نظرية شعاع أويلر-برنولي

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 214 صور
الموسوعة الحرة
يمكن نمذجة هذا الشعاع الزجاجي المهتز كشعاع ناتئ مع تسارع، وكثافة خطية متغيرة، ومعامل مقطع متغير، ونوع من التبديد، وحمل طرفي مرن، وربما كتلة نقطية عند الطرف الحر.

نظرية عارضة أويلر-بيرنولي ( المعروفة أيضًا باسم نظرية عارضة المهندس أو نظرية العارضة الكلاسيكية ) [ 1 ] هي تبسيط لنظرية المرونة الخطية التي توفر وسيلة لحساب قدرة تحمل الأحمال وانحراف العوارض .

عند تطبيق قوى خارجية على عارضة، تتولد قوى قص داخلية وعزوم انحناء ، مما يؤدي إلى انحناء العارضة . تنص نظرية أويلر-بيرنولي للعوارض على أن قوة القص عند أي نقطة على العارضة هي المجموع التراكمي للأحمال المطبقة على طول العارضة حتى تلك النقطة. وبالمثل، فإن عزم الانحناء عند أي نقطة هو مجموع قوى القص على طول العارضة حتى تلك النقطة. بالإضافة إلى ذلك، تنص النظرية على أن الانحراف عند أي نقطة على العارضة هو التكامل الرابع للأحمال المطبقة حتى تلك النقطة، ويعتمد على صلابة الانحناء . من خلال استخدام حساب التفاضل والتكامل ، وشروط الحدود التي تصف انحناء العارضة عند دعاماتها، توفر النظرية نموذجًا رياضيًا للتنبؤ بالسلوك الإنشائي للعوارض.

تقتصر نظرية عارضة أويلر-بيرنولي على الانحرافات الصغيرة للعارضة المعرضة لأحمال جانبية فقط، مما يُسبب انحناءً مرنًا . وقد جرى تحسين نظريات العوارض لاحقًا في القرن العشرين لمراعاة تأثيرات تشوه القص وعزم القصور الذاتي الدوراني؛ وتُعتبر نظرية عارضة أويلر-بيرنولي الآن حالة من نظرية عارضة تيموشينكو-إهرنفست التي تُهمل هذه التأثيرات.

طُرح هذا المفهوم لأول مرة حوالي عام 1750، [ 2 ] ولكنه لم يُطبّق على نطاق واسع إلا بعد تطوير برج إيفل وعجلة فيريس في أواخر القرن التاسع عشر. وبعد هذه التجارب الناجحة، سرعان ما أصبح حجر الزاوية في الهندسة وعاملاً مساعداً للثورة الصناعية الثانية .

تم تطوير نماذج إضافية، مثل نظرية الصفائح ، لكن بساطة نظرية العوارض تجعلها أداة مهمة في العلوم، وخاصة الهندسة الإنشائية والميكانيكية .

تاريخ

رسم تخطيطي للمقطع العرضي لشعاع منحني يوضح المحور المحايد.

يُجمع الرأي السائد على أن غاليليو غاليلي هو من قام بالمحاولات الأولى لتطوير نظرية العوارض، لكن الدراسات الحديثة تُشير إلى أن ليوناردو دافنشي كان أول من قام بالملاحظات الحاسمة. كان دافنشي يفتقر إلى قانون هوك وحساب التفاضل والتكامل لإكمال النظرية، بينما أعاق غاليليو افتراض خاطئ قام به. [ 3 ]

افترض جاكوب برنولي أن انحناء أي نقطة على عارضة منحرفة يتناسب مع عزم الانحناء عند تلك النقطة، ونُشرت هذه الفرضية لأول مرة في كتاب "تاريخ الأكاديمية الملكية للعلوم" عام 1705 [ 1 ] . كما وضع برنولي طريقة لحساب انحراف عارضة ناتئة ذات حمل مركز عند طرفها الحر، إلا أنه افترض خطأً أن انحناء العارضة ناتج عن دوران مقطعها العرضي حول محور يتقاطع مع ألياف الضغط القصوى.

قام ليونارد أويلر بالبناء على عمل جاكوب برنولي، وطبق حساب التفاضل والتكامل لوصف سلوك المنحنيات المرنة ونشر Methodus inveniendi lineas curvas في عام 1744 [ 4 ] .

قام دانيال برنولي بتطوير النظريات وصاغ المعادلة التفاضلية لحركة العارضة المهتزة. [ 5 ]

معادلة الشعاع الساكن

تصف معادلة أويلر-بيرنولي العلاقة بين انحراف الشعاع والحمل المطبق: [ 6 ]

د2دx2(هـأناد2wدx2)=q{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=q\,}

المنحنىw(x){\displaystyle w(x)}يصف انحراف العارضة فيz{\displaystyle z}الاتجاه في موضع ماx{\displaystyle x}(تذكر أن الشعاع يتم نمذجته كجسم أحادي البعد).q{\displaystyle q}هو حمل موزع، أي قوة لكل وحدة طول (على غرار الضغط الذي يمثل قوة لكل وحدة مساحة)؛ وقد يكون دالة لـx{\displaystyle x}،w{\displaystyle w}أو متغيرات أخرى.هـ{\displaystyle E}هو معامل المرونة وأنا{\displaystyle I}يمثل عزم المساحة الثاني للمقطع العرضي للشعاع.أنا{\displaystyle I}يجب حسابها بالنسبة للمحور العمودي على الحمل المطبق. [ N1 ] تحديدًا، بالنسبة لشعاع محوره موجه على طولx{\displaystyle x}مع التحميل على طولz{\displaystyle z}، يقع المقطع العرضي للشعاع فيyz{\displaystyle yz}المستوى، وعزم المساحة الثاني ذو الصلة هو

أنا=∬z2دyدz،{\displaystyle I=\iint z^{2}\;dy\;dz,}

يمكن إثبات من اعتبارات التوازن أن مركز ثقل المقطع العرضي يجب أن يكون عندy=z=0{\displaystyle y=z=0}.

في كثير من الأحيان، المنتجهـأنا{\displaystyle EI}(المعروف باسم صلابة الانحناء ) هو ثابت، بحيث

هـأناد4wدx4=q(x).{\displaystyle EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x).\,}

تُستخدم هذه المعادلة، التي تصف انحراف عارضة ثابتة منتظمة، على نطاق واسع في الممارسة الهندسية. جداول تعبيرات الانحرافw{\displaystyle w}يمكن إيجاد معلومات عن تكوينات العوارض الشائعة في كتيبات الهندسة. أما في الحالات الأكثر تعقيدًا، فيمكن تحديد الانحراف عن طريق حل معادلة أويلر-بيرنولي باستخدام تقنيات مثل " التكامل المباشر "، و" طريقة ماكولاي "، و" طريقة مساحة العزم "، و" طريقة العارضة المترافقة "، و" مبدأ الشغل الافتراضي "، و" طريقة كاستيليانو "، و" طريقة المرونة "، و" طريقة انحراف الميل "، و" طريقة توزيع العزم "، أو " طريقة الصلابة المباشرة ".

تم تحديد اصطلاحات الإشارات هنا نظرًا لوجود اصطلاحات مختلفة في المراجع. [ 6 ] في هذه المقالة، يُستخدم نظام إحداثيات يميني معx{\displaystyle x}المحور إلى اليمين،z{\displaystyle z}المحور يشير إلى الأعلى، وy{\displaystyle y}المحور يشير إلى داخل الشكل. إشارة عزم الانحناءم{\displaystyle M}يُعتبر موجبًا عندما يكون متجه عزم الدوران المرتبط بعزم الانحناء على الجانب الأيمن من المقطع موجبًاy{\displaystyle y}الاتجاه، أي القيمة الموجبة لـم{\displaystyle M}يُنتج ذلك إجهادًا ضاغطًا على السطح السفلي. مع هذا الاختيار لاتفاقية إشارة عزم الانحناء ، من أجل الحصول علىدم=سؤالدx{\displaystyle dM=Qdx}، من الضروري أن تكون قوة القصسؤال{\displaystyle Q}يكون العمل على الجانب الأيمن من القسم إيجابياً فيz{\displaystyle z}الاتجاه لتحقيق التوازن الساكن للعزوم. إذا كانت شدة التحميلq{\displaystyle q}يُعتبر إيجابياً في الجانب الإيجابيz{\displaystyle z}ثم الاتجاه دسؤال=-qدx{\displaystyle dQ=-qdx}ضروري لتحقيق توازن القوى.

