قرص العسل ذو 24 خلية

قرص العسل ذو 24 خلية
خلية مكونة من 24 خلية والطبقة الأولى من وجوهها الأربعة المجاورة
يكتب	زي موحد عادي بأربعة أشكال قرص العسل
رمز شلافلي	{3,4,3,3} r{3,3,4,3} 2r{4,3,3,4} 2r{4,3,3 1,1 } {3 1,1,1,1 }
مخططات كوكسيتر-دينكين
نوع ذو 4 أوجه	{3,4,3}
نوع الخلية	{3,4}
نوع الوجه	{3}
شكل الحافة	{3,3}
شكل الرأس	{4,3,3}
مزدوج	{3,3,4,3}
مجموعات كوكسيتر	${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$, [3,4,3,3]${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$, [4,3,3,4]${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$, [4,3,3 1,1 ]${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$, [3 1,1,1,1 ]
ملكيات	عادي

في الهندسة الإقليدية رباعية الأبعاد ، تُعرف خلية النحل ذات الـ 24 خلية ، أو خلية النحل ذات الـ 24 خلية ، بأنها تبليط منتظم يملأ الفراغ (أو خلية نحل ) للفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد بواسطة 24 خلية منتظمة . ويمكن تمثيلها برمز شلافلي {3,4,3,3}.

التبليط المزدوج بواسطة قرص العسل المنتظم ذي 16 خلية له رمز شلافلي {3,3,4,3}. إلى جانب قرص العسل الفسيراكتي (أو قرص العسل المكعب الرباعي)، تُعد هذه التبليطات المنتظمة الوحيدة للفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد.

يمكن بناء خلية النحل المكونة من 24 خلية على شكل تجزئة فورونوي لشبكة الجذر D4 أو F4 . ثم يتم توسيط كل خلية _من الخلايا الـ 24 عند نقطة من نقاط شبكة D4 _، أي إحدى النقاط التالية _:

${\displaystyle \left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{4}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

يمكن وصف هذه النقاط أيضًا بأنها رباعيات هورويتز ذات معيار تربيعي زوجي.

تقع رؤوس خلية النحل عند الثقوب العميقة لشبكة D _4. هذه هي رباعيات هورويتز ذات المعيار التربيعي الفردي.

يمكن بناؤها على شكل خلية نحل فسيفسائية ثنائية التصحيح ، وذلك بأخذ خلية نحل فسيفسائية ووضع رؤوس في مراكز جميع الأوجه المربعة. وتوجد الأوجه المكونة من 24 خلية بين هذه الرؤوس على شكل خلايا 16 مصححة . إذا كانت إحداثيات قرص العسل الفسيفسائي أعدادًا صحيحة (i,j,k,l)، فيمكن وضع رؤوس قرص العسل الفسيفسائي المُقوَّم ثنائيًا في جميع تباديل الإزاحات التي تبلغ نصف وحدة في بُعدين من الأبعاد الأربعة، على النحو التالي: (i+ 1/2 , j + 1/2 , k , l ) ، ( i+ 1/2 , j , k + 1/2 , l)، (i + 1/2 , j , k , l + 1/2 ) ، ( i , j + 1/2 , k + 1/2 , l ) ، ( i , j + 1/2 ,k,l+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ), (i,j,k+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ,l+ ⁠ 1 / 2 ⁠ ).

تحتوي كل خلية من خلايا قرص العسل المكونة من 24 خلية على 24 خلية مجاورة مكونة من 24 خلية. وتتشارك مع كل خلية مجاورة خلية ثمانية الأوجه واحدة بالضبط.

لديها 24 جارًا آخر بحيث تشترك مع كل واحد منهم في رأس واحد.

ليس لها جيران تشترك معهم في حافة أو وجه فقط.

شكل رأس خلية النحل المكونة من 24 خلية هو مكعب رباعي الأبعاد ( تيسيراكت ). لذا، يوجد 16 ضلعًا، و32 مثلثًا، و24 ثماني السطوح، و8 خلايا مكونة من 24 خلية تلتقي عند كل رأس. شكل الحافة هو رباعي السطوح ، لذا يوجد 4 مثلثات، و6 ثماني السطوح، و4 خلايا مكونة من 24 خلية تحيط بكل حافة. ​​أخيرًا، شكل الوجه هو مثلث، لذا يوجد 3 ثماني السطوح و3 خلايا مكونة من 24 خلية تلتقي عند كل وجه.

