برهان وايلز على نظرية فيرما الأخيرة

برهان وايلز لنظرية فيرما الأخيرة هو برهانٌ وضعه عالم الرياضيات البريطاني أندرو وايلز لحالة خاصة من نظرية النمطية للمنحنيات الإهليلجية . ويُقدّم هذا البرهان، إلى جانب نظرية ريبيت ، برهانًا لنظرية فيرما الأخيرة . وكان يُعتقد آنذاك، من قِبل معظم علماء الرياضيات، أن إثبات كلٍّ من نظرية فيرما الأخيرة ونظرية النمطية أمرٌ مستحيلٌ باستخدام المعرفة السابقة. ^{[ 1 ]}^{: 203–205، 223، 226}

أعلن وايلز عن برهانه لأول مرة في 23 يونيو 1993 خلال محاضرة ألقاها في كامبريدج بعنوان "الأشكال النمطية، والمنحنيات الإهليلجية، وتمثيلات غالوا". ^{[ 2 ]} إلا أنه في سبتمبر من العام نفسه، تبيّن وجود خطأ في البرهان. وبعد عام، في 19 سبتمبر 1994، وفيما وصفه وايلز بأنه "أهم لحظة في حياته المهنية"، توصل إلى اكتشاف مكّنه من تصحيح البرهان بما يرضي المجتمع الرياضي. ^{[ 3 ]} نُشر البرهان المصحح عام 1995 في مجلة " حوليات الرياضيات" في مقالتين، إحداهما من تأليف وايلز والأخرى بالاشتراك مع ريتشارد تايلور . يبلغ طول المقالتين معًا 129 صفحة ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} ، وقد استغرقتا أكثر من سبع سنوات من وقت وايلز البحثي.

تستخدم هذه البرهنة العديد من التقنيات من الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد ، ولها تداعيات واسعة في هذين الفرعين من الرياضيات. كما تستخدم أيضًا بنىً قياسية من الهندسة الجبرية الحديثة، مثل فئة المخططات ، وأفكارًا مهمة في نظرية الأعداد من نظرية إيواساوا ، وتقنيات أخرى من القرن العشرين لم تكن متاحة لفيرما. وقد مثّلت طريقة البرهان في تحديد حلقة التشوه بجبر هيك (المعروفة الآن بنظرية R=T ) لإثبات نظريات رفع النمطية تطورًا مؤثرًا في نظرية الأعداد الجبرية .

وصف جون كوتس البرهان بأنه أحد أعظم إنجازات نظرية الأعداد، وأطلق عليه جون كونواي لقب "برهان القرن العشرين". ^{[ 6 ]} تقديراً لإثباته نظرية فيرما الأخيرة، مُنح وايلز لقب فارس وحصل على تكريمات أخرى، منها جائزة أبيل لعام 2016. وعند إعلان فوز وايلز بجائزة أبيل، وصفت الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب إنجازه بأنه "برهان مذهل". ^{[ 3 ]}

مقدمات لإثبات وايلز

نظرية فيرما الأخيرة والتقدم المحرز قبل عام 1980

تنص نظرية فيرما الأخيرة ، التي صِيغت عام 1637، على أنه لا يوجد ثلاثة أعداد صحيحة موجبة $a$ ، $b$ ، و $c$ يمكن أن يحقق المعادلة

a^{n}+b^{n}=c^{n}

لو $n$ هو عدد صحيح أكبر من اثنين ( $n>2$ ).

بمرور الوقت، أصبح هذا الادعاء البسيط أحد أشهر الادعاءات غير المثبتة في الرياضيات. وبين نشره وحل أندرو وايلز النهائي بعد أكثر من 350 عامًا، حاول العديد من علماء الرياضيات والهواة إثبات هذا الادعاء، سواء لجميع قيم $n>2$ أو لحالات محددة. وقد حفز ذلك تطوير مجالات جديدة بالكامل ضمن نظرية الأعداد . وفي النهاية، تم التوصل إلى براهين لجميع قيم $n$ يصل العدد إلى حوالي 4 ملايين، أولاً يدوياً، ثم لاحقاً بواسطة الحاسوب. ^{[ 7 ]} ومع ذلك، لم يتم العثور على دليل عام يكون صالحاً لجميع القيم الممكنة لـ $n$ ولا حتى تلميح لكيفية إجراء مثل هذا الإثبات.

