نموذج هال وايت

في الرياضيات المالية ، نموذج هال-وايت هو نموذج لأسعار الفائدة المستقبلية . في صياغته الأكثر عمومية، ينتمي إلى فئة النماذج الخالية من التحكيم القادرة على ملاءمة هيكل أسعار الفائدة الحالي. من السهل نسبيًا ترجمة الوصف الرياضي لتطور أسعار الفائدة المستقبلية إلى شجرة أو شبكة ، وبالتالي يمكن تقييم مشتقات أسعار الفائدة مثل خيارات مقايضة برمودا في النموذج.

تم وصف أول نموذج هال-وايت بواسطة جون سي هال وآلان وايت في عام 1990. ولا يزال النموذج شائعًا في السوق اليوم.

النموذج هو نموذج قصير الأجل . وبشكل عام، يتمتع بالديناميكيات التالية:

${\displaystyle dr(t)=\left[\theta (t)-\alpha (t)r(t)\right]\,dt+\sigma (t)\,dW(t).}$

هناك درجة من الغموض بين الممارسين فيما يتعلق بالمعلمات المحددة في النموذج والتي تعتمد على الوقت أو الاسم الذي يجب تطبيقه على النموذج في كل حالة. وأكثر قواعد التسمية المقبولة شيوعًا هي التالية:

• ${\displaystyle \theta }$لديه اعتماد على (الوقت) - نموذج هال وايت .
• ${\displaystyle \theta }$وكلاهما يعتمدان على الوقت - نموذج فاسيسيك الموسع .${\displaystyle \alpha }$

يحتوي نموذج هال-وايت ثنائي العوامل (هال 2006: 657-658) على مصطلح اضطراب إضافي يعود متوسطه إلى الصفر، وهو على الشكل التالي:

${\displaystyle d\,f(r(t))=\left[\theta (t)+u-\alpha (t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma _{1}(t)\,dW_{1}(t),}$

حيث هي دالة حتمية، وعادة ما تكون دالة الهوية (امتداد للإصدار أحادي العامل، ويمكن التعامل معه تحليليًا، وبمعدلات فائدة سلبية محتملة)، أو اللوغاريتم الطبيعي (امتداد لـ بلاك كاراسينسكي، غير قابل للتحليل، وبمعدلات فائدة إيجابية)، أو تركيبات (متناسبة مع اللوغاريتم الطبيعي على المعدلات الصغيرة ومتناسبة مع دالة الهوية على المعدلات الكبيرة)؛ ولها قيمة أولية تساوي 0 وتتبع العملية: ${\displaystyle \displaystyle f}$${\displaystyle \displaystyle u}$

${\displaystyle du=-bu\,dt+\sigma _{2}\,dW_{2}(t)}$

بالنسبة لبقية هذه المقالة، نفترض أن هناك اعتماداً على t فقط . وبإهمال المصطلح العشوائي للحظة، لاحظ أن التغير في r يكون سلبياً إذا كانت r "كبيرة" حالياً (أكبر من وموجباً إذا كانت القيمة الحالية صغيرة. أي أن العملية العشوائية هي عملية أورنشتاين-أولينبيك التي تعود إلى المتوسط . ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \theta(t)/\alpha )}$

يتم حساب θ من منحنى العائد الأولي الذي يصف هيكل أسعار الفائدة الحالي. وعادة ما يتم ترك α كمدخلات للمستخدم (على سبيل المثال، يمكن تقديره من البيانات التاريخية). يتم تحديد σ من خلال المعايرة لمجموعة من الحدود القصوى وخيارات المبادلة القابلة للتداول بسهولة في السوق.

عندما يكون ، ، و ثابتين، يمكن استخدام مبرهنة إيتو لإثبات أن ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+ \sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

التي لديها توزيع

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right),}$

أين التوزيع الطبيعي مع المتوسط ​​والتباين ؟ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

متى يكون معتمدا على الوقت، ${\displaystyle \theta(t)}$

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (st)}\theta (s)ds+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

التي لديها توزيع

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right).}$

يتبين أن قيمة S الزمنية لسند الخصم المستحق T لها توزيع (لاحظ هيكل المصطلح المتقارب هنا!)

