نموذج بلاك-شولز

يُتيح إدخال المتغيرات المساعدة تبسيط الصيغة وإعادة صياغتها بشكل أكثر ملاءمة (هذه حالة خاصة من صيغة بلاك 76 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}C(F,\tau )&=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}}$

أين:

${\displaystyle D=e^{-r\tau }}$عامل الخصم

${\displaystyle F=e^{r\tau }S={\frac {S}{D}}}$هو السعر الآجل للأصل الأساسي، و${\displaystyle S=DF}$

بالنظر إلى تكافؤ خيار البيع والشراء، والذي يتم التعبير عنه بهذه المصطلحات على النحو التالي:

${\displaystyle C-P=D(F-K)=S-DK}$

سعر خيار البيع هو:

${\displaystyle P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})K-N(-d_{+})F\right]}$

من الممكن التوصل إلى تفسيرات بديهية لصيغة بلاك-شولز، ويكمن التحدي الرئيسي في تفسير...${\displaystyle d_{\pm }}$ولماذا يوجد مصطلحان مختلفان. ^{[ 21 ]}

يمكن تفسير الصيغة بتحليل خيار الشراء إلى الفرق بين خيارين ثنائيين : خيار شراء الأصل أو لا شيء مطروحًا منه خيار شراء النقد أو لا شيء (شراء خيار شراء الأصل أو لا شيء، وبيع خيار شراء النقد أو لا شيء). يستبدل خيار الشراء النقد بأصل عند تاريخ انتهاء الصلاحية، بينما يُعيد خيار شراء الأصل أو لا شيء الأصل فقط (بدون أي نقد)، ويُعيد خيار شراء النقد أو لا شيء النقد فقط (بدون أي أصل). صيغة بلاك-شولز هي الفرق بين حدين، وهذان الحدان يساويان قيم خيارات الشراء الثنائية. تُتداول هذه الخيارات الثنائية بشكل أقل من خيارات الشراء التقليدية، ولكنها أسهل في التحليل.

وبالتالي فإن الصيغة هي:

${\displaystyle C=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]}$

ينقسم إلى:

${\displaystyle C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,}$

أين${\displaystyle DN(d_{+})F}$هي القيمة الحالية لخيار الشراء الذي يحدد مصير الأصل أو لا شيء، و${\displaystyle DN(d_{-})K}$تمثل القيمة الحالية لاستدعاء نقدي أو بدون مقابل. يُستخدم عامل الخصم (D ) للخصم، لأن تاريخ انتهاء الصلاحية في المستقبل، وإزالته تُحوّل القيمة الحالية إلى القيمة المستقبلية (القيمة عند تاريخ انتهاء الصلاحية).${\displaystyle N(d_{+})~F}$هي القيمة المستقبلية لخيار الشراء أو الخسارة${\displaystyle N(d_{-})~K}$تمثل القيمة المستقبلية لاستدعاء نقدي أو لا شيء. وبعبارة أخرى، فهي القيمة المتوقعة للأصل والقيمة المتوقعة للنقد وفقًا لمقياس الحياد تجاه المخاطر.

