مكعب ثماني الأوجه

مساحة سطح المكعب الثماني الأوجه${\displaystyle A}$يمكن تحديد حجم المكعب الثماني الأوجه بجمع مساحات جميع أوجهه المضلعة.${\displaystyle V}$يمكن تحديد حجمها بتقسيمها إلى قبتين مثلثتين منتظمتين، وجمع حجمهما. علماً بأن طول الحافة${\displaystyle a}$، ومساحة سطحها وحجمها هما: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 9.464a^{2}\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&&\approx 2.357a^{3}.\end{aligned}}}$$

يمكن حساب الزاوية الثنائية لمكعب ثماني الأوجه باستخدام زاوية القباب المثلثية. تبلغ الزاوية الثنائية للقبة المثلثية بين المربع والمثلث حوالي 125 درجة، وبين المربع والسداسي 54.7 درجة، وبين المثلث والسداسي 70.5 درجة. بالتالي، فإن الزاوية الثنائية لمكعب ثماني الأوجه بين المربع والمثلث، على الحافة التي تتصل بها قاعدة القبتين المثلثيتين، هي 54.7 درجة + 70.5 درجة، أي ما يقارب 125 درجة. وعليه، فإن الزاوية الثنائية لمكعب ثماني الأوجه بين المربع والمثلث تبلغ حوالي 125 درجة. ^{[ 7 ]} الزاوية الدقيقة هي${\displaystyle \arccos(-1/{\sqrt {3}})}$.

لاحظ باكمنستر فولر أن المكعب الثماني الأوجه يتميز بخاصية نادرة، وهي أن المسافة من المركز إلى الرأس تساوي طول أضلاعه. بعبارة أخرى، له متجهات متساوية الطول في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وهو ما يُعرف بتوازن المتجهات . كما يمكن تحويل الدعامات الصلبة والرؤوس المرنة للمكعب الثماني الأوجه تدريجيًا إلى عشريني الأوجه منتظم ، ثم ثماني الأوجه منتظم، ثم رباعي الأوجه منتظم. أطلق فولر على هذه العملية اسم تحويل الجيترباغ . ^{[ 8 ]}

يتمتع المكعب الثماني الأوجه بخاصية روبرت ، مما يعني أنه يوجد متعدد الأوجه من نفس الحجم أو أكبر يمكنه المرور عبر فتحته. ^{[ 9 ]}

المكعب الثماني الأوجه هو مجسم أرخميدسي ، أي أنه متعدد السطوح متناظر للغاية وشبه منتظم، وتلتقي فيه وجهان أو أكثر من الأوجه المضلعة المنتظمة المختلفة عند رأس واحد. ^{[ 10 ]} يتمتع المكعب الثماني الأوجه بتناظرين، ناتجين عن الإنشاءات كما ذكرنا سابقًا: نفس تناظر المكعب الثماني الأوجه المنتظم، وهو التناظر الثماني الأوجه.${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$وله نفس التناظر الذي يتمتع به رباعي الأوجه المنتظم، أي التناظر الرباعي الأوجه${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$[ ^{11 ]} الوجوه المضلعة التي تلتقي عند كل رأس هي مثلثان متساويا الأضلاع ومربعان، وشكل رأس المكعب الثماني الأوجه هو 3.4.3.4. ثنائي المكعب الثماني الأوجه هو المعين ذو ^الاثني عشر وجهًا . ^{[ 12 ]}

في المكعب الثماني الأوجه، يتساوى نصف القطر الأطول (من المركز إلى الرأس) مع طول الحافة؛ وبالتالي فإن قطره الأطول (من الرأس إلى الرأس المقابل) يساوي ضعف طول الحافة. ^{​​[ 13 ]} يشبه مركزه رأس الهرم القياسي: فهو يبعد مسافة طول حافة واحدة عن جميع الرؤوس الأخرى. (في حالة المكعب الثماني الأوجه، يكون المركز في الواقع رأس 6 أهرامات مربعة و8 أهرامات مثلثة). هذا التناظر الشعاعي متساوي الأضلاع هو خاصية لعدد قليل فقط من متعددات الوجوه المنتظمة، بما في ذلك السداسي ثنائي الأبعاد ، والمكعب الثماني الأوجه ثلاثي الأبعاد، ومتعددات الوجوه رباعية الأبعاد ذات 24 خلية و 8 خلايا (المكعب الفائق) . ^{0R/l''-14" id="mwkg">[ 14 ]} متعددات الوجوه متساوية الأضلاع شعاعيًا هي تلك التي يمكن إنشاؤها، بأنصاف أقطارها الطويلة، من مثلثات متساوية الأضلاع تلتقي في مركز متعدد الوجوه، حيث يساهم كل مثلث بنصفَي قطر وحافة. لذلك، فإن جميع العناصر الداخلية التي تلتقي في مركز هذه الأشكال متعددة الوجوه لها وجوه داخلية مثلثة متساوية الأضلاع، كما هو الحال في تقسيم المكعب الثماني الأوجه إلى 6 أهرامات مربعة و8 رباعيات الأوجه.

