دالة زيتا لهرويتز

في الرياضيات ، تُعد دالة زيتا لهرويتز إحدى دوال زيتا العديدة . وهي تُعرَّف رسميًا للمتغيرات المركبة s حيث Re( s ) > 1 و a ≠ 0, −1, −2, ... بواسطة $${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}.}$$

هذه المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا للقيم المعطاة لـ s و a، ويمكن تمديدها إلى دالة ميرومورفية معرفة لجميع قيم s ≠ 1. دالة زيتا لريمان هي ζ ( s , 1) . سُميت دالة زيتا لهورويتز نسبةً إلى أدولف هورويتز ، الذي قدمها عام 1882. ^{[ 1 ]}

دالة زيتا لهورويتز لها تمثيل تكاملي $$\displaystyle \zeta (s,a)=\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}}dx}$$ ل${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$و${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0.}$(يمكن اعتبار هذا التكامل تحويل ميلين .) ويمكن الحصول على الصيغة، تقريبًا، بكتابة $$\begin{aligned}\zeta(s,a)\Gamma(s)&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(n+a)^{s}}}\int_{0}^{\infty}x^{s}e^{-x}{\frac{dx}{x}}\\[1ex]&=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}y^{s}e^{-(n+a)y}{\frac{dy}{y}}\end{aligned}}}$$ ثم تبديل المجموع والتكامل. ^{[ 3 ]}

يمكن تحويل التمثيل التكاملي أعلاه إلى تمثيل تكاملي كفافي$${\displaystyle \zeta (s,a)=-\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-z)^{s-1}e^{-az}}{1-e^{-z}}}dz}$$ أين${\displaystyle C}$هو منحنى هانكل عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحور الحقيقي الموجب، ويُستخدم الفرع الرئيسي للأس المركب${\displaystyle (-z)^{s-1}}$على عكس التكامل السابق، فإن هذا التكامل صالح لجميع قيم s ، وهو في الواقع دالة كاملة لـ s . ^{[ 4 ]}

يوفر تمثيل التكامل الكفافي استمرارًا تحليليًا لـ${\displaystyle \zeta (s,a)}$إلى الجميع${\displaystyle s\neq 1}$. في${\displaystyle s=1}$، له قطب بسيط مع بقايا${\displaystyle 1}$[ ^{5 ]​}

تحقق دالة زيتا هورويتز هوية تعمم المعادلة الوظيفية لدالة زيتا ريمان : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \zeta (1-s,a)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\left(e^{-\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi ina}}{n^{s}}}+e^{\pi is/2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi ina}}{n^{s}}}\right),}$$ صحيح لـ Re( s ) > 1 و 0 < a ≤ 1. معادلة ريمان الوظيفية زيتا هي الحالة الخاصة a = 1: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \zeta (1-s)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (s)}$$

يمكن أيضًا التعبير عن صيغة هورويتز على النحو التالي ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {2\Gamma (1-s)}{(2\pi )^{1-s}}}\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi na)}{n^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi na)}{n^{1-s}}}\right)}$$ (لـ Re( s ) < 0 و 0 < a ≤ 1 ).

تتضمن صيغة هورويتز عدة براهين مختلفة. ^{[ 9 ]} يستخدم أحد البراهين تمثيل التكامل الكفافي مع نظرية البواقي . ^{[ 6 ] [ 8 ]} ويستخدم برهان آخر متطابقة دالة ثيتا ، أو ما يعادلها، مجموع بواسون . ^{[ 10 ]} هذه البراهين مماثلة للبرهانين اللذين قدّمهما ريمان في بحثه عام 1859 لمعادلة الدالة لدالة زيتا لريمان . ويستخدم برهان آخر لصيغة هورويتز مجموع أويلر-ماكلورين للتعبير عن دالة زيتا لهورويتز كتكامل. $${\displaystyle \zeta (s,a)=s\int _{-a}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x+{\frac {1}{2}}}{(x+a)^{s+1}}}dx}$$ ( −1 < Re( s ) < 0 و 0 < a ≤ 1 ) ثم توسيع البسط كمتسلسلة فورييه . ^{[ 11 ]} . ومع ذلك ^{[ 12 ]} يستخدم برهان آخر لصيغة هورويتز تكامل هيرميت $${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{2}}a^{-s}+{\frac {a^{1-s}}{s-1}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\tan ^{-1}(x/a))}{(a^{2}+x^{2})^{s/2}\left(e^{2\pi x}-1\right)}}dx,}$$ من خلال الكشف أولاً عن وجود علاقة جيدة بين دالة زيتا لهورويتز ودوال لوميل .

ترتبط المعادلة الوظيفية ارتباطًا وثيقًا بالمجاميع المحدودة التالية، والتي يمكن حساب بعضها بصيغة مغلقة.

