حاصل ضرب الموترات للوحدات

في الرياضيات ، يُعدّ حاصل الضرب الموتري للوحدات بناءً يسمح بإجراء عمليات حسابية حول التطبيقات الثنائية الخطية (مثل الضرب) بدلالة التطبيقات الخطية . يُشابه بناء الوحدات بناء حاصل الضرب الموتري للفضاءات المتجهة ، ولكنه يُمكن تطبيقه على زوج من الوحدات فوق حلقة تبديلية ، مما ينتج عنه وحدة ثالثة، وكذلك على زوج من وحدة يمنى ووحدة يسرى فوق أي حلقة ، مما ينتج عنه زمرة أبيلية . تُعدّ حاصلات الضرب الموتري مهمة في مجالات الجبر المجرد ، والجبر التماثلي ، والطوبولوجيا الجبرية ، والهندسة الجبرية ، وجبر المؤثرات، والهندسة غير التبديلية . تمتد الخاصية العامة لحاصل الضرب الموتري للفضاءات المتجهة إلى حالات أكثر عمومية في الجبر المجرد. يُمكن استخدام حاصل الضرب الموتري لجبر ووحدة لتمديد الكميات القياسية . بالنسبة للحلقة التبادلية، يمكن تكرار حاصل الضرب الموتري للوحدات لتشكيل الجبر الموتري للوحدة، مما يسمح بتعريف الضرب في الوحدة بطريقة عالمية.

بالنسبة لحلقة R ، ووحدة نمطية يمنى R - M ، ووحدة نمطية يسارية R - N ، ومجموعة أبيلية G ، يُقال إن التطبيق φ : M × N → G متوازن R ، أو خطي وسطي R ، أو حاصل ضرب متوازن R إذا تحققت الشروط التالية لكل m و m ′ في M ، و n و n ′ في N ، و r في R : ^{[ 1 ] : 126}$$$$ }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{محاذاة}}}$$

يتم الإشارة إلى مجموعة جميع المنتجات المتوازنة هذه على R من M × N إلى G بواسطة L _R ( M , N ; G ) .

إذا كان φ و ψ حاصلي ضرب متوازنين، فإن كلًا من العمليتين φ + ψ و − φ المعرفتين نقطيًا هما حاصل ضرب متوازن. وهذا يحوّل المجموعة L _R ( M , N ; G ) إلى زمرة تبديلية.

بالنسبة لـ M و N ثابتتين، فإن التطبيق G ↦ _LR ( M , N ; G ) هو دالة من فئة الزمر الأبيلية إلى نفسها . يُعطى جزء التشكل عن طريق تطبيق تماثل الزمر g  : G → G ′ على الدالة φ ↦ g ∘ φ ، التي تنتقل من LR ( _M , N ; G ) إلى LR ( _M , N ; G ′ ) .

ملاحظات

1. الخاصيتان (Dl) و (Dr) تعبران عن خاصية الجمع الثنائي لـ φ ، والتي يمكن اعتبارها خاصية التوزيع لـ φ على الجمع.
2. الخاصية (أ) تشبه بعض الخصائص الترابطية لـ φ .
3. كل حلقة R هي وحدة ثنائية R. لذا فإن ضرب الحلقة ( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′ في R هو حاصل ضرب متوازن R R × R → R.

بالنسبة لحلقة R ، ووحدة نمطية يمينية R ، ووحدة نمطية يسارية R ، N ، فإن حاصل الضرب الموتري على R$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$ هي مجموعة أبيلية مع ناتج متوازن (كما هو محدد أعلاه) $${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$$ وهو أمر عالمي بالمعنى التالي: ^{[ 2 ]}

لكل مجموعة أبيلية G ولكل منتج متوازن$${\displaystyle f:M\times N\to G}$$يوجد تماثل مجموعة فريد$${\displaystyle {\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to G}$$بحيث$${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.}$$

كما هو الحال مع جميع الخصائص العامة ، تُعرّف الخاصية المذكورة أعلاه جداء الموتر تعريفًا فريدًا حتى تماثل وحيد: أي زمرة أبيلية أخرى وجداء متوازن لهما نفس الخصائص سيكونان متماثلين مع M ⊗ _R N و ⊗. في الواقع، يُطلق على التطبيق ⊗ اسم التطبيق القانوني ، أو بتعبير أدق: التطبيق القانوني (أو الجداء المتوازن) لجداء الموتر. ^{[ 3 ]}

لا يثبت التعريف وجود M ⊗ _R N ؛ انظر أدناه للحصول على طريقة البناء.

