مفارقة سكوليم

في المنطق الرياضي والفلسفة ، تُعرف مفارقة سكوليم بالتناقض الظاهري المتمثل في إمكانية احتواء نموذج قابل للعد لنظرية المجموعات من الدرجة الأولى على مجموعة غير قابلة للعد . تنشأ هذه المفارقة من جزء من نظرية لوفنهايم-سكوليم ؛ وكان ثورالف سكوليم أول من ناقش الجوانب المتناقضة ظاهريًا لهذه النظرية، واكتشف نسبية مفاهيم نظرية المجموعات المعروفة الآن باسم اللا مطلقية . ورغم أنها ليست تناقضًا حقيقيًا كمفارقة راسل ، إلا أن النتيجة تُسمى عادةً مفارقة ، وقد وصفها سكوليم بأنها "حالة متناقضة". ^{[ 1 ]}

في نظرية النماذج، يُقابل النموذج تفسيرًا محددًا للغة أو نظرية رسمية . ويتألف من مجال (مجموعة من الكائنات) وتفسير للرموز والصيغ في تلك اللغة، بحيث تتحقق بديهيات النظرية ضمن هذا الهيكل. تُبين مبرهنة لوفنهايم-سكولم أن أي نموذج لنظرية المجموعات في منطق الرتبة الأولى ، إذا كان متسقًا ، له نموذج مكافئ قابل للعد. يبدو هذا متناقضًا، لأن جورج كانتور أثبت وجود مجموعات غير قابلة للعد . وبالتالي، يكمن التناقض الظاهري في أن نموذجًا قابلًا للعد، وبالتالي لا يحتوي إلا على مجموعات قابلة للعد، يُحقق جملة منطق الرتبة الأولى التي تنص بديهيًا على "وجود مجموعات غير قابلة للعد".

قدّم سكوليم في عام 1922 تفسيراً رياضياً للمفارقة، موضحاً أنها ليست تناقضاً حقيقياً في الرياضيات. وأوضح أن قابلية عدّ مجموعة ما ليست مطلقة، بل نسبية للنموذج الذي تُقاس به عناصرها . وقد قوبل عمل سكوليم بانتقادات لاذعة من إرنست زيرميلو ، الذي جادل ضد قصور منطق الرتبة الأولى ومفهوم سكوليم عن "النسبية"، إلا أن النتيجة سرعان ما لاقت قبولاً واسعاً في الأوساط الرياضية.

حظيت الآثار الفلسفية لمفارقة سكوليم باهتمام واسع في الدراسات. ويتساءل أحد مسارات البحث عما إذا كان من الدقيق الادعاء بأن أي جملة من الدرجة الأولى تنص فعلاً على "وجود مجموعات غير قابلة للعد". ويمكن توسيع هذا المسار الفكري ليشمل التساؤل عما إذا كانت أي مجموعة غير قابلة للعد بمعنى مطلق. وفي الآونة الأخيرة، أدخل باحثون مثل هيلاري بوتنام مفارقة سكوليم ومفهوم النسبية عنده في دراسة فلسفة اللغة .

كانت إحدى أقدم النتائج في نظرية المجموعات ، والتي نشرها كانتور عام 1874، هي وجود أحجام مختلفة، أو أعداد مختلفة، للمجموعات اللانهائية. ^{[ 2 ]} المجموعة اللانهائية${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم قابل للعد إذا كانت هناك دالة تعطي تطابقًا واحدًا لواحد بين${\displaystyle X}$والأعداد الطبيعية ، وتكون غير قابلة للعد إذا لم تكن هناك دالة مطابقة من هذا القبيل. ^{[ 3 ] [ 4 ]} في عام 1874، أثبت كانتور أن الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد؛ وفي عام 1891، أثبت من خلال حجته القطرية النتيجة الأكثر عمومية المعروفة باسم نظرية كانتور : لكل مجموعة${\displaystyle S}$، مجموعة القوى الخاصة بـ${\displaystyle S}$لا يمكن أن يكون في تقابل ثنائي مع${\displaystyle S}$^{[ 5 ]} عندما اقترح زيرميلو بديهياته لنظرية المجموعات في عام 1908، برهن على نظرية كانتور انطلاقاً منها لإثبات قوتها. ^{[ 6 ]}

