مثلث باسكال

📅 آخر تحديث: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 146 صور
الموسوعة الحرة
111121133114641151010511615201561172135352171{\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}
الصفوف الثمانية الأولى من مثلث باسكال

في الرياضيات ، مثلث باسكال هو مصفوفة مثلثية لانهائية من معاملات ذات الحدين ، والتي تلعب دورًا حاسمًا في نظرية الاحتمالات، والتوافقية ، والجبر. في معظم أنحاء العالم الغربي ، سُمّي هذا المثلث نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال ، على الرغم من أن علماء رياضيات آخرين درسوه قبل قرون منه في الهند ، [ 1 ] وبلاد فارس ، [ 2 ] والصين ، وألمانيا ، وإيطاليا . [ 3 ]

يتم ترقيم صفوف مثلث باسكال بشكل تقليدي بدءًا من الصفن=0{\displaystyle n=0}في الأعلى (الصف صفر). يتم ترقيم المدخلات في كل صف من اليسار بدءًا منك=0{\displaystyle k=0}وتكون الأرقام عادةً متداخلة بالنسبة للأرقام في الصفوف المجاورة. يمكن إنشاء المثلث بالطريقة التالية: في الصف 0 (الصف العلوي)، يوجد رقم واحد غير صفري وهو 1. يتم إنشاء كل رقم في كل صف لاحق عن طريق جمع الرقم الموجود أعلى منه وإلى يساره مع الرقم الموجود أعلى منه وإلى يمينه، مع اعتبار الأرقام الفارغة بمثابة 0. على سبيل المثال، الرقم الأولي للصف 1 (أو أي صف آخر) هو 1 (مجموع 0 و1)، بينما يتم جمع الرقمين 1 و3 في الصف 3 لإنتاج الرقم 4 في الصف 4.

صيغة

في مثلث باسكال، كل رقم هو مجموع الرقمين الموجودين فوقه مباشرة.

فين{\displaystyle n}الصف 1 من مثلث باسكال،ك{\displaystyle k}يُشار إلى المدخل رقم th بـ(نك){\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}، تُنطق " n choose k " لأنها تصف عدد التوليفات : عدد طرق الاختيارك{\displaystyle k}أشياء من بين مجموعة منن{\displaystyle n}الأشياء . يبدأ ترقيم الصفوف من 0، وبالمثل يتم ترقيم الإدخالات داخل الصف من 0. على سبيل المثال، الإدخال العلوي هو(00)=1{\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1}باستخدام هذه الرموز، يمكن كتابة بنية الفقرة السابقة على النحو التالي:

(نك)=(ن-1ك-1)+(ن-1ك){\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}لأي عدد صحيح موجبن{\displaystyle n}وأي عدد صحيح0≤ك≤ن{\displaystyle 0\leq k\leq n}[ 4 ] تُعرف هذه العلاقة التكرارية لمعاملات ذات الحدين بقاعدة باسكال . ويمكن حساب أي معامل ذي حدين على النحو التالي :(نك)=ن!ك!(ن-ك)!.{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.}

تاريخ

يظهر مثلث يانغ هوي ، كما صوره الصينيون باستخدام الأرقام العصوية ، في كتاب "مرآة اليشم للمجهولات الأربعة" ، وهو عمل رياضي من تأليف تشو شيجي ، ويعود تاريخه إلى عام 1303.
نسخة باسكال من المثلث

كان نمط الأرقام الذي يشكل مثلث باسكال معروفًا قبل عصر باسكال نفسه. [ 5 ] [ 6 ] في الهند، يصف كتاب "تشانداشاسترا" للشاعر والرياضي الهندي القديم بينغالا (القرن الثالث أو الثاني قبل الميلاد) طريقةً لترتيب نوعين من المقاطع الصوتية لتكوين أوزان شعرية بأطوال مختلفة وحسابها؛ وكما فسّرها وشرحها هالايودا، معلق بينغالا في القرن العاشر ، فإن "طريقة التوسع الهرمي" ( ميرو-براستارا ) لحساب الأوزان الشعرية تُعادل مثلث باسكال. [ 7 ]

كتب عالم الرياضيات الفارسي الكرجي (953-1029) كتابًا مفقودًا الآن، احتوى على أول وصف معروف لمثلث باسكال في الرياضيات الإسلامية. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] وقد أعاد عمر الخيام (1048-1131)، وهو عالم رياضيات فارسي آخر، ذكره لاحقًا؛ ولذلك يُشار إلى المثلث أيضًا باسم مثلث الخيام في إيران. [ 11 ] عُرفت عدة نظريات متعلقة بالمثلث، بما في ذلك نظرية ذات الحدين . استخدم الخيام طريقة لإيجاد الجذور النونية بناءً على مفكوك ذات الحدين، وبالتالي على معاملات ذات الحدين. [ 2 ]

عُرف مثلث باسكال في الصين خلال القرن الحادي عشر بفضل أعمال عالم الرياضيات الصيني جيا شيان (1010-1070). وفي القرن الثالث عشر، عرّف يانغ هوي (1238-1298) المثلث، ويُعرف في الصين باسم مثلث يانغ هوي (杨辉三角;楊輝三角). [ 12 ]

في أوروبا، ظهر مثلث باسكال لأول مرة في كتاب الحساب لجوردانوس دي نيمور (القرن الثالث عشر). [ 13 ] وقد حسب جيرسونيدس معاملات ذات الحدين خلال أوائل القرن الرابع عشر، باستخدام الصيغة الضربية لها. [ 14 ] ونشر بيتروس أبيانوس (1495-1552) المثلث كاملاً على الصفحة الأولى من كتابه عن الحسابات التجارية عام 1527. [ 15 ] ونشر مايكل ستيفل جزءًا من المثلث (من العمود الثاني إلى العمود الأوسط في كل صف) عام 1544، واصفًا إياه بأنه جدول للأعداد الشكلية . [ 14 ] في إيطاليا، يُشار إلى مثلث باسكال باسم مثلث تارتاليا ، نسبةً إلى عالم الجبر الإيطالي تارتاليا (1500-1577)، الذي نشر ستة صفوف من المثلث في عام 1556. [ 14 ] كما نشر جيرولامو كاردانو المثلث بالإضافة إلى قواعد الجمع والضرب لإنشائه في عام 1570. [ 14 ]

نُشر كتاب باسكال " Traité du triangle arithmétique " ( رسالة في المثلث الحسابي ) بعد وفاته عام 1665. [ 16 ] جمع باسكال في هذا الكتاب العديد من النتائج المعروفة آنذاك حول المثلث، واستخدمها لحل مسائل في نظرية الاحتمالات . سُمّي المثلث لاحقًا باسم باسكال من قِبل بيير ريمون دي مونتمور (1708) الذي أطلق عليه اسم " table de M. Pascal pour les combinaisons " (بالفرنسية: جدول السيد باسكال للتوافيق)، وأبراهام دي مويفر (1730) الذي أطلق عليه اسم "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM " (باللاتينية: مثلث باسكال الحسابي)، والذي أصبح أساس الاسم الغربي الحديث. [ 17 ]

مفكوكات ذات الحدين

تمثيل مرئي لتوسيع ذات الحدين حتى القوة الرابعة

يحدد مثلث باسكال المعاملات التي تظهر في مفكوك ذات الحدين . على سبيل المثال، في المفكوك (x+y)2=x2+2xy+y2=1x2y0+2x1y1+1x0y2،{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},} المعاملات هي المدخلات الموجودة في الصف الثاني من مثلث باسكال:(20)=1{\displaystyle {\tbinom {2}{0}}=1}،(21)=2{\displaystyle {\tbinom {2}{1}}=2}،(22)=1{\displaystyle {\tbinom {2}{2}}=1}.

