رقم رينولدز

يحدث الانتقال من التدفق الصفائحي (يسار) إلى التدفق المضطرب (يمين) للماء من الصنبور مع زيادة رقم رينولدز.

في ديناميكا الموائع ، يُعدّ عدد رينولدز ( Re ) كميةً لا بُعدية تُساعد في التنبؤ بأنماط تدفق الموائع في مختلف الحالات عن طريق قياس النسبة بين قوى القصور الذاتي وقوى اللزوجة . ^{[ 2 ]} عند أعداد رينولدز المنخفضة، يميل التدفق إلى أن يكون انسيابيًا (على شكل صفائح) ، بينما عند أعداد رينولدز المرتفعة، يميل التدفق إلى أن يكون مضطربًا . ^{[ 3 ]} ينشأ الاضطراب من اختلافات في سرعة المائع واتجاهه، والتي قد تتقاطع أحيانًا أو حتى تتحرك عكس الاتجاه العام للتدفق ( التيارات الدوامية ). تبدأ هذه التيارات الدوامية في إحداث اضطراب في التدفق، مستهلكةً الطاقة في هذه العملية، مما يزيد من احتمالية حدوث التكهف في السوائل .

يُستخدم رقم رينولدز على نطاق واسع، بدءًا من تدفق السوائل في الأنابيب وصولًا إلى مرور الهواء فوق جناح الطائرة. ويُستخدم للتنبؤ بالانتقال من التدفق الصفائحي إلى التدفق المضطرب، كما يُستخدم في قياس حالات التدفق المتشابهة ولكن ذات الأحجام المختلفة، كما هو الحال بين نموذج طائرة في نفق هوائي والطائرة الحقيقية. ويمكن الاستفادة من التنبؤات ببداية الاضطراب والقدرة على حساب تأثيرات القياس للمساعدة في التنبؤ بسلوك الموائع على نطاق أوسع، كما هو الحال في حركة الهواء أو الماء على المستوى المحلي أو العالمي، وبالتالي التأثيرات المناخية والأرصادية المرتبطة بها. ^{[ 4 ]}

تم تقديم المفهوم من قبل جورج ستوكس في عام 1851، ^{[ 5 ]} ولكن تم تسمية رقم رينولدز من قبل أرنولد سومرفيلد في عام 1908 ^{[ 6 ]} نسبة إلى أوزبورن رينولدز الذي شاع استخدامه في عام 1883 ^{[ 7 ] [ 8 ]} (مثال على قانون ستيجلر للتسمية ).

عدد رينولدز هو نسبة قوى القصور الذاتي إلى قوى اللزوجة داخل سائل يتعرض لحركة داخلية نسبية نتيجة اختلاف سرعاته. تُعرف المنطقة التي تتغير فيها هذه القوى بالطبقة الحدية ، مثل السطح الحدودي داخل أنبوب. ويحدث تأثير مشابه عند إدخال تيار من سائل عالي السرعة في سائل منخفض السرعة، مثل الغازات الساخنة المنبعثة من اللهب في الهواء. تُولد هذه الحركة النسبية احتكاكًا بين السائلين، وهو عامل في تطور التدفق المضطرب. في المقابل، تعمل لزوجة السائل على كبح هذا التأثير، مما يقلل من الاضطراب. يُحدد عدد رينولدز الأهمية النسبية لهذين النوعين من القوى في ظروف تدفق معينة، وهو دليل على متى سيحدث التدفق المضطرب في حالة معينة. ^{[ 9 ]}

تُعدّ القدرة على التنبؤ ببداية التدفق المضطرب أداة تصميم مهمة لمعدات مثل أنظمة الأنابيب أو أجنحة الطائرات، كما يُستخدم رقم رينولدز في قياس مسائل ديناميكا الموائع، ويُستخدم لتحديد التشابه الديناميكي بين حالتين مختلفتين لتدفق الموائع، مثلاً بين طائرة نموذجية ونسختها الحقيقية. هذا القياس ليس خطيًا، وتطبيق أرقام رينولدز على كلتا الحالتين يسمح بتطوير عوامل قياس.