في عام ١٩١٥، قدّم ليوبولد لوفنهايم أول برهان لما سيُثبته سكوليم بشكل أعم في عامي ١٩٢٠ و١٩٢٢، وهو ما يُعرف بنظرية لوفنهايم-سكوليم . ^{[ ٧ ] [ ٨ ]} بيّن لوفنهايم أن أي جملة من الدرجة الأولى ذات نموذج لها أيضًا نموذج ذو مجال قابل للعد؛ وقد عمّم سكوليم هذا ليشمل مجموعات غير منتهية من الجمل. يُظهر الشكل التنازلي لنظرية لوفنهايم-سكوليم أنه إذا تحققت مجموعة قابلة للعد من بديهيات الدرجة الأولى بواسطة بنية غير منتهية ، فإن البديهيات نفسها تتحقق بواسطة بنية غير منتهية قابلة للعد. ^{[ ٩ ]} بما أن صيغ الدرجة الأولى من البديهيات القياسية لنظرية المجموعات (مثل نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ) هي مجموعة قابلة للعد من البديهيات، فإن هذا يعني أنه إذا كانت هذه البديهيات قابلة للتحقيق، فإنها قابلة للتحقيق في نموذج قابل للعد. ^{[ ٤ ]}

في عام ١٩٢٢، أشار سكوليم إلى التناقض الظاهري بين نظرية لوفنهايم-سكوليم، التي تنص على وجود نموذج قابل للعد لبديهيات زيرميلو، ونظرية كانتور، التي تنص على وجود مجموعات غير قابلة للعد، والتي يمكن إثباتها من بديهيات زيرميلو. كتب سكوليم: "على حد علمي، لم يلفت أحد الانتباه إلى هذه الحالة الغريبة والمتناقضة ظاهريًا. فبفضل البديهيات، يمكننا إثبات وجود أعداد أكبر... كيف يُعقل إذن أن المجال B بأكمله [نموذج قابل للعد لبديهيات زيرميلو] يمكن تعداده بالفعل باستخدام الأعداد الصحيحة الموجبة المحدودة؟" ^{[ ١ ]}

مع ذلك، فإن هذه مفارقة ظاهرية فقط. ففي سياق نموذج محدد لنظرية المجموعات، لا يشير مصطلح "المجموعة" إلى أي مجموعة عشوائية، بل إلى مجموعة مُدرجة فعليًا في النموذج. ويتطلب تعريف قابلية العد وجود تناظر أحادي بين مجموعة ما والأعداد الطبيعية. وهذا التناظر بحد ذاته مجموعة. وقد حلّ سكوليم هذه المفارقة بالاستنتاج بأن مثل هذه المجموعة لا توجد بالضرورة في نموذج قابل للعد؛ أي أن قابلية العد "نسبية" بالنسبة للنموذج، ^{[ 10 ]} وأن النماذج القابلة للعد من الدرجة الأولى غير مكتملة . ^{[ 11 ]}