يمكن تعريف حاصل الضرب الموتري أيضًا على أنه كائن تمثيلي للدالة G → L _R ( M , N ; G ) ؛ وهذا يعني صراحةً وجود تماثل طبيعي : $${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

هذه طريقة موجزة لبيان خاصية التعيين الشاملة المذكورة أعلاه. (إذا تم إعطاء هذا التماثل الطبيعي مسبقًا، فإن${\displaystyle \otimes }$يمكن استعادة ذلك عن طريق تناول${\displaystyle G=M\otimes _{R}N}$ثم رسم خريطة الهوية.

وبالمثل، بالنظر إلى التحديد الطبيعي${\displaystyle \operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))}$[ ^{4 ]} يمكنأيضًاتعريف M ⊗ _R ^N بالصيغة$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).}$$

يُعرف هذا باسم اقتران الموتر-التماثل ؛ انظر أيضًا §  الخصائص .

لكل x في M و y في N ، نكتب

بالنسبة لصورة ( س ، ص ) تحت الخريطة الأساسية${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$يُطلق عليه غالبًا اسم الموتر النقي . من الناحية الدقيقة، يكون الترميز الصحيح هو x ⊗ _R y، ولكن من المتعارف عليه حذف R هنا. ومن ثم، مباشرةً من التعريف، توجد العلاقات التالية:

تترتب على الخاصية العامة للضرب الموتري النتيجة المهمة التالية:

البرهان: بالنسبة للعبارة الأولى، ليكن L الزمرة الجزئية من${\displaystyle M\otimes _{R}N}$يتم توليدها بواسطة عناصر من النموذج المعني،${\displaystyle Q=(M\otimes _{R}N)/L}$و q هي دالة القسمة إلى Q. لدينا:${\displaystyle 0=q\circ \otimes }$وكذلك​${\displaystyle 0=0\circ \otimes }$وبالتالي ، بحسب جزء التفرد من الخاصية الشاملة، فإن q = 0. أما العبارة الثانية فتقول إنه لتعريف تشاكل وحدة نمطية ، يكفي تعريفه على المجموعة المولدة للوحدة النمطية.${\displaystyle \square }$

قد يكون هيكل حاصل الضرب الموتري لوحدات نمطية عادية تمامًا غير قابل للتنبؤ.

ليكن G زمرة تبديلية يكون لكل عنصر فيها رتبة منتهية (أي أن G زمرة تبديلية ملتوية ؛ على سبيل المثال، يمكن أن تكون G زمرة تبديلية منتهية أو${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ثم : ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.}$$

في الواقع، أي${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G}$وهو على شكل $${\displaystyle x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.}$$

لو${\displaystyle n_{i}}$هو ترتيب ⁠${\displaystyle g_{i}}$ثم نحسب: $${\displaystyle x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.}$$

وبالمثل، يرى المرء $${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.}$$

فيما يلي بعض المتطابقات المفيدة للحساب: ليكن R حلقة تبديلية، و I و J مثاليين، و M و N وحدات R. عندئذٍ

1. ⁠${\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM}$إذا كانت M مسطحة ،​​${\displaystyle IM=I\otimes _{R}M}$[ ^{الإثبات 1} ]^​
2. ${\displaystyle M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I}$(لأن عملية الضرب الموتري تتبادل مع امتدادات الأساس)
3. ⁠${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)}$[ ^{الإثبات الثاني ]}​

مثال: إذا كانت G زمرة تبديلية ،${\displaystyle G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG}$; وهذا يتبع من 1.

مثال :${\displaystyle \mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}}$وهذا يتبع من 3. على وجه الخصوص، بالنسبة للأعداد الأولية المختلفة p و q ، $${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.}$$

يمكن استخدام الضرب الموتري للتحكم في ترتيب عناصر الزمر. لتكن G زمرة تبديلية. عندئذٍ، تكون مضاعفات العدد 2 في $${\displaystyle G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$$ صفر.