إحدى طرق تصور شكل رباعي الأبعاد هي النظر إلى مقاطع عرضية ثلاثية الأبعاد مختلفة ، أي تقاطع مستويات فائقة مختلفة مع الشكل المعني. بتطبيق هذه التقنية على خلية قرص العسل المكونة من 24 خلية، نحصل على خلايا قرص عسل ثلاثية الأبعاد مختلفة بدرجات متفاوتة من الانتظام.

مقاطع الرأس أولاً
قرص العسل المعيني ذو الاثني عشر وجهًا	قرص العسل المكعب
مقاطع تبدأ بالخلايا
قرص العسل المكعب المُقوَّم	قرص عسل مكعب مقطوع مرتين

يستخدم المقطع العرضي ذو الرأس الأول مستوىً فائقًا متعامدًا مع خط يصل بين رأسين متقابلين لإحدى الخلايا الأربع والعشرين. على سبيل المثال، يمكن اختيار أي من المستويات الفائقة الإحداثية في نظام الإحداثيات المذكور أعلاه (أي المستويات المحددة بـ xᵢ = 0 ₎ . يُعطي المقطع العرضي للمجموعة {3,4,3,3} بواسطة أحد هذه المستويات الفائقة شكلًا سداسيًا معينيًا ذا اثني عشر وجهًا . يتوافق كل شكل من الأشكال الاثني عشرية المعينية مع مقطع عرضي أقصى لإحدى الخلايا الأربع والعشرين التي تتقاطع مع المستوى الفائق (يقع مركز كل خلية من هذه الخلايا الأربع والعشرين (ذات الأبعاد الأربعة) في المستوى الفائق). وبناءً على ذلك، فإن الشكل السداسي المعيني ذو الاثني عشر وجهًا هو _تبليط فورونوي لشبكة الجذر D³ (وهي شبكة مكعبة مركزية الوجوه ). يؤدي تحريك هذا المستوى الفائق إلى منتصف المسافة نحو أحد الرؤوس (مثلاً xᵢ = ½ ) إلى تكوين شكل خلية نحل مكعب منتظم _{. في هذه الحالة ،} يقع مركز كل خلية من الخلايا الـ 24 خارج المستوى الفائق. ويؤدي تحريكه مرة أخرى، بحيث يتقاطع المستوى الفائق مع الرأس، إلى تكوين شكل خلية نحل معيني ذي 12 وجهًا، ولكن بخلايا جديدة من 24 وجهًا (حيث تقلصت الخلايا السابقة إلى نقاط). بشكل عام، لأي عدد صحيح n ، يكون المقطع العرضي المار بالنقطة xᵢ ₌ n شكل خلية نحل معيني ذي 12 وجهًا، بينما يكون المقطع العرضي المار بالنقطة xᵢ = _n + ½ شكل خلية نحل مكعب . ومع تحرك المستوى الفائق عبر الفضاء الرباعي الأبعاد ، يتغير المقطع العرضي بين الشكلين بشكل دوري.

يستخدم المقطع العرضي ذو الخلية الأولى مستوىً فائقًا موازيًا لإحدى الخلايا الثمانية الأوجه في مصفوفة مكونة من 24 خلية. على سبيل المثال، لنفترض مستوىً فائقًا متعامدًا مع المتجه (1,1,0,0). المقطع العرضي للمجموعة {3,4,3,3} بواسطة هذا المستوى الفائق هو مصفوفة قرص عسل مكعبة مُقوَّمة . كل مكعب ثماني الأوجه في هذه المصفوفة هو مقطع عرضي أقصى لخلية مكونة من 24 خلية يقع مركزها في المستوى. في الوقت نفسه، كل ثماني الأوجه هو خلية حدودية لخلية (رباعية الأبعاد) مكونة من 24 خلية يقع مركزها خارج المستوى. بتحريك هذا المستوى الفائق حتى يقع في منتصف المسافة بين مركز خلية مكونة من 24 خلية والحدود، نحصل على مصفوفة قرص عسل مكعبة مُقتطعة جزئيًا . تقلصت المكعبات الثمانية الأوجه، ونمت الأوجه الثمانية حتى أصبحت جميعها ثمانية الأوجه مُقتطعة جزئيًا . يؤدي تحريك المستوى الفائق مرة أخرى، بحيث يتقاطع مع حدود الخلية المركزية المكونة من 24 خلية، إلى تكوين شكل قرص العسل المكعب المُقوَّم، حيث تبادلت المكعبات الثمانية الأوجه والثمانيات الأوجه مواقعها. ومع مرور المستوى الفائق عبر الفضاء الرباعي الأبعاد، يتغير المقطع العرضي بين شكلي قرص العسل هذين بشكل دوري.

