle \lambda }$مما يعني أنها عملية ثابتة (غير متغيرة بالنسبة للانتقال) وعملية عشوائية متناحية (غير متغيرة بالنسبة للدوران). ^{[ 25 ]} على غرار الحالة أحادية البعد، تقتصر عملية النقطة المتجانسة على مجموعة فرعية محدودة من${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$وبناءً على بعض تعريفات الاستقرار، فإن العملية لم تعد مستقرة. ^{[ 25 ] [ 52 ]}

إذا عُرّفت عملية النقاط المتجانسة على خط الأعداد الحقيقية كنموذج رياضي لحدوث ظاهرة ما، فإنها تتميز بأن مواقع هذه الأحداث على خط الأعداد الحقيقية (الذي يُفسّر غالبًا على أنه الزمن) ستكون موزعة بانتظام. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا وقع حدث ما (وفقًا لهذه العملية) في فترة زمنية${\displaystyle \textstyle (a,b]}$أين${\displaystyle \textstyle a\leq b}$إذا كان موقعها، فسيكون متغيرًا عشوائيًا منتظمًا مُعرَّفًا على تلك الفترة. ^{[ 65 ]} علاوة على ذلك، تُسمى عملية النقطة المتجانسة أحيانًا بعملية بواسون المنتظمة (انظر المصطلحات ). تمتد خاصية الانتظام هذه إلى أبعاد أعلى في الإحداثيات الديكارتية، ولكن ليس في الإحداثيات القطبية، على سبيل المثال. ^{[ 68 ] [ 69 ]}

على خط الأعداد الحقيقية، يكون متوسط ​​قياس عملية بواسون النقطية غير المتجانسة أو غير المتجانسة معطى بتكامل أحادي البعد. لعددين حقيقيين${\displaystyle \textstyle a}$و${\displaystyle \textstyle b}$، أين${\displaystyle \textstyle a\leq b}$، يُرمز إليه بـ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$عدد نقاط عملية بواسون غير المتجانسة ذات دالة الكثافة${\displaystyle \textstyle \lambda (t)}$يحدث في الفترة${\displaystyle \textstyle (a,b]}$احتمالية${\displaystyle \textstyle n}$النقاط الموجودة في الفترة المذكورة أعلاه${\displaystyle \textstyle (a,b]}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

حيث يكون مقياس المتوسط ​​أو الشدة:

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,}$

وهذا يعني أن المتغير العشوائي${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$هو متغير عشوائي بواسون بمتوسط${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$.

من سمات الإعداد أحادي البعد، أنه يمكن تحويل عملية بواسون غير المتجانسة إلى عملية متجانسة عن طريق تحويل رتيب أو تعيين، وهو ما يتم تحقيقه باستخدام معكوس${\displaystyle \textstyle \Lambda }$[ ^{70 ] [ 71 ]​}

عملية بواسون غير متجانسة معرفة في المستوى ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$يُطلق عليه اسم عملية بواسون المكانية ^{[ 16 ].} تُعرَّف بدالة شدة، ويُحسب مقياس شدتها بإجراء تكامل سطحي لدالة شدتها على منطقة معينة. ^{[ 20 ] [ 74 ]} على سبيل المثال، دالة شدتها (كدالة للإحداثيات الديكارتية)${\textstyle x}$و${\displaystyle \textstyle y}$) يمكن أن يكون

${\displaystyle \lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

وبالتالي، يُعطى مقياس الشدة المقابل بواسطة التكامل السطحي.

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

أين${\textstyle B}$هي منطقة محدودة في المستوى${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$.

في الطائرة،${\textstyle \Lambda (B)}$يتوافق مع التكامل السطحي بينما في${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$يصبح التكامل (${\textstyle d}$تكامل الحجم ذو الأبعاد.

