تكافؤ الصفر

في الرياضيات، الصفر عدد زوجي . بعبارة أخرى، زوجيته - أي كون العدد زوجيًا أو فرديًا - زوجية. يمكن التحقق من ذلك بسهولة بناءً على تعريف "الزوجي": الصفر مضاعف صحيح للعدد 2 ، تحديدًا 0 × 2. ونتيجة لذلك، يشترك الصفر في جميع خصائص الأعداد الزوجية: على سبيل المثال، الصفر مجاور من كلا الجانبين لأعداد فردية، وأي عدد صحيح عشري له نفس زوجية رقمه الأخير - لذا، بما أن 10 عدد زوجي، فسيكون الصفر عددًا زوجيًا، وإذا كان $y$ عددًا زوجيًا فإن $y + x$ له نفس زوجية $x$ - في الواقع، $0 + x$ و $x$ لهما دائمًا نفس الزوجية.

يندرج الصفر أيضًا ضمن الأنماط التي تشكلها الأعداد الزوجية الأخرى. فقواعد التكافؤ في الحساب، مثل زوجي - زوجي = زوجي ، تشترط أن يكون الصفر عددًا زوجيًا. الصفر هو العنصر المحايد الجمعي لمجموعة الأعداد الزوجية، وهو الحالة الابتدائية التي تُعرَّف منها الأعداد الطبيعية الزوجية الأخرى بشكل تكراري . وتعتمد تطبيقات هذا التكرار، من نظرية المخططات إلى الهندسة الحاسوبية ، على كون الصفر عددًا زوجيًا. فالصفر ليس فقط قابلًا للقسمة على 2، بل هو قابل للقسمة على جميع قوى العدد 2 ، وهو أمر ذو صلة بنظام العد الثنائي المستخدم في الحواسيب. وبهذا المعنى، يُعد الصفر العدد "الأكثر زوجية" على الإطلاق. ^{[ 1 ]}

قد يُثير مفهوم زوجية الصفر بعض اللبس لدى عامة الناس. ففي تجارب زمن رد الفعل ، يُلاحظ أن معظم الناس أبطأ في تحديد الصفر كعدد زوجي مقارنةً بالأعداد 2، 4، 6، أو 8. ويعتقد بعض المعلمين - وبعض الطلاب في حصص الرياضيات - أن الصفر عدد فردي، أو زوجي وفردي في آنٍ واحد، أو لا هذا ولا ذاك. ويقترح باحثون في مجال تعليم الرياضيات أن هذه المفاهيم الخاطئة يُمكن أن تُصبح فرصًا تعليمية. فدراسة معادلات مثل 0 × 2 = 0 تُساعد في تبديد شكوك الطلاب حول اعتبار الصفر عددًا واستخدامه في العمليات الحسابية . كما تُمكن المناقشات الصفية الطلاب من تقدير المبادئ الأساسية للاستدلال الرياضي، مثل أهمية التعريفات. ويُعدّ تقييم زوجية هذا العدد الاستثنائي مثالًا مبكرًا على موضوع شائع في الرياضيات: وهو تجريد مفهوم مألوف إلى سياق غير مألوف.

لماذا الصفر موجود أصلاً؟

يمكن استخدام التعريف القياسي للعدد الزوجي لإثبات أن الصفر عدد زوجي. يُسمى العدد "زوجيًا" إذا كان من مضاعفات العدد 2. على سبيل المثال، العدد 10 زوجي لأنه يساوي 5 × 2. وبالمثل، الصفر من مضاعفات العدد 2، أي 0 × 2، لذا فالصفر عدد زوجي. ^{[ 2 ]}

من الممكن أيضًا تفسير سبب كون الصفر عددًا زوجيًا دون الرجوع إلى تعريفات رسمية. ^{[ 3 ]} توضح التفسيرات التالية فكرة أن الصفر عدد زوجي من منظور مفاهيم الأعداد الأساسية. انطلاقًا من هذا الأساس، يمكن تقديم مبرر للتعريف نفسه، ومدى انطباقه على الصفر.

شرح أساسي

على اليسار، مربعات تحتوي على 0، 2، و4 أشياء بيضاء في أزواج؛ وعلى اليمين، 1، 3، و5 أشياء، مع وجود الشيء غير المزدوج باللون الأحمر — الصندوق الذي يحتوي على 0 عنصر لا يحتوي على أي عنصر أحمر متبقٍ. ^{[ 4 ]}

عند إعطاء مجموعة من الأشياء، يُستخدم عددٌ لوصف عدد الأشياء الموجودة في المجموعة. الصفر هو عدد الأشياء في المجموعة الفارغة ؛ أو بعبارة أدق، هو عدد الأشياء في المجموعة الفارغة . يُستخدم مفهوم الزوجية لتكوين مجموعات من شيئين. إذا أمكن تقسيم الأشياء في مجموعة ما إلى مجموعات ثنائية، دون أن يتبقى أي شيء، فإن عدد الأشياء يكون زوجيًا. إذا تبقى شيء واحد، فإن عدد الأشياء يكون فرديًا. تحتوي المجموعة الفارغة على صفر من المجموعات الثنائية، ولا يتبقى أي شيء من هذه المجموعة، لذا فإن الصفر زوجي. ^{[ 5 ]}

يمكن توضيح هذه الأفكار برسم الأشياء في أزواج. يصعب تصوير مجموعات من اثنين بدون أي شيء، أو التأكيد على عدم وجود شيء متبقٍ، لذا من المفيد رسم مجموعات أخرى ومقارنتها بالصفر. على سبيل المثال، في مجموعة من خمسة أشياء، يوجد زوجان. والأهم من ذلك، يوجد شيء متبقٍ، لذا 5 عدد فردي. في مجموعة من أربعة أشياء، لا يوجد شيء متبقٍ، لذا 4 عدد زوجي. في مجموعة من شيء واحد فقط، لا توجد أزواج، ويوجد شيء متبقٍ، لذا 1 عدد فردي. في مجموعة من صفر أشياء، لا يوجد شيء متبقٍ، لذا 0 عدد زوجي. ^{[ 6 ]}

هناك تعريفٌ آخر ملموسٌ للزوجية: إذا أمكن تقسيم عناصر مجموعةٍ ما إلى مجموعتين متساويتين في العدد، فإن عدد العناصر يكون زوجيًا. هذا التعريف مكافئٌ للتعريف الأول. ومرةً أخرى، الصفر زوجيٌ لأن المجموعة الفارغة يمكن تقسيمها إلى مجموعتين، كلٌّ منهما تحتوي على صفر عنصر. ^{[ 7 ]}

يمكن أيضاً تمثيل الأعداد كنقاط على خط الأعداد . وعند التمييز بين الأعداد الزوجية والفردية، يصبح نمطها واضحاً، خاصةً إذا تم تضمين الأعداد السالبة.

الأعداد الصحيحة من -4 إلى 10؛ الأعداد الزوجية عبارة عن دوائر مفتوحة؛ الأعداد الفردية عبارة عن نقاط

تتناوب الأعداد الزوجية والفردية. بدءًا من أي عدد زوجي، يصل العد تصاعديًا أو تنازليًا بمقدار اثنين إلى الأعداد الزوجية الأخرى، ولا يوجد سبب لتجاوز الصفر. ^{[ 8 ]}

مع إدخال عملية الضرب ، أصبح بالإمكان تناول مفهوم الزوجية بطريقة أكثر دقة باستخدام التعبيرات الحسابية. كل عدد صحيح يكون إما على الصورة (2 × ▢) + 0 أو (2 × ▢) + 1؛ الأعداد الأولى زوجية والأعداد الثانية فردية. على سبيل المثال، 1 عدد فردي لأن 1 = (2 × 0) + 1، و0 عدد زوجي لأن 0 = (2 × 0) + 0. وبالتالي، فإن إنشاء جدول لهذه الحقائق يعزز الصورة الموضحة على خط الأعداد أعلاه. ^{[ 9 ]}

تعريف التكافؤ

إن التعريف الدقيق لمصطلح رياضي، مثل "زوجي" بمعنى "مضاعف صحيح للعدد اثنين"، هو في النهاية مجرد اصطلاح . على عكس "الزوجي"، تُصاغ بعض المصطلحات الرياضية عمدًا لاستبعاد الحالات التافهة أو الشاذة . تُعد الأعداد الأولية مثالًا شهيرًا على ذلك. قبل القرن العشرين، كانت تعريفات أولية الأعداد غير متسقة، وقد كتب علماء رياضيات بارزون مثل غولدباخ ، ولامبرت ، وليجندر ، وكايلي ، وكرونيكر أن 1 عدد أولي. ^{[ 10 ]} التعريف الحديث لـ"العدد الأولي" هو "عدد صحيح موجب له عاملان فقط "، لذا فإن 1 ليس عددًا أوليًا. يمكن تبرير هذا التعريف بملاحظة أنه يناسب بشكل طبيعي أكثر النظريات الرياضية المتعلقة بالأعداد الأولية. على سبيل المثال، يسهل صياغة النظرية الأساسية للحساب عندما لا يُعتبر 1 عددًا أوليًا. ^{[ 11 ]}

من الممكن إعادة تعريف مصطلح "زوجي" بطريقة لا تشمل الصفر. مع ذلك، في هذه الحالة، سيجعل التعريف الجديد صياغة النظريات المتعلقة بالأعداد الزوجية أكثر صعوبة. ويمكن ملاحظة هذا التأثير بالفعل في القواعد الجبرية التي تحكم الأعداد الزوجية والفردية . ^{[ 12 ]} وتتعلق أهم هذه القواعد بعمليات الجمع والطرح والضرب .