فيما يتعلق بأنظمة التدفق الصفائحي والمضطرب :

• يحدث التدفق الصفائحي عند أرقام رينولدز المنخفضة، حيث تكون قوى اللزوجة هي السائدة، ويتميز بحركة سائلة سلسة وثابتة؛
• يحدث التدفق المضطرب عند أرقام رينولدز العالية، وتهيمن عليه قوى القصور الذاتي، التي تميل إلى إنتاج دوامات فوضوية ودوامات واضطرابات أخرى في التدفق. ^{[ 10 ]}

يُعرَّف رقم رينولدز على النحو التالي: ^{[ 6 ]}

أين:

• ρ هيكثافةالسائل (وحدات النظام الدولي للوحدات: كجم/^م³)
• u هي سرعة التدفق (م/ث)
• L هو طول مميز (م)
• μ هياللزوجة الديناميكيةللسائل(باسكال.ثانية أو نيوتن.ثانية/م²^أوكيلوغرام/(م.ثانية))
• ${\displaystyle \nu }$هي اللزوجة الحركية للسائل (م ² /ث).

لا تُعدّ هذه الأرقام مستقلةً عمومًا: فالسوائل عمومًا تقلّ لزوجتها مع ارتفاع درجة حرارتها، بينما تزداد لزوجة الغازات عمومًا . وينخفض ​​كثافة كليهما عمومًا مع ارتفاع درجة حرارتهما ، مع أن هذا التأثير يكون أكثر وضوحًا في الغازات. بالنسبة لجسم (صلب) في سائل ، يتغير طوله المميز بتغير درجة الحرارة - فالأجسام الصلبة عادةً ما تكون أقل حساسيةً لدرجة الحرارة من السوائل فيما يتعلق بالكثافة، ولكن عند سرعات تدفق كافية، قد تكون كمية الحرارة الناتجة عن الاحتكاك أثناء مرور الجسم عبر السائل كبيرة.

يمكن تعريف عدد رينولدز لعدة حالات مختلفة يكون فيها المائع في حركة نسبية بالنسبة لسطح ما. ^{[ n 1 ]} تشمل هذه التعريفات عمومًا خصائص المائع من حيث الكثافة واللزوجة، بالإضافة إلى السرعة والطول المميز أو البعد المميز (L في المعادلة أعلاه). هذا البعد مسألة اصطلاحية - على سبيل المثال، يُعد كل من نصف القطر والقطر صالحين لوصف الكرات أو الدوائر، ولكن يتم اختيار أحدهما اصطلاحًا. بالنسبة للطائرات أو السفن، يمكن استخدام الطول أو العرض. بالنسبة للتدفق في الأنابيب، أو بالنسبة لكرة تتحرك في مائع، يُستخدم القطر الداخلي بشكل عام اليوم. أما الأشكال الأخرى مثل الأنابيب المستطيلة أو الأجسام غير الكروية فلها قطر مكافئ مُحدد. بالنسبة للموائع ذات الكثافة المتغيرة مثل الغازات القابلة للانضغاط أو الموائع ذات اللزوجة المتغيرة مثل الموائع غير النيوتونية ، تُطبق قواعد خاصة. قد تكون السرعة أيضًا مسألة اصطلاحية في بعض الظروف، لا سيما في الأوعية المُحَرَّكة.

عمليًا، لا يكفي تطابق رقم رينولدز وحده لضمان التشابه. فتدفق الموائع فوضوي في الغالب، وقد تؤدي تغييرات طفيفة جدًا في شكل وخشونة الأسطح المحيطة إلى تدفقات مختلفة تمامًا. ومع ذلك، يُعد رقم رينولدز دليلًا بالغ الأهمية ويُستخدم على نطاق واسع.

إذا علمنا أن الكميات الفيزيائية ذات الصلة في نظام فيزيائي هي فقط${\displaystyle \rho ,u,L,\mu }$ثم يتم تحديد رقم رينولدز بشكل أساسي بواسطة نظرية باكنغهام π .

بالتفصيل، بما أن هناك 4 كميات${\displaystyle \rho ,u,L,\mu }$لكن بما أن لها ثلاثة أبعاد فقط (الطول، والزمن، والكتلة)، يمكننا اعتبارها${\displaystyle \rho ^{x_{1}}u^{x_{2}}L^{x_{3}}\mu ^{x_{4}}}$، أين${\displaystyle x_{1},...,x_{4}}$هي أعداد حقيقية. تحديد الأبعاد الثلاثة لـ${\displaystyle \rho ^{x_{1}}u^{x_{2}}L^{x_{3}}\mu ^{x_{4}}}$عندما نصل إلى الصفر، نحصل على 3 قيود خطية مستقلة، لذا فإن فضاء الحل له بُعد واحد، وهو مُمتد بواسطة المتجه${\displaystyle (1,1,1,-1)}$.