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\zeta {\left(s,{\frac {r}{m}}\right)}\cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\sin {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta {\left(1{-}s,{\frac {k}{m}}\right)}+\zeta {\left(1{-}s,1{-}{\frac {k}{m}}\right)}\right\}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\zeta {\left(s,{\frac {r}{m}}\right)}\sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta {\left(1{-}s,{\frac {k}{m}}\right)}-\zeta {\left(1{-}s,1{-}{\frac {k}{m}}\right)}\right\}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta ^{2}{\left(s,{\frac {r}{m}}\right)}=\left(m^{2s-1}-1\right)\zeta ^{2}(s)+{\frac {2m\Gamma ^{2}(1-s)}{\left(2\pi m\right)^{2-2s}}}\sum _{\ell =1}^{m-1}\left\{\zeta {\left(1{-}s,{\frac {\ell }{m}}\right)}-\cos(\pi s)\,\zeta {\left(1{-}s,1{-}{\frac {\ell }{m}}\right)}\right\}\zeta {\left(1{-}s,{\frac {\ell }{m}}\right)}}$

أين${\displaystyle m}$عدد صحيح موجب أكبر من 2 و${\displaystyle s}$معقد، انظر على سبيل المثال الملحق ب في ^{[ 14 ]}

تم تقديم تمثيل متسلسل نيوتن المتقارب المعرف لـ (حقيقي) a > 0 وأي مركب s ≠ 1 بواسطة هيلموت هاس في عام 1930: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(a+k)^{1-s}.}$$

تتقارب هذه المتسلسلة بانتظام على المجموعات الجزئية المدمجة من المستوى s إلى دالة كاملة . ويمكن فهم المجموع الداخلي على أنه الفرق الأمامي النوني لـ${\displaystyle a^{1-s}}$؛ إنه، $${\displaystyle \Delta ^{n}a^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}\left(a+k\right)^{1-s}}$$ حيث Δ هو عامل الفرق الأمامي . وبالتالي، يمكن كتابة ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,a)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}a^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }a^{1-s}\end{aligned}}}$$

المشتق الجزئي لدالة زيتا في الوسيط الثاني هو إزاحة : $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a).}$$

وبالتالي، يمكن كتابة متسلسلة تايلور على النحو التالي:$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,x+y)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{s-1}}\left(-y\right)^{k}\zeta (s+k,x).\end{aligned}}}$$

بدلاً عن ذلك، $${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{\binom {s+n-1}{n}}\zeta (s+n),}$$ مع${\displaystyle |q|<1}$[ ^{16 ]​}

وترتبط بها ارتباطاً وثيقاً صيغة ستارك-كيبر : $${\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N),}$$ وهذا ينطبق على العدد الصحيح N وأي قيمة لـ s . انظر أيضًا صيغة فولهاوبر لعلاقة مماثلة على المجاميع المحدودة لقوى الأعداد الصحيحة.

يمكن استخدام متسلسلة لوران لتعريف ثوابت ستيلتجس المعممة التي تظهر في المتسلسلة $${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.}$$

وبالتحديد، يُعطى الحد الثابت بالصيغة التالية $${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,a)-{\frac {1}{s-1}}\right]=\gamma _{0}(a)={\frac {-\Gamma '(a)}{\Gamma (a)}}=-\psi (a)}$$ أين${\displaystyle \Gamma }$دالة غاما و${\displaystyle \psi =\Gamma '/\Gamma }$هي دالة ديغاما . كحالة خاصة،${\displaystyle \gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma }$.

التحويل المتقطع لفورييه لدالة زيتا هورويتز بالنسبة للرتبة s هو دالة ليجندر كاي . ^{[ 17 ]}

لو${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$إذا كانت دالة جاكوبي ثيتا ، $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma {\left({\frac {1-s}{2}}\right)}\left[\zeta (1{-}s,z)+\zeta (1{-}s,1{-}z)\right]}$$ يحمل لـ${\displaystyle \Re s>0}$و z عدد مركب، وليس عددًا صحيحًا. أما إذا كان z = n عددًا صحيحًا، فيُبسط هذا إلى $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}&=2\pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma {\left({\frac {1-s}{2}}\right)}\zeta (1-s)\\&=2\pi ^{-s/2}\ \Gamma {\left({\frac {s}{2}}\right)}\zeta (s).\end{aligned}}}$$ حيث ζ هنا هي دالة زيتا لريمان . لاحظ أن هذا الشكل الأخير هو المعادلة الدالية لدالة زيتا لريمان، كما قدمها ريمان في الأصل. ويُفسر التمييز القائم على كون z عددًا صحيحًا أو غير صحيح حقيقة أن دالة جاكوبي ثيتا تتقارب إلى دالة دلتا الدورية ، أو مشط ديراك في z عندما${\displaystyle t\rightarrow 0}$.

