مجسم ثلاثي الأضلاع معيني

المجسم المعيني ثلاثي الأوجه ، والذي يُسمى أحيانًا ببساطة المجسم ثلاثي الأوجه لكونه أكثر المجسمات ثلاثية الأوجه شيوعًا ، هو مجسم محدب ذو 30 وجهًا معينيًا . له 60 ضلعًا و32 رأسًا من نوعين. وهو مجسم كاتالاني ، والمجسم الثنائي للمجسم ذي العشرين وجهًا . وهو مجسم زونوهيدروني، ويمكن اعتباره مجسمًا معينيًا عشريني الأوجه ممدودًا .

نسبة القطر الأطول إلى القطر الأقصر لكل وجه تساوي تمامًا النسبة الذهبية ، φ ، بحيث تكون قياسات الزوايا الحادة على كل وجه 2 arctan ( ⁠ 1 / φ ⁠ ) = arctan(2) ، أو ما يقارب 63.43 درجة. يُطلق على المعين الناتج بهذه الطريقة اسم المعين الذهبي .

باعتباره ثنائيًا لجسم أرخميدسي ، فإنّ المجسم المعيني ثلاثي الأضلاع متعدٍّ على الأوجه ، أي أن مجموعة التناظر الخاصة به تؤثر بشكل متعدٍّ على مجموعة الأوجه. وهذا يعني أنه لأي وجهين، A و B ، يوجد دوران أو انعكاس للمجسم يجعله يشغل نفس المنطقة من الفضاء عند تحريك الوجه A إلى الوجه B.

يُعتبر الشكل المثلثي المعيني مميزًا إلى حد ما لكونه واحدًا من الأشكال متعددة السطوح المحدبة التسعة ذات الحواف المتعدية ، أما الأشكال الأخرى فهي الأجسام الأفلاطونية الخمسة ، والمكعب الثماني السطوح ، والمكعب العشري الاثني عشري السطوح ، والمكعب الاثني عشري السطوح المعيني .

يُعدّ المجسم المعيني ثلاثي الأوجه مثيرًا للاهتمام أيضًا، إذ تتضمن رؤوسه ترتيبًا لأربعة مجسمات أفلاطونية. فهو يحتوي على عشرة رباعيات أوجه ، وخمسة مكعبات ، ومجسم عشريني الأوجه ، ومجسم اثني عشري الأوجه . أما مراكز أوجهه فتحتوي على خمسة ثمانيات أوجه .

يمكن بناؤه عن طريق إلحاق هرم مثلث قائم الزاوية بكل وجه من أوجه مجسم عشريني منتظم، بارتفاع يجعل الأوجه المتجاورة للأهرامات المختلفة تقع في مستوى واحد. ^{[ 1 ]} كما يمكن صنعه من مجسم ثماني الأوجه مقطوع بتقسيم الأوجه السداسية إلى ثلاثة معينات.

لنفترض أن φ هي النسبة الذهبية . النقاط الاثنتي عشرة المعطاة بالإحداثيات (0، ±1، ± φ ) والتباديل الدورية لهذه الإحداثيات هي رؤوس مجسم عشريني منتظم . أما المجسم الثنائي المنتظم ذو الاثني عشر وجهًا ، والذي تتقاطع حوافه مع حواف المجسم العشريني بزوايا قائمة، فرؤوسه هي النقاط الثماني (±1، ±1، ±1) بالإضافة إلى النقاط الاثنتي عشرة (0، ± φ ، ± 1 / φ ) والتباديل الدورية لهذه الإحداثيات. تشكل هذه النقاط الاثنتان والثلاثون معًا رؤوس مجسم ثلاثي الأضلاع معيني مركزه نقطة الأصل. طول حوافه يساوي √3 – φ ≈1.175 570 504 58. وجوهها لها أقطار بأطوال 2 و 2 / φ .

