من أين تأتي الرياضيات

كتاب " من أين تأتي الرياضيات: كيف يُنشئ العقل المتجسد الرياضيات " (يُشار إليه فيما يلي بـ WMCF ) هو من تأليف جورج لاكوف ، عالم اللغويات المعرفية ، ورافائيل إي. نونيز ، عالم النفس . نُشر الكتاب عام 2000،ويسعى إلى تأسيس علم معرفي للرياضيات ، ونظرية للرياضيات المتجسدة قائمة على الاستعارة المفاهيمية .

تشكل الرياضيات ذلك الجزء من النظام المفاهيمي البشري الذي يتميز بالطريقة التالية:

إنها دقيقة، ومتسقة، ومستقرة عبر الزمن وبين المجتمعات البشرية، وقابلة للترميز، وقابلة للحساب، وقابلة للتعميم، ومتاحة عالميًا، ومتسقة ضمن كل موضوع من مواضيعها، وفعالة كأداة عامة للوصف والتفسير والتنبؤ في عدد كبير من الأنشطة اليومية، [تتراوح من] الرياضة إلى البناء والأعمال والتكنولوجيا والعلوم. - WMCF ، ص 50، 377

قال نيكولاي لوباتشيفسكي: "لا يوجد فرع من فروع الرياضيات، مهما كان مجرداً، إلا ويمكن تطبيقه يوماً ما على ظواهر العالم الحقيقي". ويبدو أن نوعاً شائعاً من عملية المزج المفاهيمي ينطبق على العملية الرياضية بأكملها.

يتمثل الهدف المعلن لـ لاكوف ونونيز في البدء بوضع أسس فهم علمي حقيقي للرياضيات، فهم قائم على عمليات مشتركة بين جميع الإدراكات البشرية. وقد وجدا أن أربع عمليات متميزة ولكنها مترابطة تُشكل، بشكل مجازي، بنية الحساب الأساسي: جمع الأشياء، وبناء الأشياء، واستخدام عصا القياس، والتحرك على طول مسار.

يستند كتاب WMCF إلى كتب سابقة للمؤلفين لاكوف (1987) ولاكوف وجونسون (1980، 1999)، والتي تحلل مفاهيم الاستعارة ومخططات الصور من الجيل الثاني من العلوم المعرفية . بعض المفاهيم الواردة في هذه الكتب السابقة، مثل الأفكار التقنية المهمة في كتاب لاكوف (1987)، غائبة عن كتاب WMCF .

يرى لاكوف ونونيز أن الرياضيات نتاجٌ للجهاز المعرفي البشري، ولذا يجب فهمها من منظور معرفي. وتدعو مؤسسة WMCF (وتُقدّم بعض الأمثلة على ذلك) إلى تحليل الأفكار الرياضية من منظور معرفي ، حيث تُحلّل الأفكار الرياضية في ضوء التجارب الإنسانية، والاستعارات، والتعميمات، وغيرها من الآليات المعرفية التي تُنتجها. ولا يُطوّر التعليم الرياضي التقليدي تقنيات تحليل الأفكار هذه، لأنه لا يتناول مسألة: أ) ما هي البنى العقلية التي تُمكّنه من ممارسة الرياضيات، أو ب) فلسفة الرياضيات .

بدأ لاكوف ونونيز بمراجعة الأدبيات النفسية، وخلصا إلى أن البشر يمتلكون على ما يبدو قدرة فطرية، تُسمى الإدراك السريع ، على العد والجمع والطرح حتى حوالي 4 أو 5. وقد وثّقا هذا الاستنتاج من خلال مراجعة الأدبيات المنشورة في العقود الأخيرة، والتي تصف تجارب أُجريت على أطفال رُضّع. فعلى سبيل المثال، سرعان ما يُبدي الرُضّع حماسًا أو فضولًا عند عرض مواقف "مستحيلة"، مثل ظهور ثلاث ألعاب في حين لم يكن هناك سوى اثنتين في البداية.

