مركب متعدد الأوجه

في الهندسة ، المركب متعدد السطوح هو شكل يتكون من عدة متعددات سطوح تشترك في مركز مشترك . وهي النظائر ثلاثية الأبعاد للمركبات المضلعة مثل النجمة السداسية .

يمكن ربط الرؤوس الخارجية للمركب لتشكيل متعدد السطوح محدب يُسمى غلافه المحدب . المركب هو عبارة عن أوجه لغلافه المحدب.

يتشكل مجسم متعدد السطوح محدب آخر من خلال الفراغ المركزي الصغير المشترك بين جميع عناصر المركب. ويمكن استخدام هذا المجسم كنواة لمجموعة من التشكيلات النجمية .

يمكن تعريف المركب متعدد السطوح المنتظم بأنه مركب، مثل متعدد السطوح المنتظم ، يكون متعديًا على الرؤوس ، ومتعديًا على الحواف ، ومتعديًا على الأوجه . على عكس متعددات السطوح، لا يُعادل هذا تأثير مجموعة التناظر بشكل متعدٍ على أعلامه ؛ فمركب رباعيي السطوح هو المركب المنتظم الوحيد الذي يتمتع بهذه الخاصية. يوجد خمسة مركبات منتظمة من متعددات السطوح:

المركب المنتظم (رمز كوكسيتر)	صورة	كروي	الهيكل المحدب	المعايير الأساسية المشتركة	مجموعة التناظر	مجموعة فرعية تقتصر على مكون واحد	مركب ثنائي الانتظام
رباعيا الأوجه {4,3}[2{3,3}]{3,4}			مكعب [ 1 ]	المجسم الثماني	*432 [4,3] O h	*332 [3,3] T d	اثنان من رباعيات الأوجه
خمسة رباعيات الأوجه {5,3}[5{3,3}]{3,5}			مجسم ذو اثني عشر وجهًا [ 1 ]	المجسم العشري الوجوه [ 1 ]	532 [5,3] + I	332 [3,3] + T	التوأم الكيرالي (المتماثل المرآوي)
عشرة رباعيات الأوجه 2{5,3}[10{3,3}]2{3,5}			مجسم ذو اثني عشر وجهًا [ 1 ]	المجسم العشري الوجوه	*532 [5,3] أنا ح	332 [3,3] T	عشرة رباعيات الأوجه
خمسة مكعبات 2{5,3}[5{4,3}]			مجسم ذو اثني عشر وجهًا [ 1 ]	مجسم ثلاثي الأضلاع معيني [ 1 ]	*532 [5,3] أنا ح	3*2 [3,3] T h	خمسة ثمانيات الأوجه
خمسة ثمانيات الأوجه [5{3,4}]2{3,5}			عشروني عشري الوجوه [ 1 ]	المجسم العشري الوجوه [ 1 ]	*532 [5,3] أنا ح	3*2 [3,3] T h	خمسة مكعبات

أشهرها المركب المنتظم المكون من هرمين رباعيي الأوجه ، والذي يُطلق عليه غالبًا اسم النجمة الثمانية ، وهو الاسم الذي أطلقه عليه كيبلر . تُشكل رؤوس هذين الهرمين مكعبًا ، ويُشكل تقاطعهما ثماني الأوجه منتظمًا ، يشترك في نفس مستويات الأوجه مع المركب. وبالتالي، فإن مركب الهرمين الرباعيي الأوجه هو شكل نجمي من ثماني الأوجه، وهو في الواقع الشكل النجمي الوحيد المحدود له.

يأتي المركب المنتظم المكون من خمسة رباعيات وجوه في شكلين متماثلين ، يشكلان معًا المركب المنتظم المكون من عشرة رباعيات وجوه. ^{[ 1 ]} ويمكن أيضًا اعتبار المركب المنتظم المكون من عشرة رباعيات وجوه مركبًا من خمسة نجوم ثمانية الزوايا. ^{[ 1 ]}

كل مركب من المركبات الرباعية السطوح المنتظمة يكون مزدوجًا ذاتيًا أو مزدوجًا لنظيره الكيرالي؛ المركب المنتظم المكون من خمسة مكعبات والمركب المنتظم المكون من خمسة ثمانيات السطوح مزدوجان لبعضهما البعض.