عندما يُفسَّر خط الأعداد الحقيقية على أنه زمن، تُستخدم العملية غير المتجانسة في مجالات عمليات العد ونظرية الطوابير. ^{[ 72 ] [ 75 ]} ومن أمثلة الظواهر التي تم تمثيلها أو تظهر كعملية بواسون نقطية غير متجانسة ما يلي:

• الأهداف المسجلة في مباراة كرة قدم. ^{[ 76 ]}
• عيوب في لوحة الدوائر ^{[ 77 ]}

في المستوى، تُعدّ عملية بواسون النقطية مهمة في تخصصات الهندسة العشوائية ^{[ 1 ] [ 33 ]} والإحصاء المكاني ^{[ 21 ] [ 22 ]} . يعتمد مقياس كثافة هذه العملية النقطية على موقع الفضاء الأساسي، مما يعني إمكانية استخدامها لنمذجة الظواهر ذات الكثافة المتغيرة عبر منطقة معينة. بعبارة أخرى، يمكن تمثيل الظواهر كنقاط ذات كثافة تعتمد على الموقع ^{[ 20 ]} . وقد استُخدمت هذه العملية في تخصصات متنوعة، ومنها دراسة سمك السلمون وقمل البحر في المحيطات ^{[ 78 ]} ، وعلم الغابات ^{[ 6 ]} ، ومسائل البحث ^{[ 79 ] .}

دالة شدة بواسون${\textstyle \lambda (x)}$له تفسير، يعتبر بديهيًا، ^{[ 20 ]} مع عنصر الحجم${\textstyle \mathrm {d} x}$بالمعنى المتناهي الصغر:${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$هي الاحتمالية المتناهية الصغر لوجود نقطة من عملية بواسون النقطية في منطقة من الفضاء ذات حجم${\textstyle \mathrm {d} x}$يقع في${\textstyle x}$[ ^{20 ]​}

على سبيل المثال، إذا افترضنا عملية بواسون نقطية متجانسة على خط الأعداد الحقيقية، فإن احتمال إيجاد نقطة واحدة من هذه العملية في فترة صغيرة ذات عرض${\textstyle \delta }$يبلغ تقريبًا${\textstyle \lambda \delta }$في الواقع، هذه البديهية هي الطريقة التي يتم بها أحيانًا تقديم عملية بواسون النقطية واشتقاق توزيعها. ^{[ 80 ] [ 41 ] [ 81 ]}

إذا كانت عملية بواسون النقطية تمتلك مقياس كثافة محدودًا محليًا ومنتشرًا (أو غير ذري)، فإنها تُعدّ عملية نقطية بسيطة . في العملية النقطية البسيطة، يكون احتمال وجود نقطة في موقع واحد في فضاء الحالة الأساسي إما صفرًا أو واحدًا. وهذا يعني أنه باحتمال واحد، لا تتطابق نقطتان (أو أكثر) من عملية بواسون النقطية في الموقع نفسه في الفضاء الأساسي. ^{[ 82 ] [ 18 ] [ 83 ]}

عدد النقاط${\textstyle N}$في النافذة، المشار إليها هنا بـ${\textstyle W}$، يجب محاكاتها، ويتم ذلك باستخدام دالة توليد أرقام عشوائية (شبه) قادرة على محاكاة متغيرات بواسون العشوائية.

تتطلب المرحلة الثانية وضع عشوائي${\displaystyle \textstyle N}$النقاط في النافذة${\displaystyle \textstyle W}$.

على الرغم من اسمها، فإن عملية بواسون النقطية لم يكتشفها أو يدرسها صاحب الاسم. ويُستشهد بها كمثال على قانون ستيجلر للتسمية . ^{[ 2 ] [ 3 ]} ينشأ الاسم من العلاقة الجوهرية للعملية بتوزيع بواسون، الذي اشتقه بواسون كحالة حدية للتوزيع ذي الحدين . ^{[ 88 ]} وهي تصف احتمال مجموع${\displaystyle \textstyle n}$تجارب برنولي مع الاحتمالية${\displaystyle \textstyle p}$، وغالبًا ما يُشبه بعدد مرات ظهور الصورة (أو الكتابة) بعد${\displaystyle \textstyle n}$رميات عملة معدنية متحيزة باحتمالية ظهور صورة (أو كتابة) هي${\displaystyle \textstyle p}$. لبعض الثوابت الموجبة${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$، مثل${\displaystyle \textstyle n}$يزداد باتجاه اللانهاية و${\displaystyle \textstyle p}$يتناقص الناتج باتجاه الصفر بحيث يكون الناتج${\displaystyle \textstyle np=\Lambda }$إذا كانت قيمة ثابتة، فإن توزيع بواسون يقترب بشكل أوثق من توزيع ذي الحدين. ^{[ 89 ]}