مثال: ليكن${\displaystyle \mu _{n}}$لتكن زمرة الجذور النونية للوحدة. إنها زمرة دورية ، والزمر الدورية تُصنف حسب رتبها. وبالتالي، بشكل غير قانوني،${\displaystyle \mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n}$وبالتالي، عندما يكون g هو القاسم المشترك الأكبر لـ n و m ، $${\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.}$$

مثال: ضع في اعتبارك${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$منذ​${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$يتم الحصول عليها من${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$عن طريق فرض${\displaystyle \mathbb {Q} }$- الخطية في المنتصف، لدينا الشمولية $${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$$ يتم توليد نواتها بواسطة عناصر من الشكل${\displaystyle {r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y}$ حيث r و s و x و u أعداد صحيحة و s عدد غير صفري. بما أن $${\displaystyle {r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,}$$ تختفي النواة فعلياً؛ ومن ثم ،${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} }$⁠ .

لكن ضع في اعتبارك${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$و​${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$. كما${\displaystyle \mathbb {R} }$فضاء المتجهات،${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$له بُعد 4، لكن${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$له بُعد 2.

هكذا،${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$و${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$ليست متماثلة.

مثال: نقترح المقارنة${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$و​${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} }$. كما في المثال السابق، لدينا:${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$كمجموعة أبيلية، وبالتالي كـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$فضاء متجهي (أي${\displaystyle \mathbb {Z} }$- خريطة خطية بين${\displaystyle \mathbb {Q} }$فضاءات المتجهات هي${\displaystyle \mathbb {Q} }$(خطي). كما${\displaystyle \mathbb {Q} }$فضاء المتجهات،${\displaystyle \mathbb {R} }$له بُعد (عدد عناصر الأساس) متصل . ومن ثم،${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$لديه${\displaystyle \mathbb {Q} }$- أساس مُفهرس بواسطة حاصل ضرب متصلات؛ وبالتالي${\displaystyle \mathbb {Q} }$البعد - هو متصل. لذا، ولأسباب تتعلق بالبعد، يوجد تماثل غير قياسي لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$فضاءات المتجهات: $${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} .}$$

ضع في اعتبارك الوحدات${\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}$ل${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال بحيث${\displaystyle \gcd(f,g)=1}$ثم ، $${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}$$

ثمة مجموعة أخرى مفيدة من الأمثلة تأتي من تغيير الكميات القياسية. لاحظ أن $${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}}$$

من الأمثلة الجيدة على هذه الظاهرة التي يمكن النظر إليها ما يلي :${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$⁠ .

يتطلب بناء M ⊗ N قسمة زمرة أبيلية حرة ذات أساس على الرموز m ∗ n ، المستخدمة هنا للدلالة على الزوج المرتب ( m , n ) ، حيث m في M و n في N، بواسطة الزمرة الجزئية المولدة من جميع العناصر من الشكل

1. − m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
2. −( m + m ′) ∗ n + m ∗ n + m ′ ∗ n
3. ( م · ر ) ∗ ن − م ∗ ( ر · ن )

حيث m و m ′ في M ، و n و n ′ في N ، و r في R. دالة القسمة التي تأخذ m ∗ n = ( m , n ) إلى المجموعة المشاركة التي تحتوي على m ∗ n ؛ أي، $${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}$$ متوازنة، وقد تم اختيار المجموعة الفرعية بأقل قدر ممكن لضمان توازن هذه الخريطة. وتنتج الخاصية الشاملة لـ ⊗ من الخصائص الشاملة لمجموعة أبيلية حرة وقسمة.

إذا كانت S حلقة جزئية من حلقة R ، فإن${\displaystyle M\otimes _{R}N}$هي مجموعة القسمة لـ${\displaystyle M\otimes _{S}N}$بواسطة المجموعة الفرعية التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N}$، أين${\displaystyle x\otimes _{S}y}$هي صورة${\displaystyle (x,y)}$تحت​${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N}$⁠ . على وجه الخصوص، يمكن إنشاء أي حاصل ضرب موتر لوحدات R ، إذا رغب في ذلك، كحاصل قسمة حاصل ضرب موتر للمجموعات الأبيلية عن طريق فرضخاصية حاصل الضرب المتوازن R.