وبالتالي، يمكن اعتبار المركبات متعددة السطوح المنتظمة أيضًا مركبات منتظمة مزدوجة .

يُبيّن الجدول أعلاه ترميز كوكسيتر للمركبات المنتظمة، مُتضمنًا رموز شلافلي . يُشير النص داخل الأقواس المربعة، [ d { p , q }]، إلى مكونات المركب: d عنصرًا منفصلاً من { p , q }. يُشير النص قبل الأقواس المربعة إلى ترتيب رؤوس المركب: c { m , n }[ d { p , q }] هو مركب من d عنصرًا من { p , q } يشترك في رؤوس { m , n }، ويُحسب c مرة. يُشير النص بعد الأقواس المربعة إلى ترتيب أوجه المركب: [ d { p , q }] e { s , t } هو مركب من d عنصرًا من { p , q } يشترك في أوجه { s , t }، ويُحسب e مرة. يمكن دمج هذه المجموعات: بالتالي، فإن c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } هي مجموعة مركبة من d { p , q } تشترك في رؤوس { m , n } محسوبة c مرة، ووجوه { s , t } محسوبة e مرة. يمكن تعميم هذه الصيغة لتشمل المجموعات المركبة في أي عدد من الأبعاد. ^{[ 2 ]}

رباعي الأوجه المقطوع (فاتح) ورباعي الأوجه ثلاثي الأوجه (داكن)

مكعب قصير (فاتح) وهرم رباعي الأوجه خماسي الأضلاع (داكن)

المجسم العشري عشري الوجوه (فاتح) والمجسم المعيني ثلاثي الأضلاع (داكن)

مركبات ثنائية من مواد صلبة أرخميدية وكتالونية

يتكون المركب الثنائي من متعدد السطوح ومتعدد السطوح الثنائي الخاص به، مرتبين بشكل متبادل حول كرة متوسطة مشتركة ، بحيث يتقاطع ضلع أحد متعددي السطوح مع ضلع متعدد السطوح الثنائي الخاص به. يوجد خمسة مركبات ثنائية لمتعددات السطوح المنتظمة.

النواة هي تصحيح كلا المجسمين. الغلاف هو ثنائي هذا التصحيح، ووجوهه المعينية لها حواف تقاطع المجسمين كأقطار (ولها رؤوسها الأربعة المتبادلة). بالنسبة للمجسمات المحدبة، هذا هو الغلاف المحدب .

مركب مزدوج	صورة	هال	جوهر	مجموعة التناظر
رباعيا الأوجه ( مركب من رباعيي الأوجه ، ثماني الأوجه النجمي )		مكعب	المجسم الثماني	*432 [4,3] O h
المكعب والثماني الأوجه ( مركب من المكعب والثماني الأوجه )		مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا	مكعب ثماني الأوجه	*432 [4,3] O h
المجسم ذو الاثني عشر وجهًا والمجسم ذو العشرين وجهًا ( مركب من المجسم ذي الاثني عشر وجهًا والمجسم ذو العشرين وجهًا )		مجسم ثلاثي الأضلاع معيني	عشروني عشري الوجوه	*532 [5,3] أنا ح
مجسم نجمي صغير ذو اثني عشر وجهاً ومجسم نجمي كبير ذو اثني عشر وجهاً ( مركب من sD و gD )		ثلاثي الأضلاع المعيني المتوسط ​​(محدب: عشروني الوجوه )	المجسم ذو الاثني عشر وجهًا (المحدب: المجسم ذو الاثني عشر وجهًا )	*532 [5,3] أنا ح
المجسم العشري الوجوه العظيم والمجسم الاثني عشري الوجوه النجمي العظيم ( مركب من gI و gsD )		مجسم ثلاثي الأضلاع معيني كبير (محدب: مجسم اثنا عشري الأوجه )	المجسم العشري عشري الوجوه الكبير (المحدب: Icosadodecahedron )	*532 [5,3] أنا ح

إن رباعي الأوجه هو شكل ثنائي ذاتي، لذا فإن المركب الثنائي لرباعي الأوجه مع شكله الثنائي هو ثماني الأوجه النجمي المنتظم .

المركبان الثنائيان ثماني السطوح وعشروني السطوح هما أول شكلين نجميين للمكعب ثماني السطوح وعشروني السطوح ، على التوالي.