زوجي ± زوجي = زوجي

فردي ± فردي = زوجي

عدد زوجي × عدد صحيح = عدد زوجي

بإدخال القيم المناسبة في الجانب الأيسر من هذه القواعد، يمكن الحصول على 0 في الجانب الأيمن:

2 − 2 = 0

-3 + 3 = 0

4 × 0 = 0

وبالتالي، ستكون القواعد المذكورة أعلاه غير صحيحة إذا لم يكن الصفر عددًا زوجيًا. ^{[ 12 ]} وفي أحسن الأحوال، سيتعين تعديلها. على سبيل المثال، يؤكد أحد أدلة دراسة الاختبارات أن الأعداد الزوجية تُعرَّف بأنها مضاعفات صحيحة للعدد اثنين، لكن الصفر "ليس زوجيًا ولا فرديًا". ^{[ 13 ]} وبناءً على ذلك، تتضمن قواعد الدليل للأعداد الزوجية والفردية استثناءات:

زوجي ± زوجي = زوجي (أو صفر)

فردي ± فردي = زوجي (أو صفر)

زوجي × عدد صحيح غير صفري = زوجي ^{[ 13 ]}

إن استثناء الصفر من تعريف الزوجية يُجبرنا على استثناء قواعد الأعداد الزوجية أيضاً. ومن منظور آخر، فإن تطبيق القواعد التي تخضع لها الأعداد الزوجية الموجبة، مع اشتراط استمرار انطباقها على الأعداد الصحيحة، يُجبرنا على الالتزام بالتعريف المعتاد وزوجية الصفر. ^{[ 12 ]}

السياقات الرياضية

تستند نتائج لا حصر لها في نظرية الأعداد إلى النظرية الأساسية للحساب والخصائص الجبرية للأعداد الزوجية، لذا فإن للاختيارات المذكورة أعلاه تبعات بعيدة المدى. على سبيل المثال، حقيقة أن للأعداد الموجبة تحليلات فريدة تعني أنه يمكن تحديد ما إذا كان للعدد عدد زوجي أو فردي من العوامل الأولية المختلفة. بما أن 1 ليس عددًا أوليًا، ولا يحتوي على عوامل أولية، فهو حاصل ضرب 0 من الأعداد الأولية المختلفة؛ وبما أن 0 عدد زوجي، فإن 1 يحتوي على عدد زوجي من العوامل الأولية المختلفة. هذا يعني أن دالة موبيوس تأخذ القيمة μ(1) = 1 ، وهي قيمة ضرورية لكي تكون دالة ضربية ولكي تعمل صيغة معكوس موبيوس . ^{[ 14 ]}

ليس الأمر غريباً.

يكون العدد $n$ فرديًا إذا وُجد عدد صحيح $k$ بحيث يكون $n = 2k + 1.$ إحدى طرق إثبات أن الصفر ليس فرديًا هي البرهان بالتناقض : إذا كان $0 = 2k + 1،$ فإن $k = -1/2 ،$ وهو ليس عددًا صحيحًا. ^{[ 15 ]} بما أن الصفر ليس فرديًا، فإذا ثبت أن عددًا مجهولًا فردي، فلا يمكن أن يكون صفرًا. هذه الملاحظة التي تبدو بديهية يمكن أن تُقدّم برهانًا مناسبًا وكاشفًا يُفسّر لماذا يكون العدد الفردي غير صفري.

تنص إحدى النتائج الكلاسيكية في نظرية المخططات على أن أي مخطط ذي رتبة فردية (أي عدد فردي من الرؤوس) يحتوي دائمًا على رأس واحد على الأقل ذي درجة زوجية . (يشترط هذا النص أن يكون الصفر زوجيًا: فالمخطط الفارغ ذو رتبة زوجية، والرأس المعزول ذو درجة زوجية). ^{[ 16 ]} ولإثبات هذه النتيجة، من الأسهل إثبات نتيجة أقوى: أي مخطط ذي رتبة فردية يحتوي على عدد فردي من الرؤوس ذات الدرجة الزوجية. ويُفسَّر ظهور هذا العدد الفردي بنتيجة أعمّ تُعرف باسم " مُبرهنة المصافحة" : أي مخطط يحتوي على عدد زوجي من الرؤوس ذات الدرجة الفردية. ^{[ 17 ]} وأخيرًا، يُفسَّر العدد الزوجي من الرؤوس ذات الدرجة الفردية بشكل طبيعي من خلال صيغة مجموع الدرجات .

تُعدّ مبرهنة سبيرنر تطبيقًا أكثر تطورًا للاستراتيجية نفسها. تنصّ المبرهنة على أن نوعًا معينًا من التلوين على مثلثات مُجَسَّم بسيط له مُجَسَّم فرعي يحتوي على كل لون. وبدلًا من إنشاء هذا المُجَسَّم الفرعي مباشرةً، من الأنسب إثبات وجود عدد فردي من هذه المُجَسَّمات الفرعية من خلال الاستقراء الرياضي . ^{[ 18 ]} ثمّ يُفسّر بيان أقوى للمبرهنة سبب كون هذا العدد فرديًا: إذ يتحوّل تلقائيًا إلى ( ن + 1) + ن عند النظر إلى الاتجاهين المُحتملين للمُجَسَّم البسيط. ^{[ 19 ]}

التناوب بين الزوجي والفردي

التعريف التكراري لزوجية الأعداد الطبيعية

يكفي كون الصفر عددًا زوجيًا، بالإضافة إلى تناوب الأعداد الزوجية والفردية، لتحديد زوجية كل عدد طبيعي آخر . ويمكن صياغة هذه الفكرة في تعريف تكراري لمجموعة الأعداد الطبيعية الزوجية.

الصفر زوجي.
( ن + 1) يكون زوجيًا إذا وفقط إذا كان ن ليس زوجيًا.

يتميز هذا التعريف بميزة مفاهيمية تتمثل في اعتماده فقط على الأسس الدنيا للأعداد الطبيعية: وجود الصفر ووجود الأعداد اللاحقة له . ولذلك، فهو مفيد لأنظمة المنطق الحاسوبية مثل LF وبرنامج إثبات نظرية إيزابيل . ^{[ 20 ]} وفقًا لهذا التعريف، فإن زوجية الصفر ليست نظرية بل بديهية. في الواقع، يمكن تفسير عبارة "الصفر عدد زوجي" على أنها إحدى بديهيات بيانو ، التي تُعد الأعداد الطبيعية الزوجية نموذجًا لها. ^{[ 21 ]} يوسع بناء مماثل تعريف الزوجية ليشمل الأعداد الترتيبية المتسامية : كل عدد ترتيبي حدي هو عدد زوجي، بما في ذلك الصفر، والأعداد اللاحقة للأعداد الترتيبية الزوجية هي أعداد فردية. ^{[ 22 ]}

مضلع غير محدب يخترقه سهم، ويحمل الرقم 0 في الخارج، و1 في الداخل، و2 في الخارج، وهكذا. — اختبار النقطة في المضلع

يُطبّق اختبار النقطة داخل المضلع الكلاسيكي ، المُستمد من الهندسة الحسابية، الأفكار المذكورة أعلاه. لتحديد ما إذا كانت نقطة ما تقع داخل مضلع ، يُسقط شعاع من اللانهاية إلى تلك النقطة، ويُحسب عدد مرات عبور الشعاع لحافة المضلع. يكون عدد مرات العبور زوجيًا إذا وفقط إذا كانت النقطة خارج المضلع. تنجح هذه الخوارزمية لأنه إذا لم يعبر الشعاع المضلع أبدًا، فإن عدد مرات عبوره يساوي صفرًا، وهو عدد زوجي، وبالتالي تكون النقطة خارج المضلع. في كل مرة يعبر فيها الشعاع المضلع، يتناوب عدد مرات العبور بين الزوجي والفردي، وتتناوب النقطة عند طرفه بين الداخل والخارج. ^{[ 23 ]}

رسم بياني ذو 9 رؤوس، بألوان متناوبة، ومصنف حسب المسافة من الرأس الموجود على اليسار — إنشاء تقسيم ثنائي

في نظرية المخططات، يُعرف المخطط الثنائي بأنه مخطط تُقسّم رؤوسه إلى لونين ، بحيث يكون للرؤوس المتجاورة لونان مختلفان. إذا لم يكن للمخطط المتصل دورات فردية ، فيمكن إنشاء مخطط ثنائي باختيار رأس أساسي v وتلوين كل رأس باللون الأسود أو الأبيض، اعتمادًا على ما إذا كانت المسافة بينه وبين v زوجية أم فردية. بما أن المسافة بين v ونفسه تساوي صفرًا، والصفر عدد زوجي، فإن الرأس الأساسي يُلوّن بلون مختلف عن جيرانه، الذين يقعون على مسافة 1. ^{[ 24 ]}

الأنماط الجبرية

الأعداد الصحيحة من -4 إلى +4 مرتبة بشكل حلزوني، مع خط مستقيم يمر عبر الأعداد الزوجية. — 2 Z (أزرق) كمجموعة فرعية من Z

في الجبر المجرد ، تُشكّل الأعداد الزوجية بنى جبرية متنوعة تتطلب تضمين الصفر. ولأن العنصر المحايد الجمعي (الصفر) زوجي، بالإضافة إلى زوجية مجاميع الأعداد الزوجية ومعكوساتها الجمعية ، وتجميعية عملية الجمع، فإن الأعداد الزوجية تُشكّل زمرة . علاوة على ذلك، فإن زمرة الأعداد الزوجية تحت عملية الجمع هي زمرة جزئية من زمرة جميع الأعداد الصحيحة؛ وهذا مثال أولي على مفهوم الزمرة الجزئية. ^{[ 16 ]} والملاحظة السابقة بأن قاعدة "زوجي - زوجي = زوجي" تُجبر الصفر على أن يكون زوجيًا هي جزء من نمط عام: أي مجموعة جزئية غير فارغة من زمرة جمعية مغلقة تحت عملية الطرح يجب أن تكون زمرة جزئية، وعلى وجه الخصوص، يجب أن تحتوي على العنصر المحايد . ^{[ 25 ]}

بما أن الأعداد الزوجية تُشكّل زمرةً جزئيةً من الأعداد الصحيحة، فإنها تُقسّم الأعداد الصحيحة إلى مجموعاتٍ مُشاركة . يُمكن وصف هذه المجموعات المُشاركة بأنها فئات التكافؤ لعلاقة التكافؤ التالية : x ~ y إذا كان ( x − y ) زوجيًا. هنا، تتجلى زوجية الصفر مباشرةً كخاصية الانعكاس للعلاقة الثنائية ~. ^{[ 26 ]} لا توجد سوى مجموعتين مُشاركتين لهذه الزمرة الجزئية - الأعداد الزوجية والفردية - لذا فإن دليلها هو 2.

