خلايا نحل منتظمة في الفضاء الزائدي

مشكلة لم تُحل في الرياضيات

أوجد المجموعة الكاملة من خلايا النحل المتجانسة ذات الشكل القطعي الزائد.

في الهندسة الزائدية ، يُعرَّف قرص العسل المنتظم في الفضاء الزائدي بأنه تبليط منتظم لخلايا متعددة السطوح منتظمة . في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد، توجد تسع عائلات من مجموعات كوكسيتر لأقراص العسل المنتظمة المحدبة المدمجة ، والتي يتم توليدها كإنشاءات ويثوف ، ويتم تمثيلها بتباديل حلقات مخططات كوكسيتر لكل عائلة.

أربع خلايا نحل منتظمة مضغوطة على شكل قطع زائد
إسقاطات نموذج كرة بوانكاريه
قرص العسل ذو الاثني عشر وجهًا من الرتبة الرابعة ${5،3،4}$	قرص العسل ذو الاثني عشر وجهًا من الرتبة 5 ${5,3,5}$
قرص العسل المكعب من الدرجة الخامسة ${4،3،5}$	قرص العسل ذو العشرين وجهًا ${3,5,3}$

عائلات خلايا النحل المتجانسة ذات القطع الزائد

تنقسم خلايا النحل إلى أشكال مضغوطة ومتراصة تقريبًا محددة بواسطة مجموعات كوكسيتر ، وتشمل الفئة الأولى الخلايا المحدودة وأشكال الرؤوس (المجموعات الفرعية المحدودة)، وتشمل الفئة الثانية المجموعات الفرعية الأفينية.

عائلات خلايا النحل المتراصة والمتجانسة

تم إدراج مجموعات كوكسيتر التسع المدمجة هنا مع مخططات كوكسيتر الخاصة بها ، ^{[ 1 ]} مرتبة حسب الأحجام النسبية لمجالات سيمبلكس الأساسية الخاصة بها . ^{[ 2 ]}

تُنتج هذه العائلات التسع ما مجموعه 76 شكلاً فريداً من أشكال خلايا النحل المنتظمة. لم يتم إثبات القائمة الكاملة لأشكال خلايا النحل المنتظمة الزائدية، ويوجد عدد غير معروف من الأشكال غير الويثوفية. يُذكر أدناه مثالان معروفان مع العائلة {3,5,3}. ترتبط عائلتان فقط بتقسيم التنصيف بإزالة المرآة: [5,3 ^1,1 ] ↔ [5,3,4,1 ⁺ ].

مفهرس	حجم المجسم البسيط الأساسي ^[²^]	رمز ويت	تدوين كوكسيتر	مجموعة فرعية للمبدل	خلايا النحل
H ₁	0.0358850633	${\bar {BH}}_{3}$	[5,3,4]	[(5,3) ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [5,3 ^1,1 ] ⁺	15 نموذجًا، 2 عاديين
H ₂	0.0390502856	${\bar {J}}_{3}$	[3,5,3]	[3,5,3] ⁺	9 نماذج، نموذج واحد عادي
H ₃	0.0717701267	${\bar {DH}}_{3}$	[5,3 ^1,1 ]	[5,3 ^1,1 ] ⁺	11 شكلاً (7 منها تتداخل مع عائلة [5,3,4]، و4 منها فريدة)
H ₄	0.0857701820	${\widehat {AB}}_{3}$	[(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)] ⁺	9 نماذج
H ₅	0.0933255395	${\bar {K}}_{3}$	[5,3,5]	[5,3,5] ⁺	9 نماذج، نموذج واحد عادي
H ₆	0.2052887885	${\widehat {AH}}_{3}$	[(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)] ⁺	9 نماذج
H ₇	0.2222287320	${\widehat {BB}}_{3}$	[(4,3) ^[2] ]	[(4,3 ⁺ ,4,3 ⁺ )]	6 نماذج
H ₈	0.3586534401	${\widehat {BH}}_{3}$	[(3,4,3,5)]	[(3,4,3,5)] ⁺	9 نماذج
H ₉	0.5021308905	${\widehat {HH}}_{3}$	[(5,3) ^[2] ]	[(5,3) ^[2] ] ⁺	6 نماذج

يوجد مجموعتان فرعيتان جذريتان فقط بمجالات غير تبسيطية يمكن توليدهما بإزالة مجموعة من مرآتين أو أكثر تفصل بينها فروع زوجية الرتبة. إحداهما هي [(4,3,4,3 ^* )]، ممثلة بمخططات كوكسيتر كمجموعة فرعية ذات دليل 6 ومجال أساسي شبه منحرف ثلاثي ↔ ، والتي يمكن توسيعها باستعادة مرآة واحدة . أما الأخرى فهي [4,(3,5) ^* ]، ذات دليل 120 ومجال أساسي اثني عشري السطوح .

خلايا نحل متجانسة زائدية مضغوطة

هناك أيضًا 23 مجموعة كوكسيتر شبه مضغوطة من الرتبة 4 تنتج خلايا نحل موحدة شبه مضغوطة ذات أوجه لا نهائية أو غير محدودة أو شكل رأسي ، بما في ذلك الرؤوس المثالية عند اللانهاية.