بشكل عام، تنص نظرية ذات الحدين على أنه عندما تكون ذات حدين مثلx+y{\displaystyle x+y}يتم رفعه إلى قوة عدد صحيح موجبن{\displaystyle n}يتوسع التعبير مع (x+y)ن=∑ك=0نأكxن-كyك=أ0xن+أ1xن-1y+أ2xن-2y2+...+أن-1xyن-1+أنyن،{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{nk}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_ {n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n},} حيث المعاملاتأك{\displaystyle a_{k}}هي بالضبط الأرقام الموجودة في الصفن{\displaystyle n}من مثلث باسكال: أك=(نك).{\displaystyle a_{k}={n \choose k}.}

يمثل القطر الأيسر بأكمله لمثلث باسكال معاملxن{\displaystyle x^{n}}في هذه المتسلسلات ذات الحدين، بينما يتوافق القطر الأيسر التالي مع معاملxن-1y{\displaystyle x^{n-1}y}وهكذا دواليك.

لفهم كيفية ارتباط نظرية ذات الحدين بالإنشاء البسيط لمثلث باسكال، انظر إلى مسألة حساب معاملات مفكوك(x+y)ن+1{\displaystyle (x+y)^{n+1}}بدلالة المعاملات المقابلة لـ(x+1)ن{\displaystyle (x+1)^{n}}، حيث نحددy=1{\displaystyle y=1}لتبسيط الأمور. لنفترض إذن أن (x+1)ن=∑ك=0نأكxك.{\displaystyle (x+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.} الآن (x+1)ن+1=(x+1)(x+1)ن=x(x+1)ن+(x+1)ن=∑أنا=0نأأناxأنا+1+∑ك=0نأكxك.{\displaystyle (x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^{n}=x(x+1)^{n}+(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.}

(00)(10)(11)(20)(21)(22)(30)(31)(32)(33)(40)(41)(42)(43)(44)(50)(51)(52)(53)(54)(55){\displaystyle {\begin{array}{c}{\dbinom {0}{0}}\\{\dbinom {1}{0}}\quad {\dbinom {1}{1}}\\{\dbinom {2}{0}}\quad {\dbinom {2}{1}}\quad {\dbinom {2}{2}}\\{\dbinom {3}{0}}\quad {\dbinom {3}{1}}\quad {\dbinom {3}{2}}\quad {\dbinom {3}{3}}\\{\dbinom {4}{0}}\quad {\dbinom {4}{1}}\quad {\dbinom {4}{2}}\quad {\dbinom {4}{3}}\quad {\dbinom {4}{4}}\\{\dbinom {5}{0}}\quad {\dbinom {5}{1}}\quad {\dbinom {5}{2}}\quad {\dbinom {5}{3}}\quad {\dbinom {5}{4}}\quad {\dbinom {5}{5}}\end{array}}}
الصفوف الستة الأولى من مثلث باسكال كمعاملات ذات حدين

يمكن إعادة فهرسة المجموعين باستخدامك=أنا+1{\displaystyle k=i+1}وتجمعت لتنتج ∑أنا=0نأأناxأنا+1+∑ك=0نأكxك=∑ك=1ن+1أك-1xك+∑ك=0نأكxك=∑ك=1نأك-1xك+أنxن+1+أ0x0+∑ك=1نأكxك=أ0x0+∑ك=1ن(أك-1+أك)xك+أنxن+1=x0+∑ك=1ن(أك-1+أك)xك+xن+1.\displaystyle \begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}&=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}x^{k}+a_{n}x^{n+1}+a_{0}x^{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=a_{0}x^{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+a_{n}x^{n+1}\\[4pt]&=x^{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+x^{n+1}.\end{aligned}}}

وبالتالي، تبقى معاملات اليسار واليمين القصوى مساوية لـ 1، وذلك لأي قيمة معينة0<ك<ن+1{\displaystyle 0<k<n+1}، معاملxك{\displaystyle x^{k}}الحد في كثير الحدود(x+1)ن+1{\displaystyle (x+1)^{n+1}}يساويأك-1+أك{\displaystyle a_{k-1}+a_{k}}، مجموعxك-1{\displaystyle x^{k-1}}وxك{\displaystyle x^{k}}المعاملات في القوة السابقة(x+1)ن{\displaystyle (x+1)^{n}}هذه هي بالفعل قاعدة الجمع التنازلي لإنشاء مثلث باسكال.

ليس من الصعب تحويل هذه الحجة إلى برهان ( بالاستقراء الرياضي ) لنظرية ذات الحدين.

منذ(أ+ب)ن=بن(أب+1)ن{\displaystyle (a+b)^{n}=b^{n}({\tfrac {a}{b}}+1)^{n}}، تكون المعاملات متطابقة في توسيع الحالة العامة.

تُستنتج نتيجة مثيرة للاهتمام لنظرية ذات الحدين عن طريق تحديد كلا المتغيرينx=y=1{\displaystyle x=y=1}، لهذا السبب ∑ك=0ن(نك)=(ن0)+(ن1)+⋯+(نن-1)+(نن)=(1+1)ن=2ن.{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=(1+1)^{n}=2^{n}.}

بمعنى آخر، مجموع القيم فين{\displaystyle n}الصف 1 من مثلث باسكال هون{\displaystyle n}القوة الثانية للعدد  2. وهذا يكافئ القول بأن عدد المجموعات الجزئية منن{\displaystyle n}مجموعة العناصر هي2ن{\displaystyle 2^{n}}كما يتضح من خلال ملاحظة أن كل واحد منن{\displaystyle n}يمكن تضمين العناصر أو استبعادها بشكل مستقل من مجموعة فرعية معينة.

التوليفات

ثمة تطبيق مفيد آخر لمثلث باسكال وهو حساب التوافيق . عدد التوافيق لـن{\displaystyle n}الإجراءات المتخذةك{\displaystyle k}في وقت واحد، أي عدد المجموعات الفرعية منك{\displaystyle k}عناصر من بينن{\displaystyle n}يمكن إيجاد العناصر من خلال المعادلة

(نك)=ن!ك!(ن-ك)!{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}}.

(رموز شائعة أخرى لـ ⁠(نك){\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}يتضمن​​ج(ن،ك){\displaystyle C(n,k)}،​​جكن{\displaystyle C_{k}^{n}}و​​نجك{\displaystyle {}_{n}C_{k}}. ) هذا يساوي المدخلك{\displaystyle k}في الصفن{\displaystyle n}في مثلث باسكال. بدلاً من إجراء عملية الضرب، يمكن ببساطة البحث عن العنصر المناسب في المثلث (المُنشأ عن طريق الجمع). على سبيل المثال، لنفترض أننا بحاجة إلى توظيف 3 عمال من بين 7 مرشحين؛ عندئذٍ يكون عدد خيارات التوظيف الممكنة هو 7 اختيار 3، وهو العنصر 3 في الصف 7 من الجدول أعلاه (مع الأخذ في الاعتبار أن الصف الأول هو الصف 0)، وهو(73)=35{\displaystyle {\tbinom {7}{3}}=35}[ 18 ]​

العلاقة بالتوزيع ذي الحدين والالتفافات

عند القسمة على2ن{\displaystyle 2^{n}}، الن{\displaystyle n}يصبح الصف رقم 1 من مثلث باسكال توزيعًا ذا حدين في الحالة المتناظرة حيثص=12{\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}وبحسب نظرية النهاية المركزية ، فإن هذا التوزيع يقترب من التوزيع الطبيعي عندمان{\displaystyle n}تزداد. ويمكن ملاحظة ذلك أيضاً من خلال تطبيق صيغة ستيرلينغ على المضروبات الداخلة في صيغة التوافيق.