عند القيم النسبية، يمكن التعبير عن دالة زيتا لهورويتز كمزيج خطي من دوال ديريشليه L والعكس صحيح: تتطابق دالة زيتا لهورويتز مع دالة زيتا لريمان ζ ( s ) عندما a  =  1، وعندما a  =  1/2 فإنها تساوي (2s ⁻ 1 ) ζ ( s )، ^{[ 22 ]} وإذا كانت a  = n / k حيث k > 2، و( n , k ) > 1 و0 < n < k ، فإن ^{[ 23 ]}         $${\displaystyle \zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),}$$ المجموع الذي يشمل جميع دوال ديريشليه modulo k . في الاتجاه المعاكس، لدينا التركيبة الخطية ^{[ 22 ]}$${\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta {\left(s,{\frac {n}{k}}\right)}.}$$ وهناك أيضًا نظرية الضرب$${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta {\left(s,{\frac {n}{k}}\right)},}$$ ومن بين التعميمات المفيدة لهذه العلاقة التوزيعية ^{[ 24 ]}$${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).}$$ (هذا الشكل الأخير صالح عندما يكون q عددًا طبيعيًا و 1 − qa ليس كذلك.)  

إذا كانت قيمة a تساوي 1، فإن دالة زيتا لهورويتز تختزل إلى دالة زيتا لريمان نفسها؛ وإذا كانت a تساوي 1/2، فإنها تختزل إلى دالة زيتا لريمان مضروبة في دالة بسيطة ذات وسيط مركب s ( انظر أعلاه )، مما يؤدي في كلتا الحالتين إلى دراسة معقدة لأصفار دالة زيتا لريمان. على وجه الخصوص، لن تكون هناك أصفار ذات جزء حقيقي أكبر من أو يساوي 1. مع ذلك، إذا كان 0 < a < 1 و a ≠ 1/2 ، فإن دالة زيتا لهورويتز توجد أصفار في الشريط 1 < Re( s ) < 1 + ε لأي عدد حقيقي موجب ε . وقد أثبت ذلك دافنبورت وهيلبرون للأعداد النسبية أو غير النسبية المتسامية a ، [ ^{25 ]} وكاسيلز ^{للأعداد} غير النسبية الجبرية a . ^{[ 22 ] [ 26 ]}

تظهر دالة زيتا لهورويتز في عدد من المتطابقات اللافتة للنظر عند القيم النسبية. ^{[ 27 ]} وعلى وجه الخصوص، القيم بدلالة كثيرات حدود أويلر${\displaystyle E_{n}(x)}$: $${\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(-1\right)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta {\left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)}\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$$ و $${\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(-1\right)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta {\left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)}\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$$

يمتلك المرء أيضًا $${\displaystyle \zeta {\left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)}=2\left(2q\right)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}{\left({\frac {k}{q}}\right)}\cos {\frac {(2p-1)\pi k}{q}}+S_{s}{\left({\frac {k}{q}}\right)}\sin {\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right]}$$ وهذا ينطبق على 1 ≤ p ≤ q . هنا،${\displaystyle C_{\nu }(x)}$و${\displaystyle S_{\nu }(x)}$يتم تعريفها بواسطة دالة ليجندر كاي${\displaystyle \chi _{\nu }}$مثل $${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}$$ و $${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).}$$

بالنسبة للقيم الصحيحة لـ ν ، يمكن التعبير عن هذه العلاقات بدلالة كثيرات حدود أويلر. ويمكن اشتقاق هذه العلاقات باستخدام المعادلة الدالية مع صيغة هورويتز المذكورة أعلاه.

تظهر دالة زيتا لهرويتز في العديد من التخصصات. وأكثرها شيوعًا في نظرية الأعداد ، حيث تُعدّ نظريتها الأعمق والأكثر تطورًا. ومع ذلك، فهي تظهر أيضًا في دراسة الفراكتلات والأنظمة الديناميكية . وفي الإحصاء التطبيقي ، تظهر في قانون زيبف وقانون زيبف-ماندلبروت . وفي فيزياء الجسيمات ، تظهر في صيغة جوليان شوينجر [ ^{28 ] ،} التي تُعطي نتيجة دقيقة لمعدل إنتاج أزواج إلكترون ديراك في مجال كهربائي منتظم.

ترتبط دالة زيتا لهرويتز ذات العدد الصحيح الموجب m بدالة بوليغاما : $${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .}$$

تُعمم دالة زيتا بارنز دالة زيتا هورويتز.

يعمم مفهوم ليرش المتعالي مفهوم زيتا لهورويتز: $${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$$ وبالتالي $${\displaystyle \zeta (s,a)=\Phi (1,s,a).\,}$$

دالة فوق هندسية

$${\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}$$أين${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

وظيفة ماير جي

$${\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}$$

• جوناثان سوندو وإريك دبليو. وايسشتاين. "دالة زيتا لهرويتز" . عالم الرياضيات .