النظام العددي

النظام العددي هو نظام كتابة للتعبير عن الأرقام بدون كلمات؛ أي أنه تدوين رياضي لتمثيل أرقام مجموعة معينة، باستخدام الأرقام (في التدوين الموضعي ) أو الرموز الأخرى (في تدوين الإشارة والقيمة ) بطريقة متسقة.

قد يمثل نفس تسلسل الرموز أرقامًا مختلفة في أنظمة عد مختلفة. على سبيل المثال، يمثل الرقم "11" الرقم أحد عشر في النظام العشري أو النظام ذي الأساس 10 (وهو النظام الأكثر شيوعًا عالميًا اليوم)، والرقم ثلاثة في النظام الثنائي أو النظام ذي الأساس 2 (المستخدم في أجهزة الكمبيوتر الحديثة)، والرقم اثنين في النظام الأحادي (المستخدم في حساب النقاط).

يُطلق على العدد الذي يُمثله الرقم اسم قيمته . إضافةً إلى ذلك، لا تستطيع جميع أنظمة الأرقام تمثيل نفس مجموعة الأرقام؛ فعلى سبيل المثال، تفتقر الأرقام الرومانية واليونانية والمصرية إلى تمثيل رسمي للرقم صفر .

من الناحية المثالية، سيقوم نظام الأرقام بما يلي:

• تمثيل مجموعة مفيدة من الأرقام (مثل جميع الأعداد الصحيحة ، أو الأعداد النسبية )
• أعطِ كل رقم ممثلاً تمثيلاً فريداً (أو على الأقل تمثيلاً قياسياً)
• تعكس البنية الجبرية والحسابية للأعداد .

على سبيل المثال، يعطي التمثيل العشري المعتاد لكل عدد طبيعي غير صفري تمثيلاً فريداً كسلسلة محدودة من الأرقام، تبدأ برقم غير صفري.

تُسمى أنظمة الأرقام أحيانًا أنظمة الأرقام ، لكن هذا الاسم غامض، حيث يمكن أن يشير إلى أنظمة أرقام مختلفة، مثل نظام الأعداد الحقيقية ، ونظام الأعداد المركبة ، وأنظمة الأعداد المركبة الفائقة المختلفة ، ونظام الأعداد p -adic ، وما إلى ذلك. ومع ذلك، فإن هذه الأنظمة ليست موضوع هذه المقالة.

تنوعت أنظمة الأرقام المبكرة بين الحضارات، فاستخدم البابليون نظامًا أساسه 60 ، وطوّر المصريون الأرقام الهيروغليفية ، واستخدم الصينيون الأرقام العصوية. أما المايا، فقد ابتكروا بشكل مستقل نظام الأرقام العشرين (الأساس 20) الذي تضمن رمزًا للصفر . ولعب علماء الرياضيات الهنود، مثل براهماغوبتا في القرن السابع الميلادي، دورًا محوريًا في تاريخ الصفر ، حيث قاموا بصياغة مفهومه وقواعده الحسابية؛ ثم قام علماء مثل الخوارزمي في العالم الإسلامي بتنقيحها لاحقًا . ومع تطور هذه الأنظمة العددية، ساهمت كفاءة الترميز الموضعي وإضافة الصفر في تشكيل التمثيل العددي الحديث، مما أثر على التجارة العالمية والعلوم والتكنولوجيا. ويُعتبر نظام الأرقام الهندي العربي أول نظام عددي موضعي مكتوب حقيقي . وقد أُسس هذا النظام في القرن السابع الميلادي في الهند، ^{[ 1 ]} ولكنه لم يكن قد وصل بعد إلى شكله الحديث لأن استخدام الرقم صفر لم يكن قد أصبح شائعًا آنذاك. بدلاً من الصفر، كانت الأرقام تُعلّم أحيانًا بنقاط للدلالة على أهميتها، أو تُستخدم مسافة كفاصل مكاني. أول استخدام معترف به على نطاق واسع للصفر كان في عام 876. ^{[ 2 ]} كانت الأرقام الأصلية مشابهة جدًا للأرقام الحديثة، حتى في الرموز المستخدمة لتمثيل الأرقام. ^{[ 1 ]} 