يجادل المؤلفون بأن الرياضيات تتجاوز هذا المستوى الابتدائي بكثير نظرًا لوجود عدد كبير من التراكيب المجازية . فعلى سبيل المثال، فإن موقف فيثاغورس القائل بأن كل شيء عدد، وما صاحبه من أزمة ثقة نشأت مع اكتشاف عدم منطقية الجذر التربيعي للعدد اثنين ، ينبع فقط من علاقة مجازية بين طول قطر المربع والأعداد الممكنة للأشياء.

يتناول جزء كبير من كتاب "WMCF" مفاهيم مهمة كاللانهائية وعمليات النهايات، ساعيًا إلى تفسير كيف يمكن للبشر ذوي القدرات المحدودة، الذين يعيشون في عالم محدود، أن يتصوروا في نهاية المطاف اللانهائية الفعلية . ولذا، يُعدّ جزء كبير من "WMCF" في جوهره دراسة للأسس المعرفية لحساب التفاضل والتكامل . ويخلص لاكوف ونونيز إلى أنه بينما اللانهائية الكامنة ليست مجازية، فإن اللانهائية الفعلية كذلك. علاوة على ذلك، يعتبران جميع مظاهر اللانهائية الفعلية أمثلة لما يسميانه "الاستعارة الأساسية للانهائية"، كما يُمثلها التسلسل المتزايد باستمرار 1، 2، 3، ...

يرفض مركز WMCF رفضًا قاطعًا فلسفة الرياضيات الأفلاطونية . ويؤكد أن كل ما نعرفه، وما يمكننا معرفته، هو الرياضيات البشرية ، أي الرياضيات الناشئة عن العقل البشري. إن التساؤل عما إذا كانت هناك رياضيات "متعالية" مستقلة عن الفكر البشري هو سؤال لا معنى له، مثل التساؤل عما إذا كانت الألوان متعالية عن الفكر البشري - فالألوان ليست سوى أطوال موجية مختلفة للضوء، وتفسيرنا للمؤثرات الفيزيائية هو ما يجعلها ألوانًا.

ينتقد كتاب WMCF (صفحة  81) كذلك التركيز الذي يوليه علماء الرياضيات لمفهوم الإغلاق . ويجادل لاكوف ونونيز بأن توقع الإغلاق هو نتاج قدرة العقل البشري على ربط مفاهيم مختلفة جوهريًا عبر الاستعارة.

يركز كتاب WMCF بشكل أساسي على اقتراح وتأسيس رؤية بديلة للرياضيات، رؤية تربط هذا المجال بواقع البيولوجيا البشرية وتجربتها. وهو ليس عملاً في الرياضيات التقنية أو الفلسفة. لم يكن لاكوف ونونيز أول من جادل بأن المناهج التقليدية في فلسفة الرياضيات معيبة. فعلى سبيل المثال، لا يبدو أنهما على دراية كافية بمحتوى كتاب ديفيس وهيرش ( 1981)، على الرغم من أن الكتاب يُشيد بدعم هيرش.

يستشهد لاكوف ونونيز بساوندرز ماك لين (مخترع نظرية الفئات مع صموئيل إيلنبرغ ) لدعم موقفهما. ويقترح كتاب "الرياضيات، الشكل والوظيفة " (1986)، وهو عرض شامل للرياضيات موجه للفلاسفة، أن المفاهيم الرياضية متجذرة في نهاية المطاف في الأنشطة البشرية العادية، ولا سيما التفاعلات مع العالم المادي. ^{[ 1 ]}

تتضمن الاستعارات المفاهيمية الموصوفة في WMCF ، بالإضافة إلى الاستعارة الأساسية للانهائية، ما يلي:

• الحساب هو حركة على طول مسار، وتجميع/بناء الأشياء؛
• التغيير هو حركة؛
• المجموعات عبارة عن حاويات، كائنات؛
• الاستمرارية لا تتخللها فجوات؛
• تتمتع الأنظمة الرياضية بـ "جوهر"، ألا وهو بنيتها الجبرية البديهية ؛
• الدوال هي مجموعات من الأزواج المرتبة ، وهي منحنيات في المستوى الديكارتي ؛
• الأشكال الهندسية هي أجسام في الفضاء؛
• الاستقلال المنطقي هو التعامد الهندسي ؛
• الأرقام هي مجموعات، ومجموعات من الأشياء، وقطاعات مادية، ونقاط على خط؛
• التكرار دائري.