التفسير الساذج، وغير الدقيق إلى حد ما، لهذه المصطلحات هو أن${\displaystyle N(d_{+})F}$هل احتمال انتهاء صلاحية الخيار في وضع الربح هو${\displaystyle N(d_{+})}$، مضروبًا في قيمة الأصل الأساسي عند تاريخ الاستحقاق F، بينما${\displaystyle N(d_{-})K}$هل احتمال انتهاء صلاحية الخيار في وضع الربح هو${\displaystyle N(d_{-}),}$مضروبًا في قيمة النقد عند تاريخ انتهاء الصلاحية K. هذا التفسير غير صحيح لأنه إما أن تنتهي صلاحية كلا الخيارين الثنائيين وهما رابحان أو كلاهما خاسران (إما أن يتم استبدال النقد بالأصل أو لا)، ولكن الاحتمالات${\displaystyle N(d_{+})}$و${\displaystyle N(d_{-})}$ليست متساوية. في الواقع،${\displaystyle d_{\pm }}$يمكن تفسيرها على أنها مقاييس للثراء (بالانحرافات المعيارية) و${\displaystyle N(d_{\pm })}$كاحتمالات لانتهاء صلاحية خيار الشراء في وضع الربح ( نسبة الربح )، بالقيمة النقدية المعنية ، كما هو موضح أدناه. ببساطة، تفسير خيار الشراء النقدي،${\displaystyle N(d_{-})K}$هذا صحيح، لأن قيمة النقد مستقلة عن تحركات الأصل الأساسي، وبالتالي يمكن تفسيرها على أنها مجرد حاصل ضرب "الاحتمالية في القيمة"، بينما${\displaystyle N(d_{+})F}$الأمر أكثر تعقيدًا، إذ إن احتمال انتهاء الصلاحية بربح وقيمة الأصل عند تاريخ الاستحقاق ليسا مستقلين. ^{[ 21 ]} بتعبير أدق، تتغير قيمة الأصل عند تاريخ الاستحقاق من حيث النقد، لكنها ثابتة من حيث الأصل نفسه (كمية ثابتة من الأصل)، وبالتالي فإن هاتين الكميتين مستقلتان إذا تم استبدال وحدة القياس بالأصل بدلًا من النقد.

إذا استخدم المرء النقطة S بدلاً من الأمام F، في${\displaystyle d_{\pm }}$بدلاً من${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$مصطلح هناك${\textstyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,}$والذي يمكن تفسيره على أنه عامل انحراف (في المقياس المحايد للمخاطر لوحدة قياس مناسبة). استخدام d ₋ للدلالة على قيمة المال بدلاً من قيمة المال المعيارية${\textstyle m={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\ln \left({\frac {F}{K}}\right)}$ – بمعنى آخر، سبب${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$يعود هذا العامل إلى الفرق بين الوسيط والمتوسط ​​في التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ؛ وهو نفس العامل المذكور في نظرية إيتو المطبقة على الحركة البراونية الهندسية . إضافةً إلى ذلك، ثمة طريقة أخرى لإثبات خطأ التفسير الساذج، وهي استبدال ${\displaystyle N(d_{+})}$بواسطة${\displaystyle N(d_{-})}$تُعطي الصيغة قيمة سالبة لخيارات الشراء خارج نطاق الربح. ^{[ 21 ] : 6}

بالتفصيل، الشروط${\displaystyle N(d_{+}),N(d_{-})}$تمثل احتمالات انتهاء صلاحية الخيار في وضع الربح وفقًا لمقياس احتمالية مارتينجال الأسي المكافئ (وحدة القياس = السهم) ومقياس احتمالية مارتينجال المكافئ (وحدة القياس = أصل خالٍ من المخاطر)، على التوالي. ^{[ 21 ]} دالة كثافة الاحتمال المحايدة للمخاطر لسعر السهم${\displaystyle S_{T}\in (0,\infty )}$يكون

${\displaystyle p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{-}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}}$

أين${\displaystyle d_{-}=d_{-}(K)}$يتم تعريفها كما سبق.

خاصة،${\displaystyle N(d_{-})}$يمثل هذا الاحتمال احتمال تنفيذ خيار الشراء بشرط افتراض أن انحراف الأصل هو معدل العائد الخالي من المخاطر.${\displaystyle N(d_{+})}$إلا أن ذلك لا يسمح بتفسير احتمالي بسيط.${\displaystyle SN(d_{+})}$يُفسَّر هذا بشكل صحيح على أنه القيمة الحالية، باستخدام سعر الفائدة الخالي من المخاطر، لسعر الأصل المتوقع عند تاريخ الاستحقاق، بافتراض أن سعر الأصل عند تاريخ الاستحقاق أعلى من سعر التنفيذ. ^{[ 22 ]} لمزيد من المناقشة ذات الصلة - والتمثيل البياني - انظر طريقة داتار-ماثيوز لتقييم الخيارات الحقيقية .  