وبالتالي، فإن أي كمية لا بُعدية مُنشأة من${\displaystyle \rho ,u,L,\mu }$هي وظيفة من${\displaystyle \rho uL\mu ^{-1}}$، رقم رينولدز.

بدلاً من ذلك، يمكننا أخذ معادلات نافيير-ستوكس غير القابلة للانضغاط (الصيغة الحملية) :$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g} }$$قم بإزالة مصطلح الجاذبية${\displaystyle {\mathbf {g}}}$إذن، يتكون الجانب الأيسر من قوة القصور الذاتي${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} }$والقوة اللزجة${\displaystyle \nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$نسبتهم من رتبة${\displaystyle {\frac {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} }{\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }}\sim {\frac {u^{2}/L}{\nu u/L^{2}}}={\frac {uL}{\nu }}}$، وهو عدد رينولدز. وقد تم شرح هذه الحجة بالتفصيل في صفحة نظرية المحار .

اشتقاق بديل

يمكن الحصول على رقم رينولدز عند استخدام الشكل غير البعدي لمعادلات نافيير-ستوكس غير القابلة للانضغاط لسائل نيوتوني معبر عنه بدلالة مشتقة لاغرانج :

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {f} .}$

لكل حد في المعادلة أعلاه وحدات "قوة الجسم" (القوة لكل وحدة حجم) بنفس أبعاد الكثافة مضروبة في التسارع. وبالتالي، يعتمد كل حد على القياسات الدقيقة للتدفق. عندما نجعل المعادلة لا بُعدية، أي عندما نضربها بمعامل ذي وحدات معكوسة للمعادلة الأساسية، نحصل على صيغة لا تعتمد مباشرة على الأحجام الفيزيائية. إحدى الطرق الممكنة للحصول على معادلة لا بُعدية هي ضرب المعادلة بأكملها في هذا المعامل.

${\displaystyle {\frac {L}{\rho V^{2}}},}$

أين

• V هي السرعة المتوسطة، v أو v ، بالنسبة للسائل (م/ث)،
• L هو الطول المميز (م)،
• ρ هي كثافة السائل (كجم/م ³ ).

إذا قمنا الآن بتحديد

$// t'}}&={\frac {L}{V}}{\frac {\partial }{\partial t}},&\nabla '&=L\nabla ,\end{محاذاة}}}$

يمكننا إعادة كتابة معادلة نافيير-ستوكس بدون أبعاد:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {v} '}{Dt'}}=-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho LV}}\nabla '^{2}\mathbf {v} '+\mathbf {f} ',}$

حيث أن الحد ⁠ μ / ρLV ⁠ = ⁠ 1 / Re ⁠ .

وأخيرًا، تم حذف علامات الترقيم لتسهيل القراءة:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla p+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .}$

لهذا السبب، من الناحية الرياضية، يمكن مقارنة جميع التدفقات النيوتونية غير القابلة للانضغاط ذات رقم رينولدز نفسه. لاحظ أيضًا أنه في المعادلة أعلاه، تتلاشى حدود اللزوجة عندما يؤول رقم رينولدز إلى اللانهاية . وبالتالي، فإن التدفقات ذات أرقام رينولدز العالية تكون عديمة اللزوجة تقريبًا في التيار الحر.

قام أوزبورن رينولدز بدراسة الظروف التي ينتقل فيها تدفق السوائل في الأنابيب من التدفق الصفائحي إلى التدفق المضطرب .

في ورقته البحثية التي نشرها عام 1883، وصف رينولدز الانتقال من التدفق الصفائحي إلى التدفق المضطرب في تجربة كلاسيكية قام فيها بفحص سلوك تدفق المياه تحت سرعات تدفق مختلفة باستخدام تيار صغير من المياه المصبوغة تم إدخاله في مركز تدفق المياه الصافية في أنبوب أكبر.

صُنع الأنبوب الأكبر من الزجاج لمراقبة سلوك طبقة التيار المصبوغ. وفي نهايته، وُضع صمام للتحكم في التدفق لتغيير سرعة الماء داخل الأنبوب. عندما كانت السرعة منخفضة، ظلت طبقة الصبغ واضحة على امتداد الأنبوب الكبير. وعند زيادة السرعة، تتفكك الطبقة عند نقطة معينة وتنتشر في جميع أنحاء المقطع العرضي للسائل. وتُعدّ هذه النقطة نقطة التحول من التدفق الصفائحي إلى التدفق المضطرب.