تخمين تانياما-شيمورا-ويل

بمعزل عن أي شيء يتعلق بنظرية فيرما الأخيرة، افترض عالم الرياضيات الياباني غورو شيمورا ، في خمسينيات وستينيات القرن العشرين، مستندًا إلى أفكار طرحها يوتاكا تانياما ، وجود صلة محتملة بين المنحنيات الإهليلجية والأشكال النمطية . كانت هذه كائنات رياضية لا توجد صلة معروفة بينها. وتساءل تانياما وشيمورا عما إذا كان هذان النوعان من الكائنات، دون علم علماء الرياضيات، متطابقين في الواقع، وإنما يُنظر إليهما بطرق مختلفة.

افترضوا أن كل منحنى إهليلجي منطقي هو أيضًا منحنى نمطي . عُرف هذا الافتراض باسم حدسية تانياما-شيمورا. في الغرب، اشتهرت هذه الحدسية بفضل ورقة بحثية نشرها أندريه ويل عام 1967 ، حيث قدم أدلة مفاهيمية عليها؛ ولذلك، تُسمى أحيانًا حدسية تانياما-شيمورا-ويل.

بحلول عام 1980 تقريبًا، تراكمت الكثير من الأدلة لتشكيل تخمينات حول المنحنيات الإهليلجية، وكُتبت العديد من الأوراق التي فحصت العواقب إذا كانت التخمينات صحيحة، ولكن التخمين الفعلي نفسه لم يثبت وكان يعتبر بشكل عام غير قابل للوصول إليه - مما يعني أن علماء الرياضيات اعتقدوا أن إثبات التخمين ربما يكون مستحيلاً باستخدام المعرفة الحالية.

لعقود، ظلّت هذه الفرضية مشكلةً مهمةً في الرياضيات، لكنها لم تُحلّ. بعد حوالي خمسين عامًا من طرحها لأول مرة، تمّ إثباتها أخيرًا وأُعيد تسميتها بنظرية النمطية ، ويعود الفضل في ذلك إلى حد كبير إلى عمل أندرو وايلز الموصوف أدناه.

منحنى فراي

وفي فرع آخر منفصل من فروع التطوير، في أواخر الستينيات، توصل إيف هيليغوارش إلى فكرة ربط الحلول الافتراضية $(a,b,c)$ معادلة فيرما مع كائن رياضي مختلف تمامًا: منحنى إهليلجي. ^{[ 8 ]} يتكون المنحنى من جميع النقاط في المستوى التي إحداثياتها $(x,y)$ تحقيق العلاقة

y^{2}=x(xa^{n})(x+b^{n}).

يتمتع هذا المنحنى الإهليلجي بخصائص مميزة للغاية نظرًا لوجود قوى عالية للأعداد الصحيحة في معادلته، ولأن $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ سيكون ذلك $n$ القوة أيضًا.

في الفترة ما بين عامي 1982 و1985، لفت غيرهارد فراي الانتباه إلى الخصائص غير العادية لهذا المنحنى نفسه، والذي يُعرف الآن باسم منحنى فراي . بيّن أنه من المرجح أن يربط هذا المنحنى بين نظريتي فيرما وتانياما-شيمورا-ويل، إذ أن أي مثال مضاد لنظرية فيرما الأخيرة من شأنه أن يشير على الأرجح إلى وجود منحنى إهليلجي غير نمطي . كما بيّن فراي أن هناك أسبابًا وجيهة للاعتقاد بأن أي مجموعة من الأعداد $(a,b,c,n)$ من المحتمل أن يكون بالإمكان استخدام مجموعة الأعداد القادرة على دحض نظرية فيرما الأخيرة لدحض حدسية تانياما-شيمورا-ويل. وبالتالي، إذا كانت حدسية تانياما-شيمورا-ويل صحيحة، فلن يكون هناك أي مجموعة أعداد قادرة على دحض نظرية فيرما، مما يعني بالضرورة صحة نظرية فيرما الأخيرة أيضًا.