يُطلق على مقياس احتمالية المارتينجال المكافئ أيضًا اسم مقياس الاحتمالية المحايد للمخاطر . تجدر الإشارة إلى أن كليهما احتمالات من منظور نظرية القياس ، ولا يُمثل أي منهما الاحتمالية الحقيقية لانتهاء الصلاحية بربح وفقًا لمقياس الاحتمالية الحقيقي . لحساب الاحتمالية وفقًا لمقياس الاحتمالية الحقيقي ("الفيزيائي")، يلزم توفر معلومات إضافية، وهي حد الانحراف في المقياس الفيزيائي، أو ما يُعادله، سعر المخاطرة في السوق .

بالنسبة لخيارات المؤشرات، من المعقول افتراض أن توزيعات الأرباح تُدفع باستمرار، وأن مبلغ توزيعات الأرباح يتناسب مع مستوى المؤشر.

دفعات الأرباح المدفوعة على مدار الفترة الزمنية${\displaystyle [t,t+dt]}$ثم يتم تصميمها على النحو التالي:

${\displaystyle qS_{t}\,dt}$

لبعض الثوابت${\displaystyle q}$( عائد توزيعات الأرباح ).

وفقًا لهذه الصيغة، يمكن إثبات أن السعر الخالي من المراجحة الذي يشير إليه نموذج بلاك-شولز هو:

${\displaystyle C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

و

${\displaystyle P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]\,}$

أين الآن؟

${\displaystyle F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)}\,}$

هو سعر الصرف الآجل المعدل الذي يحدث في الشروط${\displaystyle d_{1},d_{2}}$:

${\displaystyle d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$

و

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$[ ^{25 ]​}

من الممكن أيضاً توسيع إطار عمل بلاك-شولز ليشمل خيارات الأدوات المالية التي تدفع أرباحاً نسبية منفصلة. وهذا مفيد عند تنفيذ الخيار على سهم واحد.

يتمثل النموذج النموذجي في افتراض أن نسبة${\displaystyle \delta }$يتم دفع جزء من سعر السهم في أوقات محددة مسبقًا${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$ثم يتم نمذجة سعر السهم على النحو التالي:

${\displaystyle S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}}$

أين${\displaystyle n(t)}$يمثل عدد الأرباح التي تم دفعها حتى وقت معين${\displaystyle t}$.

سعر خيار الشراء على هذا السهم هو مرة أخرى:

${\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

أين الآن؟

${\displaystyle F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,}$

هو السعر المستقبلي للسهم الذي يدفع أرباحًا.

ترتبط مشكلة إيجاد سعر الخيار الأمريكي بمشكلة التوقف الأمثل، أي إيجاد الوقت الأمثل لتنفيذ الخيار. وبما أنه يمكن ممارسة الخيار الأمريكي في أي وقت قبل تاريخ انتهاء صلاحيته، فإن معادلة بلاك-شولز تتحول إلى متباينة تباينية على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0}$^{[ 26 ]}

مع${\displaystyle V(S,t)\geq H(S)}$أين${\displaystyle H(S)}$يشير إلى العائد عند سعر السهم${\displaystyle S}$والحالة النهائية:${\displaystyle V(S,T)=H(S)}$.

بشكل عام، لا يوجد حل مغلق لهذه المتباينة، على الرغم من أن خيار الشراء الأمريكي بدون أرباح يساوي خيار الشراء الأوروبي، وتوفر طريقة Roll–Geske–Whaley حلاً لخيار الشراء الأمريكي مع ربح واحد؛ ^{[ 27 ] [ 28 ]} انظر أيضًا تقريب بلاك .

تُعدّ صيغة بارون-أديسي وويلي ^{[ 29 ]} صيغة تقريبية إضافية. في هذه الصيغة، تُقسّم المعادلة التفاضلية العشوائية (الصالحة لأي قيمة مشتقة) إلى مُكوّنين: قيمة الخيار الأوروبي وعلاوة التنفيذ المبكر. وبافتراضات مُحدّدة، نحصل على معادلة تربيعية تُقارب حلّ المُكوّن الأخير. يتضمن هذا الحلّ إيجاد القيمة الحرجة .${\displaystyle s*}$بحيث يكون المرء غير مبالٍ بين ممارسة الرياضة مبكراً والاحتفاظ بها حتى النضج. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

