نسبة

في الرياضيات ، تُشير النسبة ( تُلفظ /ˈreɪ.ʃ(i.)oʊ/ ) إلى عدد مرات احتواء عددٍ ما على عددٍ آخر. على سبيل المثال، إذا كان هناك ثماني برتقالات وست ليمونات في وعاء فاكهة ، فإن نسبة البرتقال إلى الليمون هي ثمانية إلى ستة ( أي 8 : 6 ، وهي تُعادل النسبة 4:3). وبالمثل، فإن نسبة الليمون إلى البرتقال هي 6:8 (أو 3:4)، ونسبة البرتقال إلى إجمالي كمية الفاكهة هي 8:14 (أو 4:7).

قد تكون الأرقام في النسبة كميات من أي نوع، مثل عدد الأشخاص أو الأشياء، أو قياسات الأطوال والأوزان والوقت وما إلى ذلك. في معظم السياقات، يقتصر كلا الرقمين على أن يكونا موجبين .

يمكن تحديد النسبة إما بذكر العددين المكونين لها، على شكل " أ إلى ب " أو " أ : ب "، أو بذكر قيمة ناتج قسمتهما فقط ، أي أ / ب . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} يقابل ناتج القسمة المتساوي نسبة متساوية. وتُسمى العبارة التي تُعبّر عن تساوي نسبتين بالتناسب .

وبالتالي، يمكن اعتبار النسبة زوجًا مرتبًا من الأعداد، أو كسرًا يكون فيه العدد الأول في البسط والثاني في المقام، أو القيمة التي يمثلها هذا الكسر. نسب الأعداد، المعطاة بأعداد طبيعية (غير صفرية) ، هي أعداد نسبية ، وقد تكون أحيانًا أعدادًا طبيعية.

يُعرَّف مصطلح النسبة في العلوم الفيزيائية (وخاصةً في علم القياس ) بأنه حاصل القسمة غير البُعدي بين كميتين فيزيائيتين تُقاسان بنفس الوحدة . ^{[ 4 ]} ويُطلق على حاصل قسمة كميتين تُقاسان بوحدات مختلفة اسم المعدل . ^{[ 5 ]}

يمكن التعبير عن نسبة العددين A و B على النحو التالي: ^{[ 1 ]}

• نسبة A إلى B
• أ : ب
• A بالنسبة إلى B (عندما يتبعها "كما أن C بالنسبة إلى D "؛ انظر أدناه)
• كسر بسطه A ومقامه B يمثل ناتج القسمة (أي A مقسومًا على B، أو${\displaystyle {\tfrac {A}{B}}}$). يمكن التعبير عن ذلك ككسر بسيط أو كسر عشري، أو كنسبة مئوية، إلخ. ^{[ 6 ]}

عند كتابة النسبة على شكل A : B ، يُستخدم رمز النقطتين أحيانًا كعلامة ترقيم النقطتين الرأسيتين . ^{[ 7 ]} في يونيكود ، يُكتب هذا الرمز U+003A : COLON ، مع العلم أن يونيكود يوفر أيضًا رمزًا مخصصًا للنسبة، وهو U+2236 ∶ RATIO . ^{[ 8 ]}

يُطلق على العددين A و B أحيانًا اسم حدود النسبة ، حيث A هو المقدمة و B هو النتيجة . ^{[ 9 ]}

تُسمى العبارة التي تُعبّر عن تساوي نسبتين A : B و C : D بالتناسب ، ^{[ 10 ]} وتُكتب على النحو التالي : A : B = C : D أو A : B ∷ C : D. ويُعبّر عن هذا الشكل الأخير، عند التحدث به أو كتابته باللغة الإنجليزية، غالبًا على النحو التالي:

( أ بالنسبة إلى ب ) مثل ( ج بالنسبة إلى د ).