انبثق من هذه التجارب رقم رينولدز عديم الأبعاد للتشابه الديناميكي ، وهو نسبة قوى القصور الذاتي إلى قوى اللزوجة . كما اقترح رينولدز ما يُعرف الآن بمتوسط ​​رينولدز للتدفقات المضطربة، حيث تُعبّر كميات مثل السرعة عن مجموع المكونات المتوسطة والمتذبذبة. يتيح هذا المتوسط ​​وصفًا "كليًا" للتدفق المضطرب، على سبيل المثال باستخدام معادلات نافيير-ستوكس المتوسطة لرينولدز .

بالنسبة للتدفق في أنبوب أو ماسورة، يتم تعريف رقم رينولدز بشكل عام على أنه ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {uD_{\text{H}}}{\nu }}={\frac {\rho uD_{\text{H}}}{\mu }}={\frac {\rho QD_{\text{H}}}{\mu A}}={\frac {WD_{\text{H}}}{\mu A}},}$

أين

• D _H هو القطر الهيدروليكي للأنبوب (القطر الداخلي إذا كان الأنبوب دائريًا) (م)،
• Q هو معدل التدفق الحجمي (م³ ^/ ث)،
• A ^هي مساحة المقطع العرضيللأنبوب( A = πDH² / 4 ) ⁽ م² ) _،
• u هي متوسط ​​سرعة السائل (م/ث)،
• μ (mu) هي اللزوجة الديناميكية للسائل(Pa·s = N·s/m ² = kg/(m·s)) ،
• ν (nu) هي اللزوجة الحركية ( ν = μ / ρ ) (م² ^/ ث) ،
• ρ (ρ) هي كثافة السائل (كجم/م³ ⁾ ،
• W هو معدل تدفق كتلة السائل (كجم/ثانية).

بالنسبة للأشكال مثل المربعات أو المستطيلات أو القنوات الحلقية حيث يكون الارتفاع والعرض متقاربين، يُعتبر البعد المميز لحالات التدفق الداخلي هو القطر الهيدروليكي ، D _H ، والذي يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4A}{P}},}$

حيث A هي مساحة المقطع العرضي، و P هي المحيط المبلل . المحيط المبلل لقناة ما هو المحيط الكلي لجميع جدران القناة الملامسة للتدفق. ^{[ 12 ]} وهذا يعني أن طول القناة المعرض للهواء لا يُحتسب ضمن المحيط المبلل.

بالنسبة للأنبوب الدائري، يكون القطر الهيدروليكي مساوياً تماماً للقطر الداخلي للأنبوب:

${\displaystyle D_{\text{H}}=D.}$

بالنسبة لقناة حلقية، مثل القناة الخارجية في مبادل حراري أنبوبي ، يمكن إثبات أن القطر الهيدروليكي يتقلص جبريًا إلى

${\displaystyle D_{\text{H,annulus}}=D_{\text{o}}-D_{\text{i}},}$

أين

• D _o هو القطر الداخلي للأنبوب الخارجي،
• Di _هو القطر الخارجي للأنبوب الداخلي.

بالنسبة للحسابات التي تتضمن التدفق في القنوات غير الدائرية، يمكن استبدال القطر الهيدروليكي بقطر القناة الدائرية، بدقة معقولة، إذا ظلت نسبة العرض إلى الارتفاع AR للمقطع العرضي للقناة في النطاق 1 / 4 < AR < 4. ^{[ 13 ]}

في جريان الطبقة الحدية فوق صفيحة مسطحة، تؤكد التجارب أنه بعد مسافة معينة من الجريان، تصبح الطبقة الحدية الصفائحية غير مستقرة ومضطربة. ويحدث هذا عدم الاستقرار عبر مقاييس مختلفة ومع سوائل مختلفة، عادةً عندما يكون عدد رينولدز (Re _x) ≈5 × 10 ⁵ ، ^{[ 14 ]} حيث x هي المسافة من الحافة الأمامية للصفيحة المسطحة، وسرعة التدفق هي سرعة التدفق الحر للسائل خارج الطبقة الحدية.