${\displaystyle P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),}$

أين

${\displaystyle B(S,T)={\frac {1-\exp(-\alpha (T-S))}{\alpha }},}$

${\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma ^{2}(\exp(-\alpha T)-\exp(-\alpha S))^{2}(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha ^{3}}}\right).}$

لاحظ أن توزيع المحطة الطرفية الخاص بهم يتم توزيعه بشكل طبيعي . ${\displaystyle P(S,T)}$

من خلال اختيار السند الزمني S كرقم (الذي يتوافق مع التحول إلى مقياس S -forward)، لدينا من النظرية الأساسية للتسعير الخالي من التحكيم ، القيمة في الوقت t للمشتقة التي تحقق عائدًا في الوقت S.

${\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

هنا، يتم أخذ التوقع فيما يتعلق بالتدبير الآجل . وعلاوة على ذلك، تظهر حجج التحكيم القياسي أن السعر الآجل للوقت T لسداد في الوقت T المعطى بواسطة V(T) يجب أن يفي ، وبالتالي ${\displaystyle \mathbb {E} _{S}}$${\displaystyle F_{V}(t,T)}$${\displaystyle F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)}$

${\displaystyle F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

وبالتالي، فمن الممكن تقييم العديد من المشتقات V اعتمادًا على سند واحد فقط تحليليًا عند العمل في نموذج هال-وايت. على سبيل المثال، في حالة السند، ضع${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle V(S)=(K-P(S,T))^{+}.}$

نظرًا لأنه يتم توزيعه بشكل لوغاريتمي طبيعي، فإن الحساب العام المستخدم لنموذج بلاك-شولز يوضح أن ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle {E}_{S}[(K-P(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}),}$

أين

${\displaystyle d_{1}={\frac {\log(F/K)+\sigma _{P}^{2}S/2}{\sigma _{P}{\sqrt {S}}}}}$

و

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}.}$

وبالتالي فإن القيمة اليوم (مع ضرب P (0, S ) مرة أخرى وتعيين t على 0) هي:

${\displaystyle P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).}$

هذا هو الانحراف المعياري (التقلب النسبي) للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي لـ . يُظهر قدر كبير إلى حد ما من الجبر أنه مرتبط بالمعلمات الأصلية عبر ${\displaystyle \sigma _{P}}$${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp(-\alpha (T-S))){\sqrt {\frac {1-\exp(-2\alpha S)}{2\alpha }}}.}$

لاحظ أن هذا التوقع تم في مقياس السندات S ، في حين أننا لم نحدد مقياسًا على الإطلاق لعملية هال-وايت الأصلية. هذا لا يهم - التقلب هو كل ما يهم وهو مستقل عن المقياس.

نظرًا لأن حدود أسعار الفائدة/الأرضيات تعادل خيارات البيع والشراء على السندات على التوالي، فإن التحليل أعلاه يوضح أنه يمكن تسعير الحدود والأرضيات تحليليًا في نموذج هال-وايت. تنطبق خدعة جمشيديان على هال-وايت (حيث أن القيمة الحالية لخيار المبادلة في نموذج هال-وايت هي دالة رتيبة لسعر الفائدة القصير اليوم). وبالتالي فإن معرفة كيفية تسعير الحدود القصوى كافية أيضًا لتسعير خيارات المبادلة. حتى لو كان الأصل الأساسي عبارة عن سعر مركب ينظر إلى الوراء وليس سعر ليبور (مستقبلي)، يوضح تورفوس (2020) كيف يمكن تعديل هذه الصيغة بشكل مباشر لتأخذ في الاعتبار التحدب الإضافي .

يمكن أيضًا تسعير عمليات المبادلة بشكل مباشر كما هو موضح في Henrard (2003). وعادةً ما تكون التنفيذات المباشرة أكثر كفاءة.

ومع ذلك، فإن تقييم أدوات الفانيليا مثل الحدود القصوى والمبادلات مفيد في المقام الأول للمعايرة. الاستخدام الحقيقي للنموذج هو تقييم مشتقات أكثر غرابة إلى حد ما مثل مبادلات برمودا على شبكة ، أو مشتقات أخرى في سياق متعدد العملات مثل مبادلات استحقاق ثابت الكم، كما هو موضح على سبيل المثال في Brigo و Mercurio (2001). يمكن إجراء محاكاة مونت كارلو الفعالة والدقيقة لنموذج هال وايت مع معلمات تعتمد على الوقت بسهولة، انظر Ostrovski (2013) و (2016). يمكن العثور على تنفيذ مفتوح المصدر لمحاكاة مونت كارلو الدقيقة بعد Fries (2016) ^[1] في finmath lib. ^[2]

