الملكية التوزيعية

في الأمثلة التالية، يتم استخدام قانون التوزيع على مجموعة الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$يوضح الشكل ذلك. عندما يُذكر الضرب في الرياضيات الابتدائية، فإنه يُشير عادةً إلى هذا النوع من الضرب. من وجهة نظر الجبر، تُشكّل الأعداد الحقيقية حقلاً ، مما يضمن صحة قانون التوزيع.

المثال الأول (الضرب الذهني والكتابي)

أثناء إجراء العمليات الحسابية الذهنية، غالباً ما يتم استخدام خاصية التوزيع بشكل لا واعٍ: $${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$$ وبالتالي، لحساب${\displaystyle 6\cdot 16}$في ذهن المرء، يقوم أولاً بالضرب${\displaystyle 6\cdot 10}$و${\displaystyle 6\cdot 6}$ثم تُجمع النتائج الوسيطة. وتعتمد عملية الضرب الكتابية أيضاً على قانون التوزيع.

مثال ثانٍ (مع متغيرات)

$${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$$

المثال الثالث (مع مجموعتين)

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (ab)&=a\cdot (ab)+b\cdot (ab)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}}$$ هنا تم تطبيق قانون التوزيع مرتين، ولا يهم أي قوس يتم ضربه أولاً.

المثال الرابع

هنا يتم تطبيق قانون التوزيع بطريقة معاكسة مقارنة بالأمثلة السابقة. لنفترض $${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$$ بما أن العامل${\displaystyle 6a^{2}b}$إذا وُجد في جميع الحدود، فيمكن استخراجه كعامل مشترك. أي أنه بفضل قانون التوزيع، نحصل على $${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).}$$

ينطبق قانون التوزيع على ضرب المصفوفات . وبشكل أدق، $${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$$ للجميع ${\displaystyle l\times m}$-المصفوفات${\displaystyle A,B}$و${\displaystyle m\times n}$-المصفوفات${\displaystyle C,}$إلى جانب $${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$$ للجميع${\displaystyle l\times m}$-المصفوفات${\displaystyle A}$و${\displaystyle m\times n}$-المصفوفات${\displaystyle B,C.}$ لأن خاصية التبديل لا تنطبق على ضرب المصفوفات، فإن القانون الثاني لا يستنتج من القانون الأول. في هذه الحالة، هما قانونان مختلفان.

• أما ضرب الأعداد الترتيبية ، على النقيض من ذلك، فهو توزيع من اليسار فقط، وليس توزيع من اليمين.
• الضرب الاتجاهي هو توزيعي من اليسار واليمين على جمع المتجهات ، على الرغم من أنه ليس تبادليًا.
• بالنسبة للمجموعات ، يكون الاتحاد توزيعيًا على التقاطع ، ويكون التقاطع توزيعيًا على الاتحاد.
• الفصل المنطقي ("أو") هو توزيعي على العطف المنطقي ("و")، والعكس صحيح.
• بالنسبة للأعداد الحقيقية (ولأي مجموعة مرتبة ترتيبًا كليًا )، فإن عملية الحد الأقصى تكون توزيعية على عملية الحد الأدنى ، والعكس صحيح:$${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ و }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).}$$
• بالنسبة للأعداد الصحيحة ، يكون القاسم المشترك الأكبر قابلاً للتوزيع على المضاعف المشترك الأصغر ، والعكس صحيح:$${\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ و }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).}$$
• بالنسبة للأعداد الحقيقية، يتوزع الجمع على العملية القصوى، وكذلك على العملية الدنيا:$${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ و }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}$$
• في عملية ضرب ذات الحدين ، يُشار أحيانًا إلى التوزيع باسم طريقة FOIL ^{[ 2 ]} (الحدود الأولى )${\displaystyle ac,}$خارجي${\displaystyle ad,}$داخلي${\displaystyle bc,}$وأخيراً${\displaystyle bd}$) مثل:${\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.}$
• في جميع أنصاف الحلقات ، بما في ذلك الأعداد المركبة ، والأعداد الرباعية ، ومتعددات الحدود ، والمصفوفات ، يتوزع الضرب على الجمع:${\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.}$
• في جميع الجبر على حقل ما ، بما في ذلك الأوكتونيونات والجبر غير الترابطي الأخرى ، يتوزع الضرب على الجمع.

في منطق القضايا الوظيفية الصادقة القياسي، يستخدم التوزيع ^{[ 3 ] [ 4 ]} في البراهين المنطقية قاعدتين صحيحتين للاستبدال لتوسيع حالات فردية لبعض الروابط المنطقية ، ضمن صيغة معينة ، إلى تطبيقات منفصلة لتلك الروابط عبر الصيغ الفرعية للصيغة المعطاة. هاتان القاعدتان هما: $${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ و }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$$ أين "${\displaystyle \Leftrightarrow }$، مكتوبة أيضًا${\displaystyle \,\equiv ,\,}$هو رمز ميتا منطقي يمثل "يمكن استبداله في البرهان بـ" أو " مكافئ منطقياً لـ".

التوزيعية خاصية لبعض الروابط المنطقية في منطق القضايا الصادقة . توضح المكافئات المنطقية التالية أن التوزيعية خاصية لبعض الروابط. فيما يلي أمثلة على التكرارات الصادقة . $${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\\end{alignedat}}}$$

توزيع مزدوج

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}}$$

الهوية المنتشرة التي تربط المعكوسات بالعملية الثنائية في أي مجموعة ، وهي${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},}$والتي تُعتبر بديهية في السياق الأكثر عمومية لشبه المجموعة مع الانعكاس ، وقد أطلق عليها أحيانًا اسم خاصية مضادة للتوزيع (للانعكاس كعملية أحادية ). ^{[ 5 ]}

في سياق الحلقة شبه الحلقية ، التي تُزيل خاصية التبديل للمجموعة المكتوبة جمعيًا وتفترض خاصية التوزيع من جانب واحد فقط، يُمكن الحديث عن عناصر توزيعية (من الجانبين) وكذلك عن عناصر مضادة للتوزيع . تعكس هذه الأخيرة ترتيب الجمع (غير التبادلي)؛ بافتراض حلقة شبه حلقية يسارية (أي حلقة تتوزع فيها جميع العناصر عند ضربها من اليسار)، فإن العنصر المضاد للتوزيع يكون${\displaystyle a}$يعكس ترتيب الجمع عند الضرب من اليمين:${\displaystyle (x+y)a=ya+xa.}$^{[ 6 ]}

في دراسة منطق القضايا والجبر البولياني ، يستخدم مصطلح القانون المضاد للتوزيع أحيانًا للدلالة على التبادل بين الاقتران والفصل عندما يكون الاستلزام عاملاً فوقهما: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle (a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)}$$$${\displaystyle (a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).}$$

هاتان التكرارتان هما نتيجة مباشرة للازدواجية في قوانين دي مورغان .