يظهر كلٌّ من هذه الأشكال متعددة الأضلاع متساوية الأضلاع شعاعيًا أيضًا كخلايا في تبليط فراغي مميز : تبليط السداسيات المنتظمة، وقرص العسل المكعب المُقوَّم (المكون من ثمانيات الأوجه المكعبة وثمانيات الأوجه بالتناوب)، وقرص العسل ذو 24 خلية ، وقرص العسل الفسيفسائي ، على التوالي. ^{[ 15 ]} لكل تبليط تبليط ثنائي ؛ مراكز الخلايا في التبليط هي رؤوس الخلايا في تبليطه الثنائي. يستخدم أكثر تعبئات الكرات المنتظمة كثافةً في بعدين وثلاثة وأربعة أبعاد مراكز خلايا أحد هذه التبليطات كمراكز للكرات.

ولأنه متساوي الأضلاع شعاعيًا، فإن مركز المكعب الثماني الأوجه يبعد مسافة طول ضلع واحد عن الرؤوس الـ 12.

عند تفسير المكعب الثماني الأوجه كهيكل من وجوه مسطحة صلبة، متصلة على طول الحواف بمفاصل، فإنه يُعد بنية صلبة، كما هو الحال مع جميع المجسمات المحدبة، وفقًا لنظرية كوشي . ومع ذلك، عند إزالة الوجوه، بحيث لا يتبقى سوى حواف صلبة متصلة بمفاصل مرنة عند الرؤوس، فإن النتيجة ليست نظامًا صلبًا (على عكس المجسمات التي تتكون وجوهها من مثلثات، والتي تنطبق عليها نظرية كوشي على الرغم من الوجوه المفقودة).

بإضافة رأس مركزي، متصل بحواف صلبة بجميع الرؤوس الأخرى، ينقسم المكعب الثماني الأوجه إلى أهرامات مربعة وأهرامات رباعية منتظمة، تلتقي عند الرأس المركزي. وعلى عكس المكعب الثماني الأوجه نفسه، فإن نظام الحواف والمفاصل الناتج صلب، ويشكل شكل الرأس لخلية النحل اللانهائية رباعية الأوجه وثمانية الأوجه .

يمكن تحويل المكعب الثماني السطوح دوريًا عبر أربعة متعددات سطوح، وتتكرر الدورة بلا نهاية. من الناحية الطوبولوجية، يتبع التحويل حلقة موبيوس : فهو غطاء مزدوج قابل للتوجيه للمكعب الثماني السطوح. ومن الناحية الفيزيائية، فهو سبينور .

في علاقاتها المكانية، تتداخل الأشكال المكعبة الثمانية الأوجه، والعشرونية الأوجه، وعشرونية الأوجه لجيسن، والثمانية الأوجه، مثل الدمى الروسية، وترتبط بانكماش حلزوني . يبدأ الانكماش بطي الأوجه المربعة للمكعب الثماني الأوجه إلى الداخل على طول أقطارها لتشكيل أزواج من المثلثات. تتجه رؤوس المكعب الثماني الأوجه الاثني عشر حلزونيًا نحو الداخل (باتجاه المركز) وتقترب من بعضها حتى تصل إلى النقاط التي تشكل عندها عشرونية الأوجه منتظمة؛ ثم تقترب قليلًا من بعضها حتى تشكل عشرونية الأوجه لجيسن ؛ وتستمر في الالتفاف حلزونيًا نحو بعضها حتى تتطابق في أزواج مع رؤوس الثمانية الأوجه الستة. ^{[ 25 ]}

يمكن تحديد معلمات التحويل العام للمكعب الثماني السطوح على طول سلسلة متصلة من التحويلات الخاصة مع حالتين حديتين: حالة تكون فيها حواف المكعب الثماني السطوح صلبة، وحالة تكون فيها مرنة.

