معكوسات الأعداد الأولية

كانت معكوسات الأعداد الأولية محل اهتمام علماء الرياضيات لأسباب مختلفة. فهي لا تحتوي على مجموع منتهٍ ، كما أثبت ليونهارد أويلر في عام 1737.

مثل الأعداد النسبية ، فإن مقلوبات الأعداد الأولية لها تمثيلات عشرية متكررة . في سنواته الأخيرة، اهتم جورج سالمون (1819-1904) بالفترات المتكررة لهذه التمثيلات العشرية لمقلوبات الأعداد الأولية. ^[1]

في الوقت نفسه، قام ويليام شانكس (1812-1882) بحساب العديد من مقلوبات الأعداد الأولية وفترات تكرارها، ونشر ورقتين بحثيتين بعنوان "حول الفترات في مقلوبات الأعداد الأولية" في عامي 1873 ^[2] و1874. ^[3] وفي عام 1874، نشر أيضًا جدولًا للأعداد الأولية وفترات مقلوباتها، حتى 20000 (بمساعدة من القس جورج سالمون و"نقله")، وأشار إلى الأخطاء في الجداول السابقة التي وضعها ثلاثة مؤلفين آخرين. ^[4]

تم إعطاء قواعد حساب فترات تكرار الأعداد العشرية من الكسور النسبية بواسطة جيمس ويتبريد لي جلاشر في عام 1878. ^[5] بالنسبة لعدد أولي p ، فإن فترة قسماته المعكوسة p − 1. [ ^6]

يظهر تسلسل فترات التكرار للأعداد الأولية المتبادلة (التسلسل A002371 في OEIS ) في Handbook of Integer Sequences لعام 1973.

رئيسى ( ص )	طول الفترة	متبادل (1/ ص )
2	0	0.5
3	† 1	0.3​
5	0	0.2
7	* 6	0. 142857
11	† 2	0.09​
13	6	0.076923​
17	* 16	0. 0588235294117647
19	* 18	0. 052631578947368421
23	* 22	0. 0434782608695652173913
29	* 28	0. 0344827586206896551724137931
31	15	0. 032258064516129
37	† 3	0.027​
41	5	0.02439​
43	21	0. 023255813953488372093
47	* 46	0. 0212765957446808510638297872340425531914893617
53	13	0. 0188679245283
59	* 58	0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
61	* 60	0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
67	33	0. 014925373134328358208955223880597
71	35	0. 01408450704225352112676056338028169
73	8	0. 01369863
79	13	0. 0126582278481
83	41	0. 01204819277108433734939759036144578313253
89	44	0. 01123595505617977528089887640449438202247191
97	* 96	0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567
101	† 4	0.0099​
103	34	0. 0097087378640776699029126213592233
107	53	0. 00934579439252336448598130841121495327102803738317757
109	* 108	0. 009174311926605504587155963302752293577981651376146788990825688073394495412844036697247706422018348623853211
113	* 112	0. 0088495575221238938053097345132743362831858407079646017699115044247787610619469026548672566371681415929203539823
127	42	0.007874015748031496062992125984251968503937​

* الأعداد الأولية الكاملة مكتوبة بالخط المائل.
† الأعداد الأولية الفريدة مميزة.

عدد أولي كامل التكرار ، عدد أولي كامل التكرار ، عدد أولي خاص ^{[7] : 166} أو عدد أولي طويل في القاعدة b هو عدد أولي فردي p بحيث يكون حاصل قسمة فيرما

${\displaystyle q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

(حيث لا يقسم p b ) يعطي عددًا دوريًا يتكون من p − 1 رقمًا. وبالتالي، فإن التوسع  الأساسي b يكرر أرقام العدد الدوري المقابل إلى ما لا نهاية. ${\displaystyle 1/p}$

يُطلق على العدد الأولي p (حيث p ≠ 2, 5 عند العمل بالأساس 10) فريدًا إذا لم يكن هناك عدد أولي آخر q بحيث يكون طول فترة التوسع العشري لمقلوبه ، 1/ p ، مساويًا لطول فترة مقلوب q ، 1/ q . ^[8] على سبيل المثال، 3 هو العدد الأولي الوحيد ذو الفترة 1، 11 هو العدد الأولي الوحيد ذو الفترة 2، 37 هو العدد الأولي الوحيد ذو الفترة 3، 101 هو العدد الأولي الوحيد ذو الفترة 4، لذا فهي أعداد أولية فريدة. العدد الأولي الفريد الأكبر التالي هو 9091 ذو الفترة 10، على الرغم من أن الفترة الأكبر التالية هي 9 (عدده الأولي هو 333667). وصف صامويل ييتس الأعداد الأولية الفريدة في عام 1980. ^[9] يكون العدد الأولي p فريدًا إذا وفقط إذا كان هناك n بحيث

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}}$

هي قوة p ، حيث تشير إلى متعددة الحدود الدائرية التي تم تقييمها عند . وبالتالي فإن قيمة n هي فترة التوسع العشري لـ 1/ p . ^[10]${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$

في الوقت الحاضر، هناك أكثر من خمسين عدداً أولياً فريداً أو عدداً أولياً محتملاً معروفاً. ومع ذلك، هناك ثلاثة وعشرون عدداً أولياً فريداً فقط أقل من 10 ¹⁰⁰ .

الأعداد الأولية الفريدة العشرية هي

3، 11، 37، 101، 9091، 9901، 333667، 909091، ... (التسلسل A040017 في OEIS ).

• باركر، مات (14 مارس 2022). "مقلوبات الأعداد الأولية - محب الأرقام". يوتيوب .