ملخص المجموعة شبه المتراصة الزائدية
يكتب	مجموعات كوكسيتر
الرسوم البيانية الخطية	\| \| \| \| \| \|
الرسوم البيانية ثلاثية الأسنان	\| \|
الرسوم البيانية الدورية	\| \| \| \| \| \| \| \|
الرسوم البيانية ذات الحلقات والذيل	\| \| \|

توجد مجموعات كوكسيتر شبه المدمجة الأخرى كمجالات أساسية متعددة السطوح من نوع فينبرغ ، بما في ذلك هذه المجالات الأساسية ثنائية الهرم المثلثي (رباعيات السطوح المزدوجة) كرسوم بيانية من الرتبة 5 تتضمن مرايا متوازية. توجد خلايا النحل المنتظمة كجميع تباديل الحلقات في هذه الرسوم البيانية، مع شرط أن تكون عقدة واحدة على الأقل محاطة بحلقة عبر فروع ذات رتبة لانهائية.

الأبعاد	رتبة	الرسوم البيانية
H ³	5	، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ،

[3,5,3] عائلة

توجد 9 أشكال، ناتجة عن تباديل حلقية لمجموعة كوكسيتر : [3،5،3] أو

يُبنى أحد الأشكال غير الويثوفية ذات الصلة من شكل الرؤوس {3، 5، 3} بإزالة 4 رؤوس (مرتبة رباعيًا)، مما يُنتج موشورات خماسية مضادة ومجسمات اثني عشرية الأوجه تملأ الفراغات، ويُسمى هذا الشكل مجسمًا اثني عشريًا منقوصًا رباعي الأوجه. ^{[ 3 ]} ويُبنى شكل آخر بإزالة رأسين متقابلين. ^{[ 4 ]}

تحتوي الأشكال المقطوعة والمشوهة (5 و 6) على وجوه اثنين من متعددات السطوح المائلة المنتظمة : {4,10|3} و {10,4|3}.

8	اسم قرص العسل مخطط Coxeter ورموز Schläfli	عدد الخلايا/الرؤوس ومواقعها في قرص العسل				شكل الرأس	صورة
8	اسم قرص العسل مخطط Coxeter ورموز Schläfli	0	1	2	3	شكل الرأس	صورة
1	icosahedral (ikhon) t ₀ {3,5,3}				(12) (3.3.3.3.3)
2	مجسم عشروني الوجوه مُقوَّم (rih) t ₁ {3,5,3}	(2) (5.5.5)			(3) (3.5.3.5)
3	مجسم عشروني الوجوه مقطوع (tih) t _0,1 {3,5,3}	(1) (5.5.5)			(3) (5.6.6)
4	شكل عشروني الوجوه ذو ضلعين (srih) t _0,2 {3,5,3}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.3)		(2) (3.5.4.5)
5	مجسم عشروني الوجوه محدب (spiddih) t _0,3 {3,5,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(5) (4.4.3)	(5) (4.4.3)	(1) (3.3.3.3.3)
6	مجسم ثنائي السطوح مقطوع (dih) t _1,2 {3,5,3}	(2) (3.10.10)			(2) (3.10.10)
7	مجسم عشروني الوجوه مقطوع (grih) t _0,1,2 {3,5,3}	(1) (3.10.10)	(1) (4.4.3)		(2) (4.6.10)
8	مجسم عشروني الوجوه مقطوع (prih) t _0,1,3 {3,5,3}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.3)	(2) (4.4.6)	(1) (5.6.6)
9	مجسم عشروني الوجوه مقطوع (gipiddih) t _0,1,2,3 {3,5,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.10)

8	اسم قرص العسل مخطط Coxeter ورموز Schläfli	عدد الخلايا/الرؤوس ومواقعها في قرص العسل					شكل الرأس	صورة
8	اسم قرص العسل مخطط Coxeter ورموز Schläfli	0	1	2	3	Alt	شكل الرأس	صورة
[77]	مجسم عشروني الوجوه منقوص جزئيًا (pidih) pd{3,5,3} ^{[ 5 ]}				(12) (3.3.3.5)	(4) (5.5.5)
[78]	مجسم عشروني الوجوه شبه منقوص جزئيًا (spidih) spd{3,5,3} ^{[ 4 ]}				(6) (3.3.3.5) (6) (3.3.3.3.3)	(2) (5.5.5)
غير منتظم	متعدد السطوح متعدد السطوح (سنيه) HT _0,1,2,3 {3,5,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3,4] عائلة

هناك 15 شكلاً، تم توليدها بواسطة تباديل الحلقة لمجموعة كوكسيتر : [5,3,4] أو .

ترتبط هذه العائلة بالمجموعة [5,3 ^1,1 ] بنصف تناظر [5,3,4,1 ⁺ ]، أو ↔ ، عندما تكون المرآة الأخيرة بعد الفرع من الرتبة 4 غير نشطة، أو كتناوب إذا كانت المرآة الثالثة غير نشطة ↔ .

8	اسم مخطط كوكسيتر لقرص العسل	الخلايا حسب الموقع والعدد لكل رأس				شكل الرأس	صورة
8	اسم مخطط كوكسيتر لقرص العسل	0	1	2	3	شكل الرأس	صورة
10	الشكل الاثني عشري من الرتبة الرابعة (دوهون) ↔	-	-	-	(8) (5.5.5)
11	مجسم اثني عشري الوجوه من الرتبة الرابعة المعدلة (ريدوه) ↔	(2) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.5.3.5)
12	مكعب من الرتبة الخامسة المعدلة (ريبيتش) ↔	(5) (3.4.3.4)	-	-	(2) (3.3.3.3.3)
13	مكعب من الرتبة الخامسة (بيشون)	(20) (4.4.4)	-	-	-
14	مجسم اثنا عشري الأوجه من الرتبة الرابعة (tiddoh) ↔	(1) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.10.10)
15	مكعب من الرتبة الخامسة مقطوع مرتين (ciddoh) ↔	(2) (4.6.6)	-	-	(2) (5.6.6)
16	مكعب من الرتبة الخامسة المقتطع (tipech)	(5) (3.8.8)	-	-	(1) (3.3.3.3.3)
17	↔ ↔	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)	-	(2) (3.4.5.4)
18	مكعب من الرتبة الخامسة (sripech)	(2) (3.4.4.4)	-	(2) (4.4.5)	(1) (3.5.3.5)
19	مكعب من الدرجة الخامسة (sidpicdoh)	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
20	مجسم اثنا عشري الأوجه من الرتبة الرابعة (griddoh) ↔	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	-	(2) (4.6.10)
21	مكعب من الرتبة الخامسة (غريبيتش)	(2) (4.6.8)	-	(1) (4.4.5)	(1) (5.6.6)
22	مجسم اثني عشري الأوجه من الرتبة الرابعة (pripech)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
23	runcitruncated order-5 cubic (priddoh)	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (4.4.5)	(1) (3.4.5.4)
24	مكعب من الرتبة الخامسة مقطوع (gidpicdoh)	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