المشتقات المتتالية للانحرافw{\displaystyle w}لها معانٍ مادية مهمة:دw/دx{\displaystyle dw/dx}يمثل ميل العارضة، وهو زاوية الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة حولy{\displaystyle y}المحور - في حالة الإزاحات الصغيرة؛

م=-هـأناد2wدx2{\displaystyle M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}}

يمثل عزم الانحناء في العارضة؛ و

سؤال=-ددx(هـأناد2wدx2){\displaystyle Q=-{\frac {d}{dx}}\left(EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}\right)}

هي قوة القص في العارضة.

انحناء عارضة أويلر-بيرنولي. كل مقطع عرضي للعارضة بزاوية 90 درجة بالنسبة للمحور المحايد.

يمكن حساب الإجهادات في العارضة من التعبيرات المذكورة أعلاه بعد تحديد الانحراف الناتج عن حمل معين.

اشتقاق معادلة الانحناء

نظراً للأهمية الجوهرية لمعادلة عزم الانحناء في الهندسة، سنقدم اشتقاقاً موجزاً لها. سننتقل إلى الإحداثيات القطبية. طول المحور المحايد في الشكل هوρدθ.{\displaystyle \rho d\theta .}طول الليف ذي المسافة الشعاعيةz{\displaystyle z}أسفل المحور المحايد(ρ+z)دθ.{\displaystyle (\rho +z)d\theta .}لذلك، فإن إجهاد هذا الليف هو

(ρ+z-ρ) دθρ دθ=zρ.{\displaystyle {\frac {\left(\rho +z-\rho \right)\ d\theta }{\rho \ d\theta }}={\frac {z}{\rho }}.}

إجهاد هذا الليف هوهـzρ{\displaystyle E{\dfrac {z}{\rho }}}أينهـ{\displaystyle E}يمثل معامل المرونة وفقًا لقانون هوك . متجه القوة التفاضلية،دF،{\displaystyle d\mathbf {F} ,}والناتج عن هذا الإجهاد، يُعطى بواسطة

دF=هـzρدأهـx.{\displaystyle d\mathbf {F} =E{\frac {z}{\rho }}dA\mathbf {e_{x}} .}

هذا هو متجه القوة التفاضلية المؤثرة على الجانب الأيمن من المقطع الموضح في الشكل. ونعلم أنه فيهـx{\displaystyle \mathbf {e_{x}} }الاتجاه لأن الشكل يوضح بوضوح أن الألياف في النصف السفلي تكون تحت الشد.دأ{\displaystyle dA}يمثل العنصر التفاضلي للمساحة عند موضع الليف. متجه عزم الانحناء التفاضلي،دم{\displaystyle d\mathbf {M} }مرتبط بـدF{\displaystyle d\mathbf {F} }يُعطى بواسطة

دم=-zهـz×دF=-هـyهـz2ρدأ.{\displaystyle d\mathbf {M} =-z\mathbf {e_{z}} \times d\mathbf {F} =-\mathbf {e_{y}} E{\frac {z^{2}}{\rho }}dA.}

هذا التعبير صالح للألياف في النصف السفلي من العارضة. أما التعبير الخاص بالألياف في النصف العلوي من العارضة فسيكون مشابهًا، باستثناء أن متجه ذراع العزم سيكون موجبًا.z{\displaystyle z}وسيكون متجه القوة في الاتجاه-x{\displaystyle -x}في هذا الاتجاه لأن الألياف العلوية تتعرض للضغط. لكن متجه عزم الانحناء الناتج سيظل في هذا الاتجاه.-y{\displaystyle -y}الاتجاه منذهـz×-هـx=-هـy.{\displaystyle \mathbf {e_{z}} \times -\mathbf {e_{x}} =-\mathbf {e_{y}} .} لذلك، نقوم بالتكامل على كامل المقطع العرضي للعتبة ونحصل علىم{\displaystyle \mathbf {M} }متجه عزم الانحناء المؤثر على المقطع العرضي الأيمن للشعاع، التعبير

م=∫دم=-هـyهـρ∫z2 دأ=-هـyهـأناρ،{\displaystyle \mathbf {M} =\int d\mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} {\frac {E}{\rho }}\int {z^{2}}\ dA=-\mathbf {e_{y}} {\frac {EI}{\rho }},}

أينأنا{\displaystyle I}هو عزم المساحة الثاني . من حساب التفاضل والتكامل، نعلم أنه عندمادwدx{\displaystyle {\dfrac {dw}{dx}}}إذا كانت صغيرة، كما هو الحال بالنسبة لشعاع أويلر-بيرنولي، فيمكننا إجراء التقريب.1ρ≃د2wدx2{\displaystyle {\dfrac {1}{\rho }}\simeq {\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}}، أينρ{\displaystyle \rho }يمثل نصف قطر الانحناء . لذلك،

م=-هـyهـأناد2wدx2.{\displaystyle \mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}

يمكن فصل معادلة المتجه هذه في تعريف متجه وحدة الانحناء (م{\displaystyle M}موجه على النحو التاليهـy{\displaystyle \mathbf {e_{y}} }), وفي معادلة الانحناء:

م=-هـأناد2wدx2.{\displaystyle M=-EI{d^{2}w \over dx^{2}}.}

معادلة الشعاع الديناميكي

نموذج طريقة العناصر المحدودة لاهتزاز عارضة ذات حافة عريضة ( عارضة Ɪ ).

معادلة الشعاع الديناميكي هي معادلة أويلر-لاغرانج للفعل التالي:

S=∫ت1ت2∫0L[12μ(∂w∂ت)2-12هـأنا(∂2w∂x2)2+q(x)w(x،ت)]دxدت.{\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{0}^{L}\left[{\frac {1}{2}}\mu \left({\frac {\partial w}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}EI\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)^{2}+q(x)w(x,t)\right]dxdt.}

يمثل الحد الأول الطاقة الحركية حيثμ{\displaystyle \mu }تمثل الكتلة لكل وحدة طول، ويمثل الحد الثاني طاقة الوضع الناتجة عن القوى الداخلية (عند اعتبارها بإشارة سالبة)، ويمثل الحد الثالث طاقة الوضع الناتجة عن الحمل الخارجيq(x){\displaystyle q(x)}تُستخدم معادلة أويلر -لاغرانج لتحديد الدالة التي تُقلل من الدالة الوظيفيةS{\displaystyle S}بالنسبة لشعاع أويلر-بيرنولي الديناميكي، فإن معادلة أويلر-لاغرانج هي

∂2∂x2(هـأنا∂2w∂x2)=-μ∂2w∂ت2+q(x).{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+q(x).}

عندما يكون الشعاع متجانساً،هـ{\displaystyle E}وأنا{\displaystyle I}مستقلة عنx{\displaystyle x}ومعادلة الشعاع أبسط:

هـأنا∂4w∂x4=-μ∂2w∂ت2+q.{\displaystyle EI{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=-\mu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+q\,.}

اهتزاز حر

في حالة عدم وجود حمل عرضي،q{\displaystyle q}لدينا معادلة الاهتزاز الحر . يمكن حل هذه المعادلة باستخدام تحليل فورييه للإزاحة إلى مجموع اهتزازات توافقية على النحو التالي:

w(x،ت)=يكرر[w^(x) هـ-أناωت]{\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]}