يرتبط هذا بعملية الالتفاف المنفصل بطريقتين. أولاً، يتوافق ضرب كثيرات الحدود تمامًا مع الالتفاف المنفصل، بحيث يؤدي تكرار عملية الالتفاف إلى{...،0،0،1،1،0،0،...}{\displaystyle \{\ldots ,0,0,1,1,0,0,\ldots \}}إن امتلاكها لنفسها يتوافق مع أخذ قوىx+1{\displaystyle x+1}وبالتالي، لتوليد صفوف المثلث. ثانيًا، يُقابل تكرار عملية الالتفاف لدالة التوزيع لمتغير عشوائي مع نفسه حساب دالة التوزيع لمجموع n نسخة مستقلة من ذلك المتغير؛ وهذا هو تحديدًا ما ينطبق عليه قانون النهاية المركزية، وبالتالي ينتج عنه التوزيع الطبيعي في النهاية. (تُسمى عملية تكرار عملية الالتفاف لشيء ما مع نفسه قوة الالتفاف ).

الأنماط والخصائص

يحتوي مثلث باسكال على العديد من الخصائص ويتضمن العديد من أنماط الأرقام.

يمثل كل إطار صفًا في مثلث باسكال. كل عمود من البكسلات هو رقم ثنائي، حيث تكون البتة الأقل أهمية في الأسفل. تمثل البكسلات الفاتحة الرقم 1، والبكسلات الداكنة الرقم 0.
تشكل أعداد تركيبات n + 1 إلى k + 1 تقسيمات مرتبة مثلث باسكال.

صفوف

  • مجموع عناصر صف واحد يساوي ضعف مجموع عناصر الصف الذي يسبقه. على سبيل المثال، الصف  0 (الصف العلوي) قيمته 1، والصف  1 قيمته 2، والصف  2 قيمته 4، وهكذا. وذلك لأن كل عنصر في صف ينتج عنصرين في الصف التالي: عنصر على اليسار وعنصر على اليمين. مجموع عناصر الصف ن{\displaystyle n}يساوي2ن{\displaystyle 2^{n}}.
  • بأخذ حاصل ضرب العناصر في كل صف، ترتبط متتالية النواتج (المتتالية A001142 في OEIS ) بأساس اللوغاريتم الطبيعي ، e . [ 19 ] [ 20 ] وبالتحديد، عرّف المتتاليةsن{\displaystyle s_{n}} للجميع ن≥0{\displaystyle n\geq 0}على النحو التالي:sن=∏ك=0ن(نك)=∏ك=0نن!ك!(ن-ك)!{\displaystyle s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(nk)!}}}
    ثم، تكون نسبة حاصل ضرب الصفوف المتتالية هيsن+1sن=(ن+1)!ن+2∏ك=0ن+11ك!2ن!ن+1∏ك=0ن1ك!2=(ن+1)نن!{\displaystyle {\frac {s_{n+1}}{s_{n}}}={\frac {\displaystyle (n+1)!^{n+2}\prod _{k=0}^{n+1}{\frac {1}{k!^{2}}}}{\displaystyle n!^{n+1}\prod _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!^{2}}}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}}ونسبة هذه النسب هيsن+1⋅sن-1sن2=(ن+1ن)ن، ن≥1.{\displaystyle {\frac {s_{n+1}\cdot s_{n-1}}{s_{n}^{2}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n},~n\geq 1.}يأخذ الطرف الأيمن من المعادلة أعلاه شكل تعريف النهاية لـهـ{\displaystyle e}هـ=ليمن→∞(1+1ن)ن.{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}
  • π{\displaystyle \pi }يمكن إيجادها في مثلث باسكال باستخدام متسلسلة نيلاكانثا اللانهائية . [ 21 ]π=3+∑ن=1∞(-1)ن+1(2ن+11)(2ن+12)(2ن+22){\displaystyle \pi =3+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2n+1 \choose 1}{{2n+1 \choose 2}{2n+2 \choose 2}}}}
  • بعض الأرقام في مثلث باسكال ترتبط بأرقام في مثلث لوزانيتش .
  • مجموع مربعات عناصر الصف n يساوي العنصر الأوسط في الصف 2n . على سبيل المثال، 1² + 4² + 6² + 4² + 1² = 70. بشكل عام،  ∑ك=0ن(نك)2=(2نن).{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.}
  • في أي صف زوجين=2م{\displaystyle n=2m}، الحد الأوسط مطروحًا منه الحد الذي يقع على بعد خانتين إلى اليسار يساوي عددًا كاتالانيًا ، تحديدًاجم-1=(2مم)-(2مم-2){\displaystyle C_{m-1}={\tbinom {2m}{m}}-{\tbinom {2m}{m-2}}}على سبيل المثال، في الصف  الرابع، وهو 1، 4، 6، 4، 1، نحصل على الرقم الكاتالوني الثالثج3=6-1=5{\displaystyle C_{3}=6-1=5}.
  • في صف p ، حيث p عدد أولي ، تكون جميع الحدود في ذلك الصف قابلة للقسمة على p باستثناء الحدود التي تساوي 1. ويمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام الصيغة الضربية. (صك)=ص!ك!(ص-ك)!{\displaystyle {\tbinom {p}{k}}={\tfrac {p!}{k!(p-k)!}}}بما أن المقامك!(ص-ك)!{\displaystyle k!(p-k)!}لا يمكن أن يكون للعدد p عوامل أولية تساوي p ، لذلك يبقى p في البسط بعد القسمة الصحيحة، مما يجعل المدخل بأكمله من مضاعفات p .
  • التكافؤ : لحساب عدد الحدود الفردية في الصف n ، حوّل n إلى النظام الثنائي . ليكن x عدد الآحاد في التمثيل الثنائي. عندئذٍ، سيكون عدد الحدود الفردية 2x . هذه الأعداد هي قيم متتالية غولد . [ 22 ] 
  • كل عنصر في الصف 2n −  1  ، حيث n  ≥  0، هو عدد فردي. [ 23 ]
  • القطبية : عندما يتم جمع وطرح عناصر صف من مثلث باسكال بالتناوب، تكون النتيجة 0. على سبيل المثال، الصف 6 هو 1،  6،  15،  20،  15،  6،  1، لذا فإن الصيغة هي 1  −  6  +  15  −  20  +  15  −  6  +  1  =  0.

الأقطار

اشتقاق أعداد سيمبلكس من مثلث باسكال محاذي لليسار

تحتوي أقطار مثلث باسكال على أعداد الأشكال البسيطة:

  • تحتوي الخطوط القطرية الممتدة على طول الحواف اليسرى واليمنى على الرقم 1 فقط.
  • تحتوي الأقطار المجاورة لأقطار الحواف على الأعداد الطبيعية بالترتيب. وتزداد أعداد المضلعات البسيطة أحادية البعد بمقدار 1 كلما امتدت القطع المستقيمة إلى العدد الصحيح التالي على طول خط الأعداد .
  • بالانتقال إلى الداخل، يحتوي الزوج التالي من الأقطار على الأرقام المثلثية بالترتيب.
  • يحتوي الزوج التالي من الأقطار على أرقام رباعي الأوجه بالترتيب، ويعطي الزوج التالي أرقام خماسي الأوجه .
P0(ن)=Pد(0)=1،Pد(ن)=Pد(ن-1)+Pد-1(ن)=∑أنا=0نPد-1(أنا)=∑أنا=0دPأنا(ن-1).{\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(n)&=P_{d}(0)=1,\\P_{d}(n)&=P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&=\sum _{i=0}^{n}P_{d-1}(i)=\sum _{i=0}^{d}P_{i}(n-1).\end{aligned}}}

يشير تناظر المثلث إلى أن العدد ذو البعد d من الرتبة n يساوي العدد ذو البعد n من الرتبة d .