تُسمى A و B و C و D حدود التناسب. ويُطلق على A و D اسم طرفي التناسب ، بينما يُطلق على B و C اسم وسطيه . وتُسمى مساواة ثلاث نسب أو أكثر، مثل A : B = C : D = E : F ، تناسبًا مستمرًا . ^{[ 1 ]}

تُستخدم النسب أحيانًا مع ثلاثة حدود أو أكثر. على سبيل المثال، نسبة أطوال أضلاع لوح خشبي " 2×4 " طوله عشر بوصات هي:

${\displaystyle {\text{السماكة}$ : العرض  : الطول }}=2:4:10}

يُشار أحيانًا إلى الخلطة الخرسانية الجيدة (بوحدات الحجم) على النحو التالي: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\text{الأسمنت}$ رمل  : حصى }}=1:2:4.}

إن معنى هذه النسبة من النسب التي تحتوي على أكثر من حدين هو أن نسبة أي حدين على الجانب الأيسر تساوي نسبة الحدين المقابلين على الجانب الأيمن.

يمكن تتبع أصل كلمة "ratio" إلى الكلمة اليونانية القديمة λόγος ( logos ). وقد ترجمها المترجمون الأوائل إلى اللاتينية بـ ratio (أي العقل، كما في كلمة "rational"). أما التفسير الحديث لمعنى إقليدس فهو أقرب إلى الحساب أو التقدير. ^{[ 12 ]} استخدم كتّاب العصور الوسطى كلمة proportio (أي التناسب) للدلالة على النسبة، وكلمة proportionalitas (أي التناسب) للدلالة على تساوي النسب. ^{[ 13 ]}

جمع إقليدس النتائج الواردة في كتاب الأصول من مصادر سابقة. وقد طوّر الفيثاغوريون نظرية النسبة والتناسب وتطبيقها على الأعداد. ^{[ 14 ]} واقتصر مفهوم الفيثاغوريين للأعداد على ما يُعرف اليوم بالأعداد النسبية، مما أثار الشكوك حول صحة النظرية في الهندسة، حيث اكتشف الفيثاغوريون أيضًا وجود نسب غير قابلة للقياس (تُقابل أعدادًا غير نسبية ). ويُعزى اكتشاف نظرية النسب التي لا تفترض قابلية القياس على الأرجح إلى إيدوكسوس الكنيدي . ويعكس عرض نظرية التناسب الواردة في الكتاب السابع من كتاب الأصول النظرية السابقة لنسب الأعداد القابلة للقياس. ^{[ 15 ]}

يبدو وجود نظريات متعددة معقدًا بلا داعٍ، إذ تُعرَّف النسب، إلى حد كبير، بأنها نواتج القسمة وقيمها المحتملة. مع ذلك، يُعدّ هذا تطورًا حديثًا نسبيًا، كما يتضح من حقيقة أن كتب الهندسة الحديثة لا تزال تستخدم مصطلحات ورموزًا مختلفة للنسب ونواتج القسمة. ويعود ذلك لسببين: أولًا، التردد المذكور سابقًا في قبول الأعداد غير النسبية كأعداد حقيقية، وثانيًا، أدى غياب رمزية شائعة الاستخدام لتحل محل مصطلحات النسب الراسخة إلى تأخير القبول الكامل للكسور كبديل حتى القرن السادس عشر. ^{[ 16 ]}

بشكل عام، يمكن التعبير عن مقارنة كميات نسبة كيانين ككسر مشتق من هذه النسبة. على سبيل المثال، في نسبة 2:3، تكون كمية الكيان الأول هي مقدار أو حجم أو حجم أو كمية الكيان الأول${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ذلك الخاص بالكيان الثاني.

إذا كان لدينا برتقالتان وثلاث تفاحات، فإن نسبة البرتقال إلى التفاح هي ٢:٣، ونسبة البرتقال إلى إجمالي عدد الفاكهة هي ٢:٥. يمكن التعبير عن هذه النسب أيضًا في صورة كسر: عدد البرتقال يساوي ثلثي عدد التفاح، و٢/٥ من إجمالي الفاكهة برتقال. إذا أردنا تخفيف عصير البرتقال المركز بالماء بنسبة ١:٤، فإننا نخلط جزءًا واحدًا من المركز مع أربعة أجزاء من الماء، ليصبح المجموع خمسة أجزاء؛ كمية عصير البرتقال المركز تساوي ربع كمية الماء، بينما كمية عصير البرتقال المركز تساوي خُمس إجمالي السائل. في كل من النسب والكسور، من المهم توضيح ما تتم مقارنته بماذا، وغالبًا ما يقع المبتدئون في أخطاء لهذا السبب.