8	اسم مخطط كوكسيتر لقرص العسل	الخلايا حسب الموقع والعدد لكل رأس					شكل الرأس	صورة
8	اسم مخطط كوكسيتر لقرص العسل	0	1	2	3	Alt	شكل الرأس	صورة
[34]	مكعب متناوب من الرتبة الخامسة (أبيتش) ↔	(20) (3.3.3)			(12) (3.3.3.3.3)
[35]	الرتبة الخامسة من الرتبة النشيدية (التابيتش) ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
[36]	رتبة رونسيك-5 مكعب (ثنائي الرتبة) ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
[37]	مكعب من الرتبة الخامسة (ثنائي الرتبة) ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)
غير منتظم	شكل اثني عشري من الدرجة الرابعة، تم تصحيحه بشكل غير منتظم	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	-	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)	مجسم عشريني الوجوه ثلاثي التناقص غير منتظم
غير منتظم	شكل رونتشيك المصحح من الرتبة الرابعة ذو اثني عشر وجهًا	(3.4.4.4)	(4.4.4.4)	-	(3.3.3.3.5)	+ (3.3.3)
غير منتظم	omnisnub order-5 cubic	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3,5] عائلة

توجد 9 أشكال، ناتجة عن تباديل حلقية لمجموعة كوكسيتر : [5،3،5] أو

تحتوي الأشكال المقطوعة والمشوهة (29 و 30) على وجوه اثنين من متعددات السطوح المائلة المنتظمة : {4,6|5} و {6,4|5}.

8	اسم مخطط كوكسيتر لقرص العسل	الخلايا حسب الموقع والعدد لكل رأس				شكل الرأس	صورة
8	اسم مخطط كوكسيتر لقرص العسل	0	1	2	3	شكل الرأس	صورة
25	(عادي) رتبة-5 دوديكاهيدرالي (بيدون) t ₀ {5,3,5}				(20) (5.5.5)
26	مجسم اثني عشري السطوح من الرتبة الخامسة المعدلة (ممزق) t ₁ {5,3,5}	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.5.3.5)
27	شكل اثني عشري مقطوع من الرتبة 5 (مُقَطَّع) t _0,1 {5,3,5}	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.10.10)
28	شكل ثنائي عشري الوجوه من الرتبة الخامسة (مُقسّم) t _0,2 {5,3,5}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(2) (3.5.4.5)
29	شكل دوديكاهيدرالي من الرتبة 5 ذو شكل متعرج (spidded) t _0,3 {5,3,5}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
30	شكل ثنائي القطع من الرتبة 5 ذو اثني عشر وجهًا (ديدوه) t _1,2 {5,3,5}	(2) (5.6.6)			(2) (5.6.6)
31	مجسم اثنا عشري الأوجه من الرتبة الخامسة (مُمسك) t _0,1,2 {5,3,5}	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.10)
32	مجسم اثني عشري السطوح من الرتبة 5 (مُقَطَّع) t _0,1,3 {5,3,5}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
33	شكل اثنا عشري الأوجه من الرتبة 5 (مُقَطَّع) t _0,1,2,3 {5,3,5}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

8	اسم مخطط كوكسيتر لقرص العسل	الخلايا حسب الموقع والعدد لكل رأس					شكل الرأس	صورة
8	اسم مخطط كوكسيتر لقرص العسل	0	1	2	3	Alt	شكل الرأس	صورة
غير منتظم	omnisnub order-5 dodecahedral ht _0,1,2,3 {5,3,5}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

[5,3 ^1,1 ] عائلة

توجد 11 صيغة (و4 منها فقط لا تشترك مع عائلة [5,3,4])، ناتجة عن تباديل حلقية لمجموعة كوكسيتر : [5,3 ^1,1 ] أو . إذا تطابقت حالات الحلقة الفرعية، يمكن أن يتضاعف التناظر الممتد إلى عائلة [5,3,4]، ↔ .