يتطلب الاستدلال الرياضي متغيراتٍ تشمل نطاقًا واسعًا من الخطاب ، حتى نتمكن من الاستدلال حول العموميات بدلًا من مجرد الجزئيات. ويجادل WMCF بأن الاستدلال بهذه المتغيرات يعتمد ضمنيًا على ما يسميه المجاز الأساسي للجبر.

يتضمن كتاب WMCF (صفحة  151) المثال التالي لما يسميه المؤلفون "الغموض المجازي". خذ المجموعة${\displaystyle A=\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}.}$ثم تذكر مصطلحين من المصطلحات القياسية في نظرية المجموعات الأولية :

1. البناء التكراري للأعداد الطبيعية الترتيبية ، حيث يكون الصفر هو${\displaystyle \emptyset }$، و${\displaystyle n+1}$يكون${\displaystyle n\cup \{n\}.}$
2. الزوج المرتب ( أ، ب )، المعرف على النحو التالي${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}.}$

بحسب (1)، فإن A هي المجموعة {1، 2}. لكن (1) و(2) معًا تشيران إلى أن A هي أيضًا الزوج المرتب (0، 1). لا يمكن أن تكون كلتا العبارتين صحيحتين؛ فالزوج المرتب (0، 1) والزوج غير المرتب {1، 2} مفهومان مختلفان تمامًا. يصف لاكوف وجونسون (1999) هذه الحالة بأنها "غامضة مجازيًا". هذا المثال البسيط يُشكك في أي أسس أفلاطونية للرياضيات.

مع أن التعريفين (1) و(2) أعلاه يُعتبران من التعريفات الأساسية، لا سيما في نظرية المجموعات التوافقية المعروفة باسم بديهيات زيرميلو-فرانكل ، إلا أن WMCF لا يُشير إلى أنهما مجرد تعريف واحد من بين عدة تعريفات طُرحت منذ فجر نظرية المجموعات. على سبيل المثال، يُعرّف كل من فريجه ، ومبادئ الرياضيات ، والأسس الجديدة (وهي مجموعة من نظريات المجموعات البديهية التي بدأها كواين عام 1937) الأعداد الأصلية والترتيبية كفئات تكافؤ في ظل علاقتي التساوي العددي والتشابه ، بحيث لا يظهر هذا الإشكال. في نظرية المجموعات الكوينية، A هي ببساطة مثال على العدد 2. ولأسباب تقنية، يُعد تعريف الزوج المرتب كما في (2) أعلاه غير عملي في نظرية المجموعات الكوينية. وقد اقتُرح حلان:

• تعريف بديل للزوج المرتب في نظرية المجموعات، وهو تعريف أكثر تعقيدًا من التعريف المعتاد؛
• اعتبار الأزواج المرتبة عناصر أساسية.

"رومانسية الرياضيات" هو مصطلح خفيف الظل تستخدمه مؤسسة WMCF لوصف وجهة نظر فلسفية دائمة حول الرياضيات، والتي يصفها المؤلفون ثم يرفضونها باعتبارها خرافة فكرية:

• الرياضيات متعالية، أي أنها موجودة بمعزل عن البشر، وتُشكّل كوننا المادي الواقعي وأي كون ممكن. الرياضيات هي لغة الطبيعة، وهي البنية المفاهيمية الأساسية التي قد نتشاركها مع الكائنات الفضائية، إن وُجدت.
• البرهان الرياضي هو بوابة إلى عالم الحقيقة المتعالية.
• الاستدلال هو المنطق ، والمنطق في جوهره رياضي. ومن ثم، فإن الرياضيات تُشكل بنية كل استدلال ممكن.
• بما أن الرياضيات موجودة بمعزل عن البشر، ولأن التفكير هو في جوهره رياضي، فإن التفكير نفسه مجرد من الجسد. لذلك، فإن الذكاء الاصطناعي ممكن، على الأقل من حيث المبدأ.