وبالمثل، فإن المجموعة المتناوبة هي مجموعة جزئية ذات دليل 2 في المجموعة المتناظرة على n حرفًا. عناصر المجموعة المتناوبة، والتي تُسمى التبديلات الزوجية ، هي حاصل ضرب عدد زوجي من عمليات النقل . دالة التطابق ، وهي حاصل ضرب فارغ بدون أي عمليات نقل، هي تبديل زوجي لأن الصفر عدد زوجي؛ وهي عنصر التطابق في المجموعة. ^{[ 27 ]}

تعني قاعدة "زوجي × عدد صحيح = زوجي" أن الأعداد الزوجية تُشكّل مثالًا في حلقة الأعداد الصحيحة، ويمكن وصف علاقة التكافؤ المذكورة أعلاه بأنها تكافؤ بتردد هذا المثال . وبالتحديد، الأعداد الزوجية هي تلك الأعداد الصحيحة k حيث k ≡ 0 (mod 2). تُفيد هذه الصيغة في دراسة الأصفار الصحيحة لكثيرات الحدود . ^{[ 28 ]}

رتبة 2-adic

هناك معنى ما يجعل بعض مضاعفات العدد 2 "أكثر زوجية" من غيرها. فمضاعفات العدد 4 تُسمى مضاعفات زوجية مضاعفة ، لأنها تقبل القسمة على 2 مرتين. ليس الصفر فقط قابلاً للقسمة على 4، بل يتميز الصفر بخاصية فريدة وهي قابليته للقسمة على كل قوة من قوى العدد 2 ، لذا فهو يتفوق على جميع الأعداد الأخرى في "الزوجية". ^{[ 1 ]}

إحدى نتائج هذه الحقيقة تظهر في ترتيب البتات المعكوس لأنواع البيانات الصحيحة المستخدمة في بعض خوارزميات الحاسوب، مثل تحويل فورييه السريع لكولي-توكي . يتميز هذا الترتيب بأنه كلما اتجه الرقم 1 الأول إلى اليسار في التمثيل الثنائي للعدد ، أو كلما زاد عدد مرات قابليته للقسمة على 2، كلما ظهر مبكرًا. أما انعكاس بتات الصفر فيبقى صفرًا؛ إذ يمكن قسمته على 2 أي عدد من المرات، ولا يحتوي تمثيله الثنائي على أي رقم 1، لذا فهو يظهر دائمًا أولًا. ^[²⁹^]

على الرغم من أن الصفر يقبل القسمة على 2 أكثر من أي عدد آخر، إلا أنه ليس من السهل تحديد عدد مرات القسمة بدقة. لأي عدد صحيح غير صفري n ، يمكن تعريف الرتبة الثنائية للعدد n بأنها عدد مرات قبول n للقسمة على 2. لا ينطبق هذا التعريف على الصفر؛ فمهما قُسِّم على 2، فإنه يقبل القسمة على 2 مرة أخرى. ولذلك، جرت العادة على اعتبار الرتبة الثنائية للصفر لانهائية كحالة خاصة. ^{[ 30 ]} هذا الاصطلاح ليس خاصًا بالرتبة الثنائية؛ بل هو أحد بديهيات التقييم الجمعي في الجبر المتقدم. ^{[ 31 ]}

تشكل قوى العدد اثنين - 1، 2، 4، 8، ... - متتالية بسيطة من الأعداد ذات رتبة 2 متزايدة. في الأعداد الثنائية ، تتقارب هذه المتتاليات فعليًا إلى الصفر. ^{[ 32 ]}

تعليم

رسم بياني شريطي؛ انظر الوصف في متن النص. — نسبة الاستجابات بمرور الوقت ^{[ 33 ]}

غالباً ما يتم تناول موضوع تكافؤ الصفر خلال السنتين أو الثلاث سنوات الأولى من التعليم الابتدائي ، حيث يتم تقديم مفهوم الأعداد الزوجية والفردية وتطويره. ^{[ 34 ]}

معرفة الطلاب

يُظهر الرسم البياني على اليمين ^{[ 33 ]} معتقدات الأطفال حول زوجية الصفر، مع تقدمهم من السنة الأولى (5-6 سنوات) إلى السنة السادسة (10-11 سنة) في نظام التعليم الإنجليزي . البيانات مأخوذة من لين فروبشر، الذي أجرى دراستين استقصائيتين على تلاميذ المدارس الإنجليزية. كان فروبشر مهتمًا بكيفية انتقال معرفة زوجية الأرقام الفردية إلى معرفة زوجية الأرقام المتعددة، وقد برز الصفر بشكل واضح في النتائج. ^{[ 35 ]}

في دراسة استطلاعية أولية شملت ما يقارب 400 طفل في السابعة من العمر، اختار 45% منهم " زوجي" بدلاً من "فردي" عند سؤالهم عن زوجية الصفر. ^{[ 36 ]} وفي دراسة لاحقة، طُرحت خيارات إضافية: " لا هذا ولا ذاك" ، " كلاهما "، و " لا أعرف ". في هذه الدراسة، انخفض عدد الأطفال في نفس الفئة العمرية الذين اعتبروا الصفر زوجيًا إلى 32%. ^{[ 37 ]} ترتفع نسبة النجاح في تحديد أن الصفر زوجي في البداية بشكل ملحوظ، ثم تستقر عند حوالي 50% في الصفوف من الثالث إلى السادس. ^{[ 38 ]} للمقارنة، فإن أسهل مهمة، وهي تحديد زوجية رقم واحد، تستقر عند حوالي 85% من النجاح. ^{[ 39 ]}

في المقابلات، استطلع فروبشر منطق الطلاب. قرر أحد طلاب السنة الخامسة أن الصفر عدد زوجي لأنه موجود في جدول ضرب 2. أدرك طالبان من السنة الرابعة أن الصفر يمكن تقسيمه إلى أجزاء متساوية. بينما استنتج طالب آخر من السنة الرابعة أن "1 عدد فردي، وإذا نزلت إلى الأسفل يصبح زوجيًا". ^{[ 40 ]} كشفت المقابلات أيضًا عن المفاهيم الخاطئة وراء الإجابات غير الصحيحة. كان أحد طلاب السنة الثانية "مقتنعًا تمامًا" بأن الصفر عدد فردي، استنادًا إلى أنه "أول رقم يتم عده". ^{[ 41 ]} أشار طالب من السنة الرابعة إلى الصفر بـ"لا شيء" واعتقد أنه ليس فرديًا ولا زوجيًا، لأنه "ليس رقمًا". ^{[ 42 ]} في دراسة أخرى، لاحظت آني كيث فصلًا دراسيًا مكونًا من 15 طالبًا في الصف الثاني أقنعوا بعضهم بعضًا بأن الصفر عدد زوجي بناءً على تناوب الأعداد الزوجية والفردية وإمكانية تقسيم مجموعة من الأشياء الصفرية إلى مجموعتين متساويتين. ^{[ 43 ]}

أجرت إستر ليفنسون، وبيسيا تسامير، ودينا تيروش دراسات معمقة، حيث قابلن طالبتين في الصف السادس الابتدائي في الولايات المتحدة الأمريكية، كانتا متفوقتين في مادة الرياضيات. فضّلت إحدى الطالبتين التفسيرات الاستنتاجية للمسائل الرياضية، بينما فضّلت الأخرى الأمثلة العملية. في البداية، اعتقدت كلتا الطالبتين أن الصفر ليس زوجيًا ولا فرديًا، لأسباب مختلفة. أوضحت ليفنسون وزملاؤها كيف عكس تفكير الطالبتين مفاهيمهما عن الصفر والقسمة. ^{[ 44 ]}

الادعاءات التي قدمها الطلاب ^{[ 45 ]}
" الصفر ليس زوجيًا ولا فرديًا. "
" قد يكون الصفر زوجيًا. "
" الصفر ليس عددًا فرديًا. "
" يجب أن يكون الصفر عددًا زوجيًا. "
" الصفر ليس عددًا زوجيًا. "
" الصفر سيكون دائمًا عددًا زوجيًا. "
" الصفر ليس دائمًا عددًا زوجيًا. "
" الصفر زوجي. "
" الصفر مميز. "

حللت ديبورا لوينبيرغ بول أفكار طلاب الصف الثالث الابتدائي في الولايات المتحدة حول الأعداد الزوجية والفردية والصفر، والتي كانوا قد ناقشوها للتو مع مجموعة من طلاب الصف الرابع. ناقش الطلاب زوجية الصفر، وقواعد الأعداد الزوجية، وكيفية ممارسة الرياضيات. تنوعت الآراء حول الصفر، كما هو موضح في القائمة على اليمين. ^{[ 45 ]} جادلت بول وزملاؤها بأن هذه التجربة أظهرت كيف يمكن للطلاب "ممارسة الرياضيات في المدرسة"، بدلاً من اختزالها المعتاد إلى مجرد حل آلي للتمارين. ^{[ 46 ]}

من بين المواضيع الرئيسية في الدراسات البحثية التوتر القائم بين تصورات الطلاب لمفهوم الزوجية وتعريفاتهم له. ^{[ 47 ]} عرّف طلاب الصف السادس في دراسة ليفنسون وآخرون الأعداد الزوجية بأنها مضاعفات العدد 2 أو أعداد تقبل القسمة على 2، لكنهم لم يتمكنوا في البداية من تطبيق هذا التعريف على الصفر، لعدم معرفتهم كيفية ضرب أو قسمة الصفر على 2. وفي النهاية، قادهم الباحث إلى استنتاج أن الصفر عدد زوجي؛ وقد سلك الطلاب مسارات مختلفة للوصول إلى هذا الاستنتاج، معتمدين على مزيج من التصورات والتعريفات والتفسيرات العملية والمجردة. وفي دراسة أخرى، فحص ديفيد ديكرسون وداميان بيتمان استخدام التعريفات من قبل خمسة طلاب جامعيين متقدمين في تخصص الرياضيات . ووجدوا أن الطلاب الجامعيين كانوا قادرين إلى حد كبير على تطبيق تعريف "الزوجي" على الصفر، لكنهم لم يقتنعوا بهذا المنطق، لأنه يتعارض مع تصوراتهم للمفهوم. ^[⁴⁸^]

معرفة المعلمين

أدرج باحثون في مجال تعليم الرياضيات بجامعة ميشيغان سؤال "صح أو خطأ" "الصفر عدد زوجي" في قاعدة بيانات تضم أكثر من 250 سؤالًا مصممة لقياس معرفة المعلمين بالمحتوى. ويرى الباحثون أن هذا السؤال يجسد "المعرفة العامة... التي ينبغي أن يمتلكها أي شخص بالغ مثقف"، وهو "محايد أيديولوجيًا" لأن الإجابة لا تختلف بين مناهج الرياضيات التقليدية والحديثة . وفي دراسة أجريت بين عامي 2000 و2004 على 700 معلم في المرحلة الابتدائية بالولايات المتحدة ، تنبأ الأداء العام في هذه الأسئلة بشكل كبير بتحسن درجات الطلاب في الاختبارات المعيارية بعد حضورهم دورات تدريبية مع هؤلاء المعلمين. ^[⁴⁹^] وفي دراسة أكثر تعمقًا أجريت عام 2008 ، وجد الباحثون مدرسة يعتقد فيها جميع المعلمين أن الصفر ليس عددًا فرديًا ولا زوجيًا، بمن فيهم معلم واحد كان مثاليًا في جميع المعايير الأخرى. وقد انتشر هذا المفهوم الخاطئ من قبل مدرب رياضيات في المدرسة. ^[⁵⁰^]