في عام 1841، اشتق بواسون توزيع بواسون من خلال دراسة التوزيع ذي الحدين في النهاية عندما${\displaystyle \textstyle p}$يصبح صفرًا و${\displaystyle \textstyle n}$يؤول إلى اللانهاية. يظهر هذا التوزيع مرة واحدة فقط في أعمال بواسون، ^{[ 90 ]} ولم تكن نتيجته معروفة جيدًا في عصره. على مر السنوات اللاحقة، استخدم آخرون هذا التوزيع دون الإشارة إلى بواسون، بمن فيهم فيليب لودفيج فون سايدل وإرنست آبي . ^{[ 91 ] [ 2 ]} في نهاية القرن التاسع عشر، أعاد لاديسلاوس بورتكيفيتش إحياء الاهتمام بهذا التوزيع من خلال الإشارة إلى بواسون واستخدام بيانات حقيقية عن عدد الوفيات الناجمة عن ركلات الخيول في الجيش البروسي . ^{[ 88 ] [ 92 ]}

توجد عدة ادعاءات حول الاستخدامات أو الاكتشافات المبكرة لعملية بواسون النقطية. ^{[ 2 ] [ 3 ]} على سبيل المثال، اهتم جون ميتشل عام 1767، أي قبل عقد من ظهور بواسون، باحتمالية وجود نجم ضمن منطقة معينة من نجم آخر، انطلاقًا من افتراض خاطئ مفاده أن النجوم "متناثرة بمحض الصدفة"، ودرس مثالًا يتألف من ألمع ستة نجوم في عنقود الثريا ، دون أن يستنتج توزيع بواسون. ألهم هذا العمل سيمون نيومكومب لدراسة المشكلة وحساب توزيع بواسون كتقريب للتوزيع ذي الحدين عام 1860. ^{[ 3 ]}

في مطلع القرن العشرين، كانت عملية بواسون (في بُعد واحد) تظهر بشكل مستقل في مختلف الحالات. ^{[ 2 ] [ 3 ]} وفي السويد عام 1903، نشر فيليب لوندبيرغ أطروحة تتضمن عملاً يُعتبر الآن أساسياً ورائداً، حيث اقترح فيها نمذجة مطالبات التأمين باستخدام عملية بواسون متجانسة. ^{[ 93 ] [ 94 ]}

في الدنمارك، اشتق أ. ك. إرلانغ توزيع بواسون عام 1909 أثناء تطويره نموذجًا رياضيًا لعدد المكالمات الهاتفية الواردة في فترة زمنية محددة. لم يكن إرلانغ على دراية بأعمال بواسون السابقة، وافترض أن عدد المكالمات الهاتفية الواردة في كل فترة زمنية مستقل عن بعضها البعض. ثم وجد الحالة الحدية، والتي تُعد في الواقع إعادة صياغة لتوزيع بواسون كحد لتوزيع ذي الحدين. ^{[ 2 ]}

في عام ١٩١٠، نشر إرنست رذرفورد وهانز جايجر نتائج تجريبية حول عدّ جسيمات ألفا. وقد حظي عملهما التجريبي بمساهمات رياضية من هاري بيتمان ، الذي استنتج احتمالات بواسون كحل لمجموعة من المعادلات التفاضلية، على الرغم من أن الحل كان قد تم استنتاجه سابقًا، مما أدى إلى اكتشاف عملية بواسون بشكل مستقل. ^{[ ٢ ]} بعد ذلك، أُجريت العديد من الدراسات ووُظّفت عملية بواسون في تطبيقات عديدة، إلا أن تاريخها المبكر معقد، وهو ما يُفسَّر بتعدد تطبيقاتها في مجالات عديدة من قِبَل علماء الأحياء، وعلماء البيئة، والمهندسين، وعلماء الفيزياء. ^{[ ٢ ]}