أينω{\displaystyle \omega }يمثل تردد الاهتزاز. عندئذٍ، لكل قيمة من قيم التردد، يمكننا حل معادلة تفاضلية عادية

هـأنا د4w^دx4-μω2w^=0.{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-\mu \omega ^{2}{\hat {w}}=0\,.}

الحل العام للمعادلة أعلاه هو

w^=أ1ضرب بالعصا⁡(βx)+أ2سينه⁡(βx)+أ3كوس⁡(βx)+أ4الخطيئة⁡(βx)معβ:=(μω2هـأنا)1/4{\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)\quad {\text{with}}\quad \beta :=\left({\frac {\mu \omega ^{2}}{EI}}\right)^{1/4}}

أينأ1،أ2،أ3،أ4{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}هي ثوابت. هذه الثوابت فريدة لمجموعة معينة من الشروط الحدية. مع ذلك، فإن حل الإزاحة ليس فريدًا ويعتمد على التردد. تُكتب هذه الحلول عادةً على النحو التالي:

w^ن=أ1ضرب بالعصا⁡(βنx)+أ2سينه⁡(βنx)+أ3كوس⁡(βنx)+أ4الخطيئة⁡(βنx)معβن:=(μωن2هـأنا)1/4.{\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\cosh(\beta _{n}x)+A_{2}\sinh(\beta _{n}x)+A_{3}\cos(\beta _{n}x)+A_{4}\sin(\beta _{n}x)\quad {\text{with}}\quad \beta _{n}:=\left({\frac {\mu \omega _{n}^{2}}{EI}}\right)^{1/4}\,.}

الكمياتωن{\displaystyle \omega _{n}}تُسمى هذه الترددات بالترددات الطبيعية للشعاع. ويُطلق على كل حل من حلول الإزاحة اسم نمط ، ويُطلق على شكل منحنى الإزاحة اسم شكل النمط .

مثال: عارضة ناتئة

أشكال الأنماط للأوضاع الأربعة الأولى لشعاع ناتئ مهتز.

الشروط الحدية لشعاع ناتئ طولهL{\displaystyle L}(ثابت عندx=0{\displaystyle x=0}) نكون

w^ن=0 ،  دw^ندx=0في  x=0د2w^ندx2=0 ،  د3w^ندx3=0في  x=L.{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {w}}_{n}=0~,~~{\frac {d{\hat {w}}_{n}}{dx}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\\&{\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=L\,.\end{aligned}}}

إذا طبقنا هذه الشروط، فإن الحلول غير التافهة لا توجد إلا إذا ضرب بالعصا⁡(βنL)كوس⁡(βنL)+1=0.{\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)+1=0\,.} يمكن حل هذه المعادلة غير الخطية عدديًا. الجذور الأربعة الأولى هيβ1L=0.596864π{\displaystyle \beta _{1}L=0.596864\pi }،β2L=1.49418π{\displaystyle \beta _{2}L=1.49418\pi }،β3L=2.50025π{\displaystyle \beta _{3}L=2.50025\pi }، وβ4L=3.49999π{\displaystyle \beta _{4}L=3.49999\pi }.

الترددات الطبيعية المقابلة للاهتزاز هي

ω1=β12هـأناμ=3.5160L2هـأناμ ،  ...{\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {3.5160}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }

يمكن أيضًا استخدام الشروط الحدية لتحديد أشكال الوضع من حل الإزاحة:

w^ن=أ1[(ضرب بالعصا⁡βنx-كوس⁡βنx)+كوس⁡βنL+ضرب بالعصا⁡βنLالخطيئة⁡βنL+سينه⁡βنL(الخطيئة⁡βنx-سينه⁡βنx)]{\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\left[(\cosh \beta _{n}x-\cos \beta _{n}x)+{\frac {\cos \beta _{n}L+\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L+\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x-\sinh \beta _{n}x)\right]}
شعاع ناتئ مُثار بالقرب من تردد الرنين للنمط 2.

الثابت المجهول (في الواقع ثوابت، حيث يوجد ثابت واحد لكل منها)ن{\displaystyle n})أ1{\displaystyle A_{1}}يتم تحديدها، وهي معقدة بشكل عام، من خلال الشروط الأولية عندت=0{\displaystyle t=0}يعتمد ذلك على سرعة وإزاحات العارضة. عادةً ما تكون القيمةأ1=1{\displaystyle A_{1}=1}يُستخدم هذا الأسلوب عند رسم أشكال الأنماط. حلول مسألة الاهتزاز القسري غير المخمد لها إزاحات غير محدودة عندما يتطابق تردد القيادة مع التردد الطبيعي.ωن{\displaystyle \omega _{n}}أي أن الشعاع يمكن أن يرن . وبالتالي، فإن الترددات الطبيعية للشعاع تتوافق مع الترددات التي يمكن أن يحدث عندها الرنين .

مثال: عارضة حرة (غير مدعومة)

الأنماط الأربعة الأولى لشعاع أويلر-بيرنولي الحر المهتز.

العارضة الحرة هي عارضة بدون أي دعامات. [ 7 ] شروط الحدود لعارضة حرة طولهاL{\displaystyle L}ممتد منx=0{\displaystyle x=0}لx=L{\displaystyle x=L}يتم الحصول عليها من خلال:

د2w^ندx2=0 ،  د3w^ندx3=0في  x=0وx=L.{\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\,{\text{and}}\,x=L\,.}

إذا طبقنا هذه الشروط، فإن الحلول غير التافهة لا توجد إلا إذا

ضرب بالعصا⁡(βنL)كوس⁡(βنL)-1=0.{\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)-1=0\,.}

يمكن حل هذه المعادلة غير الخطية عدديًا. الجذور الأربعة الأولى هيβ1L=1.50562π{\displaystyle \beta _{1}L=1.50562\pi }،β2L=2.49975π{\displaystyle \beta _{2}L=2.49975\pi }،β3L=3.50001π{\displaystyle \beta _{3}L=3.50001\pi }، وβ4L=4.50000π{\displaystyle \beta _{4}L=4.50000\pi }.

الترددات الطبيعية المقابلة للاهتزاز هي:

ω1=β12هـأناμ=22.3733L2هـأناμ ،  ...{\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {22.3733}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }

يمكن أيضًا استخدام الشروط الحدية لتحديد أشكال الوضع من حل الإزاحة:

w^ن=أ1[(كوس⁡βنx+ضرب بالعصا⁡βنx)-كوس⁡βنL-ضرب بالعصا⁡βنLالخطيئة⁡βنL-سينه⁡βنL(الخطيئة⁡βنx+سينه⁡βنx)]{\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}{\Bigl [}(\cos \beta _{n}x+\cosh \beta _{n}x)-{\frac {\cos \beta _{n}L-\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L-\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x+\sinh \beta _{n}x){\Bigr ]}}

كما هو الحال مع العارضة الكابولية، يتم تحديد الثوابت المجهولة من خلال الشروط الأولية عندت=0{\displaystyle t=0}على سرعة وإزاحات العارضة. كذلك، فإن حلول مسألة القوة غير المخمدة لها إزاحات غير محدودة عندما يتطابق تردد التحريك مع التردد الطبيعي.ωن{\displaystyle \omega _{n}}.