من غير المؤكد عدد المعلمين الذين يحملون مفاهيم خاطئة حول الصفر. لم تنشر دراسات ميشيغان بياناتٍ عن الأسئلة الفردية. ذكرت بيتي ليشتنبرغ، الأستاذة المشاركة في تعليم الرياضيات بجامعة جنوب فلوريدا ، في دراسةٍ أجرتها عام ١٩٧٢، أنه عندما طُلب من مجموعةٍ من معلمي المرحلة الابتدائية المحتملين اجتياز اختبارٍ من نوع صح أو خطأ يتضمن عبارة "الصفر عدد زوجي"، وجدوا أنه "سؤالٌ خادع"، حيث أجاب حوالي ثلثي المشاركين بـ"خطأ". ^{[ ٥١ ]}

الآثار المترتبة على التدريس

رياضيًا، يُعدّ إثبات أن الصفر عدد زوجي مسألة بسيطة تتمثل في تطبيق تعريف، لكن الأمر يحتاج إلى مزيد من التوضيح في سياق التعليم. إحدى المشكلات تتعلق بأسس البرهان؛ فتعريف "الزوجي" بأنه "مضاعف صحيح للعدد 2" ليس مناسبًا دائمًا. قد لا يكون الطالب في السنوات الأولى من التعليم الابتدائي قد تعلّم بعد معنى "العدد الصحيح" أو "المضاعف"، فضلًا عن كيفية الضرب في الصفر. ^{[ 52 ]} إضافةً إلى ذلك، قد يبدو وضع تعريف للزوجية لجميع الأعداد الصحيحة اختصارًا مفاهيميًا تعسفيًا إذا كانت الأعداد الزوجية التي دُرست حتى الآن موجبة فقط. من المفيد الإقرار بأنه مع توسيع مفهوم العدد من الأعداد الصحيحة الموجبة ليشمل الصفر والأعداد الصحيحة السالبة، تتوسع خصائص الأعداد، كالزوجية، بطريقة غير بديهية. ^{[ 53 ]}

الإدراك العددي

قد لا يكون البالغون الذين يعتقدون أن الصفر عدد زوجي على دراية بكيفية التفكير فيه على هذا النحو، لدرجة قد تؤدي إلى إبطاء استجابتهم بشكل ملحوظ في تجارب زمن رد الفعل . قاد ستانيسلاس ديهان ، رائد مجال الإدراك العددي ، سلسلة من هذه التجارب في أوائل التسعينيات. يتم عرض رقم على شاشة أمام الشخص الخاضع للتجربة ، ويسجل جهاز كمبيوتر الوقت الذي يستغرقه للضغط على أحد زرين لتحديد ما إذا كان الرقم فرديًا أم زوجيًا. أظهرت النتائج أن معالجة الصفر كانت أبطأ من معالجة الأعداد الزوجية الأخرى. ووجدت بعض التعديلات على التجربة تأخيرات تصل إلى 60 مللي ثانية ، أي ما يعادل 10% تقريبًا من متوسط زمن رد الفعل - وهو فرق ضئيل ولكنه ذو دلالة إحصائية. ^{[ 55 ]}

لم تُصمَّم تجارب ديهان خصيصًا لدراسة الصفر، بل لمقارنة النماذج المتنافسة لكيفية معالجة معلومات التكافؤ واستخلاصها. يقترح النموذج الأكثر تحديدًا، وهو فرضية الحساب الذهني، أن تكون ردود الفعل تجاه الصفر سريعة؛ فالصفر عدد صغير، ومن السهل حساب 0 × 2 = 0. (من المعروف أن المشاركين يحسبون نتيجة الضرب في الصفر ويسمونها أسرع من ضرب الأعداد غير الصفرية، على الرغم من أنهم أبطأ في التحقق من النتائج المقترحة مثل 2 × 0 = 0 ). أشارت نتائج التجارب إلى أن شيئًا مختلفًا تمامًا كان يحدث: يبدو أن معلومات التكافؤ تُستدعى من الذاكرة مع مجموعة من الخصائص ذات الصلة، مثل كون العدد أوليًا أو قوة للعدد اثنين . كل من متتالية قوى العدد اثنين ومتتالية الأعداد الزوجية الموجبة 2، 4، 6، 8، ... هما فئتان ذهنيتان متميزتان جيدًا، وعناصرهما زوجية في الغالب. لا ينتمي الصفر إلى أي من القائمتين، ومن هنا تأتي الاستجابات الأبطأ. ^{[ 56 ]}

أظهرت تجارب متكررة تأخرًا في إدراك الصفر لدى أفراد من مختلف الأعمار والخلفيات الوطنية واللغوية، عند عرض أسماء الأعداد عليهم بالأرقام ، وكتابتها، وكتابتها معكوسة. وقد توصل فريق ديهان إلى عامل تمييز واحد: الخبرة الرياضية. في إحدى تجاربهم، قُسِّم طلاب المدرسة العليا للأساتذة إلى مجموعتين: طلاب الدراسات الأدبية، وطلاب الرياضيات أو الفيزياء أو الأحياء. وقد لوحظ التباطؤ عند الصفر "بشكل أساسي في المجموعة [الأدبية]"، وفي الواقع، "قبل التجربة، لم يكن بعض المشاركين في الدراسة الأدبية متأكدين مما إذا كان الصفر فرديًا أم زوجيًا، واضطروا إلى تذكيرهم بالتعريف الرياضي". ^{[ 57 ]}

يُقوّض هذا الاعتماد الشديد على الألفة فرضية الحساب الذهني مرة أخرى. ^{[ 58 ]} كما يُشير هذا التأثير إلى عدم ملاءمة إدراج الصفر في التجارب التي تُقارن فيها الأعداد الزوجية والفردية كمجموعة. وكما ورد في إحدى الدراسات: "يبدو أن معظم الباحثين يتفقون على أن الصفر ليس عددًا زوجيًا نموذجيًا، ولا ينبغي دراسته كجزء من خط الأعداد الذهني." ^{[ 59 ]}

السياقات اليومية

تظهر بعض سياقات مفهوم زوجية الصفر في سياقات بلاغية بحتة. يتساءل اللغوي جوزيف غرايمز عن إمكانية إثارة اختلاف في الآراء بين الأزواج المتزوجين من خلال سؤالهم: "هل الصفر عدد زوجي؟". ^{[ 60 ]} وقد يستخدم من يعتقدون أن الصفر ليس زوجيًا ولا فرديًا مفهوم زوجية الصفر كدليل على أن لكل قاعدة نقيضًا ، [ ^{61 ] أو} كمثال على سؤال خادع . ^{[ 62 ]}

في حوالي عام 2000، أشارت وسائل الإعلام إلى حدثين غير مألوفين: كان تاريخ 19/11/1999 آخر تاريخ يتكون من أرقام فردية فقط لفترة طويلة، وكان تاريخ 2/02/2000 أول تاريخ يتكون من أرقام زوجية فقط منذ فترة طويلة. ^{[ 63 ]} ولأن هذه النتائج تعتمد على اعتبار الصفر عددًا زوجيًا، فقد اختلف بعض القراء مع هذه الفكرة. ^{[ 64 ]}

في الاختبارات المعيارية ، إذا كان السؤال يتعلق بسلوك الأعداد الزوجية، فقد يكون من الضروري تذكر أن الصفر عدد زوجي. ^{[ 65 ]} وتنص المنشورات الرسمية المتعلقة باختباري GMAT و GRE على أن الصفر عدد زوجي. ^{[ 66 ]}

تُعدّ زوجية الصفر ذات صلة بنظام تقنين البنزين الفردي والزوجي ، حيث يُسمح للسيارات بالقيادة أو شراء البنزين في أيام متناوبة، وفقًا لزوجية الرقم الأخير في لوحات ترخيصها . ينتهي نصف الأرقام في نطاق معين بالأرقام 0، 2، 4، 6، 8، والنصف الآخر بالأرقام 1، 3، 5، 7، 9، لذا من المنطقي إدراج الصفر مع الأرقام الزوجية الأخرى. مع ذلك، في عام 1977، أدى نظام تقنين البنزين في باريس إلى ارتباك؛ ففي يوم مخصص للأرقام الفردية فقط، لم تكن الشرطة متأكدة مما إذا كان الصفر زوجيًا، لذا تجنبت تغريم السائقين الذين تنتهي لوحات ترخيص سياراتهم بالصفر. ^[^{67 ] لتجنب} هذا الارتباك، تنص التشريعات ذات الصلة أحيانًا على أن الصفر زوجي؛ وقد سُنّت قوانين مماثلة في نيو ساوث ويلز ^{[ 68 ]} وماريلاند . ^[⁶⁹ ]

في سفن البحرية الأمريكية ، توجد المقصورات ذات الأرقام الزوجية على الجانب الأيسر ، بينما يُخصص الرقم صفر للمقصورات التي تتقاطع مع خط المنتصف. أي أن الأرقام تُقرأ 6-4-2-0-1-3-5 من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن. ^{[ 70 ]}

في لعبة الروليت ، لا يُحتسب الرقم صفر كزوجي أو فردي، مما يمنح الكازينو ميزة في هذه الرهانات. ^{[ 71 ]} وبالمثل، يمكن أن تؤثر خاصية الزوجية للصفر على العوائد في الرهانات الجانبية عندما تعتمد النتيجة على ما إذا كان رقم عشوائي ما فرديًا أم زوجيًا، ثم يتبين أنه صفر. ^{[ 72 ]}

تتأثر لعبة " الفردي والزوجي " أيضاً: إذا قام كلا اللاعبين برمي صفر من الأصابع، فإن مجموع عدد الأصابع يكون صفراً، وبالتالي يفوز اللاعب الذي يرمي العدد الزوجي. ^{[ 73 ]} يقترح أحد أدلة المعلمين لعب هذه اللعبة كوسيلة لتعريف الأطفال بمفهوم أن الصفر يقبل القسمة على 2. ^{[ 74 ]}