أدت السنوات التي تلت عام 1909 إلى عدد من الدراسات والتطبيقات لعملية بواسون النقطية، إلا أن تاريخها المبكر معقد، ويعزى ذلك إلى تطبيقاتها المتعددة في مجالات عديدة من قبل علماء الأحياء ، وعلماء البيئة، والمهندسين، وغيرهم من العاملين في العلوم الفيزيائية . نُشرت النتائج المبكرة بلغات مختلفة وفي سياقات متنوعة، دون استخدام مصطلحات أو رموز موحدة. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، في عام 1922، اقترح الكيميائي السويدي الحائز على جائزة نوبل ، تيودور سفيدبيرغ، نموذجًا تُعد فيه عملية بواسون النقطية المكانية هي العملية الأساسية لدراسة كيفية توزيع النباتات في المجتمعات النباتية. ^{[ 95 ]} بدأ عدد من علماء الرياضيات دراسة هذه العملية في أوائل ثلاثينيات القرن العشرين، وقدم أندريه كولموغوروف ، وويليام فيلر ، وألكسندر خينشين ، ^{[ 2 ]} وغيرهم، إسهامات مهمة في هذا المجال. ^{[ 96 ]} في مجال هندسة حركة الاتصالات ، قام علماء الرياضيات والإحصاء بدراسة واستخدام عمليات بواسون وغيرها من العمليات النقطية. ^{[ 97 ]}

درس السويدي كوني بالم في أطروحته عام 1943 عملية بواسون وغيرها من العمليات النقطية في بُعد واحد، وذلك بفحصها من حيث التبعية الإحصائية أو العشوائية بين النقاط عبر الزمن. ^{[ 98 ] [ 97 ]} ويُعدّ عمله أول استخدام موثق معروف لمصطلح العمليات النقطية بصيغة Punktprozesse الألمانية. ^{[ 98 ] [ 3 ]}

يُعتقد ^{[ 2 ]} أن ويليام فيلر كان أول من أشار إليه في بحثٍ نُشر عام 1940 باسم " عملية بواسون" . ورغم أن السويدي أوف لوندبيرغ استخدم مصطلح " عملية بواسون" في أطروحته للدكتوراه عام 1940 ^{[ 3 ]} ، والتي أقرّ فيها بتأثير فيلر ^{[ 99 ]} ، فقد زُعم أن فيلر هو من صاغ المصطلح قبل عام 1940 ^{[ 89 ].} وقد لُوحظ أن كلاً من فيلر ولوندبيرغ استخدما المصطلح كما لو كان شائع الاستخدام، مما يوحي بأنه كان مُتداولاً شفهياً آنذاك. ^{[ 3 ]} عمل فيلر من عام 1936 إلى عام 1939 إلى جانب هارالد كرامر في جامعة ستوكهولم ، حيث كان لوندبيرغ طالب دكتوراه تحت إشراف كرامر الذي لم يستخدم مصطلح عملية بواسون في كتاب من تأليفه، والذي انتهى منه عام 1936، ولكنه استخدمه في الطبعات اللاحقة، مما أدى إلى التكهن بأن مصطلح عملية بواسون قد صِيغ في وقت ما بين عامي 1936 و1939 في جامعة ستوكهولم. ^{[ 3 ]}

بالنسبة لعملية نقطة بواسون${\displaystyle \textstyle N}$مع قياس الشدة${\displaystyle \textstyle \Lambda }$في بعض الفضاء${\displaystyle X}$، يتم إعطاء دالة لابلاس بواسطة: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

تتضمن إحدى نسخ نظرية كامبل دالة لابلاس لعملية بواسون النقطية.