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)				شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0	1	0'	3	شكل الرأس	صورة
34	مكعب متناوب من الرتبة الخامسة (أبيتش) ↔	-	-	(12) (3.3.3.3.3)	(20) (3.3.3)
35	الرتبة الخامسة من الرتبة النشيدية (التابيتش) ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
36	رتبة رونسيك-5 مكعب (ثنائي الرتبة) ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
37	مكعب من الرتبة الخامسة (ثنائي الرتبة) ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر ↔	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)				شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر ↔	0	1	3	Alt	شكل الرأس	صورة
[10]	الشكل ذو الاثني عشر وجهًا من الرتبة الرابعة (دوهون) ↔	(4) (5.5.5)	-	-
[11]	مجسم اثني عشري الوجوه من الرتبة الرابعة المعدلة (ريدوه) ↔	(2) (3.5.3.5)	-	(2) (3.3.3.3)
[12]	مكعب من الرتبة الخامسة المعدلة (ريبيتش) ↔	(1) (3.3.3.3.3)	-	(5) (3.4.3.4)
[15]	مكعب من الرتبة الخامسة مقطوع مرتين (ciddoh) ↔	(1) (5.6.6)	-	(2) (4.6.6)
[14]	مجسم اثنا عشري الأوجه من الرتبة الرابعة (tiddoh) ↔	(2) (3.10.10)	-	(1) (3.3.3.3)
[17]	↔ ↔	(1) (3.4.5.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)
[20]	مجسم اثنا عشري الأوجه من الرتبة الرابعة (griddoh) ↔	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)
غير منتظم	شكل اثني عشري الوجوه من الرتبة الرابعة المصححة ↔	(2) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) + (3.3.3)	مجسم عشريني الوجوه ثلاثي التناقص غير منتظم

عائلة [(4,3,3,3)]

توجد 9 أشكال، ناتجة عن تباديل حلقية لمجموعة كوكسيتر :

تحتوي الأشكال المقطوعة والمشوهة (41 و 42) على وجوه اثنين من متعددات السطوح المائلة المنتظمة : {8,6|3} و {6,8|3}.

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)					شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0	1	2	3	Alt	شكل الرأس	صورة
38	رباعي الأوجه مكعب (gadtatdic) {(3,3,3,4)}	(4) (3.3.3)	-	(4) (4.4.4)	(6) (3.4.3.4)
39	رباعي الأوجه - ثماني الأوجه (gacocaddit) {(3,3,4,3)}	(12) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)	-	(8) (3.3.3.3)
40	مكعب رباعي الأوجه ذو شكل حلقي مقطوع (cytitch) ct{(3,3,3,4)}	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (4.4.4)	(3) (4.6.6)
41	مكعب رباعي الأوجه ذو شكل حلقي مقطوع (cyticth) ct{(4,3,3,3)}	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3)	(3) (3.8.8)	(3) (3.8.8)
42	cytoth ct {(3,3,4,3)}	(4) (3.6.6)	(4) (3.6.6)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3)
43	مكعب رباعي الأوجه مُقوَّم (ريتش) r{(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)
44	مكعب رباعي الأوجه مقطوع (غرزة) t{(3,3,3,4)}	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)
45	رباعي الأوجه-ثماني الأوجه المقطوع (titdoh) t{(3,3,4,3)}	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.6.6)
46	مكعب رباعي الأوجه مقطوع (otitch) tr{(3,3,3,4)}	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.8)	(1) (4.6.8)
غير منتظم	omnisnub tetrahedral-cubic sr{(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3.4)	(4) + (3.3.3)

عائلة [(5,3,3,3)]

توجد 9 أشكال، ناتجة عن تباديل حلقية لمجموعة كوكسيتر :

تحتوي الأشكال المقطوعة والمشوهة (50 و 51) على وجوه اثنين من متعددات السطوح المائلة المنتظمة : {10,6|3} و {6,10|3}.

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)				شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0	1	2	3	شكل الرأس	صورة
47	رباعي الأوجه - اثنا عشري الأوجه (تادوه)	(4) (3.3.3)	-	(4) (5.5.5)	(6) (3.5.3.5)
48	رباعي الأوجه - عشريني الأوجه (تيكه)	(30) (3.3.3.3)	(20) (3.3.3)	-	(12) (3.3.3.3.3)
49	رباعي الأوجه ذو الشكل الحلقي المقطوع - ذو الشكل الاثني عشري (cytitidoh)	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
52	رباعي الأوجه المعدل - اثنا عشري الأوجه (ritidoh)	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
53	رباعي الأوجه المقطوع - اثنا عشري الأوجه (titidoh)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
54	رباعي الأوجه المقطوع - عشريني الأوجه (titih)	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)			شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0.1	2.3	Alt	شكل الرأس	صورة
50	شكل حلقي مقطوع من اثني عشري الأوجه إلى رباعي الأوجه (cytidth)	(2) (3.3.3)	(6) (3.10.10)
51	رباعي الأوجه ذو الشكل الحلقي المقطوع - عشريني الأوجه (cytitih)	(10) (3.6.6)	(2) (3.3.3.3.3)
55	رباعي الأوجه ذو اثني عشر وجهًا مقطوعًا (otitidoh)	(2) (4.6.6)	(2) (4.6.10)
غير منتظم	أومنيسنوب رباعي الأوجه-اثني عشري الأوجه	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

عائلة [(4,3,4,3)]

توجد ستة أشكال، ناتجة عن تباديل الحلقات لمجموعة كوكسيتر : . وهناك أربعة تناظرات موسعة ممكنة بناءً على تناظر الحلقات: ، ، ، و .

ترتبط عائلة التناظر هذه أيضًا بمجموعة فرعية جذرية، الدليل 6، ↔ ، تم إنشاؤها بواسطة [(4,3,4,3 ^* )]، وتمثل مجالًا أساسيًا شبه منحرف ثلاثي .

تحتوي الأشكال المبتورة (57 و 58) على وجوه اثنين من متعددات السطوح المائلة المنتظمة : {6,6|4} و {8,8|3}.