مثال: عارضة مفصلية-مفصلية

الشروط الحدية لشعاع مفصلي-مفصلي طولهL{\displaystyle L}(ثابت عندx=0{\displaystyle x=0}وx=L{\displaystyle x=L}) هي [ 8 ]

w^ن=0 ،  د2w^ندx2=0في  x=0وx=L.{\displaystyle {\hat {w}}_{n}=0~,~~{\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\,{\text{and}}\,x=L\,.}

وهذا يعني وجود حلول لـ الخطيئة⁡(βنL)سينه⁡(βنL)=0.{\displaystyle \sin(\beta _{n}L)\,\sinh(\beta _{n}L)=0\,.} جلسةβن=نπ/L{\displaystyle \beta _{n}=n\pi /L}يُحقق هذا الشرط. إعادة الترتيب للتردد الطبيعي تُعطي

ωن=ن2π2L2هـأناμ{\displaystyle \omega _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}}

ضغط

إلى جانب الانحراف، تصف معادلة العارضة القوى والعزوم ، وبالتالي يمكن استخدامها لوصف الإجهادات . لهذا السبب، تُستخدم معادلة أويلر-بيرنولي للعارضة على نطاق واسع في الهندسة ، وخاصة المدنية والميكانيكية، لتحديد قوة (وكذلك انحراف) العوارض تحت تأثير الانحناء.

يُسبب كلٌ من عزم الانحناء وقوة القص إجهادات في العارضة. يكون الإجهاد الناتج عن قوة القص أقصى ما يمكن على طول المحور المحايد للعارضة (عندما يكون عرض العارضة، t، ثابتًا على طول مقطعها العرضي؛ وإلا، يلزم حساب تكامل يتضمن العزم الأول وعرض العارضة للمقطع العرضي المحدد)، ويكون أقصى إجهاد شد إما على السطح العلوي أو السفلي. وبالتالي، قد لا يكون أقصى إجهاد رئيسي في العارضة على السطح أو في المركز، بل في منطقة عامة. ومع ذلك، فإن إجهادات قوة القص ضئيلة مقارنةً بإجهادات عزم الانحناء في جميع العوارض باستثناء العوارض الأكثر سمكًا، فضلًا عن حقيقة أن تركيزات الإجهاد تحدث عادةً على الأسطح، مما يعني أن أقصى إجهاد في العارضة من المرجح أن يكون على السطح.

انحناء بسيط أو متناظر

عنصر من عناصر العارضة المنحنية: تشكل الألياف أقواسًا متحدة المركز، حيث يتم ضغط الألياف العلوية وتمدد الألياف السفلية.

بالنسبة للمقاطع العرضية للعوارض المتناظرة حول مستوى عمودي على المستوى المحايد، يمكن إثبات أن إجهاد الشد الذي تتعرض له العارضة يمكن التعبير عنه على النحو التالي:

σ=مzأنا=-zهـ د2wدx2.{\displaystyle \sigma ={\frac {Mz}{I}}=-zE~{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}.\,}

هنا،z{\displaystyle z}هي المسافة من المحور المحايد إلى نقطة الاهتمام؛ وم{\displaystyle M}يمثل عزم الانحناء. لاحظ أن هذه المعادلة تشير إلى أن الانحناء المحض (ذي الإشارة الموجبة) سيؤدي إلى إجهاد صفري عند المحور المحايد، وإجهاد موجب (شد) عند أعلى العارضة، وإجهاد سالب (ضغط) عند أسفلها؛ كما تشير إلى أن أقصى إجهاد سيكون عند السطح العلوي وأدنى إجهاد عند السطح السفلي. قد يتراكب إجهاد الانحناء هذا مع إجهادات محورية، مما سيؤدي إلى إزاحة المحور المحايد (محور الإجهاد الصفري).

أقصى الإجهادات عند المقطع العرضي

الكميات المستخدمة في تعريف معامل المقطع للشعاع.

أقصى إجهاد شد عند المقطع العرضي يكون في الموقعz=ج1{\displaystyle z=c_{1}}ويكون أقصى إجهاد انضغاطي عند هذا الموضعz=-ج2{\displaystyle z=-c_{2}}حيث يكون ارتفاع المقطع العرضيح=ج1+ج2{\displaystyle h=c_{1}+c_{2}}هذه الضغوط هي

σ1=مج1أنا=مS1 ؛  σ2=-مج2أنا=-مS2{\displaystyle \sigma _{1}={\cfrac {Mc_{1}}{I}}={\cfrac {M}{S_{1}}}~;~~\sigma _{2}=-{\cfrac {Mc_{2}}{I}}=-{\cfrac {M}{S_{2}}}}

الكمياتS1،S2{\displaystyle S_{1},S_{2}}هي معاملات المقطع [ 6 ] وتُعرَّف على النحو التالي:

S1=أناج1 ؛  S2=أناج2{\displaystyle S_{1}={\cfrac {I}{c_{1}}}~;~~S_{2}={\cfrac {I}{c_{2}}}}

يجمع معامل المقطع جميع المعلومات الهندسية المهمة المتعلقة بمقطع العارضة في كمية واحدة. في حالة كون العارضة متناظرة ثنائياً،ج1=ج2{\displaystyle c_{1}=c_{2}}ولدينا معامل مقطع واحدS=أنا/ج{\displaystyle S=I/c}.

الإجهاد في عارضة أويلر-بيرنولي

نحتاج إلى تعبير عن الانفعال بدلالة انحراف السطح المحايد لربط الإجهادات في عارضة أويلر-بيرنولي بالانحراف. وللحصول على هذا التعبير، نستخدم افتراض أن الأعمدة على السطح المحايد تظل عمودية أثناء التشوه وأن الانحرافات صغيرة. وتعني هذه الافتراضات أن العارضة تنحني على شكل قوس من دائرة نصف قطرهاρ{\displaystyle \rho }(انظر الشكل 1) وأن السطح المحايد لا يتغير طوله أثناء التشوه. [ 6 ]

يتركدx{\displaystyle \mathrm {d} x}ليكن طول عنصر من السطح المحايد في حالته غير المشوهة. بالنسبة للانحرافات الصغيرة، لا يتغير طول العنصر بعد الانحناء، بل يتشوه إلى قوس من دائرة نصف قطرهاρ{\displaystyle \rho }. لودθ{\displaystyle \mathrm {d} \theta }إذا كانت الزاوية المقابلة لهذا القوس هي الزاوية المقابلة له،دx=ρ دθ{\displaystyle \mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta }.

لننظر الآن إلى جزء آخر من العنصر على مسافةz{\displaystyle z}فوق السطح المحايد. الطول الابتدائي لهذا العنصر هودx{\displaystyle \mathrm {d} x}ومع ذلك، بعد الانحناء، يصبح طول العنصردx′=(ρ-z) دθ=دx-z دθ{\displaystyle \mathrm {d} x'=(\rho -z)~\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x-z~\mathrm {d} \theta }يُعطى الإجهاد في ذلك الجزء من العارضة بالعلاقة التالية:

εx=دx′-دxدx=-zρ=-κ z{\displaystyle \varepsilon _{x}={\cfrac {\mathrm {d} x'-\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {z}{\rho }}=-\kappa ~z}

أينκ{\displaystyle \kappa }يمثل انحناء العارضة. وهذا يعطينا الإجهاد المحوري في العارضة كدالة للمسافة من السطح المحايد. ومع ذلك، ما زلنا بحاجة إلى إيجاد علاقة بين نصف قطر الانحناء وانحراف العارضة.w{\displaystyle w}.