إذا كان طول ضلع المجسم المعيني ثلاثي الأوجه هو a ، فإن مساحة السطح والحجم ونصف قطر الكرة المحيطة ( المماسة لكل وجه من أوجه المجسم المعيني ثلاثي الأوجه) ونصف القطر الأوسط الذي يلامس منتصف كل ضلع هي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=12{\sqrt {5}}\,a^{2}&&\approx 26.8328a^{2}\\[6px]V&=4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,a^{3}&&\approx 12.3107a^{3}\\[6px]r_{\mathrm {i} }&={\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\,a={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\,a&&\approx 1.37638a\\[6px]r_{\mathrm {m} }&=\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)\,a&&\approx 1.44721a\end{aligned}}}$

حيث φ هي النسبة الذهبية .

تكون الكرة الداخلية مماسية للأوجه عند مراكزها. تنتمي الأقطار القصيرة فقط إلى حواف المجسم المنتظم ذي الاثني عشر وجهاً المحاط بالكرة، بينما تندرج الأقطار الطويلة فقط ضمن حواف المجسم ذي العشرين وجهاً المحاط بالكرة.

يمكن تقسيم الشكل المعيني ثلاثي الأضلاع إلى 20 معينًا ذهبيًا : 10 منها حادة و10 منفرجة. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

10	10
الشكل الحاد	شكل منفرج

يحتوي المجسم المعيني ثلاثي الأضلاع على أربعة مواضع تناظر، اثنان منها متمركزان على الرؤوس، وواحد في منتصف الوجه، وواحد في منتصف الحافة. ​​يتضمن الإسقاط "10" المعين "السميك" والمعين "النحيف" اللذين يتداخلان معًا لتكوين التبليط غير الدوري الذي يُشار إليه غالبًا باسم تبليط بنروز .

الإسقاطات المتعامدة

التناظر الإسقاطي	[2]	[2]	[6]	[10]
صورة
صورة مزدوجة

يحتوي المجسم المعيني ثلاثي الأوجه على 227 شكلًا نجميًا مدعومًا بالكامل. ^{[ 5 ] [ 6 ]} أحد هذه الأشكال النجمية هو مركب من خمسة مكعبات ، وهو يمثل متعدد السطوح المركب المنتظم . يبلغ العدد الإجمالي للأشكال النجمية للمجسم المعيني ثلاثي الأوجه 227 شكلًا نجميًا مدعومًا بالكامل.358 833 097 .

في كتابه "النماذج الثنائية" ، يصف ماغنوس وينينجر تشكيلات نجمية لا نهائية ، ثنائية نصفية متعددة الأوجه ، حيث يمثل المجسم المعيني ثلاثي الأوجه الغلاف المحدب لثلاثة منها ( المجسم العشري عشري الصغير ، والمجسم الاثني عشري الكبير ، والمجسم الاثني عشري العشري الكبير ). وجوهها وحوافها اللانهائية، التي تشبه الموشورات أو الأهرامات المطولة، متعامدة مع المستويات والوجوه المركزية لأنصاف الأوجه الثنائية لها ؛ كما أن الأشكال المتطابقة لهذه الأشكال، التي تشكلها أنصاف الأوجه الثنائية المقابلة لها، لها أيضًا المجسم المعيني ثلاثي الأوجه كغلاف محدب لها . ^{[ 7 ]}

عائلة من متعددات السطوح العشرية الوجوه المنتظمة v ت هـ
التناظر : [5,3] ، (*532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
ثنائيات متعددة السطوح منتظمة
الإصدار 5.5.5	الإصدار 3.10.10	الإصدار 3.5.3.5	الإصدار 5.6.6	الإصدار 3.3.3.3.3	الإصدار 3.4.5.4	الإصدار 4.6.10	الإصدار 3.3.3.3.5

هذا المجسم متعدد الأوجه جزء من سلسلة من المجسمات المعينية والتبليطات ذات تناظر مجموعة كوكسيتر [ n , 3] . يمكن اعتبار المكعب مجسمًا سداسيًا معينيًا حيث تكون المعينات مستطيلات أيضًا.