تؤدي دالة توليد الاحتمالات لمتغير عشوائي ذي قيم صحيحة غير سالبة إلى تعريف دالة توليد الاحتمالات بشكل مماثل بالنسبة لأي دالة محدودة غير سالبة.${\displaystyle \textstyle v}$على${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$بحيث${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$بالنسبة لعملية نقطية${\displaystyle \textstyle {N}}$يتم تعريف الدالة المولدة للاحتمالات على النحو التالي: ^{[ 122 ]}

${\displaystyle G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]}$

حيث يتم تنفيذ المنتج لجميع النقاط في${\textstyle N}$إذا كان مقياس الشدة${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ل${\displaystyle \textstyle {N}}$إذا كانت محدودة محليًا، فإن${\textstyle G}$تكون محددة جيدًا لأي دالة قابلة للقياس${\displaystyle \textstyle u}$على${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$بالنسبة لعملية بواسون النقطية ذات مقياس الكثافة${\displaystyle \textstyle \Lambda }$الدالة المولدة معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

والذي يختزل في الحالة المتجانسة إلى

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.}$

بالنسبة لعملية بواسون النقطية العامة ذات مقياس الكثافة${\displaystyle \textstyle \Lambda }$مقياس العزم الأول هو مقياس شدته: ^{[ 18 ] [ 19 ]}

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

وذلك بالنسبة لعملية بواسون النقطية المتجانسة ذات الكثافة الثابتة${\displaystyle \textstyle \lambda }$وسائل:

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

أين${\displaystyle \textstyle |B|}$هو الطول أو المساحة أو الحجم (أو بشكل أعم، مقياس لوبيغ )${\displaystyle \textstyle B}$.

تُحدد معادلة ميكي خصائص عملية بواسون النقطية. لنفترض${\displaystyle \mathbb {N} _{\sigma }}$ليكن فضاء الجميع${\displaystyle \sigma }$- قياسات محدودة على فضاء عام${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$عملية نقطية${\displaystyle \eta }$بكثافة${\displaystyle \lambda }$على${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$تكون عملية بواسون النقطية إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا لجميع الدوال القابلة للقياس${\displaystyle f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}}$ما يلي ينطبق

${\displaystyle E\left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int E\left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

للمزيد من التفاصيل، انظر ^{[ 123 ]}

بالنسبة لعملية بواسون النقطية العامة ذات مقياس الكثافة${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ال${\displaystyle \textstyle n}$يُعطى مقياس العزم العاملي من الرتبة n بالصيغة التالية: ^{[ 124 ]}

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

أين${\displaystyle \textstyle \Lambda }$هو مقياس الشدة أو مقياس العزم الأول لـ${\displaystyle \textstyle {N}}$، وهو ما يمثل مجموعة بوريل بالنسبة لبعض${\displaystyle \textstyle B}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

بالنسبة لعملية بواسون النقطية المتجانسة${\displaystyle \textstyle n}$مقياس العزم العاملي من الرتبة n هو ببساطة: ^{[ 18 ] [ 19 ]}

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

أين${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$هو الطول أو المساحة أو الحجم (أو بشكل أعم، مقياس لوبيغ )${\displaystyle \textstyle B_{i}}$علاوة على ذلك،${\displaystyle \textstyle n}$كثافة العزم العاملي من الرتبة n هي: ^{[ 124 ]}

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

تتميز عمليات النقاط البسيطة تمامًا باحتمالات فراغها. ^{[ 126 ]} بعبارة أخرى، تُختزل جميع معلومات عملية النقاط البسيطة في احتمالات فراغها، وتتشابه احتمالات فراغ عمليتين بسيطتين إذا وفقط إذا كانتا نفس عملية النقاط. تُعرف حالة عملية بواسون أحيانًا باسم نظرية ريني ، نسبةً إلى ألفريد ريني الذي اكتشف النتيجة لحالة عملية النقاط المتجانسة في بُعد واحد. ^{[ 127 ]}

تنص نظرية ريني في إحدى صيغها ^{[ 127 ] على أنه إذا}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$هو مقياس رادون منتشر (أو غير ذري)${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$و${\displaystyle \textstyle N}$هي عملية نقطية بسيطة محدودة محليًا على${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$بحيث يكون لأي مجموعة${\displaystyle \textstyle A}$بما أنها اتحاد محدود من المستطيلات، فإن هذا ينطبق عليها ما يلي:

${\displaystyle \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}}$،

ثم${\displaystyle \textstyle N}$هي عملية بواسون النقطية ذات مقياس الكثافة${\displaystyle \textstyle \Lambda }$.