تقول الفرضية أنه يمكن إنشاء كل منحنى إهليلجي بمعاملات نسبية بطريقة مختلفة تمامًا، ليس عن طريق إعطاء معادلته ولكن باستخدام الدوال المعيارية لمعاملة الإحداثيات . $x$ و $y$ من النقاط الواقعة عليه. وبالتالي، وفقًا للفرضية، فإن أي منحنى إهليلجي فوق $\mathbb {Q}$ يجب أن يكون منحنى إهليلجيًا معياريًا ؛ ومع ذلك، إذا كان حلًا لمعادلة فيرما بقيمة غير صفرية $a$ ، $b$ ، $c$ و $n$ إذا وُجد عدد أكبر من 2، فلن يكون المنحنى المقابل معياريًا، مما يؤدي إلى تناقض. إذا أمكن إثبات الرابط الذي حدده فراي، فسيعني ذلك بدوره أن دحض نظرية فيرما الأخيرة سيدحض حدسية تانياما-شيمورا-ويل، أو بالعكس، فإن إثبات الأخيرة سيثبت الأولى أيضًا. ^{[ 9 ]}

نظرية ريبيت

لإكمال هذه الصلة، كان من الضروري إثبات صحة حدس فراي: أن منحنى فراي، إن وُجد، لا يمكن أن يكون نمطيًا. في عام ١٩٨٥، قدّم جان بيير سير برهانًا جزئيًا على أن منحنى فراي لا يمكن أن يكون نمطيًا. لم يُقدّم سير برهانًا كاملًا لاقتراحه؛ فالجزء المفقود (الذي لاحظه سير مبكرًا ^{[ ١٠ ]}^{: ١} ) أصبح يُعرف باسم حدسية إبسيلون (المعروفة الآن باسم نظرية ريبيت ). كان اهتمام سير الرئيسي مُنصبًا على حدسية أكثر طموحًا، وهي حدسية سير حول تمثيلات غالوا النمطية ، والتي من شأنها أن تستلزم حدسية تانياما-شيمورا-ويل. مع ذلك، كان برهانه الجزئي قريبًا من تأكيد الصلة بين فيرما وتانياما.

في صيف عام 1986، نجح كين ريبت في إثبات حدسية إبسيلون، المعروفة الآن باسم نظرية ريبت . نُشرت مقالته في عام 1990. وبذلك، أثبت ريبت أخيرًا الصلة بين النظريتين من خلال تأكيده، كما اقترح فراي، أن إثبات حدسية تانياما-شيمورا-ويل لأنواع المنحنيات الإهليلجية التي حددها فراي، إلى جانب نظرية ريبت، سيثبت أيضًا نظرية فيرما الأخيرة.

من الناحية الرياضية، أظهرت نظرية ريبيت أنه إذا كان لتمثيل غالوا المرتبط بمنحنى إهليلجي خصائص معينة (كما هو الحال في منحنى فراي)، فإن هذا المنحنى لا يمكن أن يكون نمطيًا، بمعنى أنه لا يمكن أن يوجد شكل نمطي يؤدي إلى نفس تمثيل غالوا. ^{[ 11 ]}

الوضع قبل إثبات وايلز

في ضوء التطورات المتعلقة بمنحنى فراي، وارتباطه بكل من فيرما وتانياما، فإن إثبات نظرية فيرما الأخيرة سيتبع من إثبات حدسية تانياما-شيمورا-ويل - أو على الأقل إثبات الحدسية لأنواع المنحنيات الإهليلجية التي تضمنت معادلة فراي (المعروفة باسم المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة ).

انطلاقاً من نظرية ريبيت ومنحنى فراي، يمكن أيضاً استخدام أي 4 أرقام يمكن استخدامها لدحض نظرية فيرما الأخيرة لإنشاء منحنى إهليلجي شبه مستقر ("منحنى فراي") لا يمكن أن يكون معيارياً أبداً؛
لكن إذا كانت فرضية تانياما-شيمورا-ويل صحيحة أيضًا بالنسبة للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، فإن كل منحنى فراي موجود يجب أن يكون معياريًا بحكم التعريف.
لا يمكن أن يكون لهذا التناقض إلا تفسير واحد : إذا كانت نظرية ريبيت وتخمين تانياما-شيمورا-ويل للمنحنيات شبه المستقرة صحيحتين، فهذا يعني أنه لا يمكن أن يكون هناك أي حلول لمعادلة فيرما، لأنه حينها لن يكون هناك منحنيات فراي على الإطلاق، مما يعني عدم وجود أي تناقضات. وهذا من شأنه أن يثبت نظرية فيرما الأخيرة.