يمكن استنتاج الكسور من النسب التي تحتوي على أكثر من عنصرين؛ ومع ذلك، لا يمكن تحويل النسبة التي تحتوي على أكثر من عنصرين إلى كسر واحد بالكامل، لأن الكسر لا يقارن إلا بين كميتين. يمكن استخدام كسر منفصل لمقارنة كميات أي عنصرين من العناصر التي تشملها النسبة: على سبيل المثال، من نسبة 2:3:7، يمكننا استنتاج أن كمية العنصر الثاني هي${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$ذلك الكيان الثالث.

إذا ضربنا جميع الكميات الداخلة في نسبة ما بنفس العدد، تبقى النسبة صحيحة. على سبيل المثال، النسبة 3:2 هي نفسها النسبة 12:8. من المعتاد إما تبسيط الحدود إلى أصغر مقام مشترك ، أو التعبير عنها كنسبة مئوية (أجزاء من مئة ).

إذا احتوى خليط على المواد أ ، ب ، ج ، د بنسبة 5:9:4:2، فهذا يعني وجود 5 أجزاء من أ لكل 9 أجزاء من ب ، و4 أجزاء من ج ، وجزئين من د . وبما أن 5 + 9 + 4 + 2 = 20، فإن الخليط الكلي يحتوي على 5/20 من أ (5 أجزاء من 20)، و9/20 من ب ، و4/20 من ج ، و2/20 من د . إذا قسمنا جميع الأعداد على المجموع الكلي وضربنا الناتج في 100، فإننا نحولها إلى نسب مئوية : 25% أ ، 45% ب ، 20% ج ، و10% د (أي ما يعادل كتابة النسبة على النحو التالي: 25:45:20:10).

إذا شملت نسبتان أو أكثر جميع الكميات في موقف معين، يُقال إن "الكل" يحتوي على مجموع الأجزاء: على سبيل المثال، سلة فواكه تحتوي على تفاحتين وثلاث برتقالات ولا تحتوي على أي فاكهة أخرى تتكون من جزأين من التفاح وثلاثة أجزاء من البرتقال. في هذه الحالة،${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}$أو 40% من الإجمالي عبارة عن تفاح و${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$أو أن 60% من المجموع عبارة عن برتقال. تُسمى هذه المقارنة بين كمية محددة و"المجموع" نسبة.

إذا كانت النسبة تتكون من قيمتين فقط، فيمكن تمثيلها ككسر، وخاصةً كسر عشري. على سبيل المثال، تتميز أجهزة التلفزيون القديمة بنسبة عرض إلى ارتفاع 4:3 ، أي أن العرض يساوي 4/3 من الارتفاع (ويمكن التعبير عن ذلك أيضًا بـ 1.33:1 أو 1.33 مقربةً إلى منزلتين عشريتين). أما أجهزة التلفزيون الحديثة ذات الشاشة العريضة فتتميز بنسبة عرض إلى ارتفاع 16:9، أو 1.78 مقربةً إلى منزلتين عشريتين. ومن بين تنسيقات الأفلام الشائعة ذات الشاشة العريضة 2.35:1 أو 2.35. يُسهّل تمثيل النسب ككسور عشرية عملية المقارنة. فعند مقارنة 1.33 و1.78 و2.35، يتضح أي تنسيق يُقدّم صورةً أعرض. وتنجح هذه المقارنة فقط عندما تكون القيم المُقارنة متسقة، كأن يتم التعبير عن العرض دائمًا بالنسبة إلى الارتفاع.

يمكن تبسيط النسب (كما هو الحال مع الكسور) بقسمة كل كمية على العوامل المشتركة لجميع الكميات. أما بالنسبة للكسور، فيُعتبر أبسط شكل لها هو الذي تكون فيه الأعداد في النسبة أصغر الأعداد الصحيحة الممكنة.

وبالتالي، فإن النسبة 40:60 تُعادل في معناها النسبة 2:3، حيث تُستنتج الأخيرة من الأولى بقسمة كلتا الكميتين على 20. رياضياً، نكتب 40:60 = 2:3، أو بصورة مكافئة 40:60 ∷ 2:3. ويُمكن التعبير عنها لفظياً بـ "نسبة 40 إلى 60 كنسبة 2 إلى 3".