على الرغم من أن سكوليم قدّم نتيجته فيما يتعلق ببديهيات زيرميلو، إلا أنها تنطبق على أي نظرية قياسية من الدرجة الأولى للمجموعات، ^{[ 12 ]} مثل ZFC . ^{[ 4 ]} لنعتبر نظرية كانتور صيغةً طويلةً في اللغة الرسمية لـ ZFC . إذا كان لـ ZFC نموذج، فلنسمِّ هذا النموذج${\displaystyle \mathrm {M} }$ومجالها​${\displaystyle \mathbb {M} }$تفسير رمز العنصر${\displaystyle \in }$، أو${\displaystyle {\mathcal {I}}(\in )}$، هي مجموعة من الأزواج المرتبة من عناصر${\displaystyle \mathbb {M} }$- بعبارة أخرى،${\displaystyle {\mathcal {I}}(\in )}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {M} \times \mathbb {M} }$بما أن نظرية لوفنهايم-سكوليم تضمن ذلك${\displaystyle \mathbb {M} }$إذا كان قابلاً للعد، فيجب أن يكون كذلك${\displaystyle \mathbb {M} \times \mathbb {M} }$عنصران مميزان من${\displaystyle \mathbb {M} }$نمذجة الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$ومجموعة قوى الأعداد الطبيعية${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$لا يوجد سوى مجموعة لا نهائية قابلة للعد من الأزواج المرتبة في${\displaystyle {\mathcal {I}}(\in )}$من الشكل${\displaystyle \langle x,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\rangle }$، لأن${\displaystyle \mathbb {M} \times \mathbb {M} }$هو قابل للعد. أي أن عدد عناصره قابل للعد فقط.${\displaystyle \mathbb {M} }$أعضاء النموذج للمجموعة غير المعدودة${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ومع ذلك، لا يوجد تناقض مع نظرية كانتور، لأن ما تنص عليه ببساطة هو أنه لا يوجد عنصر من${\displaystyle \mathbb {M} }$يمثل نموذجًا لدالة تقابلية من${\displaystyle \mathbb {N} }$ل${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$[ ^{13 ]​}

استخدم سكوليم مصطلح "نسبي" لوصف الحالات التي يمكن فيها عدّ مجموعة ما في نموذج من نماذج نظرية المجموعات، بينما لا يمكن عدّها في نموذج آخر: فبالنسبة لنموذج ما، لا يمكن لأي دالة تعداد أن تربط مجموعة ما بالأعداد الطبيعية، ولكن بالنسبة لنموذج آخر، قد يكون هذا الربط موجودًا. ^{[ 14 ]} وقد وصف هذه النتيجة بأنها "الأهم" في بحثه المنشور عام 1922. ^{[ 10 ]} يصف علماء نظرية المجموعات المعاصرون المفاهيم التي لا تعتمد على اختيار نموذج متعدٍّ بأنها مطلقة . ^{[ 15 ]} من وجهة نظرهم، تُظهر مفارقة سكوليم ببساطة أن قابلية العدّ ليست خاصية مطلقة في منطق الرتبة الأولى. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

وصف سكوليم عمله بأنه نقد لنظرية المجموعات (من الدرجة الأولى)، ويهدف إلى توضيح ضعفها كنظام تأسيسي:

كنتُ أعتقد أنه من الواضح تمامًا أن وضع البديهيات باستخدام المجموعات لا يُشكّل أساسًا نهائيًا مُرضيًا للرياضيات، ولذلك لن يُوليها معظم الرياضيين اهتمامًا كبيرًا. ولكن في الآونة الأخيرة، فوجئتُ بأن العديد من الرياضيين يعتقدون أن هذه البديهيات لنظرية المجموعات تُوفّر الأساس الأمثل للرياضيات؛ لذا بدا لي أن الوقت قد حان لنقدها. ^{[ 18 ]}

استغرق الأمر بعض الوقت حتى تطورت نظرية المنطق من الدرجة الأولى بما يكفي ليفهم علماء الرياضيات سبب نتيجة سكوليم؛ ولم يكن هناك حل مقبول على نطاق واسع للمفارقة خلال عشرينيات القرن العشرين. في عام 1928، وصف أبراهام فرانكل النتيجة بأنها تناقض .

لم يتم بعدُ حسم مسألة التناقض، ولم يتم التوصل إلى اتفاق بشأن أهميته وحله المحتمل. ^{[ 18 ]}

في عام ١٩٢٥، قدّم جون فون نيومان صياغة بديهية جديدة لنظرية المجموعات، والتي تطورت لاحقًا إلى نظرية مجموعات NBG . وإدراكًا منه لأهمية ورقة سكوليم البحثية المنشورة عام ١٩٢٢، درس فون نيومان نماذج قابلة للعد لبديهياته بتفصيل دقيق. ^{[ ١٩ ] [ ٢٠ ]} وفي ملاحظاته الختامية، علّق فون نيومان بأنه لا توجد صياغة بديهية فئوية لنظرية المجموعات، أو أي نظرية أخرى ذات نموذج لانهائي. وفي معرض حديثه عن أثر مفارقة سكوليم، كتب:

في الوقت الراهن، لا يسعنا إلا أن نشير إلى أن لدينا سبباً إضافياً هنا يدعو إلى إبداء تحفظات بشأن نظرية المجموعات، وأنه لا توجد في الوقت الحالي أي طريقة معروفة لإعادة تأهيل هذه النظرية. ^{[ 19 ]}

اعتبر زيرميلو في البداية مفارقة سكوليم خدعة، وانتقد "نسبية" سكوليم عام ١٩٣١. ^{[ ٢١ ]} تنطبق نتيجة سكوليم فقط على ما يُعرف الآن بمنطق الرتبة الأولى ، لكن زيرميلو جادل ضد الرياضيات الميتافيزيقية المحدودة التي يقوم عليها منطق الرتبة الأولى، ^{[ ٢٢ ]} إذ كان زيرميلو رياضيًا أفلاطونيًا عارض الحدسية والمحدودية في الرياضيات. ^{[ ٢٣ ]} آمن زيرميلو بنوع من المثال الأفلاطوني اللانهائي للمنطق، ورأى أن للرياضيات طابعًا لانهائيًا بطبيعته. ^{[ ٢٤ ]} جادل زيرميلو بأنه ينبغي دراسة بديهياته في منطق الرتبة الثانية ، ^{[ ٢٥ ]} وهو سياق لا تنطبق فيه نتيجة سكوليم. ^{[ 12 ]} نشر زيرميلو في عام 1930 صياغة بديهية من الدرجة الثانية لنظرية المجموعات. ^{[ 26 ]} أدى عمل زيرميلو اللاحق على أسس نظرية المجموعات بعد ورقة سكوليم إلى اكتشافه للتسلسل الهرمي التراكمي وصياغة المنطق اللانهائي . ^{[ 27 ]}

كانت الدهشة التي استقبل بها علماء نظرية المجموعات مفارقة سكوليم في عشرينيات القرن العشرين نتاجًا لظروف عصرهم. فلم تُثبت نظرية غودل للاكتمال ونظرية التراص ، وهما نظريتان تُوضحان سلوك منطق الرتبة الأولى وتُثبتان طبيعته المحدودة، إلا في عام ١٩٢٩. ^{[ ٢٨ ]} ولم يُقدم برهان ليون هينكين لنظرية الاكتمال، الذي يُعد الآن أسلوبًا معياريًا لبناء نماذج قابلة للعد لنظرية متسقة من الرتبة الأولى، إلا في عام ١٩٤٧. ^{[ ٢٩ ] [ ٣٠ ]} وبالتالي، في عشرينيات القرن العشرين، لم تكن الخصائص الخاصة لمنطق الرتبة الأولى التي تسمح بمفارقة سكوليم مفهومة بعد. ^{[ ٣١ ]} ومن المعروف الآن أن مفارقة سكوليم فريدة من نوعها في منطق الرتبة الأولى؛ فإذا دُرست نظرية المجموعات باستخدام منطق الرتبة العليا بدلالات كاملة، فلن يكون لها أي نماذج قابلة للعد. ^{[ 12 ]} بحلول الوقت الذي كان فيه زيرميلو يكتب رده النهائي على المفارقة عام 1937، كان مجتمع علماء المنطق ونظريات المجموعات قد قبل إلى حد كبير عدم اكتمال منطق الرتبة الأولى. ترك زيرميلو هذا الرد غير مكتمل. ^{[ 32 ]}

لم يعتبر علماء المنطق الرياضي اللاحقون مفارقة سكوليم عيبًا جوهريًا في نظرية المجموعات. وصف ستيفن كول كلين النتيجة بأنها "ليست مفارقة بمعنى التناقض الصريح، بل نوعًا من الشذوذ". ^{[ 33 ]} بعد استعراض حجة سكوليم بأن النتيجة ليست متناقضة، خلص كلين إلى أنه "لا يوجد مفهوم مطلق للعد". ^{[ 33 ]} وصف جيفري هنتر التناقض بأنه "بالكاد مفارقة". ^{[ 34 ]} زعم فرانكل وآخرون أن علماء الرياضيات المعاصرين لا يكترثون بانعدام الفئوية في نظريات الرتبة الأولى أكثر مما يكترثون بنتيجة نظرية عدم الاكتمال لغودل : وهي أنه لا توجد مجموعة متسقة وفعالة وقوية بما فيه الكفاية من بديهيات الرتبة الأولى كاملة. ^{[ 35 ]}