بالنسبة للتدفق في أنبوب قطره D ، تُظهر الملاحظات التجريبية أنه في حالة التدفق "المتطور بالكامل"، يحدث التدفق الصفائحي عندما يكون ^عدد رينولدز (Re ⁾ _أقل ^من 2300، بينما يحدث التدفق المضطرب عندما يكون _Re > 2900. ^{[ 15 ] [ 16 ]} عند الحد الأدنى لهذا النطاق، يتشكل تدفق مضطرب مستمر، ولكن فقط على مسافة بعيدة جدًا من مدخل الأنبوب. يبدأ التدفق في هذه المرحلة بالتحول من التدفق الصفائحي إلى التدفق المضطرب ثم يعود إلى التدفق الصفائحي على فترات غير منتظمة، ويُسمى هذا التدفق بالتدفق المتقطع. ويعود ذلك إلى اختلاف سرعات وظروف المائع في مناطق مختلفة من المقطع العرضي للأنبوب، اعتمادًا على عوامل أخرى مثل خشونة الأنبوب وانتظام التدفق. يميل التدفق الصفائحي إلى السيطرة في مركز الأنبوب سريع الحركة، بينما يسود التدفق المضطرب الأبطأ حركة بالقرب من الجدار. مع ازدياد عدد رينولدز، يقترب التدفق المضطرب المستمر من المدخل، ويزداد التقطع بين المدخل والمدخل، حتى يصبح التدفق مضطربًا تمامًا عند Re _D > 2900. ^{[ 15 ]} تُعمم هذه النتيجة على القنوات غير الدائرية باستخدام القطر الهيدروليكي ، مما يسمح بحساب عدد رينولدز الانتقالي لأشكال القنوات الأخرى. ^{[ 15 ]}

تُسمى أرقام رينولدز الانتقالية هذه أيضًا أرقام رينولدز الحرجة ، وقد درسها أوزبورن رينولدز حوالي عام 1895. ^{[ 8 ]} يختلف رقم رينولدز الحرج باختلاف كل شكل هندسي. ^{[ 17 ]}

بالنسبة لسائل يتحرك بين سطحين مستويين متوازيين - حيث يكون العرض أكبر بكثير من المسافة بين اللوحين - فإن البعد المميز يساوي المسافة بين اللوحين. ^{[ 18 ]} وهذا يتوافق مع حالتي القناة الحلقية والقناة المستطيلة المذكورتين أعلاه، عند الوصول إلى نسبة أبعاد محددة.

لحساب تدفق السائل ذي السطح الحر، يجب تحديد نصف القطر الهيدروليكي . وهو مساحة المقطع العرضي للقناة مقسومة على محيطها المبلل. بالنسبة للقناة نصف الدائرية، يساوي نصف القطر الهيدروليكي ربع القطر (في حالة التدفق الكامل داخل الأنبوب). أما بالنسبة للقناة المستطيلة، فيساوي نصف القطر الهيدروليكي مساحة المقطع العرضي مقسومة على محيطها المبلل. تستخدم بعض المراجع بُعدًا مميزًا يساوي أربعة أضعاف نصف القطر الهيدروليكي، وذلك لأنه يُعطي نفس قيمة عدد رينولدز ( Re) لبداية الاضطراب كما هو الحال في التدفق داخل الأنبوب، ^{[ 19 ]} بينما تستخدم مراجع أخرى نصف القطر الهيدروليكي كمقياس طول مميز، وبالتالي قيمًا مختلفة لعدد رينولدز (Re) للتدفق الانتقالي والتدفق المضطرب.

تُستخدم أرقام رينولدز في تصميم الأجنحة الهوائية (من بين أمور أخرى) لإدارة "تأثير الحجم" عند حساب/مقارنة الخصائص (جناح صغير جدًا، تم تكبيره ليصبح ضخمًا، سيؤدي أداءً مختلفًا). ^{[ 20 ]} يُعرّف علماء ديناميكا الموائع رقم رينولدز للوتر R = Vc / ν ، حيث V هي سرعة الطيران، وc هو طول الوتر، و ν هي اللزوجة الحركية للمائع الذي يعمل فيه الجناح الهوائي، وهي1.460 × 10⁻⁵ م² ^/ ث  للغلاف الجوي عند مستوى سطح البحر . ^{[ 21 ] في بعض الدراسات الخاصة ،} قد يُستخدم طول مميز آخر غير طول الوتر؛ ونادرًا ما يُستخدم "عدد رينولدز للجناح"، والذي يجب عدم الخلط بينه وبين المحطات على طول الجناح، حيث لا يزال يُستخدم طول الوتر. ^{[ 22 ]}

يُطلق على رقم رينولدز لجسم يتحرك في سائل، ويسمى رقم رينولدز للجسيمات وغالبًا ما يُرمز له بـ Re _p ، وهو يصف طبيعة التدفق المحيط وسرعة سقوطه.