بحلول القرن الثالث عشر، أصبحت الأرقام العربية الغربية مقبولة في الأوساط الرياضية الأوروبية ( استخدمها فيبوناتشي في كتابه "ليبر أباتشي "). ورغم ما واجهته الأرقام الهندية العربية من مقاومة في البداية، إلا أنها حظيت بقبول أوسع في أوروبا نظرًا لكفاءتها في العمليات الحسابية، لا سيما في الأعمال المصرفية والتجارية. وساهم اختراع الطباعة في القرن الخامس عشر في توحيد استخدامها، حيث فضّلت النصوص الرياضية المطبوعة هذا النظام على الأرقام الرومانية. وبدأ استخدامها على نطاق واسع في  القرن الخامس عشر. ^{[ 3 ]} وبحلول القرن السابع عشر، أصبح هذا النظام مهيمنًا في الأعمال العلمية، مؤثرًا في التطورات الرياضية التي حققها علماء مثل إسحاق نيوتن ورينيه ديكارت. وفي القرنين التاسع عشر والعشرين، سهّل الانتشار الواسع للأرقام العربية التطورات العالمية في مجالات التمويل والهندسة والتكنولوجيا، مما شكّل الأساس للحوسبة الحديثة وتمثيل البيانات الرقمية. بحلول نهاية  القرن العشرين، كانت جميع العمليات الحسابية غير المحوسبة في العالم تقريبًا تتم باستخدام الأرقام العربية، والتي حلت محل أنظمة الأرقام الأصلية في معظم الثقافات.

أنظمة الأرقام التاريخية الأخرى التي تستخدم الأرقام

لا يُعرف على وجه الدقة عمر الأرقام الماياوية ، ولكن من المحتمل أنها أقدم من النظام الهندوسي العربي. كان النظام عشريًا (أساسه  20)، لذا فهو يتكون من عشرين رقمًا. استخدم المايا رمزًا صدفيًا لتمثيل الصفر. ^{[ 4 ]} كُتبت الأرقام عموديًا، مع وضع الآحاد في الأسفل. لم يكن لدى المايا ما يُعادل الفاصلة العشرية الحديثة ، لذا لم يكن نظامهم قادرًا على تمثيل الكسور.

يتطابق نظام الأرقام التايلاندي مع نظام الأرقام الهندي العربي باستثناء الرموز المستخدمة لتمثيل الأرقام. وقد قلّ استخدام هذه الأرقام في تايلاند عما كان عليه في السابق، لكنها لا تزال تُستخدم إلى جانب الأرقام العربية. ^{[ 5 ]}

الأرقام العشرية، وهي الأشكال الكتابية لعصي العد التي استخدمها علماء الرياضيات الصينيون واليابانيون ، هي نظام عشري موضعي يُستخدم لإجراء العمليات الحسابية العشرية. كانت العصي توضع على لوحة العد وتُحرك للأمام أو للخلف لتغيير المنزلة العشرية. يقدم كتاب "سونزي سوانجينغ" ، وهو أطروحة رياضية يعود تاريخها إلى ما بين القرنين الثالث والخامس الميلاديين، تعليمات مفصلة لهذا النظام، الذي يُعتقد أنه كان قيد الاستخدام منذ القرن الرابع قبل الميلاد على الأقل. ^{[ 6 ]} لم يُعامل الصفر في البداية كرقم، بل كموقع فارغ. ^{[ 7 ]} أدخلت مصادر لاحقة اصطلاحات للتعبير عن الصفر والأعداد السالبة. أول استخدام موثق للرمز الدائري 〇 للصفر ورد في كتاب " الأطروحة الرياضية في تسعة أقسام" عام 1247 ميلادي. ^{[ 8 ]} أصل هذا الرمز غير معروف؛ ربما يكون قد تم إنتاجه عن طريق تعديل رمز مربع. ^{[ 9 ]} لا تزال أرقام سوتشو ، وهي سلالة من أرقام القضبان، تستخدم حتى اليوم لبعض الأغراض التجارية.