مراجع

1 2 أرنولد 1919 ، ص 21 "وبنفس الاختبار، يتفوق الصفر على جميع الأعداد في "الزوجية"."؛ وونغ 1997 ، ص 479 "وبالتالي، فإن العدد الصحيح b 000⋯000 = 0 هو الأكثر "زوجية".
↑ بينر 1999 ، ص 34 : اللمة B.2.2، العدد الصحيح 0 زوجي وليس فرديًا . يستخدم بينر الرمز الرياضي ∃، وهو المُكمِّم الوجودي ، لبيان البرهان: "لإثبات أن 0 زوجي، يجب أن نثبت أن ∃ k (0 = 2 k )، وهذا يتبع من المساواة 0 = 2 ⋅ 0. "
↑ يناقش Ball و Lewis و Thames (2008 ، ص 15) هذا التحدي الذي يواجه معلم المرحلة الابتدائية، الذي يريد تقديم أسباب رياضية للحقائق الرياضية، ولكن طلابه لا يستخدمون نفس التعريف، ولن يفهموه إذا تم تقديمه.
^ قارن ليشتنبرغ (1972 ، ص 535) الشكل 1
↑ ليشتنبرغ 1972 ، ص 535-536 "...الأعداد تجيب على السؤال كم عدد؟ لمجموعة الأشياء ... الصفر هو خاصية العدد للمجموعة الفارغة ... إذا تم تحديد عناصر كل مجموعة في مجموعات من اثنين ... فإن عدد تلك المجموعة هو عدد زوجي."
↑ ليشتنبرغ 1972 ، الصفحات 535-536 "يتم وضع دائرة حول مجموعات النجوم الثنائية الصفرية. لا توجد نجوم متبقية. لذلك، الصفر عدد زوجي."
↑ ديكرسون وبيتمان 2012 ، ص 191.
↑ Lichtenberg 1972 ، ص 537 ؛ قارن شكلها 3. "إذا تم تحديد الأعداد الزوجية بطريقة خاصة ... فلا يوجد سبب على الإطلاق لحذف الصفر من النمط."
↑ Lichtenberg 1972 ، ص 537-538 "على مستوى أكثر تقدماً ... الأعداد التي يتم التعبير عنها على شكل (2 × ▢) + 0 هي أعداد زوجية ... الصفر يتناسب بشكل جيد مع هذا النمط."
↑ كالدويل وشيونغ 2012 ، ص 5-6.
↑ غاورز 2002 ، ص 118: "إن استبعاد العدد 1 من تعريف العدد الأولي، والذي يبدو تعسفيًا، لا يعكس حقيقة عميقة حول الأعداد؛ بل هو مجرد اصطلاح مفيد، تم اعتماده بحيث لا توجد إلا طريقة واحدة لتحليل أي عدد معطى إلى عوامله الأولية." لمزيد من التفاصيل، انظر كالدويل وشيونغ (2012) .
1 2 3 بارتي 1978 ، ص. 21
1 2 ستيوارت 2001 ، ص. 54 هذه القواعد مذكورة، لكنها غير مقتبسة حرفيًا.
↑ ديفلين 1985 ، الصفحات 30-33
↑ بينر 1999 ، ص 34.
1 2 بيرلينغهوف، غرانت وسكرين 2001 للرؤوس المعزولة انظر الصفحة 149؛ للمجموعات انظر الصفحة 311.
^ لوفاسز، بيليكان وفيزترغومبي 2003 ، الصفحات من 127 إلى 128
↑ ستار 1997 ، الصفحات 58-62
↑ الحدود 1985 ، الصفحات 23-25
^ لورنتز 1994 ، ص 5-6 ؛ لوفاس وبفينينج 2008 ، ص. 115 ؛ نيبكو، بولسون ونزل 2002 ، ص. 127
↑ بانش 1982 ، ص 165
^ سالزمان وآخرون. 2007 ، ص. 168
↑ وايز 2002 ، الصفحات 66-67
^ أندرسون 2001 ، ص. 53 ؛ هارتسفيلد ورينجل 2003 ، ص. 28
↑ دوميت وفوت 1999 ، ص 48
↑ أندروز 1990 ، ص 100
^ تاباتشنيكوفا وسميث 2000 ، ص. 99 ؛ أندرسون وفيل 2005 ، ص 437-438
↑ باربو 2003 ، ص 98
↑ وونغ 1997 ، ص 479
↑ غوفيا 1997 ، ص 25 عن عدد أولي عام p : "المنطق هنا هو أنه يمكننا بالتأكيد قسمة 0 على p ، والناتج هو 0، والذي يمكننا قسمته على p ، والناتج هو 0، والذي يمكننا قسمته على p ..." (الحذف في الأصل)
↑ كرانز 2001 ، ص 4
^ سالزمان وآخرون. 2007 ، ص. 224
1 2 فروبيشر 1999 ، ص 41
↑ هذا هو الإطار الزمني في الولايات المتحدة وكندا وبريطانيا العظمى وأستراليا وإسرائيل؛ انظر Levenson و Tsamir و Tirosh (2007 ، ص 85) .
↑ فروبيشر 1999 ، ص 31 (مقدمة)، 40-41 (العدد صفر)، 48 (آثاره على التدريس)
↑ Frobisher 1999 ، ص 37 ، 40 ، 42 ؛ النتائج مأخوذة من المسح الذي أجري في منتصف الفصل الصيفي لعام 1992.
↑ فروبيشر 1999 ، ص 41 "إن نسبة أطفال الصف الثاني الذين يقررون أن الصفر عدد زوجي أقل بكثير مما كانت عليه في الدراسة السابقة، 32 في المائة مقابل 45 في المائة"
↑ فروبيشر 1999 ، ص 41 "لم يستمر النجاح في تحديد أن الصفر عدد زوجي في الارتفاع مع التقدم في العمر، حيث قام ما يقرب من طفل واحد من كل طفلين في كل من السنوات من 2 إلى 6 بوضع علامة صح في خانة "الأعداد الزوجية" ..."
↑ Frobisher 1999 ، ص 40-42 ، 47 ؛ هذه النتائج مأخوذة من دراسة فبراير 1999 ، والتي شملت 481 طفلاً ، من ثلاث مدارس على مستويات تحصيل متنوعة.
↑ فروبشر 1999 ، ص 41 ، منسوب إلى "جوناثان"
^ فروبيشر 1999 ، ص. 41 ، المنسوب إلى "يوسف"
↑ فروبيشير 1999 ، ص 41 ، منسوب إلى "ريتشارد"
↑ كيث 2006 ، الصفحات 35-68 : "لم يكن هناك خلاف يُذكر حول فكرة أن الصفر عدد زوجي. أقنع الطلاب القلة الذين لم يكونوا متأكدين بحجتين. الحجة الأولى هي أن الأعداد تتبع نمطًا... فردي، زوجي، فردي، زوجي، فردي، زوجي... وبما أن اثنين عدد زوجي وواحد عدد فردي، فإن العدد الذي يسبق الواحد، والذي ليس كسرًا، سيكون صفرًا. لذا، يجب أن يكون الصفر عددًا زوجيًا. أما الحجة الثانية فهي أنه إذا كان لدى شخص ما صفر من الأشياء وقام بتقسيمها إلى مجموعتين متساويتين، فسيكون هناك صفر في كل مجموعة. المجموعتان ستكونان متساويتين في الكمية، أي صفر."
^ ليفنسون، تسامير وتيروش 2007 ، ص 83-95
1 2 Ball, Lewis & Thames 2008 ، ص 27 ، الشكل 1.5 "الادعاءات الرياضية حول الصفر".
↑ Ball, Lewis & Thames 2008 ، ص 16.
↑ ليفنسون، تسامير وتيروش 2007 ؛ ديكرسون وبيتمان 2012
↑ ديكرسون وبيتمان 2012 .
↑ بول، هيل وباس 2005 ، الصفحات 14-16
↑ هيل وآخرون 2008 ، ص 446-447.
↑ ليشتنبرغ 1972 ، ص 535
↑ Ball, Lewis & Thames 2008 ، ص 15. انظر أيضًا إلى الكلمة الرئيسية لـ Ball لمزيد من المناقشة حول التعريفات المناسبة.
↑ كما خلص إليه ليفنسون، تسامير وتيروش (2007 ، ص 93) ، بالإشارة إلى فرويدنتال (1983 ، ص 460).
↑ نورك، إيفرسن وويلمز (2004 ، ص 851) : "يمكن أيضًا ملاحظة أن الصفر يختلف اختلافًا كبيرًا عن جميع الأرقام الأخرى بغض النظر عما إذا كان يتم الرد عليه باليد اليسرى أو اليمنى. (انظر الخط الذي يفصل الصفر عن الأرقام الأخرى.)"
^ انظر البيانات في جميع أنحاء Dehaene، Bossini & Giraux (1993) ، وملخص بقلم Nuerk، Iversen & Willmes (2004 ، ص. 837) .
^ ديهايني، بوسيني وجيروكس 1993 ، ص 374–376
^ ديهايني، بوسيني وجيروكس 1993 ، ص 376–377
↑ ديهان، بوسيني، وجيرو ، 1993 ، ص 376: "بشكل بديهي، لا يكون مفهوم الزوجية مألوفًا إلا للأعداد الأكبر من 2. في الواقع، قبل التجربة، لم يكن بعض المشاركين متأكدين مما إذا كان الصفر فرديًا أم زوجيًا، واضطروا إلى تذكيرهم بالتعريف الرياضي. تشير الأدلة، باختصار، إلى أنه بدلًا من حسابها بشكل فوري باستخدام معيار قابلية القسمة على 2، تُسترجع معلومات الزوجية من الذاكرة مع عدد من الخصائص الدلالية الأخرى... إذا تم الوصول إلى ذاكرة دلالية في أحكام الزوجية، فمن المتوقع وجود اختلافات بين الأفراد اعتمادًا على مدى إلمامهم بمفاهيم الأعداد."
^ نيورك، إيفرسن وويلمز 2004 ، ص 838، 860–861
↑ غرايمز 1975 ، ص 156 "...يمكن للمرء أن يطرح الأسئلة التالية على الأزواج المتزوجين الذين يعرفهم: (1) هل الصفر عدد زوجي؟ ... يختلف العديد من الأزواج في هذا الرأي..."
^ وايلدن وهامر 1987 ، ص. 104
↑ سنو 2001 ؛ مورغان 2001
↑ شتاينبرغ 1999 ؛ سيجل 1999 ؛ ستينجل 2006
↑ سونز وسونز 2002: "يترتب على ذلك أن الصفر عدد زوجي، وأن تاريخ 20/2/2000 يحل اللغز بشكل جيد. ومع ذلك، من المثير للدهشة دائمًا مدى انزعاج الناس من وصف الصفر بأنه عدد زوجي..."؛ قراء العمود 8 2006أ : "...وفقًا لعلماء الرياضيات، فإن العدد صفر، إلى جانب الأعداد السالبة والكسور، ليس زوجيًا ولا فرديًا،" يكتب إيتان..."؛ قراء العمود 8 2006ب : "أوافق على أن الصفر عدد زوجي، ولكن هل من الحكمة أن "يثبت" البروفيسور بندر ذلك بالقول إن 0 = 2 × 0؟ وفقًا لهذا المنطق (من دكتوراه في المنطق الرياضي، لا أقل)، بما أن 0 = 1 × 0، فهو أيضًا عدد فردي!" سيجادل البروفيسور في هذا، ومنطقيًا، لديه أساس سليم للقيام بذلك، لكننا ربما نكون قد أسهبنا في هذا الموضوع قليلًا..."
↑ فريق كابلان 2004 ، ص 227
↑ مجلس قبول الدراسات العليا في الإدارة 2005 ، الصفحات 108، 295-297 ؛ خدمة الاختبارات التعليمية 2009 ، الصفحة 1
↑ أرشام 2002 ؛ يُنسب الاقتباس إلى البث الإذاعي heute بتاريخ 1 أكتوبر 1977. وقد كرر كرومباكر (2007 ، ص 165) رواية أرشام.
↑ سونز وسونز 2002 "يتذكر عالم الرياضيات بجامعة ولاية بنسلفانيا، جورج أندروز، فترة تقنين الغاز في أستراليا... ثم ادعى أحدهم في برلمان نيو ساوث ويلز أن هذا يعني أن اللوحات التي تنتهي بصفر لا يمكنها الحصول على الغاز أبدًا، لأن "الصفر ليس فرديًا ولا زوجيًا. لذلك قرر برلمان نيو ساوث ويلز أنه لأغراض تقنين الغاز، يُعتبر الصفر عددًا زوجيًا!"
↑ ينص قانون ولاية ماريلاند لعام 1980 على ما يلي: "(أ) في الأيام الزوجية من التقويم، لا يجوز شراء البنزين إلا من قبل سائقي المركبات التي تحمل لوحات تسجيل شخصية لا تحتوي على أرقام، أو لوحات تسجيل ينتهي رقمها الأخير برقم زوجي. ولا يشمل ذلك لوحات مشغلي أجهزة الراديو للهواة. الصفر رقم زوجي؛ (ب) في الأيام الفردية من التقويم..." اقتباس جزئي مأخوذ من إدارة المراجع التشريعية (1974)، قوانين ولاية ماريلاند، المجلد 2 ، صفحة 3236 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 2013-06-02
^ كاتلر 2008 ، ص 237-238
↑ بريسمان 2004 ، ص 153
↑ سموك 2006 ؛ هوهمان 2007 ؛ تيرنر 1996
↑ مجموعة المخططات 1983 ، ص 213
↑ بارودي وكوزليك 1998 ، ص 1.33