صيغة بديلة لا تتضمن التكرار هي Pد(ن)=1د!∏ك=0د-1(ن+ك)=ن(د)د!=(ن+د-1د)،{\displaystyle P_{d}(n)={\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)={n^{(d)} \over d!}={\binom {n+d-1}{d}},} حيث n ( d ) هو العامل التصاعدي .

المعنى الهندسي للدالة P<sub> d</sub> هو: P <sub>d</sub> (1) = 1 لجميع قيم d . لإنشاء مثلث ذي بُعد d ( المثلث ثلاثي الأبعاد هو رباعي الأوجه )، ضع نقاطًا إضافية أسفل النقطة الأساسية، بحيث يكون P <sub>d</sub> (1) = 1. ضع هذه النقاط بطريقة مشابهة لوضع الأعداد في مثلث باسكال. لإيجاد P <sub>d</sub> ( x )، افترض أن لديك x نقطة تُشكل الشكل المطلوب. عندها، P<sub>d </sub> ( x ) يساوي العدد الإجمالي للنقاط في الشكل. المثلث ذو البُعد الصفري هو نقطة، والمثلث ذو البُعد الواحد هو خط مستقيم، وبالتالي P <sub>0</sub> ( x ) = 1 و P <sub>1</sub> ( x ) = x ، وهي متتالية الأعداد الطبيعية. عدد النقاط في كل طبقة يُقابل P <sub>d - 1</sub> ( x ).  

حساب صف أو قطر بمفرده

توجد خوارزميات بسيطة لحساب جميع العناصر في صف أو قطر دون حساب العناصر الأخرى أو المضروب.

لحساب الصفن{\displaystyle n}مع العناصر(ن0)،(ن1)،...،(نن){\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}ابدأ بـ(ن0)=1{\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}بالنسبة لكل عنصر لاحق، يتم تحديد القيمة عن طريق ضرب القيمة السابقة في كسر ذي بسط ومقام يتغيران ببطء:

(نك)=(نك-1)×ن+1-كك.{\displaystyle {n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.}

على سبيل المثال، لحساب الصف الخامس، تكون الكسور كالتالي: 51{\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}،42{\displaystyle {\tfrac {4}{2}}}،33{\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}،24{\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}و15{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}وبالتالي فإن العناصر هي (50)=1{\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1}، (51)=1×51=5{\displaystyle {\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5}، (52)=5×42=10{\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10}إلخ. (أما العناصر المتبقية فيمكن الحصول عليها بسهولة أكبر عن طريق التناظر.)

لحساب القطر الذي يحتوي على العناصر(ن0)،(ن+11)،(ن+22)،...،{\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,}ابدأ من جديد مع(ن0)=1{\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}والحصول على العناصر اللاحقة عن طريق الضرب في كسور معينة:

(ن+كك)=(ن+ك-1ك-1)×ن+كك.{\displaystyle {n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.}

على سبيل المثال، لحساب القطر الذي يبدأ عند(50){\displaystyle {\tbinom {5}{0}}}الكسور هي 61،72،83،...{\displaystyle {\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots }والعناصر هي(50)=1،(61)=1×61=6،(72)=6×72=21{\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21}إلخ. وبسبب التناظر، فإن هذه العناصر متساوية(55)،(65)،(75){\displaystyle {\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}}، إلخ.

متتالية فيبوناتشي في مثلث باسكال

الأنماط والخصائص العامة

تقريب من المستوى 4 لمثلث سيربينسكي يتم الحصول عليه عن طريق تظليل الصفوف الـ 32 الأولى من مثلث باسكال باللون الأبيض إذا كان معامل ذي الحدين زوجيًا وباللون الأسود إذا كان فرديًا.
  • النمط الناتج عن تلوين الأعداد الفردية فقط في مثلث باسكال يشبه إلى حد كبير الشكل الهندسي المعروف باسم مثلث سيربينسكي . وتزداد دقة هذا التشابه كلما زاد عدد الصفوف؛ ففي النهاية، عندما يقترب عدد الصفوف من اللانهاية، يكون النمط الناتج هو مثلث سيربينسكي، بافتراض ثبات محيطه. وبشكل أعم، يمكن تلوين الأعداد بألوان مختلفة تبعًا لما إذا كانت من مضاعفات 3 أو 4، وهكذا؛ مما ينتج عنه أنماط أخرى مماثلة.
بما أن نسبة الأعداد السوداء تقترب من الصفر مع زيادة قيمة n ، فإن النتيجة المترتبة على ذلك هي أن نسبة معاملات ذات الحدين الفردية تقترب من الصفر عندما تقترب n من اللانهاية. [ 24 ]
رخ أبيض بحجم a4قبل واحدسي 4 واحدد4 واحد
واحد a3ب3 اثنانج3 ثلاثةد3 أربعة
a2 واحدب2 ثلاثةج2 ستة10
واحد a1ب1 أربعة1020

يُعطي مثلث باسكال الموضوع على شبكة عدد المسارات المتميزة لكل مربع، بافتراض أنه يتم النظر فقط في الخطوات المتجهة إلى اليمين والأسفل إلى مربع مجاور.

  • في جزء مثلث الشكل من شبكة (كما في الصور أدناه)، يُمثل عدد أقصر المسارات من عقدة معينة إلى العقدة العلوية للمثلث القيمة المقابلة في مثلث باسكال. على سبيل المثال، هناك أربعة أقصر المسارات إلى القمة من العقدة التي قيمتها 4. في لوحة لعبة بلينكو على شكل مثلث، يُفترض أن يُعطي هذا التوزيع احتمالات الفوز بالجوائز المختلفة.
  • إذا تم محاذاة صفوف مثلث باسكال إلى اليسار، فإن الأشرطة القطرية (المرمزة بالألوان أدناه) مجموعها يساوي أرقام فيبوناتشي .
1
11
121
1331
14641
15101051
1615201561
172135352171

البناء كمصفوفة أسية

خبرة⁡(.....1.....2.....3.....4.)=(1....11...121..1331.14641)هـعد=ذات الحدين{\displaystyle {\begin{aligned}\exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\\e^{\text{counting}}&={\text{binomial}}\end{aligned}}}
المصفوفة ذات الحدين كدالة أسية للمصفوفة. جميع النقاط تمثل صفرًا.

نظراً لبنيتها البسيطة بواسطة المضروب، يمكن تقديم تمثيل أساسي جداً لمثلث باسكال من حيث الأسية المصفوفية : مثلث باسكال هو الأسية للمصفوفة التي تحتوي على التسلسل 1، 2، 3، 4، ... على قطرها الفرعي وصفر في كل مكان آخر.

بناء جبر كليفورد باستخدام التبسيطات

يُطابق ترقيم عناصر كل مُجسم بسيط من الرتبة n عناصر الأساس في جبر كليفورد المستخدمة كأشكال في الجبر الهندسي بدلاً من المصفوفات. يُتيح التعرف على العمليات الهندسية، مثل الدوران، اكتشاف العمليات الجبرية. وكما يُقابل كل صف n ، بدءًا من 0، في مثلث باسكال مُجسمًا بسيطًا من الرتبة (n-1) ، كما هو موضح أدناه، فإنه يُحدد أيضًا عدد أشكال الأساس المُسماة في الجبر الهندسي ذي الأبعاد n . يُمكن استخدام نظرية ذات الحدين لإثبات العلاقة الهندسية التي يُوفرها مثلث باسكال. [ 25 ] يُمكن تطبيق هذا البرهان نفسه على المُجسمات البسيطة باستثناء أنه يجب تجاهل العمود الأول الذي يحتوي على جميع الآحاد، بينما في الجبر تُقابل هذه الآحاد الأعداد الحقيقية.R{\displaystyle \mathbb {R} }، مع أساس 1.