أرقام القضبان (الرأسية)

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9

يُعدّ النظام العشري النظام العددي الأكثر شيوعًا . ويُنسب إلى علماء الرياضيات الهنود تطوير النسخة الصحيحة منه، وهو النظام العددي الهندي العربي . ^{[ 10 ]} طوّر أريابهاتا من كوسومابورا نظام الترقيم المكاني في  القرن الخامس الميلادي، وبعد قرن من ذلك، قدّم براهماغوبتا رمز الصفر. انتشر النظام تدريجيًا إلى المناطق المجاورة، كشبه الجزيرة العربية، نتيجةً لأنشطتها التجارية والعسكرية مع الهند. وسّع علماء الرياضيات في الشرق الأوسط النظام ليشمل القوى السالبة للعدد 10، أو الكسور، كما ورد في رسالة للعالم الرياضي السوري أبو الحسن الإقليدي في الفترة 952-953 ميلاديًا. وقدّم سند بن علي الترقيم العشري ، وهو أيضًا من كتب أقدم رسالة في الأرقام العربية. ثم انتشر النظام العددي الهندي العربي إلى أوروبا بفضل التجارة، وتُسمى الأرقام المستخدمة في أوروبا بالأرقام العربية ، نسبةً إلى العرب الذين تعلموها منهم.

أبسط نظام عددي هو النظام الأحادي ، حيث يُمثَّل كل عدد طبيعي بعدد مُناسب من الرموز. فإذا اخترنا الرمز / ، على سبيل المثال، فإن العدد سبعة يُمثَّل بـ /////// . تُعد علامات العد أحد هذه الأنظمة التي لا تزال شائعة الاستخدام. يُستخدم النظام الأحادي عادةً للأعداد الصغيرة، على الرغم من أهميته في علوم الحاسوب النظرية . أما ترميز إلياس غاما ، الشائع استخدامه في ضغط البيانات ، فيُعبِّر عن أعداد ذات أحجام عشوائية باستخدام النظام الأحادي للإشارة إلى طول العدد الثنائي.

يمكن اختصار الترميز الأحادي بإدخال رموز مختلفة لقيم جديدة معينة. غالبًا ما تكون هذه القيم قوى العدد 10؛ فعلى سبيل المثال، إذا كان الرمز / يرمز إلى واحد، و− إلى عشرة، و+ إلى 100، فيمكن تمثيل العدد 304 بشكل مختصر على النحو التالي: +++ ////، والعدد 123 على النحو التالي: + − − ///، دون استخدام الصفر. يُسمى هذا الترميز بالرمز الإشاري-القيمي . كان نظام الأرقام المصري القديم من هذا النوع، وكان نظام الأرقام الروماني تعديلًا لهذه الفكرة.

تستخدم أنظمة أخرى اختصارات خاصة لتكرار الرموز؛ فعلى سبيل المثال، باستخدام الأحرف التسعة الأولى من الأبجدية لهذه الاختصارات، حيث يرمز الحرف A إلى "تكرار واحد"، والحرف B إلى "تكرارين"، وهكذا، يمكن كتابة C+D/ للعدد 304؛ ويُطلق على عدد هذه الاختصارات أحيانًا اسم أساس النظام. يُستخدم هذا النظام عند كتابة الأرقام الصينية وغيرها من الأرقام في شرق آسيا المستندة إلى اللغة الصينية. نظام الأرقام في اللغة الإنجليزية من هذا النوع، مثل "ثلاثمائة وأربعة"، وكذلك أنظمة الأرقام في اللغات المنطوقة الأخرى، بغض النظر عن أنظمة الكتابة التي اعتمدتها. تستخدم العديد من اللغات مزيجًا من الجذور وخصائص أخرى، فعلى سبيل المثال، يُكتب العدد 79 في الفرنسية soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 )، وفي الويلزية pedwar ar bymtheg a thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) )، أو الصيغة القديمة نوعًا ما pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 - 1 ). وفي الإنجليزية، يُكتب "four score less one" (أربعة وثمانون ناقص واحد)، كما في خطاب جيتيسبيرغ الشهير، حيث يُمثل "قبل 87 عامًا" بـ "قبل أربعة وثمانين عامًا".