في السوائل اللزجة

في الحالات التي تكون فيها اللزوجة عالية بطبيعتها، كما هو الحال في محاليل البوليمرات ومصاهيرها، يكون التدفق عادةً انسيابيًا. يكون رقم رينولدز صغيرًا جدًا، ويمكن استخدام قانون ستوكس لقياس لزوجة السائل. تُترك الكرات تسقط عبر السائل، فتصل بسرعة إلى السرعة النهائية ، ومنها يمكن تحديد اللزوجة. ^{[ 23 ]}

تستغل الحيوانات، كالأسماك والدلافين، التدفق الصفائحي لمحاليل البوليمر، حيث تفرز محاليل لزجة من جلدها لتسهيل انسيابها فوق أجسامها أثناء السباحة. ^{[ 24 ]} وقد استُخدمت هذه الخاصية في سباقات اليخوت من قِبل مالكيها الذين يرغبون في زيادة سرعتهم عن طريق ضخ محلول بوليمر، مثل بولي أوكسي إيثيلين منخفض الوزن الجزيئي في الماء، فوق السطح المبلل لهيكل اليخت.

إلا أن ذلك يمثل مشكلة في خلط البوليمرات، إذ يتطلب الأمر اضطرابًا لتوزيع الحشوات الدقيقة (على سبيل المثال) في المادة. وقد طُوّرت ابتكارات مثل "خلاط نقل التجويف" لإنتاج طيات متعددة في المصهور المتحرك لتحسين كفاءة الخلط . ويمكن تركيب هذا الجهاز على آلات البثق للمساعدة في الخلط.

كرة في سائل

بالنسبة للكرة في سائل، يكون مقياس الطول المميز هو قطر الكرة، والسرعة المميزة هي سرعة الكرة بالنسبة للسائل على مسافة معينة منها، بحيث لا تؤثر حركة الكرة على تلك الكمية المرجعية من السائل. أما الكثافة واللزوجة فهما خاصيتان بالسائل. ^{[ 25 ]} تجدر الإشارة إلى أن التدفق الصفائحي الخالص لا يوجد إلا حتى عدد رينولدز 10 وفقًا لهذا التعريف.

في ظل حالة انخفاض عدد رينولدز ، فإن العلاقة بين القوة وسرعة الحركة تُعطى بقانون ستوكس . ^{[ 26 ]}

عند أرقام رينولدز العالية، تعتمد مقاومة الهواء المؤثرة على الكرة على خشونة سطحها. فعلى سبيل المثال، يؤدي إضافة نقرات على سطح كرة الغولف إلى تحول الطبقة الحدية على الجانب الأمامي للكرة من انسيابية إلى مضطربة. وتستطيع الطبقة الحدية المضطربة البقاء ملتصقة بسطح الكرة لفترة أطول بكثير من الطبقة الحدية الانسيابية، مما يُنشئ منطقة اضطراب أضيق ذات ضغط منخفض، وبالتالي مقاومة ضغط أقل. ويؤدي انخفاض مقاومة الضغط إلى زيادة مسافة تحرك الكرة. ^{[ 27 ]}

يمكن التنبؤ بانخفاضات الضغط ^{[ 30 ]} التي تُلاحظ في التدفق المتطور للسوائل عبر الأنابيب باستخدام مخطط مودي ، الذي يرسم معامل الاحتكاك دارسي-وايزباخ f مقابل عدد رينولدز Re والخشونة النسبية ε / D . يُظهر المخطط بوضوح أنظمة التدفق الصفائحي والانتقالي والمضطرب مع ازدياد عدد رينولدز. وتعتمد طبيعة تدفق الأنابيب بشكل كبير على ما إذا كان التدفق صفائحيًا أم مضطربًا.

لكي يتشابه تدفقان، يجب أن يكون لهما نفس الشكل الهندسي وأن يتساوى عددا رينولدز وأويلر . عند مقارنة سلوك المائع عند نقاط متناظرة في نموذج وتدفق بالحجم الطبيعي، ينطبق ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Re} _{\text{m}}&=\mathrm {Re} ,\\\mathrm {Eu} _{\text{m}}&=\mathrm {Eu} ,\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \mathrm {Re} _{\text{m}}}$يمثل رقم رينولدز للنموذج، و${\displaystyle \mathrm {Re} }$يمثل رقم رينولدز الكامل، وكذلك بالنسبة لأرقام أويلر.