بالنسبة لعملية بواسون، المستقل${\displaystyle \textstyle p(x)}$تؤدي عمليات التخفيف إلى عملية نقطة بواسون أخرى. وبشكل أكثر تحديدًا،${\displaystyle \textstyle p(x)}$عملية التخفيف المطبقة على عملية بواسون النقطية ذات مقياس الكثافة${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ينتج عن ذلك عملية نقطية للنقاط المحذوفة، وهي أيضًا عملية نقطية من نوع بواسون.${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$مع قياس الشدة${\displaystyle \textstyle \Lambda _{p}}$، وهو ما ينطبق على مجموعة بوريل المحدودة${\displaystyle \textstyle B}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)}$

تُعرف نتيجة التخفيف هذه لعملية بواسون النقطية أحيانًا باسم نظرية بريكوبا . ^{[ 129 ]} علاوة على ذلك، بعد تخفيف عملية بواسون النقطية عشوائيًا، فإن النقاط المحفوظة أو المتبقية تُشكل أيضًا عملية بواسون نقطية، والتي لها مقياس الكثافة

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).}$

إن عمليتي بواسون النقطيتين المنفصلتين، المتكونتين على التوالي من النقاط المحذوفة والمحتفظ بها، مستقلتان عشوائياً عن بعضهما البعض. ^{[ 128 ]} بعبارة أخرى، إذا كانت منطقة ما معروفة بأنها تحتوي على${\displaystyle \textstyle n}$إذا احتفظنا بالنقاط (من عملية بواسون الأصلية)، فلن يؤثر ذلك على العدد العشوائي للنقاط المحذوفة في المنطقة نفسها. تُعرف هذه القدرة على إنشاء عمليتين مستقلتين عشوائيتين لنقاط بواسون من عملية واحدة أحيانًا باسم تقسيم عملية بواسون ^{[ 130 ] [ 131 ] .}

إذا كانت هناك مجموعة قابلة للعد من العمليات النقطية${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2},\dots }$ثم تراكبهما، أو بلغة نظرية المجموعات، اتحادهما، وهو ^{[ 132 ]}

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},}$

يشكل أيضًا عملية نقطية. بعبارة أخرى، أي نقاط تقع في أي من العمليات النقطية${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$سيتم تحديد موقعها أيضًا في تراكب عمليات النقاط هذه${\displaystyle \textstyle {N}}$.

يتم تنفيذ عملية التجميع عندما تكون كل نقطة${\displaystyle \textstyle x}$لبعض عمليات النقاط${\displaystyle \textstyle {N}}$يتم استبدالها بعملية نقطية أخرى (ربما مختلفة). إذا كانت العملية الأصلية${\displaystyle \textstyle {N}}$إذا كانت عملية بواسون النقطية، فإن العملية الناتجة${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$يُطلق عليه اسم عملية نقطة التجميع بواسون.

قد يتطلب النموذج الرياضي تحريك نقاط عملية نقطية عشوائيًا إلى مواقع أخرى في الفضاء الرياضي الأساسي، مما يُنتج عملية نقطية تُعرف بالإزاحة ^{[ 134 ]} أو الانتقال ^{[ 135 ]} . وقد استُخدمت عملية بواسون النقطية لنمذجة، على سبيل المثال، حركة النباتات بين الأجيال، وذلك استنادًا إلى نظرية الإزاحة ^{[ 134 ]} التي تنص بشكل عام على أن الإزاحة العشوائية المستقلة لنقاط عملية بواسون النقطية (على نفس الفضاء الأساسي) تُشكل عملية بواسون نقطية أخرى.

ومن الخصائص الأخرى التي تعتبر مفيدة القدرة على رسم خريطة لعملية نقطة بواسون من فضاء أساسي إلى فضاء آخر. ^{[ 136 ]}