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)				شكل الرأس	صور
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0	1	2	3	شكل الرأس	صور
56	مكعب-ثماني الأوجه (كوهون)	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (4.4.4)	(12) (3.4.3.4)
60	مكعب ثماني الأوجه مقطوع (tucoh)	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)			شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0.3	1,2	Alt	شكل الرأس	صورة
57	مكعب ثماني السطوح ذو شكل حلقي مقطوع (cytoch)	(6) (4.6.6)	(2) (4.4.4)
غير منتظم	cyclosnub ثماني السطوح مكعب	(4) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3)	(4) + (3.3.3.3)

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)		شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0.1	2.3	شكل الرأس	صورة
58	مكعب ثماني السطوح ذو شكل حلقي مقطوع (cytacoh)	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.8.8)

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)		شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0.2	1.3	شكل الرأس	صورة
59	مكعب ثماني الأوجه مُقوَّم (racoh)	(2) (3.4.3.4)	(4) (3.4.4.4)

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)		شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	٠، ١، ٢، ٣	Alt	شكل الرأس	صورة
61	مكعب ثماني الأوجه مقطوع بالكامل (otacoh)	(4) (4.6.8)
غير منتظم	أومنيسنوب مكعب-ثماني الأوجه	(4) (3.3.3.3.4)	(4) + (3.3.3)

عائلة [(4,3,5,3)]

توجد 9 أشكال، ناتجة عن تباديل حلقية لمجموعة كوكسيتر :

تحتوي الأشكال المقتطعة (65 و 66) على وجوه اثنين من متعددات السطوح المائلة المنتظمة : {10,6|3} و {6,10|3}.

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)				شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0	1	2	3	شكل الرأس	صورة
62	ثماني الأوجه - اثنا عشري الأوجه	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (5.5.5)	(1) (3.5.3.5)
63	مكعب-عشري الوجوه	(30) (3.4.3.4)	(20) (4.4.4)	-	(12) (3.3.3.3.3)
64	ثماني السطوح-اثنا عشري السطوح ذو الشكل الحلقي المقطوع	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
67	ثماني السطوح المعدل - اثنا عشري السطوح	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
68	ثماني السطوح المقطوع - اثنا عشري السطوح	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
69	مكعب-اثني عشري مقطوع	(2) (4.6.8)	(1) (3.8.8)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)			شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0.1	2.3	Alt	شكل الرأس	صورة
65	شكل حلقي مقطوع من اثني عشري الأوجه إلى ثماني الأوجه	(2) (3.3.3.3)	(8) (3.10.10)
66	مكعب-عشري الوجوه مقطوع حلقيًا	(10) (3.8.8)	(2) (3.3.3.3.3)
70	ثماني السطوح المقطوع بالكامل - اثنا عشري السطوح	(2) (4.6.8)	(2) (4.6.10)
غير منتظم	أومنيسنوب ثماني الأوجه - اثنا عشري الأوجه	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

عائلة [(5,3,5,3)]

توجد ستة أشكال، ناتجة عن تباديل الحلقات لمجموعة كوكسيتر : . وهناك أربعة تناظرات موسعة ممكنة بناءً على تناظر الحلقات: ، ، ، و .

تحتوي الأشكال المقتطعة (72 و 73) على وجوه اثنين من متعددات السطوح المائلة المنتظمة : {6,6|5} و {10,10|3}.

8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)					شكل الرأس	صورة
8	اسم خلية النحل: مخطط كوكسيتر	0	1	2	3	Alt	شكل الرأس	صورة
71	شكل ذو اثني عشر وجهًا - شكل ذو عشرين وجهًا	(12) (3.3.3.3.3)	-	(20) (5.5.5)	(30) (3.5.3.5)
72	حلقيًا مقطوعًا عشريني الوجوه - اثنا عشري الوجوه	(3) (5.6.6)	(1) (5.5.5)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
73	شكل حلقي مقطوع من اثني عشر وجهًا إلى عشرين وجهًا	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(3) (3.10.10)	(3) (3.10.10)
74	متماثل اثني عشري الوجوه - متماثل عشريني الوجوه	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
75	شكل اثنا عشري الوجوه مبتور - شكل عشريني الوجوه	(1) (5.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
76	شكل اثنا عشري الوجوه - عشريني الوجوه مقطوع بالكامل	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)
غير منتظم	أومنيسنوب دوديكاهيدرالي-إيكوساهيدرال	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) + (3.3.3)

غير الويثوفيين الآخرين

توجد أعداد لا حصر لها من أشكال خلايا النحل الزائدية المتجانسة غير الويثوفية المعروفة، وقد يكون هناك المزيد منها لم يُكتشف بعد. وقد ذُكر اثنان منها أعلاه كأشكال متناقصة من خلية النحل العشرين السطوح {3,5,3}. ^{[ 6 ]}

في عام ١٩٩٧، اكتشفت ويندي كريجر سلسلة لانهائية من خلايا النحل الزائدية المنتظمة ذات رؤوس شبه عشرينية الوجوه، والمكونة من ٨ مكعبات و١٢ منشورًا مضلعًا عند كل رأس، وذلك لأي عدد صحيح p . في حالة p = ٤ (مجسم عشريني الوجوه منتظم)، تكون جميع الخلايا مكعبات، والنتيجة هي خلية نحل مكعبة من الرتبة ٥. أما في حالة p = ٢ (حيث يتحول المجسم شبه العشريني الوجوه إلى مجسم ثماني الوجوه منتظم)، فإنها تتحول إلى خلية نحل مكعبة إقليدية . ^{[ ٦ ]}