يبقى السؤال مطروحاً حول ما إذا كانت WMCF ستُشكّل في نهاية المطاف بداية مدرسة جديدة في فلسفة الرياضيات . ولذا، قد تكمن القيمة الرئيسية لـ WMCF حتى الآن في قيمتها النقدية: نقدها للأفلاطونية والرومانسية في الرياضيات.

يُعارض العديد من علماء الرياضيات العاملين منهج واستنتاجات لاكوف ونونيز. وقد انتقدت مراجعات كتاب "التعريف الرياضي العالمي" (WMCF) التي كتبها علماء الرياضيات في المجلات المتخصصة، مع احترامها لتركيزه على الاستراتيجيات المفاهيمية والاستعارات كسبل لفهم الرياضيات، بعض حججه الفلسفية، انطلاقًا من فكرة أن للعبارات الرياضية معاني "موضوعية" دائمة. ^{[ 2 ]} فعلى سبيل المثال، تعني نظرية فيرما الأخيرة تمامًا ما كانت تعنيه عندما اقترحها فيرما لأول مرة عام 1664. وأشار مراجعون آخرون إلى إمكانية استخدام استراتيجيات مفاهيمية متعددة للمصطلح الرياضي نفسه، غالبًا من قِبل الشخص نفسه (وهي نقطة تتوافق مع وجهة النظر القائلة بأننا نفهم المفهوم "النفسي" بشكل روتيني باستخدام استعارات مختلفة). الاستعارة والاستراتيجية المفاهيمية ليستا متطابقتين مع التعريف الرسمي الذي يستخدمه علماء الرياضيات. ومع ذلك، يُشير كتاب "التعريف الرياضي العالمي" إلى أن التعريفات الرسمية تُبنى باستخدام كلمات ورموز لا معنى لها إلا من خلال التجربة الإنسانية.

تشمل الانتقادات الموجهة إلى WMCF الجوانب الفكاهية التالية:

يصعب عليّ تصور استعارة لعدد حقيقي مرفوع إلى قوة مركبة، ولكن إن وُجدت، فأودّ رؤيتها بالتأكيد. — جوزيف أوسلاندر ^{[ 3 ]}

والمطلعين جسديًا:

لكن تحليلهم يترك سؤالين على الأقل دون إجابة شافية. أولهما، أن المؤلفين يتجاهلون حقيقة أن الدماغ لا يكتفي بملاحظة الطبيعة، بل هو جزء منها. ربما تتخذ الرياضيات التي يبتكرها الدماغ شكلها الحالي لأن الرياضيات ساهمت في تكوين الدماغ في المقام الأول (من خلال تطبيق القوانين الطبيعية في تقييد تطور الحياة). علاوة على ذلك، يختلف الأمر تمامًا بين ملاءمة المعادلات لجوانب من الواقع معروفة مسبقًا، وبين أن تكشف هذه الرياضيات عن ظواهر لم تكن متوقعة من قبل. عندما أنتجت معادلات بول ديراك التي تصف الإلكترونات أكثر من حل، افترض أن الطبيعة لا بد أن تمتلك جسيمات أخرى، تُعرف الآن بالمادة المضادة. لكن العلماء لم يكتشفوا هذه الجسيمات إلا بعد أن أكدت له معادلات ديراك وجودها. إذا كانت الرياضيات اختراعًا بشريًا، فيبدو أن الطبيعة كانت على دراية بما سيتم ابتكاره. ^{[ 3 ]}