العلاقة بين الانحناء وانحراف الشعاع

لتكن P نقطة على السطح المحايد للشعاع على مسافةx{\displaystyle x}من أصل(x،z){\displaystyle (x,z)}نظام الإحداثيات. ميل العارضة يساوي تقريبًا الزاوية التي يصنعها السطح المحايد معx{\displaystyle x}المحور - للزوايا الصغيرة التي تُصادف في نظرية العوارض. لذلك، مع هذا التقريب،

θ(x)=دwدx{\displaystyle \theta (x)={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}}

لذلك، بالنسبة لعنصر متناهي الصغردx{\displaystyle \mathrm {d} x}العلاقةدx=ρ دθ{\displaystyle \mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta }يمكن كتابتها على النحو التالي

1ρ=دθدx=د2wدx2=κ{\displaystyle {\cfrac {1}{\rho }}={\cfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=\kappa }

يمكن تصور سلوك الانحراف القياسي للعوارض المدعومة ببساطة تحت تأثير أحمال موزعة بانتظام باستخدام مخططات القص والعزم المعروفة ومعادلات المرونة المغلقة. [ 9 ]

وبالتالي، يمكن التعبير عن الإجهاد في العارضة على النحو التالي:

εx=-zκ{\displaystyle \varepsilon _{x}=-z\kappa }

علاقات الإجهاد والانفعال

بالنسبة لمادة متجانسة متساوية الخواص ذات مرونة خطية ، يرتبط الإجهاد بالانفعال من خلالσ=هـε{\displaystyle \sigma =E\varepsilon }، أينهـ{\displaystyle E}يمثل معامل يونغ . ومن ثم، يُعطى الإجهاد في عارضة أويلر-بيرنولي بالعلاقة التالية:

σx=-zهـد2wدx2{\displaystyle \sigma _{x}=-zE{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}

لاحظ أن العلاقة المذكورة أعلاه، عند مقارنتها بالعلاقة بين الإجهاد المحوري وعزم الانحناء، تؤدي إلى

م=-هـأناد2wدx2{\displaystyle M=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}

بما أن قوة القص تُعطى بواسطةسؤال=دم/دx{\displaystyle Q=\mathrm {d} M/\mathrm {d} x}لدينا أيضًا

سؤال=-هـأناد3wدx3{\displaystyle Q=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}

اعتبارات الحدود

تحتوي معادلة الشعاع على مشتقة من الرتبة الرابعة فيx{\displaystyle x}لإيجاد حل فريدw(x،ت){\displaystyle w(x,t)}نحتاج إلى أربعة شروط حدودية. عادةً ما تُستخدم الشروط الحدودية لنمذجة الدعامات ، ولكنها قد تُستخدم أيضًا لنمذجة الأحمال النقطية والأحمال الموزعة والعزوم. تُستخدم شروط حدود الدعامات أو الإزاحة لتحديد قيم الإزاحة (w{\displaystyle w}) والدوران (دw/دx{\displaystyle \mathrm {d} w/\mathrm {d} x}) على الحدود. تُسمى هذه الشروط الحدية أيضًا بشروط ديريشليه الحدية . تتضمن شروط الحمل والعزم الحدية مشتقات أعلى منw{\displaystyle w}وتمثل تدفق الزخم . وتسمى شروط حدود التدفق أيضاً شروط حدود نيومان .

كمثال، لنفترض وجود عارضة ناتئة مثبتة من أحد طرفيها وحرة من الطرف الآخر، كما هو موضح في الشكل المجاور. عند الطرف المثبت للعارضة، لا يمكن أن يحدث أي إزاحة أو دوران. هذا يعني أن كلاً من الانحراف والميل عند الطرف الأيسر يساويان صفرًا. وبما أنه لا يوجد عزم انحناء خارجي مطبق على الطرف الحر للعارضة، فإن عزم الانحناء عند هذا الموضع يساوي صفرًا. إضافةً إلى ذلك، إذا لم تُطبق أي قوة خارجية على العارضة، فإن قوة القص عند الطرف الحر تساوي صفرًا أيضًا.

أخذx{\displaystyle x}إحداثيات الطرف الأيسر كـ0{\displaystyle 0}والطرف الأيمن كـL{\displaystyle L}(طول العارضة)، تُترجم هذه العبارات إلى مجموعة الشروط الحدية التالية (بافتراضهـأنا{\displaystyle EI}(ثابت):

عارضة ناتئة.
w|x=0=0؛∂w∂x|x=0=0(نهاية ثابتة){\displaystyle w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\partial w}{\partial x}}{\bigg |}_{x=0}=0\qquad {\mbox{(طرف ثابت)}}\,}
∂2w∂x2|x=L=0؛∂3w∂x3|x=L=0(نهاية حرة){\displaystyle {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\quad ;\quad {\frac {\partial ^{3}w}{\partial x^{3}}}{\bigg |}_{x=L}=0\qquad {\mbox{(طرف حر)}}\,}

الدعامة البسيطة (مسمار أو بكرة) تُعادل قوة نقطية على العارضة يتم ضبطها لتثبيت موضع العارضة عند تلك النقطة. أما الدعامة الثابتة أو المشبك، فتُعادل مزيجًا من قوة نقطية وعزم نقطي يتم ضبطهما لتثبيت كلٍ من موضع العارضة وميلها عند تلك النقطة. تُقسّم القوى والعزوم النقطية، سواءً كانت من الدعامات أو مُطبقة مباشرةً، العارضة إلى مجموعة من الأجزاء، حيث تُعطي معادلة العارضة حلاً متصلاً بينها، مع مراعاة أربعة شروط حدودية، اثنان عند كل طرف من أطراف الجزء. بافتراض أن حاصل ضرب EI ثابت، وتعريفλ=F/هـأنا{\displaystyle \lambda =F/EI}حيث F هي مقدار قوة نقطية، وτ=م/هـأنا{\displaystyle \tau =M/EI}حيث M هي مقدار عزم الدوران النقطي، وتُعطى شروط الحدود المناسبة لبعض الحالات الشائعة في الجدول أدناه. ويُرمز إلى التغير في مشتق معين لـ w عبر الحدود مع زيادة x بـΔ{\displaystyle \Delta }ثم يتبع ذلك المشتق. على سبيل المثال،Δw"=w"(x+)-w"(x-){\displaystyle \Delta w''=w''(x+)-w''(x-)}أينw"(x+){\displaystyle w''(x+)}قيمةw"{\displaystyle w''}عند الحد السفلي للجزء العلوي، بينماw"(x-){\displaystyle w''(x-)}قيمةw"{\displaystyle w''}عند الحد العلوي للقطعة السفلية. عندما لا تكون قيم المشتقة المحددة متصلة عبر الحد فحسب، بل ثابتة أيضًا، يُكتب شرط الحد على سبيل المثال،Δw"=0*{\displaystyle \Delta w''=0^{*}}وهو ما يشكل في الواقع معادلتين منفصلتين (على سبيل المثال،w"(x-)=w"(x+){\displaystyle w''(x-)=w''(x+)}= ثابت).

الحدودw‴{\displaystyle w'''}w"{\displaystyle w''}w′{\displaystyle w'}w{\displaystyle w}
مشبكΔw′=0*{\displaystyle \Delta w'=0^{*}}Δw=0*{\displaystyle \Delta w=0^{*}}
دعم بسيطΔw"=0{\displaystyle \Delta w''=0}Δw′=0{\displaystyle \Delta w'=0}Δw=0*{\displaystyle \Delta w=0^{*}}
قوة نقطيةΔw‴=λ{\displaystyle \Delta w'''=\lambda }Δw"=0{\displaystyle \Delta w''=0}Δw′=0{\displaystyle \Delta w'=0}Δw=0{\displaystyle \Delta w=0}
عزم الدوران النقطيΔw‴=0{\displaystyle \Delta w'''=0}Δw"=τ{\displaystyle \Delta w''=\tau }Δw′=0{\displaystyle \Delta w'=0}Δw=0{\displaystyle \Delta w=0}
الطرف الحرw‴=0{\displaystyle w'''=0}w"=0{\displaystyle w''=0}
مشبك في النهايةw′{\displaystyle w'}مُثَبَّتw{\displaystyle w}مُثَبَّت
نهاية مدعومة ببساطةw"=0{\displaystyle w''=0}w{\displaystyle w}مُثَبَّت
قوة نقطية عند النهايةw‴=±λ{\displaystyle w'''=\pm \lambda }w"=0{\displaystyle w''=0}
عزم الدوران النقطي عند النهايةw‴=0{\displaystyle w'''=0}w"=±τ{\displaystyle w''=\pm \tau }

لاحظ أنه في الحالات الأولى، حيث تقع قوى وعزوم نقطية بين جزأين، توجد أربعة شروط حدودية، اثنان للجزء السفلي واثنان للجزء العلوي. عند تطبيق قوى وعزوم على أحد طرفي العارضة، يوجد شرطان حدوديان ينطبقان على ذلك الطرف. تكون إشارة القوى والعزوم النقطية عند الطرف موجبة للطرف السفلي وسالبة للطرف العلوي.