مع ذلك، ورغم التقدم الذي أحرزه سير وريبيت، اعتُبر هذا النهج في دراسة فيرما غير قابل للتطبيق على نطاق واسع، إذ رأى معظم علماء الرياضيات أن حدسية تانياما-شيمورا-ويل نفسها عصية تمامًا على الإثبات بالمعرفة الحالية. ^{[ 1 ]}^{: 203-205، 223، 226.} فعلى سبيل المثال، صرّح جون كوتس ، المشرف السابق على وايلز، بأنه يبدو "من المستحيل إثباتها فعليًا"، ^{[ 1 ]}^{: 226} ، واعتبر كين ريبيت نفسه "واحدًا من الغالبية العظمى ممن اعتقدوا أنها عصية تمامًا على الإثبات". ^{[ 1 ]}^{: 223}

أندرو وايلز

بعد سماعه برهان ريبيت عام 1986 على حدسية إبسيلون، قرر عالم الرياضيات الإنجليزي أندرو وايلز، الذي درس المنحنيات الإهليلجية وكان مفتونًا بفيرما منذ طفولته، أن يبدأ العمل سرًا على إثبات حدسية تانياما-شيمورا-ويل، نظرًا لأنها أصبحت الآن مبررة مهنيًا، ^{[ 12 ]} وكذلك بسبب الهدف المغري المتمثل في إثبات مثل هذه المشكلة القديمة.

وعلّق ريبيت لاحقًا قائلاً: "ربما كان أندرو وايلز واحدًا من القلائل على وجه الأرض الذين تجرأوا على الحلم بإمكانية إثبات ذلك بالفعل." ^{[ 1 ]}^{: 223}

الإعلان والتطورات اللاحقة

قدّم وايلز برهانه مبدئيًا عام ١٩٩٣. وتمّ قبوله نهائيًا ونشره عام ١٩٩٥، بعد تصحيح خطأ دقيق في جزء من بحثه الأصلي. وخلال السنوات الست التالية، قام باحثون آخرون بتطوير عمله ليُقدّموا برهانًا كاملًا لنظرية النمطية، معتمدين على عمل وايلز.

الإعلان والإثبات النهائي (1993-1995)

خلال الفترة من 21 إلى 23 يونيو 1993، أعلن وايلز وقدم برهانه على حدسية تانياما-شيمورا للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، وبالتالي على نظرية فيرما الأخيرة، وذلك في ثلاث محاضرات ألقاها في معهد إسحاق نيوتن للعلوم الرياضية في كامبريدج، إنجلترا . ^{[ 2 ]} وقد حظي هذا الإعلان بتغطية إعلامية واسعة نسبياً بعد ذلك. ^{[ 13 ]}

بعد الإعلان، عُيّن نيك كاتز أحد المحكمين لمراجعة مخطوطة وايلز. وخلال مراجعته، طرح كاتز على وايلز سلسلة من الأسئلة التوضيحية التي قادته إلى إدراك وجود ثغرة في البرهان. فقد كان هناك خطأ في جزء حاسم من البرهان يُحدد حدًا لرتبة مجموعة معينة: نظام أويلر المستخدم لتوسيع طريقة كوليفاجين وفلاش كان غير مكتمل. لم يكن هذا الخطأ ليُبطل عمله، فكل جزء من عمل وايلز كان بالغ الأهمية ومبتكرًا في حد ذاته، وكذلك العديد من التطورات والتقنيات التي ابتكرها خلال عمله، ولم يتأثر سوى جزء واحد. ^[¹^]^:^289، 296-297 ^. ولكن بدون إثبات هذا الجزء، لم يكن هناك برهان فعلي لنظرية فيرما الأخيرة.