يحتوي المركب الثنائي ذو الشكل النجمي الصغير (أو الشكل النجمي الكبير) على الشكل النجمي الكبير بالكامل داخل الشكل النجمي الصغير. ^{[ 3 ]}

في عام ١٩٧٦، نشر جون سكيلينج كتاب " المركبات المنتظمة من متعددات السطوح المنتظمة" ، الذي أحصى ٧٥ مركباً (بما في ذلك ٦ مركبات على شكل مجموعات موشورية لانهائية، من ٢٠ إلى ٢٥) مصنوعة من متعددات سطوح منتظمة ذات تناظر دوراني. (كل رأس متعدٍّ على الرأس، وكل رأس متعدٍّ على كل رأس آخر). تتضمن هذه القائمة المركبات المنتظمة الخمسة المذكورة أعلاه. ^{[ تم حذف الرابط ]}

تُدرج المركبات المتجانسة البالغ عددها 75 مركباً في الجدول أدناه. ويُظهر الجدول معظمها بلونٍ خاص بكل عنصر من عناصر المجسم متعدد السطوح. كما تُلوّن بعض أزواج المجموعات الوجهية الكيرالية وفقاً لتناظر الوجوه داخل كل مجسم متعدد السطوح.

• 1-19: متنوع (4، 5، 6، 9، 17 هي المركبات الخمسة المنتظمة )

• 20-25: تناظر الموشور المضمن في تناظر الموشور ،

• 26-45: تناظر المنشور المضمن في تناظر ثماني السطوح أو عشريني السطوح ،

• 46-67: تناظر رباعي الأوجه مضمن في تناظر ثماني الأوجه أو عشريني الأوجه،

• 68-75: أزواج متماثلة ضوئياً

إن المركب المكون من أربعة مكعبات (يسار) ليس مركباً منتظماً، ولا مركباً ثنائياً، ولا مركباً متجانساً. أما مركبه الثنائي، المكون من أربعة ثمانيات الأوجه (يمين)، فهو مركب متجانس.

• مركب من ثلاثة ثمانيات الأوجه
• مركب من أربعة مكعبات

يُعدّ كلٌّ من المجسمات متعددة الأوجه المركبة، ذات العناصر الثابتة في مكانها، مجسمًا صغيرًا معقدًا من نوع "إيكوسيدوديكاهيدرون" (مركب من مجسم "إيكوساهيدرون" ومجسم "دوديكاهيدرون" كبير )، ومجسمًا كبيرًا معقدًا من نوع "إيكوسيدوديكاهيدرون" (مركب من مجسم "دوديكاهيدرون" نجمي صغير ومجسم "إيكوساهيدرون" كبير ). وإذا ما عُمِّم تعريف المجسم متعدد الأوجه المنتظم ، فإنهما يُعتبران منتظمين.

لا يحتوي قسم أزواج الأشكال المتناظرة في قائمة سكيلينغ على مركب من اثنين من الأشكال الثمانية عشرية الوجوه ذات الشكل المقطوع الكبير ، لأن أوجه النجمة الخماسية ستتطابق. بإزالة الأوجه المتطابقة ينتج مركب من عشرين شكلاً ثماني الوجوه .

الإسقاطات المتعامدة

75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

في الفضاء رباعي الأبعاد، يوجد عدد كبير من المركبات المنتظمة للمضلعات المنتظمة. وقد ذكر كوكسيتر بعضًا منها في كتابه "المضلعات المنتظمة ". ^{[ 4 ]} وأضاف ماكمولين ستة منها في بحثه " مركبات منتظمة جديدة للمضلعات رباعية الأبعاد" . ^{[ 5 ]}

ثنائيات ذاتية:

أزواج مزدوجة:

المركبات المنتظمة والمزدوجة ذات متعددات الوجوه المحدبة رباعية الأبعاد:

يشير الرمز العلوي (var) في الجداول أعلاه إلى أن المركبات المصنفة تختلف عن المركبات الأخرى التي لها نفس عدد المكونات.