اعتبارات التحميل

يمكن تمثيل الأحمال المطبقة إما من خلال شروط الحدود أو من خلال الدالةq(x،ت){\displaystyle q(x,t)}وهو ما يمثل حملاً خارجياً موزعاً. غالباً ما يكون استخدام الأحمال الموزعة مفضلاً لتبسيط العملية. ومع ذلك، تُستخدم شروط الحدود في كثير من الأحيان لنمذجة الأحمال حسب السياق؛ وتُعد هذه الممارسة شائعة بشكل خاص في تحليل الاهتزازات.

بطبيعة الحال، غالبًا ما يتم تمثيل الحمل الموزع بطريقة مجزأة، لأن الحمل في الواقع العملي ليس دالة متصلة عادةً . يمكن نمذجة الأحمال النقطية باستخدام دالة ديراك دلتا . على سبيل المثال، لنفترض وجود عارضة ناتئة منتظمة ثابتة طولهاL{\displaystyle L}مع حمل نقطي لأعلىF{\displaystyle F}يتم تطبيق الحمل النقطي عند الطرف الحر. باستخدام شروط الحدود، يمكن نمذجة ذلك بطريقتين. في الطريقة الأولى، يتم تقريب الحمل النقطي المطبق بقوة قص مطبقة عند الطرف الحر. في هذه الحالة، تكون المعادلة الحاكمة وشروط الحدود كما يلي:

هـأناد4wدx4=0w|x=0=0؛دwدx|x=0=0؛د2wدx2|x=L=0؛-هـأناد3wدx3|x=L=F{\displaystyle {\begin{aligned}&EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=0}=0\quad  ;\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\quad  ;\quad -EI{\frac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}{\bigg |}_{x=L}=F\,\end{aligned}}}

بدلاً من ذلك، يمكننا تمثيل الحمل النقطي كتوزيع باستخدام دالة ديراك. في هذه الحالة، تكون المعادلة والشروط الحدية كما يلي:

هـأناد4wدx4=Fدلتا(x-L)w|x=0=0؛دwدx|x=0=0؛د2wدx2|x=L=0{\displaystyle {\begin{aligned}&EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=F\delta (x-L)\\&w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=0}=0\quad  ;\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\,\end{aligned}}}

لاحظ أنه تم حذف شرط حد قوة القص ( المشتقة الثالثة )، وإلا سيحدث تناقض. هاتان مسألتان متكافئتان من مسائل القيم الحدية ، وكلاهما يُعطي الحل.

w=F6هـأنا(3Lx2-x3) .{\displaystyle w={\frac {F}{6EI}}(3Lx^{2}-x^{3})\,~.}

سيؤدي تطبيق عدة أحمال مركزة في مواقع مختلفة إلىw(x){\displaystyle w(x)}كونها دالة متعددة التعريفات . يُسهّل استخدام دالة ديراك هذه الحالات بشكل كبير؛ وإلا لكان لا بد من تقسيم العارضة إلى أقسام، لكل منها أربعة شروط حدودية تُحل بشكل منفصل. غالبًا ما تُستخدم مجموعة منظمة من الدوال تُسمى دوال التفرد كاختصار لدالة ديراك ومشتقاتها ودوالها الأصلية .

يمكن أيضًا نمذجة الظواهر الديناميكية باستخدام معادلة العارضة الساكنة عن طريق اختيار أشكال مناسبة لتوزيع الأحمال. على سبيل المثال، يمكن مراعاة الاهتزاز الحر للعارضة باستخدام دالة الحمل التالية:

q(x،ت)=μ∂2w∂ت2{\displaystyle q(x,t)=\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,}

أينμ{\displaystyle \mu }تمثل كثافة الكتلة الخطية للشعاع، وهي ليست بالضرورة ثابتة. مع هذا التحميل المتغير مع الزمن، ستكون معادلة الشعاع معادلة تفاضلية جزئية :

∂2∂x2(هـأنا∂2w∂x2)=-μ∂2w∂ت2.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}.}

مثال آخر مثير للاهتمام يصف انحراف شعاع يدور بتردد زاوي ثابتω{\displaystyle \omega }:

q(x)=μω2w(x){\displaystyle q(x)=\mu \omega ^{2}w(x)\,}

هذا توزيع لقوة مركزية . لاحظ أنه في هذه الحالة،q{\displaystyle q}هي دالة للإزاحة (المتغير التابع)، وستكون معادلة الشعاع معادلة تفاضلية عادية مستقلة .

أمثلة

الانحناء ثلاثي النقاط

اختبار الانحناء ثلاثي النقاط هو تجربة كلاسيكية في الميكانيكا. يُمثل حالة عارضة تستند على دعامتين أسطوانيتين وتخضع لحمل مركز مُطبق في منتصفها. يكون القص ثابتًا في قيمته المطلقة: فهو نصف الحمل المركزي، P/2. ويتغير إشارته في منتصف العارضة. يتغير عزم الانحناء خطيًا من أحد طرفي العارضة، حيث يكون صفرًا، ومن المركز حيث تكون قيمته المطلقة PL/4، وهو المكان الذي يكون فيه خطر التمزق في ذروته. يُوصف تشوه العارضة بمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة على نصف العارضة (النصف الآخر متناظر). عزوم الانحناء (م{\displaystyle M})، قوى القص (سؤال{\displaystyle Q}والانحرافات (w{\displaystyle w}[ 6 ] بالنسبة لعتبة معرضة لحمل نقطي مركزي وحمل نقطي غير متماثل، ترد القيم في الجدول أدناه.

توزيعالقيمة القصوى
عارضة بسيطة الاستناد مع حمل مركزي
م(x)={Px2،ل 0≤x≤L2P(L-x)2،ل L2<x≤L{\displaystyle M(x)={\begin{cases}{\frac {Px}{2}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {P(L-x)}{2}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}}مL/2=PL4{\displaystyle M_{L/2}={\tfrac {PL}{4}}}
سؤال(x)={P2،ل 0≤x≤L2-P2،ل L2<x≤L{\displaystyle Q(x)={\begin{cases}{\frac {P}{2}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {-P}{2}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}}|سؤال0|=|سؤالL|=P2{\displaystyle |Q_{0}|=|Q_{L}|={\tfrac {P}{2}}}
w(x)={-Px(4x2-3L2)48هـأنا،ل 0≤x≤L2P(x-L)(L2-8Lx+4x2)48هـأنا،ل L2<x≤L{\displaystyle w(x)={\begin{cases}-{\frac {Px(4x^{2}-3L^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {P(x-L)(L^{2}-8Lx+4x^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}}wL/2=PL348هـأنا{\displaystyle w_{L/2}={\tfrac {PL^{3}}{48EI}}}
عارضة مدعومة ببساطة مع حمل غير متماثل
م(x)={PبxL،ل 0≤x≤أPبxL-P(x-أ)=Pأ(L-x)L،ل أ<x≤L{\displaystyle M(x)={\begin{cases}{\tfrac {Pbx}{L}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq a\\{\tfrac {Pbx}{L}}-P(x-a)={\tfrac {Pa(L-x)}{L}},&{\mbox{for }}a<x\leq L\end{cases}}}مب=PأبL{\displaystyle M_{B}={\tfrac {Pab}{L}}}
سؤال(x)={PبL،ل 0≤x≤أPبL-P،ل أ<x≤L{\displaystyle Q(x)={\begin{cases}{\tfrac {Pb}{L}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq a\\{\tfrac {Pb}{L}}-P,&{\mbox{for }}a<x\leq L\end{cases}}}سؤالأ=PبL{\displaystyle Q_{A}={\tfrac {Pb}{L}}}