فهرس

أندرسون، إيان (2001)، مدخل إلى الرياضيات المتقطعة ، لندن، المملكة المتحدة: سبرينغر، رقم ISBN 978-1-85233-236-5
أندرسون، مارلو؛ فيل، تود (2005)، مدخل إلى الجبر المجرد: الحلقات، والمجموعات، والحقول ، لندن، المملكة المتحدة: مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-1-58488-515-3
أندروز، إدنا (1990)، نظرية التمييز: اتحاد عدم التناظر والدلالة في اللغة ، دورهام: مطبعة جامعة ديوك، ISBN 978-0-8223-0959-8
أرنولد، سي إل (يناير 1919)، "الرقم صفر" ، مجلة أوهايو التعليمية الشهرية ، 68 (1): 21-22 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 أبريل 2010
أرشام، حسين (يناير 2002)، "الصفر في أربعة أبعاد: منظورات تاريخية ونفسية وثقافية ومنطقية" ، منتدى بانتانيتو ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 25 سبتمبر 2007 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2007
بول، ديبورا لوينبيرغ؛ هيل، هيذر سي؛ باس، هايمان (2005)، "معرفة الرياضيات للتدريس: من يعرف الرياضيات جيدًا بما يكفي لتدريس الصف الثالث، وكيف يمكننا اتخاذ القرار؟"، المعلم الأمريكي ، hdl : 2027.42/65072
بول، ديبورا لوينبيرغ؛ لويس، جينيفر؛ تيمز، مارك هوفر (2008)، "تطبيق الرياضيات في المدرسة" (ملف PDF) ، مجلة أبحاث تعليم الرياضيات ، M14 : 13-44 و195-200 ، تاريخ الاسترجاع : 2010-03-04
باربو ، إدوارد جوزيف (2003)، متعددو الحدود ، سبرينغر، ISBN 978-0-387-40627-5
بارودي، آرثر؛ كوسليك، رونالد (1998)، تنمية القدرات الرياضية للأطفال: منهج استقصائي للمرحلة الابتدائية والمتوسطة (من الروضة إلى الصف الثامن) ، دار لورانس إيرلبوم للنشر، رقم ISBN 978-0-8058-3105-4
بيرلينغهوف، ويليام ب.؛ غرانت، كيري إي.؛ سكرين، ديل (2001)، عينة من الرياضيات: مواضيع للعلوم الإنسانية (الطبعة الخامسة المنقحة)، روومان وليتلفيلد، ISBN 978-0-7425-0202-4
بوردر، كيم سي. (1985)، نظريات النقطة الثابتة مع تطبيقات في الاقتصاد ونظرية الألعاب ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-38808-5
بريسمان، أندرو (2004)، دليل مينسا للمقامرة في الكازينو: طرق الفوز ، ستيرلينغ، رقم ISBN 978-1-4027-1300-2
بانش، برايان هـ. (1982)، المغالطات والمفارقات الرياضية ، فان نوستراند رينهولد، ISBN 978-0-442-24905-2
كالدول، كريس ك.؛ شيونغ، يينغ (27-12-2012)، "ما هو أصغر عدد أولي؟" ، مجلة متواليات الأعداد الصحيحة ، 15 (9)، arXiv : 1209.2007 ، Bibcode : 2012arXiv1209.2007C
قراء العمود 8 (10 مارس 2006)، "العمود 8"، صحيفة سيدني مورنينغ هيرالد (الطبعة الأولى )، ص 18، Factiva SMHH000020060309e23a00049 {{citation}}: صيانة CS1: الأسماء الرقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
قراء العمود 8 (16 مارس 2006)، "العمود 8"، صحيفة سيدني مورنينغ هيرالد (الطبعة الأولى )، صفحة 20، Factiva SMHH000020060315e23g0004z {{citation}}: صيانة CS1: الأسماء الرقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
كرامباكر، باني (2007)، الأرقام المثالية: أساطير الأرقام وكيف تعلمنا العد ، ماكميلان، رقم ISBN 978-0-312-36005-4
كاتلر، توماس ج. (2008)، دليل البحار: البحرية الأمريكية ( طبعة الذكرى المئوية)، مطبعة المعهد البحري، رقم ISBN 978-1-55750-221-6
ديهان، ستانيسلاس ؛ بوسيني، سيرج؛ جيرو، باسكال (1993)، "التمثيل الذهني للتكافؤ والحجم العددي" (ملف PDF) ، مجلة علم النفس التجريبي: عام ، 122 (3): 371-396 ، doi : 10.1037/0096-3445.122.3.371 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 19 يوليو 2011 ، تم استرجاعه بتاريخ 13 سبتمبر 2007
ديفلين، كيث (أبريل 1985)، "العصر الذهبي للرياضيات"، نيو ساينتست ، 106 (1452)
مجموعة دياغرام (1983)، الموسوعة العالمية الرسمية للرياضة والألعاب ، دار بادينغتون للنشر، رقم ISBN 978-0-448-22202-8
ديكرسون، ديفيد س.؛ بيتمان، داميان ج. (يوليو 2012)، تاي-ييه تسو (محرر)، "تصنيف طلاب المرحلة الجامعية المتقدمة واستخدامهم للتعريفات الرياضية" (ملف PDF) ، وقائع المؤتمر السادس والثلاثين للمجموعة الدولية لعلم نفس تعليم الرياضيات ، 2 : 187-195
دوميت، ديفيد س.؛ فوت، ريتشارد م. (1999)، الجبر المجرد (الطبعة الثانية )، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: وايلي، ISBN 978-0-471-36857-1
خدمة الاختبارات التعليمية (2009)، الاصطلاحات الرياضية لمقياس التفكير الكمي في اختبار GRE العام المنقح (ملف PDF) ، خدمة الاختبارات التعليمية ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 سبتمبر 2011
فرويدنتال، هانز (1983)، الظواهرية التعليمية للبنى الرياضية ، دوردريخت، هولندا: ريدل
فروبشر، لين (1999)، "معرفة أطفال المدارس الابتدائية بالأعداد الفردية والزوجية"، في أنتوني أورتون (محرر)، النمط في تدريس وتعلم الرياضيات ، لندن، المملكة المتحدة: كاسيل، ص 31-48
جوفيا، فرناندو كوادروس (1997)،الأعداد p -adic: مقدمة ( الطبعة الثانية)، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-3-540-62911-5
جوورز، تيموثي (2002)، الرياضيات: مقدمة موجزة جدًا ، مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-19-285361-5
مجلس قبول الدراسات العليا في الإدارة (سبتمبر 2005)، الدليل الرسمي لمراجعة اختبار GMAT ( الطبعة الحادية عشرة)، ماكلين، فيرجينيا، الولايات المتحدة الأمريكية: مجلس قبول الدراسات العليا في الإدارة، رقم ISBN 978-0-9765709-0-5
غرايمز ، جوزيف إي. (1975)، موضوع الخطاب ، والتر دي جرويتر، ISBN 978-90-279-3164-1
هارتسفيلد، نورا ؛ رينجل، جيرهارد (2003)، لآلئ في نظرية الرسم البياني: مقدمة شاملة ، مينولا، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: كوريير دوفر، ISBN 978-0-486-43232-8
هيل، هيذر سي؛ بلانك، ميري إل؛ شارالامبوس، شارالامبوس واي؛ لويس، جينيفر إم؛ فيلبس، جيفري سي؛ سليب، لوري؛ بول، ديبورا لوينبيرغ (2008)، "المعرفة الرياضية للتدريس والجودة الرياضية للتعليم: دراسة استكشافية"، الإدراك والتعليم ، 26 (4): 430-511 ، doi : 10.1080/07370000802177235
هوهمان، جورج (25 أكتوبر 2007)، "الشركات تترك السوق يحدد اسمها الجديد"، صحيفة تشارلستون ديلي ميل ، ص. P1C، فاكتيفا CGAZ000020071027e3ap0001l
فريق كابلان (2004)، كابلان SAT 2400، طبعة 2005 ، سيمون وشوستر، ISBN 978-0-7432-6035-0
كيث، آني (2006)، "الجدل الرياضي في صف دراسي للصف الثاني: توليد وتبرير عبارات معممة حول الأعداد الفردية والزوجية"، المعلمون المنخرطون في البحث: الاستقصاء في فصول الرياضيات، الصفوف من الروضة إلى الصف الثاني ، دار النشر الدولية للنشر، رقم ISBN 978-1-59311-495-4
كرانز، ستيفن جورج (2001)، قاموس الجبر والحساب وعلم المثلثات ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-1-58488-052-3
ليفنسون، إستر؛ تسامير، بيسيا؛ تيروش، دينا (2007)، "لا زوجي ولا فردي: معضلات طلاب الصف السادس فيما يتعلق بزوجية الصفر"، مجلة السلوك الرياضي ، 26 (2): 83-95 ، doi : 10.1016/j.jmathb.2007.05.004
ليشتنبرغ، بيتي بلانكيت (نوفمبر 1972)، "الصفر عدد زوجي"، معلم الحساب ، 19 (7): 535-538 ، doi : 10.5951/AT.19.7.0535
لورنتز، ريتشارد ج. (1994)، الخوارزميات التكرارية ، كتب إنتلكت، رقم ISBN 978-1-56750-037-0
لوفاس، ويليام؛ بفينينغ، فرانك (2008-01-22)، "نظام نوع تحسين ثنائي الاتجاه لـ LF"، ملاحظات إلكترونية في علوم الحاسوب النظرية ، 196 : 113-128 ، doi : 10.1016/j.entcs.2007.09.021
الأماكن القريبة : بيليكان، جوزيف؛ Vesztergombi، Katalin L. (2003)، الرياضيات المنفصلة: الابتدائية وما بعدها ، سبرينغر، ISBN 978-0-387-95585-8
مورغان، فرانك (5 أبريل 2001)، "العملات القديمة" ، دردشة فرانك مورغان الرياضية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، مؤرشف من الأصل في 8 يناير 2009 ، تم استرجاعه في 22 أغسطس 2009
نيبكو، توبياس ؛ بولسون، لورانس سي ؛ وينزل، ماركوس (2002)، إيزابيل/هول: مساعد إثبات لمنطق الرتبة العليا ، سبرينغر، ISBN 978-3-540-43376-7
نويرك، هانز-كريستوف؛ إيفرسن، فيبكه؛ ويلمس، كلاوس (يوليو 2004)، "التعديل التدويني لتأثير SNARC وتأثير MARC (التمييز اللغوي لرموز الاستجابة)"، المجلة الفصلية لعلم النفس التجريبي أ ، 57 (5): 835-863 ، doi : 10.1080/02724980343000512 ، PMID 15204120 ، S2CID 10672272
بارتي، باربرا هول (1978)، أساسيات الرياضيات للغويات ، دوردريخت، هولندا: دي. ريدل، ISBN 978-90-277-0809-0
بينر، روبرت سي. (1999)، الرياضيات المتقطعة: تقنيات البرهان والبنى الرياضية ، ريفر إيدج: وورلد ساينتيفيك، ISBN 978-981-02-4088-2
سالزمان، هيلموت؛ غروندهوفر، ثيو؛ هال، هيرمان. لوين ، راينر (2007)، الحقول الكلاسيكية: السمات الهيكلية للأرقام الحقيقية والعقلانية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-86516-6
سيجل، روبرت (1999-11-19)، "تحليل: يُشار إلى تاريخ اليوم باختصارات باستخدام الأرقام الفردية فقط. 1-1، 1-9، 1-9-9-9. لن يتكرر هذا الأمر مرة أخرى إلا بعد أكثر من ألف عام من الآن." ، برنامج " كل شيء يؤخذ في الاعتبار" ، الإذاعة الوطنية العامة
سموك، دوغ (2006-02-06)، "الرهانات الغريبة: هاينز وارد ضد تايغر وودز"، جريدة تشارلستون غازيت ، ص. P1B، Factiva CGAZ000020060207e226000bh
سنو، توني (23 فبراير 2001)، "حمقى بوبا" ، مجلة العالم اليهودي ، تاريخ الاطلاع 22 أغسطس 2009
سونز، بيل؛ سونز، ريتش (8 مايو 2002)، "لإخفاء عمرك، أغلق فمك" ، ديزيريت نيوز ، ص. C07، مؤرشف من الأصل في 8 مايو 2015 ، تم استرجاعه في 21 يونيو 2014
ستار، روس م. (1997)، نظرية التوازن العام: مقدمة ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-56473-1
شتاينبرغ، نيل (30 نوفمبر 1999)، "عام زوجي، حقائق غريبة"، شيكاغو صن تايمز ( طبعة 5XS)، ص 50، فاكتيفا chi0000020010826dvbu0119h
ستيوارت، مارك آلان (2001)، 30 يومًا لاختبار GMAT CAT ، ستامفورد: تومسون، ISBN 978-0-7689-0635-6
ستينجل، جيم (5 أبريل 2006)، "01:02:03 04/05/06؛ يمكننا الاعتماد على بعض الأشياء في الحياة" ، صحيفة ميلووكي جورنال سنتينل (الطبعة النهائية )، ص. ب1، مؤرشف من الأصل في 27 أبريل 2006 ، تم استرجاعه في 21 يونيو 2014
تاباشنيكوفا، أولغا م.؛ سميث، جيف س. (2000)، موضوعات في نظرية الزمر ، لندن، المملكة المتحدة: سبرينغر، ISBN 978-1-85233-235-8
مشاركو منتدى الرياضيات (2000)، "سؤال حول الصفر" ، منتدى الرياضيات » مناقشات » تاريخ » Historia-Matematica ، جامعة دريكسل، مؤرشف من الأصل بتاريخ 7 يونيو 2011 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2007
تيرنر، جوليان (13 يوليو 1996)، "المراهنات الرياضية - بالنسبة لليثام، انظر إلى جنوب المحيط الهادئ"، صحيفة الغارديان ، ص 23، Factiva grdn000020011017ds7d00bzg
وايلدن، أنتوني؛ هامر، روندا (1987)، القواعد ليست لعبة: استراتيجية التواصل ، روتليدج كيغان وبول، ISBN 978-0-7100-9868-9
وايز، ستيفن (2002)، أساسيات نظم المعلومات الجغرافية ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-0-415-24651-4
وونغ، صموئيل شو مينغ (1997)، الأساليب الحسابية في الفيزياء والهندسة ، وورلد ساينتيفيك، ISBN 978-981-02-3043-2