يميل لاكوف ونونيز إلى تجاهل الآراء السلبية التي أبداها علماء الرياضيات حول كتاب "WMCF" ، لأن منتقديهم لا يُقدّرون رؤى علم الإدراك. ويؤكد لاكوف ونونيز أن حجتهما لا يُمكن فهمها إلا من خلال الاكتشافات التي تحققت في العقود الأخيرة حول كيفية معالجة الدماغ البشري للغة والمعنى. ويجادلان بأن أي حجج أو انتقادات لا تستند إلى هذا الفهم لا يُمكنها معالجة محتوى الكتاب. ^{[ 4 ]}

لقد أشير إلى أنه ليس من الواضح على الإطلاق أن نظرية "الذكاء الرياضي" (WMCF) تثبت أن الادعاء بأن "للحياة الفضائية الذكية قدرة رياضية" مجرد خرافة. ولإثبات ذلك، كان لا بد من إظهار أن الذكاء والقدرة الرياضية قابلان للفصل، وهو ما لم يتم. فعلى الأرض، يبدو أن الذكاء والقدرة الرياضية متلازمان في جميع أشكال الحياة، كما أشار كيث ديفلين وآخرون. ^{[ 5 ]} ولم يوضح مؤلفو نظرية "الذكاء الرياضي" كيف يمكن أن يختلف هذا الوضع في أي مكان آخر.

يبدو أن لاكوف ونونيز لا يُدركان مدى استباق الحدسيين والبنائيين لهجومهما على رومانسية الرياضيات (الأفلاطونية). جادل براور ، مؤسس وجهة النظر الحدسية / البنائية ، في أطروحته " في أسس الرياضيات" ، بأن الرياضيات بناء ذهني، وإبداع حر للعقل، ومستقل تمامًا عن المنطق واللغة. ثم ينتقد الشكليين لبنائهم هياكل لفظية تُدرس دون تفسير حدسي. لا ينبغي الخلط بين اللغة الرمزية والرياضيات؛ فهي تعكس الواقع الرياضي، لكنها لا تحتويه. ^{[ 6 ]}

أبدى التربويون بعض الاهتمام بما يقترحه برنامج WMCF حول كيفية تعلم الرياضيات، ولماذا يجد الطلاب بعض المفاهيم الأساسية أكثر صعوبة من غيرها.

مع ذلك، حتى من منظور تربوي، لا تزال نظرية WMCF إشكالية. فمن وجهة نظر نظرية الاستعارة المفاهيمية، تقع الاستعارات في عالم مختلف، هو العالم المجرد، عن عالم "الواقع" الملموس. بعبارة أخرى، على الرغم من ادعائهم بأن الرياضيات من صنع الإنسان، فإن المعرفة الرياضية الراسخة - التي نتعلمها في المدرسة - تُفترض وتُعامل على أنها مجردة، منفصلة تمامًا عن أصلها المادي. ولا يمكنها تفسير كيفية وصول المتعلمين إلى هذه المعرفة. ^{[ 7 ]}

يُنتقد إطار الرياضيات العالمي (WMCF) أيضًا لنهجه الأحادي. أولًا، يتجاهل هذا الإطار حقيقة أن التجربة الحسية الحركية التي يُفترض أن بنيتنا اللغوية - وبالتالي الرياضيات - تستند إليها قد تختلف باختلاف الثقافات والظروف. ^{[ 8 ]} ثانيًا، الرياضيات التي يهتم بها إطار الرياضيات العالمي هي "بشكل شبه كامل... عبارات قياسية في الكتب المدرسية والمناهج الدراسية"، ^{[ 8 ]} وهي أكثر المعارف رسوخًا. وهذا يُغفل الطبيعة الديناميكية والمتنوعة لتاريخ الرياضيات.

يُعدّ نهج WMCF الذي يركز على الشعار هدفًا آخر للنقاد. فبينما يهتم هذا النهج في المقام الأول بالارتباط بين اللغة والرياضيات، فإنه لا يأخذ في الاعتبار كيف تساهم العوامل غير اللغوية في ظهور الأفكار الرياضية (انظر على سبيل المثال: رادفورد، 2009؛ ^{[ 9 ]} روتمان، 2008 ^{[ 10 ]} ).