ذهب بعض علماء الرياضيات، مثل روبن غودستين وهاو وانغ، إلى حد تبني ما يُعرف بنظرية "سكوليم": وهي أن نظرية لوفنهايم-سكوليم لا تثبت فقط أن مفاهيم قابلية العد في نظرية المجموعات نسبية لنموذج معين، بل تثبت أيضًا أن كل مجموعة قابلة للعد من منظور "مطلق". ^{[ 36 ]} وكان إل إي جيه براور من أوائل المؤيدين لفكرة قابلية العد المطلقة، حيث جادل من منظور الحدسية الرياضية بأن جميع المجموعات قابلة للعد. ^{[ 37 ]} وتتعارض كل من نظرية سكوليم وحدسية براور مع الأفلاطونية الرياضية، ^{[ 38 ]} لكن كارل بوزي ينفي فكرة أن موقف براور كان رد فعل على مفارقات نظرية المجموعات السابقة. ^{[ 39 ]} وكان سكوليم أيضًا من أنصار الحدسية الرياضية، لكنه نفى أن تكون أفكاره مستوحاة من براور. ^{[ 40 ]}

أصبحت النماذج القابلة للعد في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات أدوات شائعة في دراسة نظرية المجموعات. غالبًا ما تُشرح طريقة بول كوهين لتوسيع نظرية المجموعات، والمعروفة باسم "الإجبار" ، باستخدام النماذج القابلة للعد، وقد وصفها أكيهيرو كاناموري بأنها نوع من امتداد مفارقة سكوليم. ^{[ 41 ]} ولا يُعتبر كون هذه النماذج القابلة للعد في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات لا تزال تُحقق نظرية وجود مجموعات غير قابلة للعد أمرًا شاذًا ؛ فقد وصفها جان فان هيجينورت بأنها "ليست مفارقة... [بل] سمة جديدة وغير متوقعة للأنظمة الرسمية". ^{[ 42 ]}

اعتبر هيلاري بوتنام نتيجة سكوليم مفارقة، لكنها مفارقة في فلسفة اللغة وليست في نظرية المجموعات أو المنطق الصوري. ^{[ 43 ]} وقد وسّع بوتنام مفارقة سكوليم ليجادل بأن مفاهيم الانتماء في نظرية المجموعات ليست نسبية فحسب، بل إن المفاهيم الدلالية للغة نسبية أيضًا: فلا يوجد نموذج "مطلق" للمصطلحات والمسندات في اللغة. ^{[ 44 ]} جادل تيموثي بايز بأن حجة بوتنام تُطبّق نظرية لوفنهايم-سكوليم التنازلية بشكل خاطئ، ^{[ 45 ]} بينما جادل تيم بوتون بأن ادعاء بوتنام قائم بغض النظر عن استخدام نظرية لوفنهايم-سكوليم أو إساءة استخدامها. ^{[ 46 ]} وقد استُشهد بمفارقة سكوليم عدة مرات في فلسفة العلوم ، حيث استخدم الباحثون فكرة سكوليم عن نسبية هياكل النماذج. ^{[ 47 ] [ 48 ]}

• مفارقات نظرية المجموعات

• بايز، تيموثي (2000). تأملات في مفارقة سكوليم (ملف PDF) (أطروحة دكتوراه). قسم الفلسفة بجامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس.
• مور، أ. و. (1985). "نظرية المجموعات، مفارقة سكوليم، ورسالة منطقية فلسفية". التحليل . 45 (1): 13-20 . doi : 10.2307/3327397 . JSTOR 3327397 . 

• احتفال فوغان برات بالذكرى المئوية والعشرين لميلاد سلفه الأكاديمي سكوليم