أربعة أنواع أخرى معروفة ترتبط بعائلات غير متراصة . يتكون التبليط من مكعبات مقطوعة وتبليطات مثلثية لانهائية من الرتبة 8. مع ذلك، تتقاطع هذه التبليطات مع الكرة عند اللانهاية بشكل متعامد، ولها نفس انحناء الفضاء الزائدي تمامًا، ويمكن استبدالها بصور معكوسة لبقية التبليط، مما ينتج عنه شكل خلية نحل متراصة وموحدة تتكون فقط من المكعبات المقطوعة. (لذا فهي مماثلة للأوجه النصفية للمجسمات الكروية متعددة السطوح ) . ^[⁶^]^[⁷^] يمكن القيام بشيء مماثل مع التبليط المكون من مجسمات ثمانية السطوح مكعبة معينية صغيرة ، وتبليطات مثلثية لانهائية من الرتبة 8 ، وتبليطات مربعة لانهائية من الرتبة 8 . تتقاطع التبليطات المربعة من الرتبة 8 مع الكرة عند اللانهاية بشكل متعامد، وإذا أُضيفت إلى التبليطات المثلثية من الرتبة 8 مجموعة من الموشورات المثلثية ، فإن السطح المار بمراكزها يتقاطع أيضًا مع الكرة عند اللانهاية بشكل متعامد. بعد استبدالها بصور معكوسة، تكون النتيجة بنية قرص عسل مضغوطة تحتوي على أشكال ثمانية الأوجه المكعبة المعينية الصغيرة والموشورات المثلثية. ^[⁸^]

اكتشف دانيال سيبالد بنيتين أخريين من هذا النوع في عام 2023. تنشأ الأولى من حقيقة أن لـ و نفس نصف قطر الدائرة المحيطة؛ فالأولى تحتوي على ثمانيات وجوه مقطوعة وتبليطات مربعة من الرتبة 6 ، بينما تحتوي الثانية على ثمانيات وجوه مكعبة وتبليطات مربعة من الرتبة 6. يتم الحصول على بنية قرص عسل متجانسة ومضغوطة عن طريق استبعاد التبليطات المربعة من الرتبة 6 المشتركة بينهما، باستخدام ثمانيات الوجوه المقطوعة وثمانيات الوجوه المكعبة فقط. أما الثانية فتنشأ من بنية مماثلة تتضمن (التي تحتوي على معينات اثني عشرية صغيرة ، وثمانيات وجوه ، وتبليطات خماسية من الرتبة 4 ) و (التي هي منشور التبليط الخماسي من الرتبة 4، وتحتوي على موشورات خماسية وتبليطات خماسية من الرتبة 4 ). يتمتع هذان الشكلان أيضًا بنفس نصف القطر المحيطي، ويمكن الحصول على شكل خلية نحل متجانس ومضغوط بأخذ الخلايا المحدودة لكليهما فقط، مع استبعاد التبليطات الخماسية من الرتبة الرابعة المشتركة بينهما. ^[⁹^] في عام 2025، اكتشف سيبالد بنية ثالثة مماثلة، وذلك بأخذ التبليط المكون من أشكال مكعبة ثمانية الأوجه صغيرة ، وموشورات ثمانية الأضلاع ، وتبليطات رباعية ثمانية الأضلاع ، ولاحظ أن التبليطات رباعية ثمانية الأضلاع لها نفس انحناء خلية النحل بأكملها، وبالتالي يمكن استبدالها بصور معكوسة لبقية التبليط. ينتج عن ذلك شكل خلية نحل متجانس ومضغوط يتكون فقط من الأشكال المكعبة الثمانية الأوجه الصغيرة والموشورات الثمانية الأضلاع. ^[⁶^]

تم اكتشاف شكل آخر غير ويثوفي في عام 2021. يتميز هذا الشكل بوجود مكعب مقطوع الرؤوس (snubped cube) بثمانية رؤوس محذوفة، ويحتوي على شكلين ثماني الأوجه وثمانية مكعبات مقطوعة الرؤوس عند كل رأس. ^{[ 6 ]} لاحقًا، وجد كريجر شكلًا غير ويثوفي آخر بمكعب مقطوع الرؤوس، يحتوي على 32 شكلًا رباعي الأوجه و6 أشكال ثمانية الأوجه عند كل رأس، وأن النسختين المقتطعة والمعدلة من هذا الشكل السداسي لا تزالان منتظمتين. في عام 2022، عمم ريتشارد كليتزينج هذا البناء لاستخدام أي شكل مقطوع الرؤوس: وكانت النتيجة مضغوطة عندما p=4 أو 5 (باستخدام مكعب مقطوع الرؤوس أو شكل اثني عشري مقطوع الرؤوس على التوالي)، ومضغوطة جزئيًا عندما p=6 (باستخدام تبليط ثلاثي سداسي مقطوع الرؤوس)، ومضغوطة للغاية عندما p>6. ومرة أخرى، ظلت النسختان المقتطعة والمعدلة من هذه الأشكال السداسية منتظمة. الحالتان p=3 و p=2 كرويتان (وهما الخلية العادية المكونة من 600 خلية والخلية المكونة من 16 خلية ، على التوالي). ^[⁶^]

توجد أيضًا أشكال أخرى مبنية على نطاقات متوازية المستطيلات . هناك شكلان معروفان يعممان شكل قرص العسل المكعب الثماني الأوجه ، حيث يحتويان على أشكال رؤوس مكعبة ثمانية الأوجه صغيرة مشوهة. أحد الشكلين يحتوي على مكعبات ثمانية الأوجه صغيرة، ومكعبات ثمانية الأوجه، ومكعبات؛ والآخر يحتوي على مكعبات عشرينية اثني عشرية الأوجه صغيرة، ومكعبات عشرينية اثني عشرية الأوجه، ومكعبات. (النسخة ذات متعددات السطوح ذات التناظر الرباعي هي قرص العسل المكعب الثماني الأوجه، باستخدام مكعبات ثمانية الأوجه، ومكعبات ثمانية الأوجه، ومكعبات). ^{[ 9 ]}