ينبغي أن تكون أرقام الطراز وأرقام التصميم متناسبة بنفس النسبة، وبالتالي

${\displaystyle {\frac {p_{\text{m}}}{\rho _{\text{m}}v_{\text{m}}^{2}}}={\frac {p}{\rho v^{2}}}.}$

يُمكّن هذا المهندسين من إجراء تجارب باستخدام نماذج مصغّرة في قنوات مائية أو أنفاق هوائية ، وربط البيانات بالتدفقات الفعلية، مما يُوفّر تكاليف التجارب ووقت المختبر. تجدر الإشارة إلى أن التشابه الديناميكي الحقيقي قد يتطلب مطابقة أرقام لا بُعدية أخرى ، مثل رقم ماخ المستخدم في التدفقات القابلة للانضغاط ، أو رقم فرود الذي يُحدّد تدفقات القنوات المفتوحة. تتضمن بعض التدفقات عددًا من المعاملات اللا بُعدية يفوق ما يُمكن تحقيقه عمليًا بالأجهزة والسوائل المتاحة، مما يُجبر على تحديد المعاملات الأكثر أهمية. لكي يكون نمذجة التدفق التجريبية مُجدية، فهي تتطلب قدرًا كبيرًا من الخبرة والحكمة من المهندس.

من الأمثلة على الحالات التي لا يكفي فيها رقم رينولدز وحده لتحديد تشابه التدفقات (أو حتى نظام التدفق - انسيابي أو مضطرب) هي التدفقات المحدودة، أي التدفقات المقيدة بجدران أو حدود أخرى. ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك تدفق تايلور-كويت ، حيث تُعد النسبة غير البعدية لأنصاف أقطار الأسطوانات المحيطة مهمة أيضًا، وهناك العديد من التطبيقات التقنية التي تلعب فيها هذه الفروقات دورًا هامًا. ^{[ 31 ] [ 32 ]} وقد طوّر موريس ماري ألفريد كويت وجيفري إنجرام تايلور مبادئ هذه القيود ، ثم طوّرها لاحقًا فلوريس تاكنز وديفيد رويل .

القيم النموذجية لرقم رينولدز ^{[ 33 ] [ 34 ]}

• أميبات ديكتيوستيليوم : ~ 1 × 10 ^{−6 [ 35 ]}
• عدد البكتيريا ~ 1 × 10 ⁻⁴
• الهدبيات ~ 1 × 10 ⁻¹
• أصغر سمكة ~ 1
• تدفق الدم في الدماغ ~ 1 × 10 ²
• تدفق الدم في الشريان الأورطي ~ 1 × 10 ³
• بداية التدفق المضطرب ~ 2.3 × 10³ ^إلى 5.0 × ^10⁴ لتدفق الأنابيب، و10⁶ ^{للطبقات} الحدية
• متوسط ​​سرعة الكرة في دوري البيسبول الرئيسي ~ 2 × ^10⁵
• عدد الأشخاص الذين يسبحون ~ 4 × 10 ⁶
• أسرع سمكة ~ 1 × 10 ⁸
• الحوت الأزرق ~ 4 × 10 ⁸
• سفينة كبيرة ( كوين إليزابيث 2 ) ~ 5 × 10 ⁹
• إعصار استوائي جوي ~ 1 × 10 ¹²

في التدفق المضطرب، تتفاوت أحجام حركة المائع المتغيرة مع الزمن. ويُحدد حجم أكبر أحجام حركة المائع (التي تُسمى أحيانًا بالدوامات) بالهندسة العامة للتدفق. فعلى سبيل المثال، في مدخنة صناعية، يصل حجم أكبر أحجام حركة المائع إلى قطر المدخنة نفسها. أما حجم أصغر الأحجام فيُحدد برقم رينولدز. فكلما ازداد رقم رينولدز، ظهرت أحجام أصغر فأصغر للتدفق. في المدخنة، قد يبدو الدخان وكأنه يحتوي على العديد من اضطرابات السرعة الصغيرة جدًا أو الدوامات، بالإضافة إلى الدوامات الكبيرة. وبهذا المعنى، يُعد رقم رينولدز مؤشرًا على نطاق أحجام التدفق. فكلما ارتفع رقم رينولدز، اتسع نطاق الأحجام. وستظل أكبر الدوامات ثابتة الحجم دائمًا، بينما يتحدد حجم أصغر الدوامات برقم رينولدز.