يختتم كتاب WMCF (الصفحات  378-379) ببعض النقاط الرئيسية، والتي يرد عدد منها فيما يلي. تنشأ الرياضيات من أجسادنا وعقولنا، ومن تجاربنا اليومية، ومن اهتمامات المجتمعات والثقافات البشرية. وهي:

• إن القدرة على بناء الاستعارات المفاهيمية هي نتاج القدرات المعرفية الطبيعية لدى البالغين، ولا سيما القدرة على الاستعارة المفاهيمية، وهي بالتالي سمة إنسانية عالمية. وتستند هذه القدرة إلى أسس عصبية، وتمكّن الإنسان من التفكير في مجال ما باستخدام لغة ومفاهيم مجال آخر. والاستعارة المفاهيمية هي ما مكّن الرياضيات من النمو انطلاقاً من الأنشطة اليومية، وهي أيضاً ما يمكّنها من النمو من خلال عملية مستمرة من القياس والتجريد.
• رمزي ، مما يسهل بشكل كبير الحساب الدقيق؛
• ليس متعالياً، بل هو نتيجة للتطور البشري والثقافة ، والتي يعود إليها فعاليته. أثناء تجربة العالم ، يحدث اتصال بالأفكار الرياضية داخل العقل البشري؛
• نظام من المفاهيم البشرية يستخدم بشكل غير عادي الأدوات العادية للإدراك البشري؛
• إبداع مفتوح من صنع البشر، الذين يظلون مسؤولين عن صيانته وتوسيعه؛
• أحد أعظم نتاجات الخيال البشري الجماعي، ومثال رائع على جمال وثراء وتعقيد وتنوع وأهمية الأفكار البشرية.

لا يقتصر النهج المعرفي للأنظمة الصورية ، كما هو موضح ومطبق في WMCF ، على الرياضيات فحسب، بل من شأنه أن يكون مثمرًا أيضًا عند تطبيقه على المنطق الصوري، وعلى الفلسفة الصورية مثل نظرية إدوارد زالتا عن الكائنات المجردة . وقد وظّف لاكوف وجونسون (1999) النهج المعرفي بنجاح لإعادة النظر في جزء كبير من فلسفة العقل ، ونظرية المعرفة ، والميتافيزيقا ، وتاريخ الأفكار .

• كائن مجرد
• العلوم المعرفية
• علم الإدراك في الرياضيات
• استعارة مفاهيمية
• الفلسفة المتجسدة
• أسس الرياضيات
• من الفعل إلى الرياضيات بقلم ماك لين
• استعارة
• فلسفة الرياضيات
• الفعالية غير المعقولة للرياضيات في العلوم الطبيعية

• ديفيس، فيليب جيه، وروبن هيرش ، 1999 (1981). التجربة الرياضية . كتب مارينر. نُشر لأول مرة بواسطة هوتون ميفلين.
• جورج لاكوف ، 1987. النساء والنار والأشياء الخطيرة . مطبعة جامعة شيكاغو.
• ------ ومارك جونسون ، 1999. الفلسفة في الجسد . الكتب الأساسية.
• جورج لاكوف ورافائيل نونيز ، 2000، من أين تأتي الرياضيات . دار بيسيك بوكس ​​للنشر. رقم ISBN 0-465-03770-4
• جون راندولف لوكاس ، 2000. الجذور المفاهيمية للرياضيات . روتليدج.
• ساوندرز ماك لين ، 1986. الرياضيات: الشكل والوظيفة . سبرينغر فيرلاغ.

• موقع WMCF الإلكتروني. مؤرشف بتاريخ 18 يوليو 2011 على موقع Wayback Machine.
• مراجعات WMCF .
  • جوزيف أوسلاندر في عالم أمريكي ؛
  • بوني جولد ، مراجعات جمعية المؤلفين الأمريكيين 2001
  • رد لاكوف على مراجعة غولد لطلب ترخيص التسويق.