يُصنَّف النظام الموضعي ، المعروف أيضًا بنظام القيمة المكانية، حسب أساسه أو جذره ، وهو عدد الرموز التي تُسمى أرقامًا والتي يستخدمها النظام. في النظام ذي الأساس  10، تُستخدم عشرة أرقام مختلفة من 0  إلى 9، ويُستخدم موضع الرقم للدلالة على قوة العدد 10 التي سيُضرب بها، كما في 304 = 3 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1 أو بدقة أكبر 3 × 10² ⁺ 0 × 10¹ ⁺ 4 × 10⁰ ^. يُستخدم الصفر، غير المستخدم في الأنظمة الأخرى، في هذا النظام لتمكين "تجاوز" قوة. يُعد نظام الأرقام الهندي العربي، الذي نشأ في الهند ويُستخدم الآن في جميع أنحاء العالم،  نظامًا موضعيًا أساسه 10.

تُعد العمليات الحسابية أسهل بكثير في الأنظمة الموضعية مقارنة بالأنظمة الجمعية السابقة؛ علاوة على ذلك، تحتاج الأنظمة الجمعية إلى عدد كبير من الرموز المختلفة لقوى العدد 10 المختلفة؛ بينما يحتاج النظام الموضعي إلى عشرة رموز مختلفة إذا كان يستخدم الأساس 10. ^{[ 11 ]} 

يُستخدم النظام العشري الموضعي عالميًا في الكتابة البشرية. ^{[ 12 ]} كما يُستخدم الأساس 1000 في العديد من الأنظمة بتجميع الأرقام واعتبار سلسلة من ثلاثة أرقام عشرية رقمًا واحدًا. هذا هو معنى الترميز الشائع 1,000,234,567 المستخدم للأعداد الكبيرة جدًا. 

في الحواسيب، تعتمد أنظمة الأرقام الرئيسية على النظام الموضعي في النظام الثنائي ، أو النظام ذي الأساس  2، والذي يتكون من رقمين ثنائيين ، 0 و1. وتُستخدم عادةً أنظمة موضعية تُحصل عليها بتجميع الأرقام الثنائية في ثلاثة ( النظام الثماني ) أو أربعة ( النظام الست عشري ). أما بالنسبة للأعداد الصحيحة الكبيرة جدًا، على سبيل المثال، تستخدم مكتبة GNU للحسابات متعددة الدقة (GMP) الأساسين  2³² أو ^{2⁶⁴، حيث} تُجمع الأرقام الثنائية في 3² أو 6⁴، وهو طول كلمة الآلة .

في بعض الأنظمة البيولوجية، يُستخدم نظام الترميز الأحادي . وتُستخدم الأرقام الأحادية في الدوائر العصبية المسؤولة عن إنتاج تغريد الطيور . ^{[ 13 ]} النواة في دماغ الطيور المغردة التي تلعب دورًا في كلٍ من تعلم وإنتاج تغريد الطيور هي المركز الصوتي العالي (HVC). تنبعث إشارات التحكم للنغمات المختلفة في تغريد الطيور من نقاط مختلفة في المركز الصوتي العالي. يعمل هذا الترميز كترميز مكاني، وهو استراتيجية للدوائر البيولوجية نظرًا لبساطته ومتانته.