من منظور نظرية الفئات، لنفترض أن σ هو الفعل الأيمن المعطى للمجموعة R على المجموعة M ؛ أي σ( m , r ) = m · r، وأن τ هو الفعل الأيسر للمجموعة R على المجموعة N. عندئذٍ، إذا كان حاصل الضرب الموتري للمجموعات الأبيلية مُعرَّفًا مسبقًا، فيمكن تعريف حاصل الضرب الموتري للمجموعة M والمجموعة N على المجموعة R على أنه المُساوي المشترك . $${\displaystyle M\otimes R\otimes N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N}$$ أين${\displaystyle \otimes }$يشير الرمز بدون رمز سفلي إلى حاصل الضرب الموتري للمجموعات الأبيلية.

في بناء حاصل الضرب الموتري على حلقة تبديلية R ، يمكن بناء بنية R -module من البداية بتكوين خارج قسمة R -module حر على الوحدة الفرعية المولدة من العناصر المذكورة أعلاه للبناء العام، معززة بالعناصر r ⋅ ( m ∗ n ) − m ∗ ( r ⋅ n ) . بدلاً من ذلك، يمكن إعطاء البناء العام بنية Z( R ) -module بتعريف الفعل القياسي r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ) عندما يكون هذا مُعرَّفًا جيدًا، وهو تحديدًا عندما r ∈ Z( R ) ، مركز R.

نادرًا ما يكون الضرب المباشر لـ M و N متماثلًا مع الضرب الموتري لـ M و N. عندما لا تكون R تبديلية، فإن الضرب الموتري يتطلب أن يكون M و N وحدات نمطية على جانبين متقابلين، بينما يتطلب الضرب المباشر أن يكونا وحدات نمطية على نفس الجانب. في جميع الحالات، الدالة الوحيدة من M × N إلى G التي تكون خطية وثنائية الخطية هي الدالة الصفرية.

في الحالة العامة، لا تمتد جميع خصائص حاصل الضرب الموتري للفضاءات المتجهة إلى الوحدات النمطية. ومع ذلك، تبقى بعض الخصائص المفيدة لحاصل الضرب الموتري، عند اعتباره تشاكلات نمطية .

أبرز مثال على الضرب الموتري للوحدات في الهندسة التفاضلية هو الضرب الموتري لفضاءات الحقول المتجهة والأشكال التفاضلية. بتعبير أدق، إذا كانت R هي الحلقة (التبديلية) للدوال الملساء على مشعب أملس M ، فإنه يتم وضع $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}}$$ حيث Γ تعني فضاء المقاطع والرمز العلوي${\displaystyle \otimes p}$يعني ذلك ضرب عنصر من عناصر R في موتر p مرة . وبحسب التعريف، فإن عنصرًا من${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$هو حقل موتر من النوع ( p , q ).

كوحدات R ،${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{p}^{q}}$هو الوحدة المزدوجة لـ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$[ ¹⁴ ]^​​

لتبسيط الترميز، ضع${\displaystyle E=\Gamma (M,TM)}$وهكذا​${\displaystyle E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)}$[ 15 ^] عندما يكون ^p و ^q ≥1، لكل ( k ، l ) حيث 1 ≤ k ≤ p ، 1 ≤ l ≤ q ، يوجد تطبيق متعدد الخطية R : $${\displaystyle E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}}$$ أين${\displaystyle E^{p}}$وسائل${\displaystyle \prod _{1}^{p}E}$والعلامة (#) تعني حذف أحد الحدود. وبحسب الخاصية العامة، فإنها تُقابل تطبيقًا خطيًا فريدًا على R : $${\displaystyle C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.}$$

يُطلق عليه اسم انكماش الموترات في المؤشر ( k , l ). عند فكّ ما تنص عليه الخاصية العامة، نرى ما يلي: $${\displaystyle C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.}$$

ملاحظة : يُعدّ النقاش السابق معيارياً في كتب الهندسة التفاضلية (مثل كتاب هيلجاسون ). وبطريقة ما، يُعتبر البناء النظري للحزم (أي لغة حزم الوحدات ) أكثر طبيعية وأكثر شيوعاً؛ للاطلاع على ذلك، انظر القسم §  الضرب الموتري لحزم الوحدات .

على العموم، $${\displaystyle -\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$ هو دالة ثنائية تقبل زوجًا من وحدات R اليمنى واليسرى كمدخلات، وتعينها إلى حاصل الضرب الموتري في فئة المجموعات الأبيلية .