أمضى وايلز قرابة عام في محاولة إصلاح برهانه، بدايةً بمفرده ثم بالتعاون مع تلميذه السابق ريتشارد تايلور ، دون جدوى. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} وبحلول نهاية عام 1993، انتشرت شائعات مفادها أن برهان وايلز قد فشل عند التدقيق فيه، لكن مدى خطورة ذلك لم يكن معروفًا. بدأ علماء الرياضيات يضغطون على وايلز للكشف عن عمله سواءً كان مكتملًا أم لا، حتى يتمكن المجتمع العلمي الأوسع من استكشاف واستخدام ما أنجزه. وبدلًا من أن تُحل المشكلة، التي بدت في البداية بسيطة، بدت الآن بالغة الأهمية، وأكثر خطورة، وأقل سهولة في الحل. ^{[ 17 ]}

يذكر وايلز أنه في صباح يوم 19 سبتمبر 1994، كان على وشك الاستسلام، وكاد يتقبل فشله، وينشر عمله ليتمكن الآخرون من البناء عليه واكتشاف الخطأ. ويضيف أنه كان يُجري مراجعة أخيرة لفهم الأسباب الجوهرية التي حالت دون نجاح منهجه، حين أدرك فجأة أن السبب المحدد لعدم نجاح منهج كوليفاجين-فلاش مباشرةً يعني أيضاً إمكانية نجاح محاولته الأصلية باستخدام نظرية إيواساوا إذا ما عززها بالخبرة المكتسبة من منهج كوليفاجين-فلاش منذ ذلك الحين. كان كل منهما قاصراً بحد ذاته، لكن إصلاح أحدهما بأدوات من الآخر من شأنه أن يحل المشكلة ويُنتج صيغة عددية للفئات (CNF) صالحة لجميع الحالات التي لم تُثبتها ورقته البحثية المحكمة: ^{[ 14 ]}^{[ 18 ] .}

كنتُ جالسًا على مكتبي أُمعن النظر في طريقة كوليفاجين-فلاش. لم أكن أعتقد أنني سأنجح في تطبيقها، لكنني ظننتُ أنني على الأقل سأستطيع تفسير سبب فشلها. وفجأةً، انتابني إلهامٌ عظيم. أدركتُ أن طريقة كوليفاجين-فلاش لم تكن فعّالة، لكنها كانت كل ما أحتاجه لتطبيق نظرية إيواساوا الأصلية التي وضعتها قبل ثلاث سنوات. وهكذا، انبثق من رماد كوليفاجين-فلاش الحل الحقيقي للمشكلة. كان الحل في غاية الروعة والجمال، بسيطًا وأنيقًا. لم أستطع فهم كيف فاتني، وظللتُ أحدق فيه في ذهولٍ لعشرين دقيقة. ثم خلال اليوم، كنتُ أتجول في القسم، وأعود مرارًا إلى مكتبي لأتأكد من وجوده. كان لا يزال موجودًا. لم أستطع كبح جماح نفسي، كنتُ في غاية الحماس. كانت تلك أهم لحظة في مسيرتي المهنية. لن يكون لأي شيء أفعله بعد ذلك نفس الأهمية.

— أندرو وايلز، نقلاً عن سيمون سينغ ^{[ 19 ]}

في 6 أكتوبر، طلب وايلز من ثلاثة زملاء (بما في ذلك جيرد فالتينجز ) مراجعة برهانه الجديد، ^{[ 20 ]} وفي 24 أكتوبر 1994 قدم وايلز مخطوطتين، "المنحنيات الإهليلجية المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة" ^{[ 4 ]} و"الخصائص النظرية الحلقية لبعض جبر هيك"، ^{[ 5 ]} وقد كتب وايلز الثانية مع تايلور وأثبت أن شروطًا معينة قد تم استيفاؤها والتي كانت ضرورية لتبرير الخطوة المصححة في الورقة الرئيسية.

تمت مراجعة الورقتين البحثيتين ونشرهما كاملتين في عدد مايو 1995 من مجلة حوليات الرياضيات . خضع البرهان الجديد لتحليل واسع النطاق، وأصبح مقبولاً على الأرجح باعتباره صحيحاً في مكوناته الرئيسية. ^{[ 6 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} وقد أرست هاتان الورقتان نظرية النمطية للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، وهي الخطوة الأخيرة في إثبات نظرية فيرما الأخيرة، بعد 358 عاماً من طرحها كفرضية.