في عام 2025، تم اكتشاف شكل آخر غير ويثوفي، شكله الرأسي هو الجزء المركزي من الخلية الـ 600 المُقوَّمة (الموجهة بحيث تكون الخلية العشرية الوجوه في الأعلى). خلاياه هي رباعيات الوجوه، وعشرونية الوجوه ذات الاثني عشر وجهًا، وموشورات خماسية. ^{[ 6 ]}

الحالات غير المحدبة

لا توجد خلايا نحل منتظمة غير محدبة ومتراصة ومتجانسة في الفضاء الزائدي: فجميع الأشكال التي تحتوي على متعدد السطوح النجمي المنتظم كخلية أو شكل رأس أو كليهما تنتهي بأن تكون كروية. لكن هذا لا يستبعد وجود خلايا نحل منتظمة غير محدبة ومتراصة ومتجانسة. أحد الأمثلة المعروفة ينشأ من أخذ خلية نحل عشرينية الوجوه واستبدال كل عشرين وجه بمجسم اثني عشري كبير محصور ، حيث تتصل أوجهه الخماسية بمجسمات اثني عشرية الوجوه. تحتوي خلية النحل هذه على شكل رأس مجسم اثني عشري ثلاثي صغير منتظم . وبامتلاكها شكل رأس منتظم، يمكن أيضًا اقتطاعها ، مما ينتج عنه خلية نحل منتظمة ذات مجسمات اثني عشرية الوجوه مقطوعة ، ومجسمات اثني عشرية كبيرة مقطوعة ، ومجسمات اثني عشرية ثلاثية صغيرة. أو مُقوَّمة ، مما ينتج عنه قرص عسل موحد مع عشرينيات الوجوه ، وعشريات الوجوه ، وعشريات الوجوه المثلثية الصغيرة. ^{[ 6 ]}

من الممكن أيضًا البدء بهيكل قرص العسل ذي الشكل العشري الوجوه المبتور، والذي يحتوي على أشكال اثني عشرية الوجوه وأشكال عشرية الوجوه مبتورة، واستبدال الأشكال الاثني عشرية الوجوه بأشكال عشرية الوجوه ثلاثية الأضلاع صغيرة لها نفس الرؤوس، واستبدال الأشكال العشرية الوجوه المبتورة بأشكال عشرية الوجوه قصيرة الأطراف صغيرة لها نفس الرؤوس. يمكن بعد ذلك ربط الخلايا بأشكال رباعية الوجوه، مع تشويه النتيجة قليلاً لاستعادة التناسق. يمكن القيام بشيء مماثل مع هيكل قرص العسل ذي الشكل الاثني عشري الوجوه من الرتبة الخامسة، والذي يحتوي على أشكال معينية صغيرة ذات شكل عشري الوجوه، وموشورات خماسية، وأشكال عشرية الوجوه: حيث يتم استبدال الأشكال المعينية الصغيرة ذات الشكل العشري الوجوه بأشكال عشرية الوجوه صغيرة ، وملء الفراغات بأشكال عشرية الوجوه مبتورة، واستعادة التناسق بالعودة إلى أطوال حواف موحدة. ^{[ 6 ]}

تعداد موجز لخلايا النحل المتراصة والمتجانسة

هذا حصر شامل لخلايا النحل المتجانسة الـ 76 من نوع ويثوف. تم إدراج التناوبات من أجل الإكمال، لكن معظمها غير متجانس.

فِهرِس	مجموعة كوكسيتر	التناظر الممتد	خلايا النحل		التناظر الممتد الكيرالي	خلايا النحل المتناوبة
H ₁	${\bar {BH}}_{3}$ [4,3,5]	[4,3,5]	15	\| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \|	[1 ⁺ ,4,(3,5) ⁺ ]	(2)	(= )
H ₁	${\bar {BH}}_{3}$ [4,3,5]	[4,3,5]	15	\| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \|	[4,3,5] ⁺	(1)
H ₂	${\bar {J}}_{3}$ [3,5,3]	[3,5,3]	6	\| \| \| \| \|
H ₂	${\bar {J}}_{3}$ [3,5,3]	[2 ⁺ [3,5,3]]	5	\| \|	[2 ⁺ [3,5,3]] ⁺	(1)
H ₃	${\bar {DH}}_{3}$ [5,3 ^1,1 ]	[5,3 ^1,1 ]	4	\| \| \|
H ₃	${\bar {DH}}_{3}$ [5,3 ^1,1 ]	[1[5,3 ^1,1 ]]=[5,3,4] ↔	(7)	\| \| \| \| \| \|	[1[5,3 ^1,1 ]] ⁺ =[5,3,4] ⁺	(1)
H ₄	${\widehat {AB}}_{3}$ [(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)]	6	\| \| \| \| \|
H ₄	${\widehat {AB}}_{3}$ [(4,3,3,3)]	[2 ⁺ [(4,3,3,3)]]	3	\| \|	[2 ⁺ [(4,3,3,3)]] ⁺	(1)
H ₅	${\bar {K}}_{3}$ [5,3,5]	[5,3,5]	6	\| \| \| \| \|
H ₅	${\bar {K}}_{3}$ [5,3,5]	[2 ⁺ [5,3,5]]	3	\| \|	[2 ⁺ [5,3,5]] ⁺	(1)
H ₆	${\widehat {AH}}_{3}$ [(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)]	6	\| \| \| \| \|
H ₆	${\widehat {AH}}_{3}$ [(5,3,3,3)]	[2 ⁺ [(5,3,3,3)]]	3	\| \|	[2 ⁺ [(5,3,3,3)]] ⁺	(1)
H ₇	${\widehat {BB}}_{3}$ [(3,4) ^[2] ]	[(3,4) ^[2] ]	2	\|
		[2 ⁺ [(3,4) ^[2] ]]	1
		[2 ⁺ [(3,4) ^[2] ]]	1
		[2 ⁺ [(3,4) ^[2] ]]	1		[2 ⁺ [(3 ⁺ ,4) ^[2] ]]	(1)
		[(2,2) ⁺ [(3,4) ^[2] ]]	1		[(2,2) ⁺ [(3,4) ^[2] ]] ⁺	(1)
H ₈	${\widehat {BH}}_{3}$ [(5,3,4,3)]	[(5,3,4,3)]	6	\| \| \| \| \|
H ₈	${\widehat {BH}}_{3}$ [(5,3,4,3)]	[2 ⁺ [(5,3,4,3)]]	3	\| \|	[2 ⁺ [(5,3,4,3)]] ⁺	(1)
H ₉	${\widehat {HH}}_{3}$ [(3,5) ^[2] ]	[(3,5) ^[2] ]	2	\|
		[2 ⁺ [(3,5) ^[2] ]]	1
		[2 ⁺ [(3,5) ^[2] ]]	1
		[2 ⁺ [(3,5) ^[2] ]]	1
		[(2,2) ⁺ [(3,5) ^[2] ]]	1		[(2,2) ⁺ [(3,5) ^[2] ]] ⁺	(1)