النسبة التي تحتوي على أعداد صحيحة لكلا الكميتين والتي لا يمكن اختزالها أكثر من ذلك (باستخدام الأعداد الصحيحة) يقال إنها في أبسط صورة أو في أبسط صورة.

أحيانًا يكون من المفيد كتابة النسبة على الصورة 1: س أو س : 1، حيث لا يشترط أن يكون س عددًا صحيحًا، وذلك لتسهيل مقارنة النسب المختلفة. على سبيل المثال، يمكن كتابة النسبة 4: 5 على الصورة 1: 1.25 (بقسمة الطرفين على 4). أو يمكن كتابتها على الصورة 0.8: 1 (بقسمة الطرفين على 5).

عندما يكون السياق واضحًا في المعنى، يتم أحيانًا كتابة النسبة بهذا الشكل بدون الرقم 1 ورمز النسبة (:)، على الرغم من أن هذا يجعلها من الناحية الرياضية عاملًا أو مضاعفًا .

يمكن أيضًا إيجاد نسب بين كميات غير قابلة للقياس (كميات تكون نسبتها، كقيمة كسرية، عددًا غير نسبي ). وأقدم مثال مكتشف، والذي وجده الفيثاغوريون ، هو نسبة طول القطر d إلى طول ضلع المربع s ، وهي الجذر التربيعي لـ 2 .${\displaystyle a:d=1:{\sqrt {2}}.}$مثال آخر هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، والتي تسمى π ، وهي ليست مجرد عدد غير نسبي ، بل عدد متسامي .

ومن المعروف أيضاً النسبة الذهبية لطولين (غالباً) a و b ، والتي تُعرَّف بالتناسب

${\displaystyle a:b=(a+b):a\quad }$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle \quad a:b=(1+b/a):1.}$

بأخذ النسب على شكل كسور و${\displaystyle a:b}$باعتبار أن لها القيمة x ، ينتج المعادلة

${\displaystyle x=1+{\tfrac {1}{x}}\quad }$أو${\displaystyle \quad x^{2}-x-1=0,}$

والتي لها الحل الإيجابي غير العقلاني${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$ لذا، يجب أن يكون أحد العددين a و b على الأقل غير نسبي حتى يقعا ضمن النسبة الذهبية. ومن أمثلة النسبة الذهبية في الرياضيات أنها القيمة الحدية لنسبة عددين متتاليين من أعداد فيبوناتشي : فعلى الرغم من أن جميع هذه النسب هي نسب بين عددين صحيحين، وبالتالي فهي نسبية، إلا أن نهاية متتالية هذه النسب النسبية هي النسبة الذهبية غير النسبية.

وبالمثل، يتم تحديد نسبة الفضة بين a و b من خلال النسبة

${\displaystyle a:b=(2a+b):a\quad (=(2+b/a):1),}$بما يتوافق مع${\displaystyle x^{2}-2x-1=0.}$

لهذه المعادلة حل موجب وغير نسبي${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}},}$لذا مرة أخرى، يجب أن تكون إحدى الكميتين a و b على الأقل في نسبة الفضة غير نسبية.

تُعبّر الاحتمالات (كما في المقامرة) عن نسبة. على سبيل المثال، احتمالات "7 إلى 3 ضد" (7:3) تعني أن هناك سبع فرص لعدم وقوع الحدث مقابل كل ثلاث فرص لوقوعه. احتمال النجاح هو 30%. من المتوقع أن يكون هناك ثلاث انتصارات وسبع هزائم في كل عشر محاولات.