العلاقة بهندسة متعددات الوجوه

يمثل كل صف في مثلث باسكال عدد العناصر (مثل الحواف والزوايا) لكل بُعد في مُجَسَّم مُناظر (مثل المثلث أو رباعي الأوجه). على وجه الخصوص، بالنسبة لـ k > 0 ، فإن العنصر k في الصف n هو عدد العناصر ذات البُعد ( k - 1) في مُجَسَّم ذي البُعد ( n - 1) . على سبيل المثال، المثلث (المُجَسَّم ثنائي الأبعاد) يحتوي على عنصر ثنائي الأبعاد واحد (هو نفسه)، وثلاثة عناصر أحادية البُعد (خطوط، أو حواف)، وثلاثة عناصر صفرية الأبعاد ( رؤوس ، أو زوايا)؛ وهذا يُقابل الصف الثالث 1، 3، 3، 1 من مثلث باسكال. يُمكن تفسير هذه الحقيقة من خلال الجمع بين قاعدة باسكال لتوليد المثلث والبناء الهندسي للمُجَسَّمات: يتكون كل مُجَسَّم من مُجَسَّم ذي بُعد أقل بإضافة رأس جديد، خارج الفضاء الذي يقع فيه المُجَسَّم ذو البُعد الأقل. ثم يبقى كل عنصر ذو بُعد d في المجسم الأصغر عنصرًا ذا بُعد d في المجسم الأكبر، ويشكل كل عنصر ذو بُعد ( d - 1) عند وصله بالرأس الجديد عنصرًا جديدًا ذا بُعد d في المجسم الأكبر. [ 26 ]

يُلاحظ نمط مشابه فيما يتعلق بالمربعات ، على عكس المثلثات. لإيجاد هذا النمط، يجب إنشاء نظير لمثلث باسكال، حيث تكون عناصره معاملات الصف ( س + ٢) بدلاً من الصف ( س + ١) . هناك طريقتان للقيام بذلك. الطريقة الأبسط هي البدء بالصف ٠ = ١ والصف ١ = ١، ٢. ثم إنشاء المثلثات النظيرة وفقًا للقاعدة التالية:

(نك)=2×(ن-1ك-1)+(ن-1ك).{\displaystyle {n \choose k}=2\times {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.}

أي، اختر زوجًا من الأرقام وفقًا لقواعد مثلث باسكال، ولكن ضاعف الرقم الموجود على اليسار قبل الجمع. والنتيجة هي:

 1 1 2 1 4 4 1 6 12 8 1 8 24 32 16 1 10 40 80 80 32 1 12 60160240192 64 1 14 84280560672448128{\displaystyle {\begin{matrix}{\text{ 1}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 2}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 4}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 6}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 8}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 8}}\quad {\text{ 24}}\quad {\text{ 32}}\quad {\text{ 16}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 10}}\quad {\text{ 40}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 32}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 60}}\quad 160\quad 240\quad 192\quad {\text{ 64}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 14}}\quad {\text{ 84}}\quad 280\quad 560\quad 672\quad 448\quad 128\end{matrix}}}

الطريقة الأخرى لإنشاء هذا المثلث هي البدء بمثلث باسكال وضرب كل عنصر فيه بـ 2^ k ، حيث k هو موضع العنصر في الصف. على سبيل المثال، القيمة الثانية في الصف الرابع من مثلث باسكال هي 6 (ميل الخط 1 يُمثل العنصر رقم صفر في كل صف). للحصول على القيمة الموجودة في الموضع المقابل في المثلث التناظري، نضرب 6 في 2 ^ k = 6 × 2 ^k = 6 × 4 = 24. الآن وقد تم إنشاء المثلث التناظري، يمكن قراءة عدد العناصر من أي بُعد التي تُكوّن مكعبًا ذا أبعاد عشوائية (يُسمى مكعبًا فائقًا ) من الجدول بطريقة مماثلة لمثلث باسكال. على سبيل المثال، عدد العناصر ثنائية الأبعاد في مكعب ثنائي الأبعاد (مربع) هو واحد، وعدد العناصر أحادية البعد (الأضلاع أو الخطوط) هو 4، وعدد العناصر صفرية الأبعاد (النقاط أو الرؤوس) هو 4. وهذا يطابق الصف الثاني من الجدول (1، 4، 4). للمكعب مكعب واحد، و6 أوجه، و12 ضلعًا، و8 رؤوس، وهو ما يقابل الصف التالي من المثلث التناظري (1، 6، 12، 8). ويستمر هذا النمط إلى ما لا نهاية.

لفهم سبب وجود هذا النمط، يجب أولاً إدراك أن بناء مكعب ذي بُعد n من مكعب ذي بُعد ( n -1) يتم ببساطة عن طريق تكرار الشكل الأصلي وإزاحته مسافة معينة ( طول الحافة في حالة المكعب المنتظم ذي البُعد n ) عموديًا على فضاء الشكل الأصلي، ثم توصيل كل رأس من رؤوس الشكل الجديد برأسه المقابل في الشكل الأصلي. هذه العملية الأولية للتكرار هي السبب في أنه لحساب أبعاد عناصر مكعب ذي بُعد n ، يجب مضاعفة أول عدد من زوج من الأعداد في صف من هذا الشكل المشابه لمثلث باسكال قبل جمعهما للحصول على العدد الموجود أسفله. وبالتالي، تُعطي المضاعفة الأولية عدد العناصر "الأصلية" الموجودة في المكعب ذي البُعد n الأعلى التالي ، وكما في السابق، تُبنى العناصر الجديدة على تلك ذات البُعد الأقل (الحواف على الرؤوس، والوجوه على الحواف، إلخ). مرة أخرى، يُمثل العدد الأخير في الصف عدد الرؤوس الجديدة التي ستُضاف لإنشاء المكعب ذي البُعد n الأعلى التالي .

في هذا المثلث، مجموع عناصر الصف m يساوي 3m . ومرة ​​أخرى، باستخدام عناصر الصف 4 كمثال: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 ، وهو يساوي 1/4.34=81{\displaystyle 3^{4}=81}.

عد رؤوس المكعب حسب المسافة

يمثل كل صف من صفوف مثلث باسكال عدد الرؤوس عند كل مسافة من رأس ثابت في مكعب ذي n بُعد. على سبيل المثال، في ثلاثة أبعاد، يتوافق الصف الثالث (1 3 3 1) مع المكعب ثلاثي الأبعاد المعتاد : عند تثبيت رأس V ، يوجد رأس واحد على بُعد 0 من V (أي V نفسه)، وثلاثة رؤوس على بُعد 1، وثلاثة رؤوس على بُعد √2 ، ورأس واحد على بُعد √3 (الرأس المقابل لـ V ). يتوافق الصف الثاني مع مربع، بينما تتوافق الصفوف ذات الأرقام الأكبر مع المكعبات الفائقة في كل بُعد.