تحولات التناظر للتبليطات شبه المنتظمة المزدوجة: V(3.n) 2
*n32	كروي			إقليدي	القطع الزائد
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	* ∞ 32
تبليط
مؤتمر.	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3.5) 2	V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2	V(3. ∞ ) 2

• 
  مجسم كروي معيني ثلاثي الأضلاع
• 
  مجسم ثلاثي الأضلاع معيني الشكل، بداخله هرم رباعي الأوجه (أحمر) ومكعب (أصفر). (نموذج دوار)
• 
  مجسم ثلاثي الأوجه معيني الشكل، بداخله مجسم اثنا عشري الأوجه (أزرق) ومجسم عشروني الأوجه (بنفسجي). (نموذج دوار)
• 
  مجسم ثلاثي الأضلاع معيني مقطوع بالكامل

يستخدم المصمم الدنماركي هولجر ستروم الشكل المعيني ثلاثي الأضلاع كأساس لتصميم مصباحه القابل للبناء IQ-light (IQ تعني "الأشكال الرباعية المتشابكة"). ^{[ 8 ]}

تقوم النجارة جين كوستيك بصنع صناديق على شكل مجسم ثلاثي الأوجه معيني. ^{[ 9 ]} يعتمد هذا التصميم البسيط على العلاقة غير الواضحة بين المجسم ثلاثي الأوجه المعيني والمكعب.

تأتي مقطوعة "كرة الضربات" لروجر فون أويش على شكل مجسم ثلاثي الأضلاع معيني الشكل.

يُستخدم الشكل المعيني ثلاثي الأضلاع كـ " نرد ذو ثلاثين وجهًا" ، وهو مفيد أحيانًا في بعض ألعاب تقمص الأدوار أو أماكن أخرى.

• معين ذهبي
• تبليط المعين
• مجسم ثلاثي الأضلاع معيني مقطوع

• تناظرات الأشياء 2008، جون إتش. كونواي، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 21، تسمية المجسمات متعددة الأوجه الأرخميدية والكتالونية والتبليطات، ص  285، المجسم ثلاثي الأضلاع المعيني)
• ميسر، ب. و. (1995). "تشكيلات ثلاثية الأضلاع المعينية وما بعدها". الطوبولوجيا الهيكلية . 21 : 25-46 .
• Pawley، GS (1975)، “The 227 triacontahedra”، Geometriae Dedicata ، 4 ( 2– 4)، Kluwer Academic Publishers: 221– 232، doi : 10.1007 / BF00148756 ، ISSN 1572-9168 ، S2CID 123506315  
• وينينجر، ماغنوس (1983)، النماذج الثنائية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/CBO9780511569371 ، ISBN 978-0-521-54325-5، MR 0730208 (الأشكال متعددة السطوح المحدبة شبه المنتظمة الثلاثة عشر وأشكالها الثنائية، ص  22، الشكل المعيني ثلاثي الأضلاع)
• ويليامز، روبرت (1979). الأساس الهندسي للبنية الطبيعية: كتاب مرجعي في التصميم . منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-23729-X.

(القسم 3-9)

• تشكيلات نجمية للمجسم المعيني ثلاثي الأضلاع من تصميم جورج دبليو هارت ( مجسمات متعددة الأوجه افتراضية )
• الفن: تشكيلات من ثلاثي الأضلاع المعيني للفنان فلاديمير بولاتوف ( إبداعات بولاتوف التجريدية )
  • أفعى مرسومة على شكل ثلاثي الأضلاع معيني
• 120 ترياكونتاهيدرا المعينية بقلم ساندور كاباي لمشروع مظاهرات ولفرام
  • 30+12 ثلاثي الأوجه المعيني و 12 ثلاثي الأوجه المعيني