يمكن تقسيم الأرقام المستخدمة في كتابة الأعداد، سواءً كانت أرقامًا أو رموزًا، إلى نوعين: الأرقام الحسابية (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9) والأرقام الهندسية (1، 10، 100، 1000، 10000، ...). تستخدم أنظمة الإشارة والقيمة الأرقام الهندسية فقط، بينما تستخدم أنظمة الموضع الأرقام الحسابية فقط. لا تستخدم أنظمة الإشارة والقيمة الأرقام الحسابية لأنها تُبنى على التكرار - باستثناء النظام الأيوني - ولا تستخدم أنظمة الموضع الأرقام الهندسية لأنها تُبنى على الموضع. أما اللغة المنطوقة فتستخدم كلا النوعين من الأرقام: الحسابية والهندسية.

في بعض مجالات علوم الحاسوب، يُستخدم نظام ترقيم موضعي مُعدَّل ذو أساس k ، يُسمى الترقيم التقابلي ، حيث تُمثَّل الأرقام من 1 إلى k  (حيث k ≥ 1 )، بينما يُمثَّل الصفر بسلسلة فارغة. يُنشئ هذا تقابلًا بين مجموعة جميع هذه السلاسل الرقمية ومجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة، متجنبًا بذلك مشكلة عدم التفرّد الناتجة عن الأصفار البادئة. يُسمى الترقيم التقابلي ذو الأساس k أيضًا بالترميز k -adic، ويجب عدم الخلط بينه وبين الأعداد p -adic . الترقيم التقابلي ذو الأساس 1 هو نفسه الترقيم الأحادي. 

في نظام العد ذي الأساس الموضعي b (حيث b عدد طبيعي أكبر من 1 يُعرف بالأساس أو الجذر ) ، تُستخدم b من الرموز الأساسية (أو الأرقام) التي تُقابل أول b من الأعداد الطبيعية، بما فيها الصفر. ولتوليد بقية الأرقام، يُستخدم موضع الرمز في الشكل. للرمز في الموضع الأخير قيمته الخاصة، وكلما تحرك إلى اليسار، تُضرب قيمته في b .

على سبيل المثال، في النظام العشري (الأساس 10)، يعني الرقم 4327 ( 4 × ¹⁰³ ) + ( 3 × ¹⁰² ) + ( 2 × ¹⁰¹ ) + ( 7 × 100 ⁾ ، مع ملاحظة أن 100 = 1 ^.

بشكل عام، إذا _كان الأساس b ، يُكتب العدد في نظام العد ذي الأساس b بالصيغة aₙ ₌ bₙ ⁺ aₙ₋₁ ₌ bₙ₋₁ ⁺ aₙ₋₂ ₌ ^bₙ₋₂ + ... + a₀ = ^b₀ ، وتُكتب _{الأرقام} aₙ = aₙ₋₁ = _aₙ₋₂ = _... = a₀ ^{بترتيب تنازلي} _. الأرقام هي أعداد طبيعية _{بين 0 و b₋₁} ، شاملةً الحدين .

إذا تناول نص (مثل هذا النص) عدة قواعد حسابية، وفي حال وجود لبس،  تُضاف القاعدة (الممثلة بالأساس 10) كرمز سفلي إلى يمين العدد، كما يلي: العدد _{√الأساس} ...

باستخدام النقطة لتقسيم الأرقام إلى مجموعتين، يمكن كتابة الكسور في النظام الموضعي. على سبيل المثال، العدد  10.11 في النظام الثنائي يُمثل 1 × 2 = ¹ + 0 × 2 = ⁰ + 1 × 2 = ^-1 + 1 × 2 = -2 = ^2.75 .

بشكل عام، تكون الأرقام في النظام ذي الأساس b على الشكل التالي:

${\displaystyle (a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots )_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.}$

يمثل العددان b و ^k و b ^{− k} أوزان الأرقام المقابلة. أما الموضع k فهو لوغاريتم الوزن المقابل w ، أي${\displaystyle k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}}$أعلى مركز مستخدم قريب من رتبة حجم الرقم.