تحويل فورييه لـ sin( x ) n +1 / x

كما ذُكر سابقًا، فإن معاملات ( x  +  1) n هي الصف النوني من المثلث. أما معاملات ( x  -  1) n فهي نفسها، باستثناء أن الإشارة تتناوب بين +1 و -1. بعد إجراء عملية توحيد مناسبة، يظهر النمط نفسه من الأرقام في تحويل فورييه لـ sin( x ) n + 1 / x . بتعبير أدق: إذا كان n زوجيًا، نأخذ الجزء الحقيقي من التحويل، وإذا كان n فرديًا، نأخذ الجزء التخيلي . والنتيجة هي دالة متدرجة ، تُعطى قيمها (بعد توحيدها بشكل مناسب) بالصف النوني من المثلث مع تناوب الإشارات. [ 27 ] على سبيل المثال، قيم الدالة المتدرجة الناتجة عن:

Rهـ(فورييه[الخطيئة⁡(x)5x]){\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)}

شكّل الصف الرابع من المثلث، مع تبديل الإشارات. هذا تعميم للنتيجة الأساسية التالية (التي تُستخدم غالبًا في الهندسة الكهربائية ):

Rهـ(فورييه[الخطيئة⁡(x)1x]){\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{1}}{x}}\right]\right)}

هي دالة الصندوق . [ 28 ] الصف المقابل في المثلث هو الصف 0، والذي يتكون من الرقم  1 فقط.

إذا كان n متطابقًا مع 2 أو مع 3 mod 4، فإن الإشارات تبدأ من  -1. في الواقع، يتوافق تسلسل الحدود الأولى (المُعَيَّرة) مع قوى i ، والتي تدور حول تقاطع المحاور مع دائرة الوحدة في المستوى المركب:+أنا،-1،-أنا،+1،+أنا،...{\displaystyle +i,-1,-i,+1,+i,\ldots }

الإضافات

إلى الأعلى

يمكن تمديد مثلث باسكال إلى الأعلى، فوق الرقم 1 عند الرأس، مع الحفاظ على خاصية الجمع، ولكن هناك أكثر من طريقة للقيام بذلك. [ 29 ]

إلى أبعاد أعلى

يوجد تعميمات ذات أبعاد أعلى لمثلث باسكال . يُعرف الشكل ثلاثي الأبعاد باسم هرم باسكال أو رباعي أوجه باسكال ، بينما تُعرف الأشكال العامة باسم مجسمات باسكال البسيطة .

إلى الأعداد المركبة

عندما تُعرَّف دالة المضروب على النحو التاليz!=Γ(z+1){\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}يمكن توسيع مثلث باسكال ليشمل ما هو أبعد من الأعداد الصحيحة إلىج{\displaystyle \mathbb {C} }، منذΓ(z+1){\displaystyle \Gamma (z+1)}[ 30 ] ميرومورفي بالنسبة للمستوى المركب بأكمله .

إلى قواعد عشوائية

لاحظ إسحاق نيوتن ذات مرة أن الصفوف الخمسة الأولى من مثلث باسكال، عند قراءتها كأرقام عدد صحيح، هي القوى المقابلة للعدد أحد عشر. وادعى، دون برهان، أن الصفوف اللاحقة تولد أيضًا قوى العدد أحد عشر. [ 31 ] في عام 1964، قدم روبرت ل. مورتون حجة أكثر عمومية مفادها أن كل صفن{\displaystyle n}يمكن قراءتها على أنها جذرأ{\displaystyle a}رقم، حيثليمن→∞11أن{\displaystyle \lim _{n\to \infty }11_{a}^{n}}يمثل الصف النهائي الافتراضي، أو نهاية المثلث، والصفوف هي نواتج ضربه الجزئية. [ 32 ] وقد أثبت عناصر الصفن{\displaystyle n}، وعند تفسيرها مباشرة كرقم ذي قيمة مكانية، فإنها تتوافق مع التوسع ذي الحدين لـ(أ+1)ن=11أن{\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}وقد طُوِّرت منذ ذلك الحين براهين أكثر دقة. [ 33 ] [ 34 ] لفهم المبدأ الكامن وراء هذا التفسير بشكل أفضل، إليك بعض الأمور التي يجب تذكرها حول ذات الحدين:

  • جذرأ{\displaystyle a}الرقم في التدوين الموضعي (مثلاً)14641أ{\displaystyle 14641_{a}}) هي متعددة حدود أحادية المتغير في المتغيرأ{\displaystyle a}، حيث درجة متغيرأنا{\displaystyle i}المصطلح النوني (يبدأ بـأنا=0{\displaystyle i=0}) يكونأنا{\displaystyle i}. على سبيل المثال،14641أ=1⋅أ4+4⋅أ3+6⋅أ2+4⋅أ1+1⋅أ0{\displaystyle 14641_{a}=1\cdot a^{4}+4\cdot a^{3}+6\cdot a^{2}+4\cdot a^{1}+1\cdot a^{0}}.
  • يمثل كل صف من الصفوف مفكوك ذات الحدين لـ(أ+ب)ن{\displaystyle (a+b)^{n}}المتغيرب{\displaystyle b}يمكن استبعادها من التوسيع عن طريق التعيينب=1{\displaystyle b=1}يمثل هذا التوسع الآن الشكل الموسع للجذرأ{\displaystyle a}الرقم [ 35 ] [ 36 ] كما هو موضح أعلاه . وبالتالي، عند دمج مدخلات الصف وقراءتها في الأساسأ{\displaystyle a}وهي تشكل المكافئ العددي لـ(أ+1)ن=11أن{\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}. لوج=أ+1{\displaystyle c=a+1}لج<0{\displaystyle c<0}إذن، تنطبق النظرية علىأتعديل2ج{\displaystyle a{\bmod {2}}c}، معأ{\displaystyle a}متطابق مع{ج-1،-(ج+1)}{\displaystyle \{c-1,-(c+1)\}}و بقيم فردية منن{\displaystyle n}ينتج عنه نواتج صفية سالبة. [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]

عن طريق تحديد أساس الصف (المتغير)أ{\displaystyle a}) يساوي واحد وعشرة، صفن{\displaystyle n}يصبح المنتج111ن=2ن{\displaystyle 11_{1}^{n}=2^{n}}و1110ن=11ن{\displaystyle 11_{10}^{n}=11^{n}}على التوالي. وللتوضيح، انظرأ=ن{\displaystyle a=n}، مما ينتج عنه حاصل الضرب الصفينن(1+1ن)ن=11نن{\displaystyle \textstyle n^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=11_{n}^{n}}التمثيل العددي لـ11نن{\displaystyle 11_{n}^{n}}يتم تكوينها عن طريق دمج مدخلات الصفن{\displaystyle n}يمثل الصف الثاني عشر الناتج التالي:

111212=1:10:56:164:353:560:650:560:353:164:56:10:112=27433أ969970112{\displaystyle 11_{12}^{12}=1:10:56:164:353:560:650:560:353:164:56:10:1_{12}=27433a9699701_{12}}