قد تكون النسب بلا وحدات ، كما في حالة ربط كميات بوحدات من نفس البُعد ، حتى لو كانت وحدات قياسها مختلفة في البداية. على سبيل المثال، يمكن تبسيط النسبة دقيقة واحدة  : 40 ثانية بتغيير القيمة الأولى إلى 60 ثانية، فتصبح النسبة 60 ثانية  : 40 ثانية . وبمجرد توحيد الوحدات، يمكن حذفها، فتصبح النسبة 3:2. تُسمى النسبة أحيانًا "مؤشرًا"، كما في معامل الانكسار . ^{[ 4 ]}

من جهة أخرى، توجد نسب غير بُعدية، تُعرف أيضًا بالمعدلات (وأحيانًا بالنسب). ^{[ 21 ] [ 22 ]} في الكيمياء، تُعبّر نسب تركيز الكتلة عادةً عن طريق كسور الوزن/الحجم. على سبيل المثال، تركيز 3% وزن/حجم يعني عادةً 3  غرامات من المادة في كل 100  مل من المحلول. لا يمكن تحويل هذه النسبة إلى نسبة بُعدية، كما هو الحال في كسور الوزن/الوزن أو الحجم/الحجم.

غالبًا ما يتم التعبير عن مواقع النقاط بالنسبة لمثلث ذي رؤوس A و B و C وأضلاع AB و BC و CA في شكل نسبة ممتدة كإحداثيات مثلثية .

في الإحداثيات الباريسنترية ، تكون النقطة ذات الإحداثيات α، β، γ هي النقطة التي تتوازن عندها صفيحة معدنية عديمة الوزن على شكل وحجم المثلث تمامًا إذا تم وضع أوزان على رؤوسها، مع كون نسبة الأوزان عند A و B هي α  : β ، ونسبة الأوزان عند B و C هي β  : γ ، وبالتالي فإن نسبة الأوزان عند A و C هي α  : γ .

في الإحداثيات الثلاثية ، تكون المسافة العمودية لنقطة ذات إحداثيات x : y : z إلى الضلع BC (مقابل الرأس A ) والضلع CA (مقابل الرأس B ) بنسبة x : y ، والمسافة إلى الضلع CA والضلع AB (مقابل C ) بنسبة y : z ، وبالتالي تكون المسافة إلى الضلعين BC و AB بنسبة x : z .

بما أن جميع المعلومات يتم التعبير عنها من حيث النسب (الأرقام الفردية المشار إليها بـ α، β، γ، x، y، و z ليس لها معنى في حد ذاتها)، فإن تحليل المثلث باستخدام الإحداثيات الباريسنترية أو ثلاثية الخطوط ينطبق بغض النظر عن حجم المثلث.

• النسبة التبادلية
• نسبة التخفيف
• نسبة الإزاحة إلى الطول
• كمية بلا أبعاد
• النسبة المالية
• تغيير الطي
• فاصل موسيقي
• نسبة الاحتمالات
• تدوين الأجزاء لكل
• نسبة السعر إلى الأداء
• التناسب (الرياضيات)
• توزيع النسب
• مقدر النسبة
• المعدل (الرياضيات)
• ريشيو (تويتر)
• نسبة المعدل
• المخاطر النسبية
• قاعدة الثلاثة (في الرياضيات)
• مقياس الرسم (الخريطة)
• المقياس (النسبة)
• نسبة الجنس
• نسبة فوقية
• المنحدر

• "النسبة" موسوعة البنس، المجلد 19 ، جمعية نشر المعرفة المفيدة (1841)، تشارلز نايت وشركاه، لندن، الصفحات  307 وما بعدها
• "النسبة" . الموسوعة الدولية الجديدة . المجلد  التاسع عشر (  الطبعة الثانية). نيويورك: دود، ميد وشركاه. 1916. الصفحات 270-271 . ( النسبة مرتبطة بالتناسب . )
• "النسبة والتناسب" أساسيات الرياضيات التطبيقية ، جورج وينتورث، ديفيد يوجين سميث، هربرت دروري هاربر (1922) جين وشركاه، الصفحات 55 وما بعدها
• إقليدس (1908). "الكتاب الخامس" . الكتب الثلاثة عشر من كتاب أصول إقليدس . المجلد  الثاني. ترجمة السير توماس ليتل هيث . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات  112 وما بعدها.
• سميث، ديفيد يوجين (1925). "الفصل العاشر: النسبة والتناسب وقاعدة الثلاثة". تاريخ الرياضيات . المجلد  الثاني. دار جين وشركاه (أعيد طبعه عام 1958 بواسطة دار دوفر للنشر). الصفحات  477 وما بعدها.