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ همفريز، 1990، صفحة 141، 6.9 قائمة مجموعات كوكسيتر الزائدية، الشكل 2
1 2 فيليكسون، 2002
↑ ويندي واي. كريجر، الجدران والجسور: وجهة النظر من ستة أبعاد، التناظر: الثقافة والعلوم المجلد 16، العدد 2، الصفحات 171-192 (2005)
1 2 د. ريتشارد كليتزينغ. "Spd{3,5,3}" . bendwavy.org.
↑ د. ريتشارد كليتزينغ. "Pd{3,5,3}" . bendwavy.org.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 "التقسيمات الزائدية" .
↑ "x4x3o8o" .
↑ "lt-o8o4xb3x" .
1 2 "التقسيمات الزائدية - المجالات المنشورية المثلثية" .

مراجع

ج. همفريز (1990)، مجموعات الانعكاس ومجموعات كوكسيتر ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، 29
إتش إس إم كوكسيتر (1954)، "خلايا النحل المنتظمة في الفضاء الزائدي"، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات ، المجلد 3، نورث هولاند، الصفحات 155-169. أعيد طبعه كالفصل 10 في كتاب كوكسيتر (1999)، جمال الهندسة: اثنتا عشرة مقالة ، دوفر، ISBN 0-486-40919-8
إتش إس إم كوكسيتر (1973)، متعددات الوجوه المنتظمة ، الطبعة الثالثة، منشورات دوفر، 1973. رقم ISBN 0-486-61480-8(الجدولان الأول والثاني: متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل، الصفحات 294-296)
ج. ويكس، شكل الفضاء ، الطبعة الثانية. رقم ISBN 0-8247-0709-5الفصلان 16-17: الهندسات على المشعبات الثلاثية I، II
أ. فيليكسون (2002)، "تحليلات كوكسيتر للرباعيات الزائدة" (نسخة أولية) arXiv : math/0212010
سي دبليو إل غارنر، متعددات السطوح المائلة المنتظمة في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد . المجلة الكندية للرياضيات 19، 1179-1186، 1967. PDF أُرشف بتاريخ 2015-04-02 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
إن دبليو جونسون (2018)، الهندسة والتحويلات ، الفصول 11-13
NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz (1999), The size of a hyperbolic Coxeter simplex , Transformation Groups, Volume 4, Issue 4, pp 329–353
NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups H ³ : p130.
كليتزينغ، ريتشارد. "خلايا النحل الزائدية H3 المدمجة" .

[1] همفريز، 1990، صفحة 141، 6.9 قائمة مجموعات كوكسيتر الزائدية، الشكل 2

[Felikson,_2002-2] 1 2 فيليكسون، 2002

[3] ويندي واي. كريجر، الجدران والجسور: وجهة النظر من ستة أبعاد، التناظر: الثقافة والعلوم المجلد 16، العدد 2، الصفحات 171-192 (2005)

[klitzing-4] 1 2 د. ريتشارد كليتزينغ. "Spd{3,5,3}" . bendwavy.org.

[5] د. ريتشارد كليتزينغ. "Pd{3,5,3}" . bendwavy.org.

[klitzing2-6] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 "التقسيمات الزائدية" .

[klitzing3-7] "x4x3o8o" .

[klitzing4-8] "lt-o8o4xb3x" .

[klitzing5-9] 1 2 "التقسيمات الزائدية - المجالات المنشورية المثلثية" .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

عائلات خلايا النحل المتجانسة ذات القطع الزائد

عائلات خلايا النحل المتراصة والمتجانسة

خلايا نحل متجانسة زائدية مضغوطة

[3,5,3] عائلة

[5,3,4] عائلة

[5,3,5] عائلة

[5,3 1,1 ] عائلة

عائلة [(4,3,3,3)]

عائلة [(5,3,3,3)]

عائلة [(4,3,4,3)]

عائلة [(4,3,5,3)]

عائلة [(5,3,5,3)]

غير الويثوفيين الآخرين

الحالات غير المحدبة

تعداد موجز لخلايا النحل المتراصة والمتجانسة

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

[5,3 ^1,1 ] عائلة