يقدم بيركسوند وستينسلاند ^{[ 32 ]} تقريبًا قائمًا على استراتيجية ممارسة تتوافق مع سعر التفعيل. في هذه الحالة، إذا كان سعر الأصل الأساسي أكبر من أو يساوي سعر التفعيل، فمن الأمثل ممارسة الخيار، ويجب أن تساوي القيمة${\displaystyle S-X}$وإلا فإن الخيار "يُختزل إلى: (أ) خيار شراء أوروبي قابل للإلغاء ... و(ب) خصم يُستلم في تاريخ الإلغاء إذا تم إلغاء الخيار قبل تاريخ الاستحقاق". يمكن تعديل الصيغة بسهولة لتقييم خيار البيع، باستخدام تكافؤ خياري البيع والشراء . هذا التقريب غير مكلف حسابيًا وسريع، وتشير الأدلة إلى أن هذا التقريب قد يكون أكثر دقة في تسعير الخيارات طويلة الأجل من طريقة بارون-أديسي وويلي. ^{[ 33 ]}

بحل معادلة بلاك-شولز التفاضلية باستخدام دالة هيفسايد كشرط حدودي، نحصل في النهاية على تسعير الخيارات التي تدفع وحدة واحدة فوق سعر تنفيذ محدد مسبقًا ولا تدفع شيئًا تحته. ^{[ 35 ]}

في الواقع، يمكن تفسير صيغة بلاك-شولز لسعر خيار الشراء العادي (أو خيار البيع) عن طريق تقسيم خيار الشراء إلى خيار شراء الأصل أو لا شيء مطروحًا منه خيار شراء النقد أو لا شيء، وبالمثل بالنسبة لخيار البيع - الخيارات الثنائية أسهل في التحليل، وتتوافق مع المصطلحين في صيغة بلاك-شولز.

من أبرز مزايا نموذج بلاك-شولز أن جميع معاييره، باستثناء التقلب (مثل مدة الاستحقاق، وسعر التنفيذ، وسعر الفائدة الخالي من المخاطر، وسعر الأصل الأساسي الحالي)، قابلة للملاحظة بشكل قاطع. وبافتراض ثبات جميع العوامل الأخرى، فإن القيمة النظرية للخيار هي دالة متزايدة بشكل مطرد مع التقلب الضمني.

يمكن اختبار نموذج بلاك-شولز من خلال حساب التقلب الضمني لخيارات التداول ذات أسعار التنفيذ وتواريخ الاستحقاق المختلفة. إذا كان نموذج بلاك-شولز صحيحًا، فسيكون التقلب الضمني لسهم معين متساويًا لجميع أسعار التنفيذ وتواريخ الاستحقاق. عمليًا، لا يكون سطح التقلب (الرسم البياني ثلاثي الأبعاد للتقلب الضمني مقابل سعر التنفيذ وتاريخ الاستحقاق) مستويًا.

يعتمد الشكل النموذجي لمنحنى التقلب الضمني لفترة استحقاق معينة على الأداة المالية الأساسية. تميل الأسهم إلى امتلاك منحنيات ملتوية: فمقارنةً بسعر التنفيذ الحالي ، يكون التقلب الضمني أعلى بكثير عند أسعار التنفيذ المنخفضة، وأقل قليلاً عند أسعار التنفيذ المرتفعة. أما العملات، فتميل إلى امتلاك منحنيات أكثر تناظرًا، حيث يكون التقلب الضمني في أدنى مستوياته عند سعر التنفيذ الحالي، بينما يكون أعلى في كلا طرفي المنحنى. غالبًا ما تُظهر السلع سلوكًا معاكسًا للأسهم، حيث يكون التقلب الضمني أعلى عند أسعار التنفيذ المرتفعة.