ما هو تفسير هذه الظاهرة؟ يشير رقم رينولدز الكبير إلى أن قوى اللزوجة ليست ذات أهمية على نطاقات التدفق الكبيرة. ومع غلبة قوى القصور الذاتي على قوى اللزوجة، فإن أكبر نطاقات حركة المائع تكون غير مُخمّدة - أي أن اللزوجة غير كافية لتبديد حركتها. يجب أن "تنتقل" الطاقة الحركية من هذه النطاقات الكبيرة إلى نطاقات أصغر تدريجيًا حتى الوصول إلى مستوى يصبح فيه النطاق صغيرًا بما يكفي لتصبح اللزوجة ذات أهمية (أي تصبح قوى اللزوجة من رتبة قوى القصور الذاتي). عند هذه النطاقات الصغيرة يحدث تبديد الطاقة بفعل اللزوجة. ويشير رقم رينولدز إلى النطاق الذي يحدث عنده هذا التبديد اللزج. ^{[ 36 ]}

يعتمد قانون بوازوي بشأن الدورة الدموية في الجسم على التدفق الصفائحي . ^{[ 37 ]} في التدفق المضطرب، يكون معدل التدفق متناسبًا مع الجذر التربيعي لتدرج الضغط، على عكس تناسبه المباشر مع تدرج الضغط في التدفق الصفائحي.

باستخدام تعريف رقم رينولدز، نلاحظ أن الأوعية ذات القطر الكبير والتدفق السريع، حيث تكون كثافة الدم عالية، تميل إلى الاضطراب. وقد تؤدي التغيرات السريعة في قطر الوعاء إلى تدفق مضطرب، على سبيل المثال عندما يتسع وعاء ضيق ليصبح أكبر. علاوة على ذلك، قد يكون انتفاخ التصلب العصيدي سببًا للتدفق المضطرب، حيث يمكن سماع الاضطراب باستخدام سماعة الطبيب. ^{[ 38 ]}

تم توسيع نطاق تفسير رقم رينولدز ليشمل مجال الأنظمة المعقدة ذات الخصائص المختلفة ، مثل التدفقات المالية ^{[ 39 ]} والشبكات غير الخطية، وغيرها. في الحالة الأخيرة، تُختزل اللزوجة الاصطناعية إلى آلية غير خطية لتوزيع الطاقة في أوساط الشبكات المعقدة . يُمثل رقم رينولدز حينها مُعامل تحكم أساسيًا يُعبّر عن التوازن بين تدفقات الطاقة المُدخلة والمُبددة لنظام ذي حدود مفتوحة. وقد ثبت أن نظام رينولدز الحرج يفصل بين نوعين من حركة فضاء الطور: المُسرّع (الجاذب) والمُبطئ ^{[ 40 ]} . يؤدي ارتفاع رقم رينولدز إلى انتقال إلى نظام فوضوي فقط في إطار نموذج الجاذب الغريب .

توجد العديد من الأرقام عديمة الأبعاد في ميكانيكا الموائع . يقيس عدد رينولدز نسبة تأثيرات الحمل الحراري والانتشار على بنية حقل السرعة، وبالتالي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بأعداد بيكلي ، التي تقيس نسبة هذه التأثيرات على الحقول الأخرى التي يحملها التدفق، مثل درجة الحرارة والحقول المغناطيسية. يؤدي استبدال اللزوجة الحركية ν = μ / ρ في عدد رينولدز بمعامل الانتشار الحراري أو المغناطيسي إلى الحصول على عدد بيكلي الحراري وعدد رينولدز المغناطيسي على التوالي . ويرتبط هذان العددان بالتالي بنواتج ثانوية لعدد رينولدز بنسب معاملات الانتشار، وهما عدد برانتل وعدد برانتل المغناطيسي .

• نظرية رينولدز للنقل – تعميم ثلاثي الأبعاد لقاعدة لايبنتز التكاملية 
• معامل السحب – معامل لا بُعدي يُستخدم لتحديد مقاومة السوائل 
• الترسيب (الجيولوجيا) - إضافة طبيعية للمواد إلى كتلة أرضية 
• عدم استقرار كلفن-هيلمهولتز

• رقم رينولدز - محاضرات فاينمان في الفيزياء
• رقم رينولدز عند ستين رمزًا
• سيرة رينولدز المختصرة وصورة للجهاز الأصلي في جامعة مانشستر.
• حساب رقم رينولدز