التطورات اللاحقة

ادّعى فيرما أنه "... اكتشف برهانًا رائعًا حقًا على ذلك، وهو برهان لا يسع هذا الهامش استيعابه". ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} برهان وايلز معقد للغاية، ويتضمن أعمال العديد من المتخصصين الآخرين، لدرجة أنه في عام 1994، اقتُرح أن عددًا قليلًا فقط من الناس كانوا قادرين على فهم جميع تفاصيل ما أنجزه فهمًا كاملًا في ذلك الوقت. ^{[ 2 ]}^{[ 23 ]} دفع تعقيد برهان وايلز إلى عقد مؤتمر لمدة عشرة أيام في جامعة بوسطن ؛ وهدف كتاب وقائع المؤتمر الناتج إلى إتاحة جميع المواضيع المطلوبة لطلاب الدراسات العليا في نظرية الأعداد. ^{[ 10 ]}

كما ذُكر سابقًا، أثبت وايلز حدسية تانياما-شيمورا-ويل لحالة خاصة من المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، وليس لجميع المنحنيات الإهليلجية. وعلى مدى السنوات اللاحقة، واصل كريستوف برويل ، وبريان كونراد ، وفريد دايموند ، وريتشارد تايلور (يُشار إليهم أحيانًا بـ "BCDT") العمل، حتى أثبتوا في النهاية حدسية تانياما-شيمورا-ويل لجميع المنحنيات الإهليلجية في ورقة بحثية نُشرت عام 2001. ^{[ 24 ]} وبعد إثباتها، أصبحت الحدسية تُعرف باسم نظرية النمطية .

في عام 2005، طرح عالم الحاسوب الهولندي يان بيرغسترا مشكلة صياغة برهان وايلز بطريقة تسمح بالتحقق منه بواسطة الحاسوب . ^{[ 25 ]} وفي عام 2024، مُنح كيفن بوزارد وزملاؤه منحة من مجلس أبحاث العلوم الهندسية والفيزيائية (EPSRC) لمدة خمس سنوات للبدء في صياغة برهان النظرية في برنامج Lean Prove Assistant. ^{[ 26 ]}

ملخص برهان وايلز

أثبت وايلز نظرية النمطية للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، والتي تُستنتج منها نظرية فيرما الأخيرة، باستخدام البرهان بالتناقض . في هذه الطريقة، يُفترض عكس المطلوب إثباته، ويُبين أنه لو كان هذا الافتراض صحيحًا، لأدى إلى تناقض. يُظهر هذا التناقض أن الافتراض (أي أن النتيجة خاطئة) كان خاطئًا، مما يستلزم صحة النتيجة.

ينقسم البرهان تقريبًا إلى جزأين: في الجزء الأول، يُثبت وايلز نتيجة عامة حول " الرفع "، تُعرف باسم "نظرية رفع النمطية". يُمكّنه هذا الجزء من إثبات نتائج حول المنحنيات الإهليلجية بتحويلها إلى مسائل تتعلق بتمثيلات غالوا لهذه المنحنيات. ثم يستخدم هذه النتيجة لإثبات أن جميع المنحنيات شبه المستقرة نمطية، وذلك بإثبات أن تمثيلات غالوا لهذه المنحنيات نمطية أيضًا.