على الرغم من وجود منحنى تقلبات الأسعار (وانتهاك جميع الافتراضات الأخرى لنموذج بلاك-شولز)، لا تزال معادلة بلاك-شولز التفاضلية الجزئية وصيغة بلاك-شولز تُستخدمان على نطاق واسع في الممارسة العملية. يتمثل أحد الأساليب الشائعة في اعتبار سطح تقلبات الأسعار حقيقةً ثابتةً عن السوق، واستخدام التقلبات الضمنية المستخرجة منه في نموذج تقييم بلاك-شولز. وقد وُصف هذا الأسلوب بأنه استخدام "الرقم الخاطئ في الصيغة الخاطئة للحصول على السعر الصحيح". ^{[ 41 ]} كما يُتيح هذا الأسلوب قيمًا قابلة للاستخدام لنسب التحوط (المؤشرات اليونانية). حتى عند استخدام نماذج أكثر تطورًا، يُفضل المتداولون التفكير من منظور التقلبات الضمنية لبلاك-شولز، لأنها تُمكّنهم من تقييم ومقارنة خيارات ذات آجال استحقاق وأسعار تنفيذ مختلفة، وما إلى ذلك. لمناقشة الأساليب البديلة المختلفة المُطورة هنا، انظر الاقتصاد المالي §  التحديات والانتقادات .

لا يمكن تطبيق نموذج بلاك-شولز مباشرةً على سندات الدين بسبب ظاهرة "الوصول إلى القيمة الاسمية" . فمع اقتراب تاريخ استحقاق السند، تصبح جميع أسعاره معروفة، مما يقلل من تقلباته، ولا يعكس نموذج بلاك-شولز البسيط هذه العملية. وقد استُخدمت العديد من التوسعات لنموذج بلاك-شولز، بدءًا من نموذج بلاك ، لمعالجة هذه الظاهرة. ^{[ 42 ]} انظر خيار السند §  التقييم .

في الواقع، لا تكون أسعار الفائدة ثابتة، بل تتغير باختلاف مدة الاستحقاق (وتيرة صرف القسائم)، مما يُنتج منحنى لأسعار الفائدة يمكن استخدامه لتحديد سعر مناسب في معادلة بلاك-شولز. ومن الاعتبارات الأخرى أن أسعار الفائدة تتغير بمرور الوقت. وقد يُسهم هذا التقلب بشكل كبير في السعر، لا سيما أسعار الخيارات طويلة الأجل. وهذا يُشبه العلاقة العكسية بين سعر الفائدة وسعر السندات.

إنّ اتخاذ مركز بيع على المكشوف ، كما هو متأصل في الاشتقاق، ليس مجانيًا عادةً؛ وبالمثل، من الممكن إقراض مركز شراء على المكشوف مقابل رسوم رمزية . في كلتا الحالتين، يمكن اعتبار ذلك توزيع أرباح مستمر لأغراض تقييم بلاك-شولز، شريطة ألا يكون هناك تباين واضح بين تكلفة اقتراض مركز البيع على المكشوف ودخل إقراض مركز الشراء على المكشوف.

• بلاك، فيشر؛ سكولز، مايرون (1973). "تسعير الخيارات والتزامات الشركات". مجلة الاقتصاد السياسي . 81 (3): 637-654 . doi : 10.1086/260062 . S2CID 154552078 . (الورقة البحثية الأصلية لبلاك وشولز.)
• ميرتون، روبرت سي. (1973). "نظرية التسعير الرشيد للخيارات". مجلة بيل للاقتصاد وعلوم الإدارة . 4 (1). مؤسسة راند: 141-183 . doi : 10.2307/3003143 . hdl : 10338.dmlcz/135817 . JSTOR 3003143 . (الورقة البحثية الأصلية لميرتون.)
• هول، جون سي. (1997). الخيارات والعقود الآجلة والمشتقات الأخرى . برنتيس هول. ISBN 0-13-601589-1.