إذا تم رسم كرة ثلاثية الأبعاد داخل كل خلية فائقة من هذا التبليط، فإن الترتيب الناتج هو أكثر ترتيب معروف كثافةً ^{لتعبئة الكرات المنتظمة} في أربعة أبعاد، مع عدد تلامس 24. كثافة التعبئة لهذا الترتيب هي

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}\cong 0.61685.}$

تتلامس كل كرة ثلاثية الأبعاد محصورة داخل 24 كرة أخرى عند مراكز الأوجه الثمانية لخلاياها المكونة من 24 خلية، حيث تشترك كل خلية ثمانية الأوجه مع خلية مجاورة مكونة من 24 خلية. في التبليط ذي طول ضلع وحدة واحدة، يكون قطر الكرات (المسافة بين مراكز الكرات المتلامسة) هو √2 .

خارج هذا الغلاف المحيط المكون من 24 كرة ثلاثية الأبعاد متلاصقة، يوجد غلاف آخر أقل كثافة مكون من 24 كرة ثلاثية الأبعاد لا تلامس بعضها البعض ولا الكرة الثلاثية المركزية؛ وهي محصورة داخل خلايا مكونة من 24 خلية، تشترك الخلية المركزية المكونة من 24 خلية معها في رأس واحد فقط (بدلاً من خلية ثمانية الأوجه). المسافة بين مركز إحدى هذه الكرات وأي من الكرات المجاورة لها في الغلاف أو الكرة المركزية هي 2.

بدلاً من ذلك، يمكن تطبيق نفس ترتيب تعبئة الكرات مع عدد التلامس 24 باستخدام كرات ثلاثية أصغر ذات طول ضلع يساوي قطرها، وذلك بوضعها في مراكز ورؤوس الخلايا الـ 24. (وهذا يُعادل وضعها في رؤوس خلية نحل مكونة من 16 خلية ذات طول ضلع يساوي وحدة واحدة). في هذه الحالة، تتلامس الكرة الثلاثية المركزية مع 24 كرة أخرى في مراكز الأوجه المكعبة للأشكال الرباعية الأبعاد الثلاثة المحصورة داخل الخلية الـ 24. (وهذا هو الترتيب المكعب الفريد ذو المركز الجسمي للكرات ذات طول الضلع في خلية النحل الرباعية الأبعاد).

خارج هذا الغلاف مباشرةً، المكون من ثلاث كرات متلاصقة قطر كل منها 1، يوجد غلاف آخر أقل كثافةً مكون من 24 كرة غير متلاصقة قطر كل منها 1؛ وتتمركز هذه الكرات في الخلايا المجاورة المكونة من 24 خلية، والتي تشترك مع الخلية المركزية المكونة من 24 خلية في وجه ثماني الأوجه. المسافة بين مركز إحدى هذه الكرات وأي من الكرات المجاورة لها في الغلاف أو الكرة المركزية هي √2 .

توجد خمسة أشكال مختلفة من تراكيب وايثوف لهذا التبليط كمضلع منتظم . وهي متطابقة هندسيًا مع الشكل المنتظم، ولكن يمكن تمثيل اختلافات التناظر بأوجه ملونة مكونة من 24 خلية. في جميع الحالات، تلتقي ثماني خلايا مكونة من 24 خلية عند كل رأس، ولكن أشكال الرؤوس لها مولدات تناظر مختلفة.

مجموعة كوكسيتر	رموز شلافلي		مخطط كوكسيتر	الأوجه ( 24 خلية )	شكل الرأس ( 8 خلايا )	ترتيب تناظر شكل الرأس
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$= [3,4,3,3]	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}}$	{3,4,3,3}		8:		384
	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3,4,3\end{array}}\right\}}$	r{3,3,4,3}		6: 2:		96
${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$= [4,3,3,4]	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3,4\\3,4\end{array}}\right\}}$	2r{4,3,3,4}		4,4:		64
${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$= [4,3,3 1,1 ]	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3,4\end{array}}\right\}}$	2r{4,3,3 1,1 }		2,2: 4:		32
${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$= [3 1,1,1,1 ]	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}}$	{3 1,1,1,1 }		2,2,2,2:		16

أشكال أخرى من خلايا النحل المتجانسة في مساحة 4:

• قرص عسل مقطوع من 5 خلايا
• قرص العسل ذو الخمس خلايا المقطوع بالكامل
• قرص عسل مقطوع مكون من 24 خلية
• قرص عسل مُقوّم مكون من 24 خلية
• قرص العسل ذو 24 خلية