سؤالج=PأL{\displaystyle Q_{C}={\tfrac {Pa}{L}}}

w(x)={Pبx(L2-ب2-x2)6Lهـأنا،0≤x≤أPبx(L2-ب2-x2)6Lهـأنا+P(x-أ)36هـأنا،أ<x≤L{\displaystyle w(x)={\begin{cases}{\tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2})}{6LEI}},&0\leq x\leq a\\{\tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2})}{6LEI}}+{\tfrac {P(x-a)^{3}}{6EI}},&a<x\leq L\end{cases}}}wمأx=3Pب(L2-ب2)3227Lهـأنا{\displaystyle w_{\mathrm {max} }={\tfrac {{\sqrt {3}}Pb(L^{2}-b^{2})^{\frac {3}{2}}}{27LEI}}}

فيx=L2-ب23{\displaystyle x={\sqrt {\tfrac {L^{2}-b^{2}}{3}}}}

العوارض الكابولية

هناك فئة أخرى مهمة من المسائل تتعلق بالعوارض الكابولية . عزوم الانحناء (م{\displaystyle M})، قوى القص (سؤال{\displaystyle Q}والانحرافات (w{\displaystyle w}[ 6 ] بالنسبة لعتبة ناتئة تتعرض لحمل نقطي عند الطرف الحر وحمل موزع بانتظام، ترد في الجدول أدناه.

توزيعالقيمة القصوى
عارضة ناتئة مع حمل طرفي
م(x)=P(L-x){\displaystyle M(x)=P(L-x)}مأ=PL{\displaystyle M_{A}=PL}
سؤال(x)=P{\displaystyle Q(x)=P}سؤالمأx=P{\displaystyle Q_{\mathrm {max} }=P}
w(x)=Px2(3L-x)6هـأنا{\displaystyle w(x)={\tfrac {Px^{2}(3L-x)}{6EI}}}wج=PL33هـأنا{\displaystyle w_{C}={\tfrac {PL^{3}}{3EI}}}
عارضة ناتئة ذات حمل موزع بانتظام
م(x)=-q(L2-2Lx+x2)2{\displaystyle M(x)=-{\tfrac {q(L^{2}-2Lx+x^{2})}{2}}}مأ=qL22{\displaystyle M_{A}={\tfrac {qL^{2}}{2}}}
سؤال(x)=q(L-x)،{\displaystyle Q(x)=q(L-x),}سؤالأ=qL{\displaystyle Q_{A}=qL}
w(x)=qx2(6L2-4Lx+x2)24هـأنا{\displaystyle w(x)={\tfrac {qx^{2}(6L^{2}-4Lx+x^{2})}{24EI}}}wج=qL48هـأنا{\displaystyle w_{C}={\tfrac {qL^{4}}{8EI}}}

تتوفر حلول للعديد من التكوينات الأخرى الشائعة بسهولة في الكتب المدرسية المتعلقة بميكانيكا المواد والكتيبات الهندسية.

العوارض غير المحددة استاتيكيًا

يمكن في كثير من الأحيان تحديد عزوم الانحناء وقوى القص في عوارض أويلر-بيرنولي مباشرةً باستخدام التوازن الساكن للقوى والعزوم . مع ذلك ، في ظل شروط حدودية معينة، قد يتجاوز عدد ردود الفعل عدد معادلات التوازن المستقلة. [ 6 ] تُسمى هذه العوارض غير محددة استاتيكيًا .

تُعتبر العوارض المدمجة الموضحة في الشكل أدناه غير محددة استاتيكيًا. ولتحديد الإجهادات والانحرافات في هذه العوارض، فإن الطريقة الأكثر مباشرة هي حل معادلة أويلر-بيرنولي للعوارض مع شروط حدودية مناسبة. إلا أن الحلول التحليلية المباشرة لمعادلة العوارض لا تكون ممكنة إلا في أبسط الحالات. لذلك، تُستخدم غالبًا تقنيات إضافية، مثل التراكب الخطي، لحل مسائل العوارض غير المحددة استاتيكيًا.

تتضمن طريقة التراكب إضافة حلول عدد من المسائل المحددة بشكل ثابت والتي يتم اختيارها بحيث تكون الشروط الحدية لمجموع المسائل الفردية مساوية لتلك الخاصة بالمسألة الأصلية.

(أ) حمل موزع بشكل منتظم q .

(ب) حمل موزع خطيًا بقيمة قصوى q 0

ممأx=qL212 ؛  wمأx=qL4384هـأنا{\displaystyle M_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{2}}{12}}~;~~w_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{4}}{384EI}}}ممأx=qL2300[330-10] ؛  wمأx=qL42500هـأنا[75-7105]{\displaystyle M_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{2}}{300}}[3{\sqrt {30}}-10]~;~~w_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{4}}{2500EI}}[75-7{\sqrt {105}}]}
(ج) الحمل المركز P
(د) العزم M 0

من المسائل الشائعة الأخرى المتعلقة بالعوارض غير المحددة استاتيكيًا، العارضة الكابولية ذات الطرف الحر المدعوم على بكرة. [ 6 ] فيما يلي قائمة بعزوم الانحناء وقوى القص والانحرافات لهذه العارضة:

توزيعالقيمة القصوى
م(x)=-q8(L2-5Lx+4x2){\displaystyle M(x)=-{\tfrac {q}{8}}(L^{2}-5Lx+4x^{2})}مب=-9qL2128 في x=5L8مأ=qL28{\displaystyle {\begin{aligned}M_{B}&=-{\tfrac {9qL^{2}}{128}}{\mbox{ at }}x={\tfrac {5L}{8}}\\M_{A}&={\tfrac {qL^{2}}{8}}\end{aligned}}}
سؤال(x)=-q8(8x-5L){\displaystyle Q(x)=-{\tfrac {q}{8}}(8x-5L)}سؤالأ=-5qL8{\displaystyle Q_{A}=-{\tfrac {5qL}{8}}}
w(x)=qx248هـأنا(3L2-5Lx+2x2){\displaystyle w(x)={\tfrac {qx^{2}}{48EI}}(3L^{2}-5Lx+2x^{2})}wمأx=(39+5533)65،536qL4هـأنا في x=15-3316L{\displaystyle w_{\mathrm {max} }={\tfrac {(39+55{\sqrt {33}})}{65,536}}{\tfrac {qL^{4}}{EI}}{\mbox{ at }}x={\tfrac {15-{\sqrt {33}}}{16}}L}

الإضافات

تُتيح الافتراضات الحركية التي تقوم عليها نظرية عارضة أويلر-بيرنولي إمكانية توسيعها لتشمل تحليلات أكثر تقدماً. يسمح مبدأ التراكب البسيط بدراسة التحميل العرضي ثلاثي الأبعاد. كما يُمكن استخدام معادلات تكوينية بديلة لدراسة التشوه اللزج المرن أو اللدن للعارضة . ويمكن أيضاً توسيع نظرية عارضة أويلر-بيرنولي لتشمل تحليل العوارض المنحنية، وانبعاج العوارض ، والعوارض المركبة، وانحراف العوارض غير الخطي هندسياً.