كان عدد علامات العد المطلوبة في النظام العددي الأحادي لوصف الوزن هو w . أما في النظام الموضعي، فإن عدد الأرقام المطلوبة لوصفه هو فقط${\displaystyle k+1=\log _{b}w+1}$، لـ k ≥ 0. على سبيل المثال، لوصف الوزن 1000، يلزم أربعة أرقام لأن${\displaystyle \log _{10}1000+1=3+1}$عدد الأرقام المطلوبة لوصف الموقع هو${\displaystyle \log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1}$(في المواضع 1، 10، 100، ... فقط للتبسيط في المثال العشري).

$\begin{array}{l|rrrrrrrr}{\text{الموقع}}&3&2&1&0&-1&-2&\cdots \\\hline {\text{الوزن}}&b^{3}&b^{2}&b^{1}&b^{0}&b^{-1}&b^{-2}&\cdots \\{\text{الرقم}}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&c_{1}&c_{2}&\cdots \\\hline {\text{مثال عشري للوزن}}&1000&100&10&1&0.1&0.01&\cdots \\{\text{مثال عشري للرقم}}&4&3&2&7&0&0&\cdots \end{array}}}$

يكون للعدد تمثيل منتهٍ أو دوري إذا وفقط إذا كان عددًا نسبيًا ؛ وهذا لا يعتمد على الأساس. قد يتكرر العدد المنتهي في أساس معين في أساس آخر (مثلاً 0.3 × ₁₀ = 0.0100110011001... ₂ ). يبقى العدد غير النسبي غير دوري (بعدد لا نهائي من الأرقام غير المتكررة) في جميع الأنظمة العددية الصحيحة. على سبيل المثال، في النظام ذي الأساس  2، يمكن كتابة π = 3.1415926... ₁₀ على الصورة غير الدورية 11.001001000011111... ₂ .

يُعد وضع الشرطات العلوية ( n ) أو النقاط ( ṅ ) فوق الأرقام المشتركة اصطلاحًا يُستخدم لتمثيل المتسلسلات الكسرية المتكررة. وهكذا:

14/11 = 1.272727272727... = 1.27  أو  321.3217878787878... = 321.32178 .

إذا كان b = p عددًا أوليًا ، فيمكن للمرء أن يُعرّف الأعداد ذات الأساس p التي لا يتوقف توسعها إلى اليسار أبدًا؛ وتسمى هذه الأعداد p -adic .

من الممكن أيضًا تعريف شكل مختلف من الأساس b حيث يمكن أن تكون الأرقام موجبة أو سالبة؛ وهذا ما يسمى تمثيل الأرقام الموقعة .

أما الأكثر عمومية فهو استخدام تدوين الأساس المختلط (المكتوب هنا little-endian ) مثل${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}}$ل${\displaystyle a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}}$، إلخ.

يُستخدم هذا في لغة بوني كود ، ومن جوانبها تمثيل سلسلة من الأعداد الصحيحة غير السالبة ذات الحجم العشوائي على شكل سلسلة بدون فواصل، من "أرقام" من مجموعة مكونة من 36 رقمًا: من a إلى z ومن 0 إلى 9، والتي تمثل الأرقام من 0 إلى 25 ومن 26 إلى 35 على التوالي. وهناك أيضًا ما يسمى بقيم العتبة (${\displaystyle t_{0},t_{1},\ldots }$(وهي أرقام ثابتة لكل موضع في العدد). رقم${\displaystyle a_{i}}$(في موضع معين في الرقم) أقل من قيمة العتبة المقابلة له${\displaystyle t_{i}}$يعني ذلك أنه الرقم الأكثر أهمية، وبالتالي في السلسلة هذا هو نهاية الرقم، والرمز التالي (إن وجد) هو الرقم الأقل أهمية للرقم التالي.