الجزء الأول: إعداد البرهان
	مخطط البرهان	تعليق
1	نبدأ بافتراض (على سبيل التناقض) أن نظرية فيرما الأخيرة غير صحيحة. وهذا يعني وجود حل واحد على الأقل غير صفري. $(a,b,c,n)$ (مع جميع الأعداد النسبية و $n>2$ وبرايم) إلى $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ .
2	تُظهر نظرية ريبيت (باستخدام عمل فراي وسير) أن استخدام الحل $(a,b,c,n)$ يمكننا إنشاء منحنى فراي إهليلجي شبه مستقر $E$ وهو ليس معياريًا أبدًا .	إذا استطعنا إثبات أن جميع هذه المنحنيات الإهليلجية ستكون نمطية (أي أنها تتطابق مع شكل نمطي)، فإننا بذلك نكون قد توصلنا إلى تناقض، وأثبتنا خطأ فرضيتنا (بوجود مثل هذه المجموعة من الأعداد). أما إذا كانت الفرضية خاطئة، فهذا يعني عدم وجود مثل هذه الأعداد، مما يثبت صحة نظرية فيرما الأخيرة.
الجزء الثاني: نظرية رفع النمطية
3	تمثيلات غالوا للمنحنيات الإهليلجية $\rho (E,p)$ لأي عدد أولي $p>3$ وقد تمت دراستها بشكل شامل من قبل العديد من علماء الرياضيات. يهدف وايلز أولاً وقبل كل شيء إلى إثبات نتيجة تتعلق بهذه التمثيلات، والتي سيستخدمها لاحقًا: وهي أنه إذا كان منحنى إهليلجي شبه مستقر $E$ له تمثيل غالوا $\rho (E,p)$ هذا يعني أن المنحنى الإهليلجي نفسه يجب أن يكون معياريًا. يُعدّ إثبات ذلك مفيدًا من ناحيتين: فهو يُسهّل عملية العدّ والمطابقة، والأهم من ذلك، أنه لإثبات أن التمثيل نمطي، يكفينا إثبات ذلك لعدد أولي واحد فقط. $p$ ويمكننا القيام بذلك باستخدام أي عدد أولي يجعل عملنا سهلاً - لا يهم أي عدد أولي نستخدمه. هذا هو الجزء الأكثر صعوبة في المسألة - من الناحية الفنية، يعني ذلك إثبات أنه إذا كان تمثيل غالوا $\rho (E,p)$ هو شكل معياري، وكذلك جميع تمثيلات غالوا الأخرى ذات الصلة. $\rho (E,p^{\infty })$ لجميع قوى $p$ [ ^{3 ]} هذه هي ما يسمى " مشكلة الرفع المعياري " ^، وقد تناولها وايلز باستخدام التشوهات . يمكن تصنيف أي منحنى إهليلجي (أو تمثيل لمنحنى إهليلجي) إما كمنحنى قابل للاختزال أو غير قابل للاختزال . ويختلف البرهان قليلاً تبعاً لما إذا كان تمثيل المنحنى الإهليلجي قابلاً للاختزال أم لا.	يُعدّ إجراء مقارنة مباشرة بين المنحنيات الإهليلجية والأشكال النمطية أمرًا صعبًا؛ فقد باءت جميع المحاولات السابقة لحساب ومطابقة المنحنيات الإهليلجية والأشكال النمطية بالفشل. مع ذلك، ولأن المنحنيات الإهليلجية يُمكن تمثيلها ضمن نظرية غالوا ، أدرك وايلز أن العمل مع تمثيلات المنحنيات الإهليلجية بدلًا من المنحنيات نفسها سيُسهّل كثيرًا عملية حسابها ومطابقتها مع الأشكال النمطية. من هذه النقطة فصاعدًا، يهدف البرهان بشكل أساسي إلى إثبات ما يلي: (1) إذا كان التمثيل الهندسي لغالوا لمنحنى إهليلجي شبه مستقر نمطيًا، فإن المنحنى نفسه يكون نمطيًا أيضًا؛ (2) تمثيلات غالوا الهندسية لجميع المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة هي وحدات نمطية. يُمكّننا هذا مجتمعًا من العمل مع تمثيلات المنحنيات بدلًا من التعامل المباشر مع المنحنيات الإهليلجية نفسها. وبذلك، تحوّل هدفنا الأصلي إلى إثبات نمطية تمثيلات غالوا الهندسية للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة. وقد وصف وايلز هذا الإنجاز بأنه "اختراقٌ جوهري". تمثيل غالوا لمنحنى إهليلجي هو $G\to \operatorname {GL} (\mathbb {Z} _{p})$ لإظهار أن تمثيل غالوا الهندسي لمنحنى إهليلجي هو شكل نمطي، نحتاج إلى إيجاد شكل ذاتي معياري تحقق قيمه الذاتية ( وهي أيضًا معاملات متسلسلة فورييه الخاصة به ) علاقة تطابق لجميع الأعداد الأولية باستثناء عدد محدود منها.