• بيرنشتاين، بيتر (1992). أفكار رأس المال: الأصول غير المحتملة لوول ستريت الحديثة . دار النشر الحرة. رقم ISBN 0-02-903012-9.
• إيمانويل، ديرمان (2004). حياتي كمحلل كمي . جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-39420-3.
• ماكنزي، دونالد (2003). "معادلة وعوالمها: التجميع، والأمثلة، والتفكك، والأداء في الاقتصاد المالي" (ملف PDF) . دراسات اجتماعية في العلوم . 33 (6): 831-868 . doi : 10.1177/0306312703336002 . hdl : 20.500.11820/835ab5da-2504-4152-ae5b-139da39595b8 . S2CID 15524084 . 
• ماكنزي، دونالد؛ يوفال ميلو (2003). "بناء سوق، تطبيق النظرية: علم الاجتماع التاريخي لبورصة المشتقات المالية". المجلة الأمريكية لعلم الاجتماع . 109 (1): 107-145 . CiteSeerX 10.1.1.461.4099 . doi : 10.1086/374404 . S2CID 145805302 .  ^{[ تمت إزالة الرابط ]}
• ماكنزي، دونالد (2006). محرك، لا كاميرا: كيف تشكل النماذج المالية الأسواق . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 0-262-13460-8.
• ماندلبروت؛ هدسون (2006). سلوك الأسواق (المُضلل) . بيسيك بوكس. ISBN 978-0-465-04355-2.
• سزبيرو، جورج ج. (2011). تسعير المستقبل: التمويل، والفيزياء، ورحلة 300 عام إلى معادلة بلاك-شولز . دار بيسيك بوكس. رقم ISBN 978-0465022489.
• طالب، نسيم (1997). التحوط الديناميكي . جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-15280-3.
• ثورب، محرر. (2017). رجل لكل الأسواق . دار راندوم هاوس. رقم ISBN 978-1-4000-6796-1.

• هاوغ، إي جي (2007). "تسعير الخيارات والتحوط من النظرية إلى التطبيق". المشتقات: نماذج على نماذج . وايلي. ISBN 978-0-470-01322-9.يقدم الكتاب سلسلة من المراجع التاريخية التي تدعم النظرية القائلة بأن متداولي الخيارات يستخدمون مبادئ تحوط وتسعير أكثر قوة من نموذج بلاك وشولز وميرتون.
• تريانا، بابلو (2009). إلقاء محاضرات على الطيور حول الطيران: هل تستطيع النظريات الرياضية تدمير الأسواق المالية؟ وايلي. ISBN 978-0-470-40675-5.يتناول الكتاب نموذج بلاك وشولز وميرتون بنظرة نقدية.

• أجاي شاه. بلاك، ميرتون، وشولز: أعمالهم ونتائجها. الأسبوعية الاقتصادية والسياسية، 32(52): 3337-3342، ديسمبر 1997
• المعادلة الرياضية التي تسببت في انهيار البنوك، بقلم إيان ستيوارت، في صحيفة الأوبزرفر ، 12 فبراير 2012
• عندما يتعذر التحوط باستمرار: تصحيحات لكتاب بلاك-شولز ، إيمانويل ديرمان

• حل معادلة بلاك-شولز باستخدام دالة غرين ، بقلم البروفيسور دينيس سيلفرمان
• معادلة بلاك-شولز: مقال توضيحي بقلم عالم الرياضيات تيرينس تاو .

• بلاك-شولز بلغات متعددة
• بلاك-شولز في جافا - سيتم نقل الرابط أدناه -
• بلاك-شولز في جاوة
• نموذج تسعير خيارات شيكاغو (نسخة الرسم البياني)
• نموذج سطح التقلب الضمني لبلاك-شولز-ميرتون (جافا)
• حاسبة بلاك-شولز عبر الإنترنت

• رهان التريليون دولار - موقع ويب مصاحب لحلقة من برنامج نوفا تم بثها أصلاً في 8 فبراير 2000. "يروي الفيلم القصة الرائعة لاختراع صيغة بلاك-شولز، وهي الكأس المقدسة الرياضية التي غيرت عالم المال إلى الأبد وحصل مبتكروها على جائزة نوبل في الاقتصاد عام 1997."
• برنامج "بي بي سي هورايزون " التلفزيوني يتناول ما يسمى بصيغة ميداس وإفلاس شركة إدارة رأس المال طويل الأجل (LTCM).
• مجلة بي بي سي الإخبارية: بلاك-شولز: المعادلة الرياضية المرتبطة بالانهيار المالي (مقال بتاريخ 27 أبريل 2012)