على سبيل المثال، إذا كانت قيمة العتبة للرقم الأول هي b (أي 1)، فإن a (أي 0) تُشير إلى نهاية العدد (لأنه يتكون من رقم واحد فقط)، لذا في الأعداد التي تتكون من أكثر من رقم، يكون نطاق الرقم الأول من b إلى 9 فقط (أي من 1 إلى 35)، وبالتالي فإن الوزن b1 _هو 35 بدلاً من 36. وبشكل أعم، إذا كانت tn هي عتبة الرقم _n ، فمن السهل إثبات أن${\displaystyle b_{n+1}=36-t_{n}}$لنفترض أن قيم العتبة للرقمين الثاني والثالث هي c (أي 2)، عندئذٍ يكون نطاق الرقم الثاني a-b (أي 0-1) مع كون الرقم الثاني هو الأكثر أهمية، بينما يكون النطاق c-9 (أي 2-35) في وجود رقم ثالث. بشكل عام، لأي قيمة n ، يكون وزن الرقم ( n  +  1) هو وزن الرقم السابق مضروبًا في (36 - عتبة الرقم n ). لذا فإن وزن الرمز الثاني هو${\displaystyle 36-t_{0}=35}$ووزن الرمز الثالث هو${\displaystyle 35(36-t_{1})=35\cdot 34=1190}$.

إذن لدينا التسلسل التالي من الأرقام التي لا يزيد عدد أرقامها عن ثلاثة أرقام:

a (0), ba (1), ca (2), ..., 9 a (35), bb (36), cb (37), ..., 9 b (70), bca (71), ..., 99 a (1260), bcb (1261), ..., 99 b (2450).

على عكس نظام الأرقام العادي القائم على n ، هناك أرقام مثل 9 b حيث يمثل كل من 9 و b الرقم 35؛ ومع ذلك فإن التمثيل فريد لأن ac و aca غير مسموح بهما - فالحرف a الأول سينهي كلًا من هذه الأرقام.

تتيح المرونة في اختيار قيم العتبة إمكانية التحسين لعدد الأرقام اعتمادًا على تكرار ظهور الأرقام ذات الأحجام المختلفة.

الحالة التي تكون فيها جميع قيم العتبة مساوية لـ 1 تتوافق مع الترقيم التقابلي ، حيث تتوافق الأصفار مع فواصل الأرقام ذات الأرقام غير الصفرية.

• جورج إفراه. التاريخ العالمي للأرقام  : من عصور ما قبل التاريخ إلى اختراع الحاسوب ، وايلي، 1999. ISBN 0-471-37568-3.
• د. كنوت . فن برمجة الحاسوب . المجلد 2، الطبعة الثالثة. أديسون-ويسلي . الصفحات  194-213، "أنظمة الأعداد الموضعية".
• AL Kroeber (ألفريد لويس كروبر) (1876-1960)، كتيب هنود كاليفورنيا، النشرة 78 لمكتب علم الأعراق الأمريكي التابع لمؤسسة سميثسونيان (1919).
• جي بي مالوري؛ دي كيو آدامز، موسوعة الثقافة الهندية الأوروبية ، دار نشر فيتزروي ديربورن، لندن وشيكاغو، 1997.
• هانز ج. نيسن؛ بيتر داميرو؛ روبرت ك. إنجلوند (1993). المحاسبة القديمة: الكتابة المبكرة وتقنيات الإدارة الاقتصادية في الشرق الأدنى القديم . مطبعة جامعة شيكاغو . ISBN 978-0-226-58659-5.
• شماندت-بيسيرات، دينيس (1996). كيف نشأت الكتابة . مطبعة جامعة تكساس . ISBN 978-0-292-77704-0.
• زاسلافسكي، كلوديا (1999). أفريقيا مهمة: العدد والنمط في الثقافات الأفريقية . دار نشر شيكاغو ريفيو. رقم ISBN 978-1-55652-350-2.

• الوسائط المتعلقة بأنظمة الأرقام على ويكيميديا ​​كومنز