للمزيد من القراءة

ماتوسيك، جون (28 مارس 2001)، "الصفر فردي/زوجي: هل الصفر زوجي؟" ، اسأل دكتور ماث ، منتدى الرياضيات، مؤرشف من الأصل في 29 نوفمبر 2020 ، تم استرجاعه في 6 يونيو 2013
آدامز، سيسيل (1999)، "هل الصفر فردي أم زوجي؟" ، ذا ستريت دوب ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 يوليو 2022 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 يونيو 2013

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بتكافؤ الصفر على ويكيميديا كومنز
هل الصفر عدد زوجي؟ - برنامج Numberphile ، فيديو مع جيمس غرايم، جامعة نوتنغهام

[arnold-wong-1] 1 2 أرنولد 1919 ، ص 21 "وبنفس الاختبار، يتفوق الصفر على جميع الأعداد في "الزوجية"."؛ وونغ 1997 ، ص 479 "وبالتالي، فإن العدد الصحيح b 000⋯000 = 0 هو الأكثر "زوجية".

[2] بينر 1999 ، ص 34 : اللمة B.2.2، العدد الصحيح 0 زوجي وليس فرديًا . يستخدم بينر الرمز الرياضي ∃، وهو المُكمِّم الوجودي ، لبيان البرهان: "لإثبات أن 0 زوجي، يجب أن نثبت أن ∃ k (0 = 2 k )، وهذا يتبع من المساواة 0 = 2 ⋅ 0. "

[3] يناقش Ball و Lewis و Thames (2008 ، ص 15) هذا التحدي الذي يواجه معلم المرحلة الابتدائية، الذي يريد تقديم أسباب رياضية للحقائق الرياضية، ولكن طلابه لا يستخدمون نفس التعريف، ولن يفهموه إذا تم تقديمه.

[4] قارن ليشتنبرغ (1972 ، ص 535) الشكل 1

[5] ليشتنبرغ 1972 ، ص 535-536 "...الأعداد تجيب على السؤال كم عدد؟ لمجموعة الأشياء ... الصفر هو خاصية العدد للمجموعة الفارغة ... إذا تم تحديد عناصر كل مجموعة في مجموعات من اثنين ... فإن عدد تلك المجموعة هو عدد زوجي."

[6] ليشتنبرغ 1972 ، الصفحات 535-536 "يتم وضع دائرة حول مجموعات النجوم الثنائية الصفرية. لا توجد نجوم متبقية. لذلك، الصفر عدد زوجي."

[FOOTNOTEDickersonPitman2012191-7] ديكرسون وبيتمان 2012 ، ص 191.

[8] Lichtenberg 1972 ، ص 537 ؛ قارن شكلها 3. "إذا تم تحديد الأعداد الزوجية بطريقة خاصة ... فلا يوجد سبب على الإطلاق لحذف الصفر من النمط."

[9] Lichtenberg 1972 ، ص 537-538 "على مستوى أكثر تقدماً ... الأعداد التي يتم التعبير عنها على شكل (2 × ▢) + 0 هي أعداد زوجية ... الصفر يتناسب بشكل جيد مع هذا النمط."

[FOOTNOTECaldwellXiong20125–6-10] كالدويل وشيونغ 2012 ، ص 5-6.

[11] غاورز 2002 ، ص 118: "إن استبعاد العدد 1 من تعريف العدد الأولي، والذي يبدو تعسفيًا، لا يعكس حقيقة عميقة حول الأعداد؛ بل هو مجرد اصطلاح مفيد، تم اعتماده بحيث لا توجد إلا طريقة واحدة لتحليل أي عدد معطى إلى عوامله الأولية." لمزيد من التفاصيل، انظر كالدويل وشيونغ (2012) .

[Partee-12] 1 2 3 بارتي 1978 ، ص. 21

[MarkAlanStewart-13] 1 2 ستيوارت 2001 ، ص. 54 هذه القواعد مذكورة، لكنها غير مقتبسة حرفيًا.

[14] ديفلين 1985 ، الصفحات 30-33

[FOOTNOTEPenner199934-15] بينر 1999 ، ص 34.

[Berlinghoff-16] 1 2 بيرلينغهوف، غرانت وسكرين 2001 للرؤوس المعزولة انظر الصفحة 149؛ للمجموعات انظر الصفحة 311.