بتثبيت وحدة R اليمنى M ، دالة $${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$ ينشأ، وبشكل متناظر، يمكن تثبيت وحدة R اليسرى N لإنشاء دالة $${\displaystyle -\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .}$$

على عكس الدالة الثنائية Hom${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-),}$يكون الموتر المتغير متغايرًا في كلا المدخلين.

يمكن إثبات ذلك${\displaystyle M\otimes _{R}-}$و${\displaystyle -\otimes _{R}N}$تكون الدوال دائمًا دوالًا دقيقة من اليمين ، ولكن ليس بالضرورة من اليسار ( ⁠${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0}$، حيث تكون العملية الأولى هي الضرب في${\displaystyle n}$، دقيق، لكن ليس بعد أخذ الموتر مع${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$بحسب التعريف، فإن الوحدة النمطية T هي وحدة نمطية مسطحة إذا${\displaystyle T\otimes _{R}-}$هو دالة دقيقة.

لو${\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}}$و${\displaystyle \{n_{j}\mid j\in J\}}$ثم يتم توليد مجموعات لـ M و N على التوالي،${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$ستكون مجموعة توليد لـ${\displaystyle M\otimes _{R}N.}$لأن دالة الموتر${\displaystyle M\otimes _{R}-}$قد لا تكون المجموعة المولدة دقيقة تمامًا في بعض الأحيان، وقد لا تكون مجموعة مولدة دنيا، حتى لو كانت المجموعات المولدة الأصلية دنيا. إذا كانت M وحدة نمطية مسطحة ، فإن الدالة${\displaystyle M\otimes _{R}-}$يكون دقيقًا بحكم تعريف الوحدة المسطحة. إذا أُخذت جداءات الموترات على حقل F ، فإننا نكون في حالة الفضاءات المتجهة كما سبق. بما أن جميع وحدات F مسطحة، فإن الدالة الثنائية${\displaystyle -\otimes _{R}-}$إذا كانت المجموعة دقيقة في كلا الموضعين، وكانت المجموعتان المولدتان المعطيتان أساسين، فإن${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$يشكل بالفعل أساسًا لـ${\displaystyle M\otimes _{F}N}$⁠ .

إذا كانت S و T جبرًا تبديليًا على R ، فعندئذٍ، على غرار #للوحدات المتكافئة ، سيكون S ⊗ _R T جبرًا تبديليًا _على R أيضًا، مع تعريف دالة الضرب ( m1 ⊗ m2 )( _n1 ⊗ _n2 ) = ( m1 n1 ⊗ m2 n2 ) وامتدادها _{بالخطية} . في _{هذا السياق} ، يصبح حاصل الضرب الموتري حاصل ضرب مشترك ليفي في فئة الجبر التبديلي على _R. ( لكنه ليس حاصل ضرب مشترك في فئة _الجبر على R ) .

إذا كان كل من M و N عبارة عن وحدات نمطية R على حلقة تبديلية، فإن حاصل ضربهما الموتري يكون أيضًا وحدة نمطية R. إذا كانت R حلقة، فإن RM _وحدة نمطية R يسارية ، والمبدل

إذا كان أي عنصرين r و s من R موجودين في مُفني M ، فيمكننا جعل M وحدة R يمنى عن طريق وضع

يتحلل تأثير R على M من خلال تأثير حلقة تبديلية خارج القسمة. في هذه الحالة، يكون حاصل الضرب الموتري لـ M مع نفسها على R هو أيضًا وحدة نمطية R. هذه تقنية شائعة جدًا في الجبر التبديلي.

• دالة تور
• حاصل الضرب الموتري للجبر
• حاصل الضرب الموتري للحقول
• حاصل الضرب الموتري المشتق
• نظرية إيلنبرغ-واتس

• بورباكي، الجبر
• هيلجاسون، سيجوردور (1978)، الهندسة التفاضلية، زمر لي والفضاءات المتناظرة ، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 0-12-338460-5
• نورثكوت، دي جي (1984)، الجبر متعدد الخطوط ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 613-0-04808-4.
• الأماكن القريبة : Gubareni, ناديجدا ميخائيلوفنا ; الأماكن القريبة : كيريشينكو، فلاديمير ف. (2004)، الجبر والحلقات والوحدات ، سبرينغر، ISBN 978-1-4020-2690-4.
• ماي، بيتر (1999). دورة موجزة في الطوبولوجيا الجبرية (ملف PDF) . مطبعة جامعة شيكاغو.