على الرغم من ابتكار نماذج العوامل الفردية مثل Vasicek و CIR ونموذج Hull-White للتسعير، فقد أظهرت الأبحاث الحديثة إمكاناتها فيما يتعلق بالتنبؤ. في أورلاندو وآخرون. (2018، ^[3] 2019، ^{[4] [5]} ) تم تقديم منهجية جديدة للتنبؤ بأسعار الفائدة المستقبلية تسمى CIR#. تكمن الأفكار، بصرف النظر عن تحويل نموذج سعر الفائدة القصير المستخدم في التسعير إلى أداة تنبؤ، في التقسيم المناسب لمجموعة البيانات إلى مجموعات فرعية وفقًا لتوزيع معين ^[6] ). حيث تم توضيح كيف يتيح التقسيم المذكور التقاط التغييرات الزمنية المهمة إحصائيًا في تقلب أسعار الفائدة. باتباع النهج المذكور، يقارن أورلاندو وآخرون. (2021) ^[7] ) نموذج Hull-White بنموذج CIR من حيث التنبؤ والتنبؤ باتجاه سعر الفائدة.

• نموذج فاسيسيك
• نموذج كوكس-إنجرسول-روس
• نموذج بلاك-كاراسينسكي

المراجع الأساسية

• جون هال وآلان وايت، "استخدام أشجار أسعار الفائدة لهال-وايت"، مجلة المشتقات المالية ، المجلد 3، العدد 3 (ربيع 1996)، ص 26-36
• جون هول وآلان وايت، "الإجراءات العددية لتطبيق نماذج بنية المصطلح الأول"، مجلة المشتقات ، خريف 1994، ص 7-16.
• جون هول وآلان وايت، "الإجراءات العددية لتطبيق نماذج بنية المصطلحات الجزء الثاني"، مجلة المشتقات ، شتاء 1994، ص 37-48.
• جون هال وآلان وايت، "تسعير الخيارات على حدود أسعار الفائدة الدنيا والقصوى باستخدام نموذج هال-وايت" في الاستراتيجيات المتقدمة في إدارة المخاطر المالية ، الفصل الرابع، ص 59-67.
• جون هول وآلان وايت، "نماذج أسعار الفائدة ذات العامل الواحد وتقييم الأوراق المالية المشتقة بأسعار الفائدة"، مجلة التحليل المالي والكمي ، المجلد 28، العدد 2، (يونيو 1993) ص 235-254.
• جون هول وآلان وايت، "تسعير الأوراق المالية المشتقة بمعدلات الفائدة"، مجلة مراجعة الدراسات المالية ، المجلد 3، العدد 4 (1990) ص 573-592.

مراجع أخرى

• هال، جون سي. (2006). "مشتقات أسعار الفائدة: نماذج أسعار الفائدة القصيرة الأجل". الخيارات والعقود الآجلة والمشتقات الأخرى (الطبعة السادسة). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول . ص 657-658. رقم ISBN 0-13-149908-4. LCCN  2005047692. OCLC  60321487.
• داميانو بريجو ، فابيو ميركوريو (2001). نماذج أسعار الفائدة - النظرية والتطبيق مع سمايل، والتضخم والائتمان (الطبعة الثانية، طبعة 2006). دار سبرينغر للنشر. رقم ISBN 978-3-540-22149-4.
• هنريارد، مارك (2003). "صيغة خيار السند الصريح والمبادلة في نموذج هيث-جارو-مورتون أحادي العامل"، المجلة الدولية للتمويل النظري والتطبيقي ، 6(1)، 57-72. طبعة أولية SSRN.
• هنريارد، مارك (2009). خيارات المبادلة الفعالة للسعر في نموذج هال-وايت أحادي العامل، arXiv، 0901.1776v1. طبعة أولية من arXiv.
• أوستروفسكي، فلاديمير (2013). محاكاة فعالة ودقيقة لنموذج هال-وايت، طبعة ما قبل النشر SSRN.
• أوستروفسكي، فلاديمير (2016). محاكاة فعّالة ودقيقة لنماذج أسعار الفائدة الغاوسية الأفينية، المجلة الدولية للهندسة المالية، المجلد 3، العدد 02 ، طبعة ما قبل النشر SSRN.
• بوشكارسكي، يوجين. تنفيذ نموذج هيكل الأجل الخالي من التحكيم لهول-وايت، أطروحة دبلوم، مركز الأسواق المالية في أوروبا الوسطى
• تورفوس، كولين (2020). تسعير الكبسولات بأسعار متخلفة، طبعة ما قبل النشر SSRN.
• ليتيان وانج، نموذج هال-وايت، مجموعة الكميات للدخل الثابت، DTCC (مثال رقمي مفصل واستنتاج)