لا تأخذ نظرية أويلر-بيرنولي للعوارض في الحسبان تأثيرات إجهاد القص العرضي . ونتيجةً لذلك، فإنها تقلل من تقدير الانحرافات وتزيد من تقدير الترددات الطبيعية. بالنسبة للعوارض الرقيقة (نسبة طول العارضة إلى سمكها 20 أو أكثر)، تكون هذه التأثيرات ذات أهمية طفيفة. أما بالنسبة للعوارض السميكة، فقد تكون هذه التأثيرات كبيرة. وقد طُوّرت نظريات عوارض أكثر تقدماً، مثل نظرية تيموشينكو للعوارض (التي وضعها العالم الروسي ستيفن تيموشينكو )، لمراعاة هذه التأثيرات.

انحرافات كبيرة

عارضة أويلر-برنولي

تُعدّ نظرية أويلر-بيرنولي الأصلية صالحة فقط للتشوهات المتناهية الصغر والدورانات الصغيرة. ويمكن توسيع نطاق هذه النظرية بسهولة لتشمل مسائل تتضمن دورانات كبيرة نسبيًا، شريطة أن يظل التشوه صغيرًا، وذلك باستخدام تشوهات فون كارمان . [ 10 ]

تؤدي فرضيات أويلر-بيرنولي، التي تنص على أن المقاطع المستوية تظل مستوية وعمودية على محور العارضة، إلى إزاحات من الشكل التالي:

u1=u0(x)-zدw0دx ؛  u2=0 ؛  u3=w0(x){\displaystyle u_{1}=u_{0}(x)-z{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}~;~~u_{2}=0~;~~u_{3}=w_{0}(x)}

باستخدام تعريف إجهاد غرين لاغرانجي من نظرية الإجهاد المحدود ، يمكننا إيجاد إجهادات فون كارمان للشعاع التي تكون صالحة للدوران الكبير ولكن للإجهادات الصغيرة عن طريق تجاهل جميع الحدود ذات الرتبة الأعلى (التي تحتوي على أكثر من مجالين) باستثناء ∂w∂xأنا∂w∂xج.{\displaystyle {\frac {\partial {w}}{\partial {x^{i}}}}{\frac {\partial {w}}{\partial {x^{j}}}}.} تتخذ السلالات الناتجة الشكل التالي:

ε11=دu0دx-zد2w0دx2+12[(دu0دx-zد2w0دx2)2+(دw0دx)2]≈دu0دx-zد2w0دx2+12(دw0دx)2ε22=0ε33=12(دw0دx)2ε23=0ε31=-12[(دu0دx-zد2w0دx2)(دw0دx)]≈0ε12=0.{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]\approx {\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{22}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{33}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{23}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{31}&=-{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)\right]\approx 0\\[0.25em]\varepsilon _{12}&=0.\end{aligned}}}

انطلاقاً من مبدأ الشغل الافتراضي ، فإن توازن القوى والعزوم في العوارض يعطينا معادلات التوازن.

دشمالxxدx+و(x)=0د2مxxدx2+q(x)+ددx(شمالxxدw0دx)=0{\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}}{\mathrm {d} x}}+f(x)&=0\\{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}M_{xx}}{\mathrm {d} x^{2}}}+q(x)+{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(N_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)&=0\end{aligned}}}

أينو(x){\displaystyle f(x)}يمثل الحمل المحوري،q(x){\displaystyle q(x)}هو الحمل العرضي، و

شمالxx=∫أσxx دأ ؛  مxx=∫أzσxx دأ{\displaystyle N_{xx}=\int _{A}\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~M_{xx}=\int _{A}z\sigma _{xx}~\mathrm {d} A}

لإغلاق نظام المعادلات، نحتاج إلى المعادلات التكوينية التي تربط الإجهادات بالانفعالات (وبالتالي الإجهادات بالإزاحات). بالنسبة للدوران الكبير والانفعالات الصغيرة، تكون هذه العلاقات كما يلي:

شمالxx=أxx[دu0دx+12(دw0دx)2]-بxxد2w0دx2مxx=بxx[دu0دx+12(دw0دx)2]-دxxد2w0دx2{\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}&=A_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-B_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\M_{xx}&=B_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-D_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}

أين

أxx=∫أهـ دأ ؛  بxx=∫أzهـ دأ ؛  دxx=∫أz2هـ دأ .{\displaystyle A_{xx}=\int _{A}E~\mathrm {d} A~;~~B_{xx}=\int _{A}zE~\mathrm {d} A~;~~D_{xx}=\int _{A}z^{2}E~\mathrm {d} A~.}

الكميةأxx{\displaystyle A_{xx}}هي الصلابة التمددية ،بxx{\displaystyle B_{xx}}هي صلابة التمدد والانحناء المقترنة ، ودxx{\displaystyle D_{xx}}هي صلابة الانحناء .

في حالة وجود مقطع عرضي منتظم للشعاع وعدم وجود حمل محوري، فإن المعادلة الحاكمة لشعاع أويلر-بيرنولي ذي الدوران الكبير هي

هـأنا د4wدx4-32 هـأ (دwدx)2(د2wدx2)=q(x){\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-{\frac {3}{2}}~EA~\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=q(x)}

انظر أيضاً

مراجع

ملحوظات

  1. ↑ بالنسبة لشعاع أويلر-بيرنولي غير الخاضع لأي تحميل محوري، يُطلق على هذا المحور اسم المحور المحايد .

الاقتباسات

  1. 1 2 تيموشينكو، س. (1953). تاريخ قوة المواد . نيويورك: ماكجرو هيل.
  2. ^ ترويسديل، سي. (1960). الميكانيكا العقلانية للأجسام المرنة أو المرنة 1638-1788 . Venditioni Exponunnt Orell Fussli Turici.
  3. ↑ بالاريني، روبرتو (18 أبريل 2003). "نظرية دافنشي-أويلر-برنولي للعوارض؟" . مجلة الهندسة الميكانيكية على الإنترنت . مؤرشف من الأصل في 23 يونيو 2006. تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يوليو 2006 .
  4. ^ أويلر ، ليونارد. دوديت، روبرت؛ ديلامونس، فرديناند بيير جوزيف إجناس؛ ديبنر، برن (1744). طريقة مبتكرة للخطوط المنحنية الحد الأقصى المصغر، مريحة، لحل المشكلات المتساوية القياس بالمعنى المقبول . مكتبات سميثسونيان. لوزان ; جنيف : أبود ماركوم-ميكائيلم بوسكيت وسوسيوس.  
  5. ↑ هان، سيون م.؛ بينارويا، هايم؛ وي، تيموثي (22 مارس 1999). "ديناميكيات العوارض المهتزة عرضيًا باستخدام أربع نظريات هندسية" (ملف PDF) . مجلة الصوت والاهتزاز . 225 (5). دار النشر الأكاديمية: 935. رمز Bibcode : 1999JSV...225..935H . doi : 10.1006/jsvi.1999.2257 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 20 يوليو 2011. تاريخ الاسترجاع : 15 أبريل 2007 .
  6. 1 2 3 4 5 6 7 8 جير، جيه إم؛ تيموشينكو، إس بي (1997). ميكانيكا المواد . بي دبليو إس.
  7. ↑ كاريستا، ماورو. "اهتزازات شعاع حر-حر" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20-03-2019 .
  8. ↑ يونغ، د. (1962)، "الأنظمة المتصلة"، في فلوغه، س. (محرر)، دليل ميكانيكا الهندسة ، ماكجرو هيل، ص 8-9 
  9. ↑ https://www.sepcoengineering.com/beam-diagrams-simply-supported-beam-uniformly-distributed-load/
  10. ↑ ريدي، جيه إن (2007). تحليل العناصر المحدودة غير الخطي . مطبعة جامعة أكسفورد.

للمزيد من القراءة

  • إي. إيه. ويتمر (1991-1992). "نظرية برنولي-أويلر الأساسية للأعمدة". ملاحظات دورة الهندسة الموحدة في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . الصفحات  من 5-114 إلى 5-164.