يقوم تحويل المكعب الثماني السطوح ذو الحواف الصلبة بتحويل المكعب الثماني السطوح بشكل متناظر إلى مجسم عشروني منتظم ، ومجسم عشروني جيسن ، ومجسم ثماني منتظم ، بمعنى أن رؤوس المجسم تأخذ مواقع رؤوس تلك المجسمات على التوالي.

لا يتحول المكعب الثماني الأوجه في الواقع إلى تلك الأشكال متعددة الأوجه الأخرى، ولا يمكنها أن تتحول إلى بعضها البعض (إذا كانت لها حواف صلبة)، لأنها على عكس المكعب الثماني الأوجه، تتمتع بصلابة هيكلية نتيجة لوجود وجوه مثلثة فقط.

ما يمكن أن يتحول إليه المكعب الثماني الأوجه ذو الحواف الصلبة (ومن خلاله) هو مجسم عشروني منتظم مفقود منه 6 حواف ( مجسم عشروني زائف )، ^{[ 26 ]} مجسم عشروني جيسن مفقود منه 6 حواف منعكسة أو مرنة، وغطاء مزدوج للمجسم الثماني الأوجه يحتوي على حافتين صلبتين متطابقتين تربطان كل زوج من الرؤوس (يتشكل من خلال جعل أزواج رؤوس المكعب الثماني الأوجه تتطابق).

يوجد مجسم متعدد السطوح متوتر يجسد ويفرض تحويل المكعب الثماني السطوح ذي الحواف المرنة . يتميز المجسم العشري السطوح المتوتر بصلابة هيكلية ديناميكية تُسمى الحركة المتناهية الصغر، ولا يمكن تشويهه إلى مجسمات متعددة السطوح متناظرة إلا على طول هذا الطيف من المكعب الثماني السطوح إلى الثماني السطوح. ^{[ 27 ]} يُطلق عليه اسم المجسم العشري السطوح المتوتر لأن شكله المستقر المتوسط ​​هو مجسم جيسن العشري السطوح.

على الرغم من أن التحول موصوف أعلاه بأنه انكماش للمكعب الثماني الأوجه، فإن نقطة التوازن المستقرة للهيكل المشدود هي مجسم جيسن العشري الوجوه؛ يقاوم مجسم جيسن العشري الوجوه التشوه عن هذا الشكل، ولا يمكن إجباره على التمدد أو الانكماش عنه إلا بقدر مرونة حوافه (قدرتها على الاستطالة تحت تأثير الشد). إن إجبار المجسم على الابتعاد عن شكله المستقر (في أي اتجاه) يتضمن شد حوافه القصيرة الـ 24 بشكل طفيف ومتساوٍ. تنتقل القوة المطبقة على أي زوج من الحواف الطويلة المتوازية، لتقريبها أو إبعادها عن بعضها، تلقائيًا لشد جميع الحواف القصيرة بشكل منتظم، مما يؤدي إلى انكماش المجسم من مجسم جيسن العشري الوجوه متوسط ​​الحجم نحو المكعب الثماني الأوجه الأصغر، أو تمدده نحو المكعب العشري الوجوه المنتظم الأكبر، ثم نحو المكعب الثماني الأوجه الأكبر منه، على التوالي. يؤدي تحرير القوة إلى ارتداد المجسم متعدد الأوجه إلى شكله الأصلي المستقر، وهو شكل جيسن ذو العشرين وجهاً.

في عملية تحويل الحواف المرنة، لا تكون حواف المكعب الثماني الأوجه صلبة (على الرغم من أن حواف مجسم جيسن ذي العشرين وجهًا الستة الطويلة صلبة). يتحول المكعب الثماني الأوجه إلى مجسم عشريني منتظم بنصف قطر وطول حافة أقصر، ثم إلى مجسم جيسن ذي العشرين وجهًا بنصف قطر وطول حافة (أدنى)، وأخيرًا إلى مجسم ثماني الأوجه بنصف قطر أقصر ولكن بنفس طول حافة المكعب الثماني الأوجه (الأقصى) (ولكن فقط بعد أن تقصر الحواف ثم تطول مرة أخرى، وتلتقي في أزواج متطابقة).