[17] لوفاسز، بيليكان وفيزترغومبي 2003 ، الصفحات من 127 إلى 128

[18] ستار 1997 ، الصفحات 58-62

[19] الحدود 1985 ، الصفحات 23-25

[20] لورنتز 1994 ، ص 5-6 ؛ لوفاس وبفينينج 2008 ، ص. 115 ؛ نيبكو، بولسون ونزل 2002 ، ص. 127

[21] بانش 1982 ، ص 165

[Salzmann-22] سالزمان وآخرون. 2007 ، ص. 168

[23] وايز 2002 ، الصفحات 66-67

[24] أندرسون 2001 ، ص. 53 ؛ هارتسفيلد ورينجل 2003 ، ص. 28

[25] دوميت وفوت 1999 ، ص 48

[26] أندروز 1990 ، ص 100

[27] تاباتشنيكوفا وسميث 2000 ، ص. 99 ؛ أندرسون وفيل 2005 ، ص 437-438

[28] باربو 2003 ، ص 98

[29] وونغ 1997 ، ص 479

[30] غوفيا 1997 ، ص 25 عن عدد أولي عام p : "المنطق هنا هو أنه يمكننا بالتأكيد قسمة 0 على p ، والناتج هو 0، والذي يمكننا قسمته على p ، والناتج هو 0، والذي يمكننا قسمته على p ..." (الحذف في الأصل)

[31] كرانز 2001 ، ص 4

[32] سالزمان وآخرون. 2007 ، ص. 224

[Frobisher41-33] 1 2 فروبيشر 1999 ، ص 41

[34] هذا هو الإطار الزمني في الولايات المتحدة وكندا وبريطانيا العظمى وأستراليا وإسرائيل؛ انظر Levenson و Tsamir و Tirosh (2007 ، ص 85) .

[35] فروبيشر 1999 ، ص 31 (مقدمة)، 40-41 (العدد صفر)، 48 (آثاره على التدريس)

[36] Frobisher 1999 ، ص 37 ، 40 ، 42 ؛ النتائج مأخوذة من المسح الذي أجري في منتصف الفصل الصيفي لعام 1992.

[37] فروبيشر 1999 ، ص 41 "إن نسبة أطفال الصف الثاني الذين يقررون أن الصفر عدد زوجي أقل بكثير مما كانت عليه في الدراسة السابقة، 32 في المائة مقابل 45 في المائة"

[38] فروبيشر 1999 ، ص 41 "لم يستمر النجاح في تحديد أن الصفر عدد زوجي في الارتفاع مع التقدم في العمر، حيث قام ما يقرب من طفل واحد من كل طفلين في كل من السنوات من 2 إلى 6 بوضع علامة صح في خانة "الأعداد الزوجية" ..."

[39] Frobisher 1999 ، ص 40-42 ، 47 ؛ هذه النتائج مأخوذة من دراسة فبراير 1999 ، والتي شملت 481 طفلاً ، من ثلاث مدارس على مستويات تحصيل متنوعة.

[40] فروبشر 1999 ، ص 41 ، منسوب إلى "جوناثان"

[41] فروبيشر 1999 ، ص. 41 ، المنسوب إلى "يوسف"

[42] فروبيشير 1999 ، ص 41 ، منسوب إلى "ريتشارد"

[43] كيث 2006 ، الصفحات 35-68 : "لم يكن هناك خلاف يُذكر حول فكرة أن الصفر عدد زوجي. أقنع الطلاب القلة الذين لم يكونوا متأكدين بحجتين. الحجة الأولى هي أن الأعداد تتبع نمطًا... فردي، زوجي، فردي، زوجي، فردي، زوجي... وبما أن اثنين عدد زوجي وواحد عدد فردي، فإن العدد الذي يسبق الواحد، والذي ليس كسرًا، سيكون صفرًا. لذا، يجب أن يكون الصفر عددًا زوجيًا. أما الحجة الثانية فهي أنه إذا كان لدى شخص ما صفر من الأشياء وقام بتقسيمها إلى مجموعتين متساويتين، فسيكون هناك صفر في كل مجموعة. المجموعتان ستكونان متساويتين في الكمية، أي صفر."

[44] ليفنسون، تسامير وتيروش 2007 ، ص 83-95

[BallFig-45] 1 2 Ball, Lewis & Thames 2008 ، ص 27 ، الشكل 1.5 "الادعاءات الرياضية حول الصفر".

[FOOTNOTEBallLewisThames200816-46] Ball, Lewis & Thames 2008 ، ص 16.

[47] ليفنسون، تسامير وتيروش 2007 ؛ ديكرسون وبيتمان 2012

[FOOTNOTEDickersonPitman2012-48] ديكرسون وبيتمان 2012 .

[49] بول، هيل وباس 2005 ، الصفحات 14-16

[FOOTNOTEHillBlunkCharalambousLewis2008446–447-50] هيل وآخرون 2008 ، ص 446-447.

[51] ليشتنبرغ 1972 ، ص 535

[52] Ball, Lewis & Thames 2008 ، ص 15. انظر أيضًا إلى الكلمة الرئيسية لـ Ball لمزيد من المناقشة حول التعريفات المناسبة.

[53] كما خلص إليه ليفنسون، تسامير وتيروش (2007 ، ص 93) ، بالإشارة إلى فرويدنتال (1983 ، ص 460).

[54] نورك، إيفرسن وويلمز (2004 ، ص 851) : "يمكن أيضًا ملاحظة أن الصفر يختلف اختلافًا كبيرًا عن جميع الأرقام الأخرى بغض النظر عما إذا كان يتم الرد عليه باليد اليسرى أو اليمنى. (انظر الخط الذي يفصل الصفر عن الأرقام الأخرى.)"

[55] انظر البيانات في جميع أنحاء Dehaene، Bossini & Giraux (1993) ، وملخص بقلم Nuerk، Iversen & Willmes (2004 ، ص. 837) .

[56] ديهايني، بوسيني وجيروكس 1993 ، ص 374–376

[57] ديهايني، بوسيني وجيروكس 1993 ، ص 376–377

[58] ديهان، بوسيني، وجيرو ، 1993 ، ص 376: "بشكل بديهي، لا يكون مفهوم الزوجية مألوفًا إلا للأعداد الأكبر من 2. في الواقع، قبل التجربة، لم يكن بعض المشاركين متأكدين مما إذا كان الصفر فرديًا أم زوجيًا، واضطروا إلى تذكيرهم بالتعريف الرياضي. تشير الأدلة، باختصار، إلى أنه بدلًا من حسابها بشكل فوري باستخدام معيار قابلية القسمة على 2، تُسترجع معلومات الزوجية من الذاكرة مع عدد من الخصائص الدلالية الأخرى... إذا تم الوصول إلى ذاكرة دلالية في أحكام الزوجية، فمن المتوقع وجود اختلافات بين الأفراد اعتمادًا على مدى إلمامهم بمفاهيم الأعداد."

[59] نيورك، إيفرسن وويلمز 2004 ، ص 838، 860–861

[60] غرايمز 1975 ، ص 156 "...يمكن للمرء أن يطرح الأسئلة التالية على الأزواج المتزوجين الذين يعرفهم: (1) هل الصفر عدد زوجي؟ ... يختلف العديد من الأزواج في هذا الرأي..."

[61] وايلدن وهامر 1987 ، ص. 104

[62] سنو 2001 ؛ مورغان 2001

[63] شتاينبرغ 1999 ؛ سيجل 1999 ؛ ستينجل 2006

[64] سونز وسونز 2002: "يترتب على ذلك أن الصفر عدد زوجي، وأن تاريخ 20/2/2000 يحل اللغز بشكل جيد. ومع ذلك، من المثير للدهشة دائمًا مدى انزعاج الناس من وصف الصفر بأنه عدد زوجي..."؛ قراء العمود 8 2006أ : "...وفقًا لعلماء الرياضيات، فإن العدد صفر، إلى جانب الأعداد السالبة والكسور، ليس زوجيًا ولا فرديًا،" يكتب إيتان..."؛ قراء العمود 8 2006ب : "أوافق على أن الصفر عدد زوجي، ولكن هل من الحكمة أن "يثبت" البروفيسور بندر ذلك بالقول إن 0 = 2 × 0؟ وفقًا لهذا المنطق (من دكتوراه في المنطق الرياضي، لا أقل)، بما أن 0 = 1 × 0، فهو أيضًا عدد فردي!" سيجادل البروفيسور في هذا، ومنطقيًا، لديه أساس سليم للقيام بذلك، لكننا ربما نكون قد أسهبنا في هذا الموضوع قليلًا..."

[65] فريق كابلان 2004 ، ص 227

[66] مجلس قبول الدراسات العليا في الإدارة 2005 ، الصفحات 108، 295-297 ؛ خدمة الاختبارات التعليمية 2009 ، الصفحة 1

[67] أرشام 2002 ؛ يُنسب الاقتباس إلى البث الإذاعي heute بتاريخ 1 أكتوبر 1977. وقد كرر كرومباكر (2007 ، ص 165) رواية أرشام.

[68] سونز وسونز 2002 "يتذكر عالم الرياضيات بجامعة ولاية بنسلفانيا، جورج أندروز، فترة تقنين الغاز في أستراليا... ثم ادعى أحدهم في برلمان نيو ساوث ويلز أن هذا يعني أن اللوحات التي تنتهي بصفر لا يمكنها الحصول على الغاز أبدًا، لأن "الصفر ليس فرديًا ولا زوجيًا. لذلك قرر برلمان نيو ساوث ويلز أنه لأغراض تقنين الغاز، يُعتبر الصفر عددًا زوجيًا!"

[69] ينص قانون ولاية ماريلاند لعام 1980 على ما يلي: "(أ) في الأيام الزوجية من التقويم، لا يجوز شراء البنزين إلا من قبل سائقي المركبات التي تحمل لوحات تسجيل شخصية لا تحتوي على أرقام، أو لوحات تسجيل ينتهي رقمها الأخير برقم زوجي. ولا يشمل ذلك لوحات مشغلي أجهزة الراديو للهواة. الصفر رقم زوجي؛ (ب) في الأيام الفردية من التقويم..." اقتباس جزئي مأخوذ من إدارة المراجع التشريعية (1974)، قوانين ولاية ماريلاند، المجلد 2 ، صفحة 3236 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 2013-06-02

[70] كاتلر 2008 ، ص 237-238

[71] بريسمان 2004 ، ص 153

[72] سموك 2006 ؛ هوهمان 2007 ؛ تيرنر 1996

[73] مجموعة المخططات 1983 ، ص 213

[74] بارودي وكوزليك 1998 ، ص 1.33

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[

[

[

[ ٥١ ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

61 ] أو

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[

67 ] لتجنب

[ 68 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]