مع أرقام مركبة (مفصولة بعلامة ":") في نظام العد الاثني عشري. الأرقام منك=ن-1{\displaystyle k=n-1}خلالك=1{\displaystyle k=1}تُعتبر هذه القيم مركبة لأن مجموع قيم هذه الصفوف أكبر من أو يساوي اثني عشر. لتطبيع العدد [ 40 ] ، ما عليك سوى إضافة بادئة أول قيمة مركبة، أي إزالة بادئة المعامل.(نن-1){\displaystyle \textstyle {n \choose n-1}}من أقصى رقم على اليسار حتى أقصى رقم على اليمين (باستثناء الأخير)، استخدم الحساب الاثني عشري لجمع البادئة المحذوفة مع الرقم الموجود على يسارها مباشرة، ثم كرر هذه العملية، متجهًا نحو اليسار، حتى الوصول إلى أقصى رقم على اليسار. في هذا المثال تحديدًا، تنتهي السلسلة المُعَيَّرة بـ01{\displaystyle 01}للجميعن{\displaystyle n}الرقم الموجود في أقصى اليسار هو2{\displaystyle 2}لن>2{\displaystyle n>2}والتي يتم الحصول عليها عن طريق حمل1{\displaystyle 1}ل10ن{\displaystyle 10_{n}}عند الدخولك=1{\displaystyle k=1}ويترتب على ذلك أن طول القيمة المعيارية لـ11نن{\displaystyle 11_{n}^{n}}يساوي طول الصف،ن+1{\displaystyle n+1}الجزء الأساسي من1.1نن{\displaystyle 1.1_{n}^{n}}يحتوي على رقم واحد بالضبط لأنن{\displaystyle n}(عدد المنازل التي تحركت فيها الفاصلة العشرية إلى اليسار) أقل بواحد من طول الصف. فيما يلي القيمة المعيارية لـ1.112341234{\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}}تبقى الأرقام المركبة في القيمة لأنها أساسها1234{\displaystyle 1234}البقايا الممثلة في الأساس عشرة:

1.112341234=2.885:2:35:977:696:...⏞1227 رقمًا:0:11234=2.717181235...10{\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}=2.885:2:35:977:696:\overbrace {\ldots } ^{\text{1227 digits}}:0:1_{1234}=2.717181235\ldots _{10}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ موريس وينترنيتز، تاريخ الأدب الهندي ، المجلد الثالث
  2. 1 2 كوليدج، جيه إل (1949)، "قصة نظرية ذات الحدين"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 56 (3): 147-157 ، doi : 10.2307/2305028 ، JSTOR 2305028 ، MR 0028222  .
  3. ↑ بيتر فوكس (1998). مكتبة جامعة كامبريدج: المجموعات العظيمة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 13. ISBN  978-0-521-62647-7.
  4. ↑ معامل ذي الحدين(نك){\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}}يتم تعيينها بشكل تقليدي إلى الصفر إذا كانت قيمة k إما أقل من الصفر أو أكبر من n .
  5. ↑ كوبيلي، كريستيان؛ زاهاريسكو، ألكساندرو (2013). "نزهة حول مثلث باسكال - دوافع عددية" . النشرة الرياضية لجمعية العلوم الرياضية في رومانيا . 56 (104) (1). جمعية العلوم الرياضية في رومانيا: 74. JSTOR 43679285. على الرغم من شهرة مثلث باسكال لأكثر من ألف عام في آسيا وأوروبا (انظر بيرتون [Bur'07])، إلا أن أصوله غامضة. في كتاب "تشانداشاسترا"، صنف العالم الهندوسي بينغالا الأوزان (شانداس) أو إيقاعات القصائد المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالموسيقى (باغ [Bag'66]). وقد أحصى الأوزان ذات الطول المحدد n والتي تحتوي على r مقطعًا لفظيًا من النوع نفسه. وبذلك، حصل على ميروبراستارا (السلم المؤدي إلى جبل ميرو الأسطوري). ثم وصف هالايودا (حوالي 975) في كتابه "مريتا-سانجيفاني"، وهو نصٌّ يتضمن شروحًا على كتاب "تشانداشاسترا" لبينغالا، ميروبراستارا بوضوح على أنها ما يُعرف اليوم بالمثلث الحسابي. ومن بين الذين درسوا المثلث قبل باسكال، نجد: الكراجي (953-1029)؛ وجيا شيان (1010-1070)، من الصين؛ والسموال المغربي... 
  6. ^ بوكل، جيبهارد. بيرنز، ديفيد. جوس، ديفيد. ثاكور، دينيش. تريهان، فابيان؛ أولمر، دوغلاس، محررون. (2014). الهندسة الحسابية على مجالات الوظائف العالمية . سبرينغر بازل. ص. 185. ردمك  9783034808538في القرن الثالث قبل الميلاد ، قدّم عالم الرياضيات الهندي بينغالا ما يُعرف الآن باسم "مثلث باسكال"، والذي يُعطي معاملات ذات الحدين في المثلث. وفي وقت لاحق، في القرن العاشر الميلادي، توصّل عالم الرياضيات الهندي هالايودا وعالم الرياضيات الفارسي الكرجي إلى نتائج مماثلة، كما فعل عالم الرياضيات الصيني يانغ هوي في القرن الثالث عشر.
  7. ↑ ألسدورف، لودفيج (1991) [1933]. "البراتياياس: المساهمة الهندية في التوافقية" (ملف PDF) . المجلة الهندية لتاريخ العلوم . 26 (1): 17-61 .تمت الترجمة بواسطة SR Sarma من " π Die Pratyayas. Ein Beitrag zur indischen Mathematik ". Zeitschrift für Indologie und إيرانيستيك . 9 : 97 - 157. 1933.
    باغ، أموليا كومار (1966). "نظرية ذات الحدين في الهند القديمة" (ملف PDF) . المجلة الهندية لتاريخ العلوم . 1 (1): 68-74 .
    مصادر ثانوية:
    سين، ساماريندرا ناث (1971). "الرياضيات" . في: بوز، د.م. (محرر). تاريخ موجز للعلوم في الهند . الأكاديمية الوطنية الهندية للعلوم. الفصل 3، الصفحات  136-212، وخاصة "التباديل والتوافيق ومثلث باسكال"، الصفحات  156-157.
    فاولر، ديفيد هـ. (1996). "دالة معامل ذات الحدين". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 103 (1): 1-17 ، وخاصة القسم 4 "ملاحظة تاريخية"، الصفحات 10-17. doi : 10.2307/2975209 . JSTOR 2975209 . 
  8. ↑ سيلين، هيلين (12 مارس 2008). موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 132. رمز Bibcode : 2008ehst.book.....S . ISBN  9781402045592ومن المعروف أن أعمالاً أخرى مفقودة للكرجي تناولت الجبر غير المحدد، والحساب، وجبر الميراث، وبناء المباني. كما احتوى أحدها على أول شرح معروف للمثلث الحسابي (مثلث باسكال)؛ وقد وصل هذا المقطع إلى كتاب بحر السماول (القرن الثاني عشر) الذي استقى معلوماته بشكل كبير من البديع.
  9. ↑ راشد، ر. (30-06-1994). تطور الرياضيات العربية: بين الحساب والجبر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 63. ISBN  978-0-7923-2565-9.
  10. ↑ سيدولي، ناثان؛ بروميلين، جلين فان (30 أكتوبر 2013). من الإسكندرية، مرورًا ببغداد: دراسات وبحوث في العلوم الرياضية اليونانية القديمة والإسلامية في العصور الوسطى تكريمًا لـ ج. ل. بيرغرين . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 54. ISBN  9783642367366ومع ذلك ، فإن استخدام معاملات ذات الحدين من قبل علماء الرياضيات المسلمين في القرن الحادي عشر، في سياق له جذور عميقة في الرياضيات الإسلامية، يشير بقوة إلى أن الجدول كان اكتشافًا محليًا - على الأرجح من الكرجي.
  11. ↑ كينيدي، إي. (1966). عمر الخيام. مُعلّم الرياضيات 1958. المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات. ص 140-142 . JSTOR i27957284 .  
  12. ↑ وايسشتاين، إريك و. (2003). موسوعة سي آر سي الموجزة للرياضيات ، ص 2169. ISBN 978-1-58488-347-0.
  13. ^ هيوز ، برنابا (1 أغسطس 1989). "المثلث الحسابي لجوردانوس دي نيمور" . تاريخ الرياضيات . 16 (3): 213-223 . دوى : 10.1016 / 0315-0860(89)90018-9 .
  14. 1 2 3 4 إدواردز، أ. و. ف . (2013)، "المثلث الحسابي"، في ويلسون، روبن ؛ واتكينز، جون ج. (محرران)، التوافقية: القديمة والحديثة ، مطبعة جامعة أكسفورد، ص 166-180 .
  15. ↑ سميث، كارل ج. (2010)، طبيعة الرياضيات ، سينجايج ليرنينج، ص 10، ISBN  9780538737586.
  16. ^ باسكال، بليز (1665). سمة المثلث الحسابي، مع بعض السمات الصغيرة الأخرى على نفس المادة. قدم المساواة السيد باسكال (بالفرنسية).
  17. ↑ فاولر، ديفيد (يناير 1996). "دالة معامل ذات الحدين". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 103 (1): 1-17 . doi : 10.2307/2975209 . JSTOR 2975209 . انظر على وجه الخصوص الصفحة 11.
  18. ↑ "مثلث باسكال في الاحتمالات" . 5010.mathed.usu.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-06-01 .
  19. ↑ براذرز، إتش جيه (2012)، "إيجاد قيمة e في مثلث باسكال"، مجلة الرياضيات ، 85 (1): 51، doi : 10.4169/math.mag.85.1.51 ، S2CID 218541210 .
  20. ↑ براذرز، إتش جيه (2012)، "مثلث باسكال: القصة الخفية " ، المجلة الرياضية ، 96 (535): 145-148 ، doi : 10.1017/S0025557200004204 ، S2CID 233356674 .
  21. ↑ فوستر، ت. (2014)، "آثار نيلاكانثا في مثلث باسكال"، معلم الرياضيات ، 108 : 247، doi : 10.5951/mathteacher.108.4.0246
  22. ↑ فاين، ن. ج. (1947)، "معاملات ذات الحدين بتردد عدد أولي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 54 (10): 589-592 ، doi : 10.2307/2304500 ، JSTOR 2304500 ، MR 0023257  انظر على وجه الخصوص إلى النظرية 2، التي تعطي تعميمًا لهذه الحقيقة لجميع المعاملات الأولية.
  23. ↑ هينز، أندرياس م. (1992)، "مثلث باسكال وبرج هانوي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 99 (6): 538-544 ، doi : 10.2307/2324061 ، JSTOR 2324061 ، MR 1166003  . ينسب هينز هذه الملاحظة إلى كتاب صدر عام 1891 من تأليف إدوارد لوكاس ، بعنوان نظرية الأعداد (ص  420).
  24. ↑ إيان ستيوارت، "كيفية تقطيع الكعكة"، مطبعة جامعة أكسفورد، صفحة 180
  25. ↑ ويلموت، جي بي (2023)، جبر الهندسة
  26. ↑ كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد (1973-01-01). "الفصل السابع: متعددات الوجوه العادية في الفضاء الأعلى، 7.2: الأهرامات، والأهرامات الثنائية، والموشورات". متعددات الوجوه المنتظمة ( الطبعة الثالثة). شركة كورير. الصفحات 118-144 . ISBN   978-0-486-61480-9.
  27. ↑ للحصول على مثال مشابه، انظر على سبيل المثال: Hore, PJ (1983), "Solvent suppression in Fourier transform nuclear magnetic resonance", Journal of Magnetic Resonance , 55 (2): 283–300 , Bibcode : 1983JMagR..55..283H , doi : 10.1016/0022-2364(83)90240-8.
  28. ↑ كارل، جون هـ. (2012)، مقدمة في معالجة الإشارات الرقمية ، إلسيفير، ص 110، ISBN  9780323139595.
  29. ↑ هيلتون، ب.؛ وآخرون (1989). "توسيع معاملات ذات الحدين للحفاظ على التناظر والنمط" . التناظر 2. في السلسلة الدولية في الرياضيات التطبيقية الحديثة وعلوم الحاسوب. بيرغامون. ص 89-102 . doi : 10.1016/B978-0-08-037237-2.50013-1 . ISBN   9780080372372..
  30. ↑ هيلتون، ب.؛ وآخرون (1989). "توسيع معاملات ذات الحدين للحفاظ على التناظر والنمط" . التناظر 2. في السلسلة الدولية في الرياضيات التطبيقية الحديثة وعلوم الحاسوب. بيرغامون. ص 100-102 . doi : 10.1016/B978-0-08-037237-2.50013-1 . ISBN   9780080372372..
  31. ↑ نيوتن، إسحاق (1736)، "رسالة في طريقة التدفقات والمتسلسلات اللانهائية" ، الأعمال الرياضية لإسحاق نيوتن : 1:31-33، لكن هذه في المجالات البديلة، التي تم ذكرها، لاحظت أنها كانت هي نفسها الأرقام التي تتكون منها القوى التصاعدية المختلفة للعدد 11، وهي:110{\displaystyle 11^{0}}،111{\displaystyle 11^{1}}،112{\displaystyle 11^{2}}،113{\displaystyle 11^{3}}،114{\displaystyle 11^{4}}وهكذا، أي: الأول 1؛ الثاني 1، 1؛ الثالث 1، 2، 1؛ الرابع 1، 3، 3، 1؛ الخامس 1، 4، 6، 4، 1، وهكذا..
  32. ↑ مورتون، روبرت ل. (1964)، "مثلث باسكال وقوى العدد 11"، معلم الرياضيات ، 57 (6): 392-394 ، doi : 10.5951/MT.57.6.0392 ، JSTOR 27957091 .
  33. ↑ أرنولد، روبرت؛ وآخرون (2004)، "مهمة نيوتن غير المكتملة: الكشف عن القوى الخفية للعدد 11 في مثلث باسكال" ، وقائع يوم الرياضيات الجامعي .
  34. ↑ إسلام، روبيول؛ وآخرون (2020)، إيجاد أي صف من مثلث باسكال بتوسيع مفهوم قوة العدد 11 .
  35. ↑ وينتريدج، ديفيد ج. (1984)، "مثلث باسكال وقوى العدد 11"، الرياضيات في المدرسة ، 13 (1): 12-13 ، JSTOR 30213884 .
  36. ↑ كالوس، غابور (2006)، "تعميم لمثلث باسكال باستخدام قوى الأعداد الأساسية" (ملف PDF) ، حوليات الرياضيات بليز باسكال ، 13 (1): 1-15 ، doi : 10.5802/ambp.211.
  37. ↑ هيلتون، ب.؛ وآخرون (1989). "توسيع معاملات ذات الحدين للحفاظ على التناظر والنمط" . التناظر 2. في السلسلة الدولية في الرياضيات التطبيقية الحديثة وعلوم الحاسوب. بيرغامون. ص 89-91 . doi : 10.1016/B978-0-08-037237-2.50013-1 . ISBN   9780080372372..
  38. ↑ مولر، فرانسيس ج. (1965)، "المزيد عن مثلث باسكال وقوى العدد 11"، معلم الرياضيات ، 58 (5): 425-428 ، doi : 10.5951/MT.58.5.0425 ، JSTOR 27957164 .
  39. ↑ لو، ليون (1966)، "المزيد عن مثلث باسكال وقوى العدد 11"، معلم الرياضيات ، 59 (5): 461-463 ، doi : 10.5951/MT.59.5.0461 ، JSTOR 27957385 .
  40. ↑ فيلستاد، ب. (1991)، "توسيع مثلث باسكال"، الحوسبة والرياضيات مع التطبيقات ، 21 (9): 3، doi : 10.1016/0898-1221(91)90119-O.