من حيث نظرية المجموعة ، إذا كانت G هي مجموعة التناظر لمركب متعدد السطوح، وتعمل المجموعة بشكل متعدٍ على متعددات السطوح (بحيث يمكن إرسال كل متعدد سطوح إلى أي من متعددات السطوح الأخرى، كما هو الحال في المركبات المتجانسة)، فإذا كان H هو المثبت لمتعدد سطوح واحد مختار، فيمكن تحديد متعددات السطوح بفضاء المدار G / H - تتوافق المجموعة المشاركة gH مع متعدد السطوح الذي يرسل إليه g متعدد السطوح المختار.

توجد ثماني عشرة عائلة من التبليطات المركبة المنتظمة ذات المعاملين في المستوى الإقليدي. أما في المستوى الزائدي، فتوجد خمس عائلات ذات معامل واحد وسبع عشرة حالة معزولة، ولكن لم يتم حصر جميع هذه الحالات.

إن عائلات المركبات الإقليدية والزائدية 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞، p عدد صحيح) مماثلة للنجمة الكروية الثمانية الأضلاع ، 2 {3,3}.

بعض الأمثلة على المركبات المنتظمة الإقليدية والزائدية

ذاتي الازدواجية	ثنائيات		ذاتي الازدواجية
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

تُعدّ عائلة معروفة من خلايا النحل الإقليدية المنتظمة المركبة، في أي عدد من الأبعاد، عائلة لانهائية من مركبات خلايا النحل المكعبة الفائقة ، تشترك جميعها في الرؤوس والوجوه مع خلية نحل مكعبة فائقة أخرى. ويمكن أن تحتوي هذه المركبة على أي عدد من خلايا النحل المكعبة الفائقة.

توجد أيضًا مركبات تبليط ثنائية منتظمة . مثال بسيط على ذلك هو المركب ^E2 لتبليط سداسي وتبليطه المثلثي الثنائي ، الذي يشترك في حوافه مع التبليط الثلاثي السداسي الدلتاوي . المركبات الإقليدية لخليتين من خلايا النحل المكعبة الفائقة منتظمة وثنائية منتظمة.

• قائمة المركبات متعددة الأوجه المنتظمة

• عالم الرياضيات: المجسم المركب متعدد السطوح
• المجسمات المركبة - من مجسمات الواقع الافتراضي
  • مركبات متجانسة من متعددات السطوح المتجانسة
• مركبات سكيلينج المتجانسة الـ 75 من متعددات السطوح المتجانسة
• مركبات سكيلينج المنتظمة من متعددات السطوح المنتظمة
• المركبات متعددة الأوجه
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• مركب من مجسم نجمي صغير ذي اثني عشر وجهاً ومجسم كبير ذي اثني عشر وجهاً {5/2,5}+{5,5/2}
• كليتزينغ، ريتشارد. "متعددات الوجوه المركبة" .

• سكيلينج، جون (1976)، "المركبات المنتظمة للمجسمات المنتظمة"، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 79 (3): 447-457 ، Bibcode : 1976MPCPS..79..447S ، doi : 10.1017/S0305004100052440 ، MR 0397554 ، S2CID 123279687  .
• كرومويل، بيتر ر. (1997)، متعددات السطوح ، كامبريدج{{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط ) .
• وينينجر، ماغنوس ( 1983)، النماذج الثنائية ، كامبريدج، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج، ص 51-53 .
• هارمان، مايكل ج. (1974)، المركبات متعددة الأوجه ، مخطوطة غير منشورة.
• هيس، إدموند ( 1876)، “Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder”، Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg ، 11 : 5–97.
• باسيولي، لوكا (1509)، دي ديفينا بروبورتيوني.
• المضلعات المنتظمة ، (الطبعة الثالثة، 1973)، طبعة دوفر، رقم ISBN 0-486-61480-8
• أنتوني بو (1976). متعددات السطوح: مدخل بصري . كاليفورنيا: مطبعة جامعة كاليفورنيا، بيركلي. ISBN 0-520-03056-7.ص  87 خمسة مركبات منتظمة
• مكمولين، بيتر (2018)، "مركبات منتظمة جديدة من متعددات الوجوه الرباعية"، اتجاهات جديدة في الهندسة الحدسية ، دراسات جمعية بولياي الرياضية، المجلد  27، الصفحات 307-320 ، doi : 10.1007/978-3-662-57413-3_12 ، ISBN  978-3-662-57412-6.