تختلف تحويلات المكعب الثماني السطوح ذات الحواف الصلبة وتلك ذات الحواف المرنة فقط في وجود معاملات متبادلة: ففي تحويل الحواف المرنة، تتمدد الحواف القصيرة لمجسم جيسن ذي العشرين وجهًا بينما تظل حوافه الطويلة صلبة، وفي تحويل الحواف الصلبة، تنضغط حوافه الطويلة بينما تظل حوافه القصيرة صلبة. كل ما ورد في الأوصاف أعلاه، باستثناء المقاييس، ينطبق على جميع تحويلات المكعب الثماني السطوح. على وجه الخصوص، تتحرك الرؤوس دائمًا في مسارات حلزونية نحو المركز أثناء تحول المكعب الثماني السطوح إلى ثماني السطوح، ^{[ 29 ] [ 30 ]} ويبقى مجسم جيسن ذو العشرين وجهًا (بزوايا ثنائية السطوح 90 درجة وثلاثة مستويات متعامدة ثابتة) دائمًا نقطة الوسط، مستقرة بقدر ما توجد مقاومة للتمدد أو الانضغاط. ^{[ 31 ]}

يُعرَف تحويل المكعب الثماني الأوجه ذي الحواف المرنة عادةً بأنه رياضيات المجسم العشري الوجوه المتوتر ^{[ 32 ]،} لأنه الأقرب إلى محاكاة سلوك معظم هياكل المجسم العشري الوجوه المتوترة الفعلية. مع ذلك، يمكن بالتأكيد بناء مجسم عشري الوجوه متوتر تكون فيه الحواف القصيرة (الكابلات) غير مرنة تمامًا، بينما تكون الحواف الطويلة (الدعامات) نوابض قابلة للانضغاط. سيؤدي هذا المجسم المتوتر إلى تحويل المكعب الثماني الأوجه ذي الحواف الصلبة.

أخيرًا، كلا التحويلين مجردان، وهما حالتان حديتان لعائلة لانهائية من تحويلات المكعب الثماني الأوجه، حيث يوجد معاملان للمرونة، ولا يُشترط أن يكون أحدهما صفرًا. لا تنطبق أي من الحالتين الحديتين تمامًا على معظم هياكل التنسيغريتي الحقيقية، التي عادةً ما تتمتع ببعض المرونة في كل من الكابلات والدعامات، مما يجعل حساب مقاييس سلوكها الفعلي أمرًا معقدًا. ^{[ 33 ]} في الممارسة الهندسية، لا يلزم سوى قدر ضئيل من المرونة للسماح بدرجة كبيرة من الحركة، لذا تُبنى معظم هياكل التنسيغريتي لتكون محكمة الإغلاق باستخدام دعامات وكابلات شبه عديمة المرونة . يُعد تحويل التنسيغريتي ذو العشرين وجهًا تحويلًا حركيًا للمكعب الثماني الأوجه بمعاملات مرونة صغيرة متبادلة.

أطلق باكمنستر فولر على التحولات الالتوائية، التوسعية-الانكماشية، بين هذه المجسمات اسم "تحولات جيترباغ" . لم يُقدم فولر أي معادلات رياضية؛ ^{[ 8 ] [ 34 ]} ومثله مثل العديد من علماء الهندسة العظام الذين سبقوه ( مثل أليسيا بول ستوت )، لم يكن لديه أي معادلات رياضية ليقدمها. لكنه كان أول من أكد على أهمية التناظر الشعاعي متساوي الأضلاع للمكعب الثماني الأوجه ، والذي طبقه هيكليًا (وحصل على براءة اختراع له) باسم " الجملون الثماني" ، مُدركًا أنه يلعب دورًا أساسيًا ليس فقط في السلامة الهيكلية ، بل أيضًا في العلاقات البُعدية بين المجسمات . اكتشف فولر تحولات التناظر للمكعب الثماني الأوجه، وفهم علاقتها بالمجسم العشري الوجوه المتوتر، بل وقدم عروضًا توضيحية لتحول المكعب الثماني الأوجه ذي الحواف الصلبة أمام الجماهير (في الأيام التي سبقت الرسوم المتحركة المُولّدة بالحاسوب). لا يزال عرضه مع التعليق على "توازن المتجهات"، ^{[ 35 ]} كما أطلق على المكعب الثماني الأوجه، أكثر إضاءة بكثير من الرسوم المتحركة في هذه المقالة.