4	تتمثل استراتيجية وايلز الأولية في العد والمطابقة باستخدام البرهان بالاستقراء وصيغة عدد الفئات ("CNF"): وهو نهج يمكن فيه، بمجرد إثبات الفرضية لمنحنى إهليلجي واحد، أن يتم توسيعها تلقائيًا لإثباتها لجميع المنحنيات الإهليلجية اللاحقة.	في هذا المجال تحديدًا واجه وايلز صعوبات، أولًا مع نظرية إيواساوا الأفقية ، ثم لاحقًا مع توسيعه لنظرية كوليفاجين - فلاش. انصبّ عمل وايلز على توسيع نظرية كوليفاجين-فلاش بشكل أساسي على جعلها قوية بما يكفي لإثبات الصيغة الطبيعية الكاملة التي سيستخدمها. لاحقًا، تبيّن أن أيًا من هذين النهجين بمفرده لا يمكنه إنتاج صيغة طبيعية تغطي جميع أنواع المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، وكان العنصر الأخير في برهانه عام ١٩٩٥ هو إدراكه أنه يستطيع النجاح بتعزيز نظرية إيواساوا بتقنيات كوليفاجين - فلاش.
5	في هذه المرحلة، أظهر البرهان نقطة أساسية حول تمثيلات غالوا: إذا كان التمثيل الهندسي لغالوا $\rho (E,p)$ لمنحنى إهليلجي شبه مستقر $E$ غير قابل للاختزال ونمطي (لعدد أولي ما) $p>2$ ثم يخضع ذلك لبعض الشروط الفنية، $E$ هو معياري. هذه هي نظرية رفع وايلز (أو نظرية رفع النمطية )، وهو إنجاز رئيسي وثوري في ذلك الوقت.	الأهم من ذلك، أن هذه النتيجة لا تُظهر فقط أن التمثيلات غير القابلة للاختزال المعيارية تستلزم منحنيات معيارية، بل تعني أيضاً أنه يمكننا إثبات أن التمثيل معياري باستخدام أي عدد أولي أكبر من 2 نجده الأسهل استخداماً (لأن إثبات ذلك لعدد أولي واحد أكبر من 2 يثبته لجميع الأعداد الأولية الأكبر من 2). لذا يمكننا محاولة إثبات أن جميع منحنياتنا الإهليلجية نمطية باستخدام عدد أولي واحد $p$ —لكن إذا لم ننجح في إثبات ذلك لجميع المنحنيات الإهليلجية، فربما يمكننا إثبات الباقي باختيار أعداد أولية مختلفة لـ $p$ للحالات الصعبة. يجب أن يشمل البرهان تمثيلات غالوا لجميع المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة. $E$ ولكن بالنسبة لكل منحنى على حدة، نحتاج فقط إلى إثبات أنه معياري باستخدام عدد أولي واحد.
الجزء 3: إثبات أن جميع المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة هي منحنيات نمطية
6	بعد إثبات نظرية الرفع، نعود إلى المسألة الأصلية. سنصنف جميع المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة بناءً على قابلية اختزال تمثيلاتها الغالوا، وسنستخدم نظرية الرفع القوية على النتائج. بناءً على ما سبق، لا يهم أي عدد أولي يتم اختياره للتمثيلات. يمكننا استخدام أي عدد أولي أسهل. 3 هو أصغر عدد أولي أكبر من 2، وقد تم بالفعل إنجاز بعض الأعمال على تمثيلات المنحنيات الإهليلجية باستخدام $\rho (E,3)$ لذا فإن اختيار 3 كعدد أولي لدينا هو نقطة انطلاق مفيدة. وجد وايلز أنه من الأسهل إثبات أن التمثيل معياري عن طريق اختيار $p=3$ في الحالات التي يكون فيها التمثيل $\rho (E,3)$ لا يمكن اختزاله، ولكن البرهان عندما $\rho (E,3)$ كان من الأسهل إثبات أن العبارة قابلة للاختزال باختيار بدلاً من ذلك $p=5$ إذن، ينقسم البرهان إلى قسمين عند هذه النقطة.	استخدام البرهان لكليهما $p=3$ و $p=5$ فيما يلي ما يسمى "التبديل 3-5" المشار إليه في بعض أوصاف البرهان، والذي لاحظه وايلز في ورقة بحثية لمازور في عام 1993، على الرغم من أن الخدعة نفسها تعود إلى القرن التاسع عشر. التبديل بين $p=3$ و $p=5$ وقد فتح هذا المجال منذ ذلك الحين مجالاً هاماً للدراسة في حد ذاته (انظر تخمين سير بشأن النمطية ) .
7	إذا كان تمثيل غالوا $\rho (E,3)$ (أي باستخدام) $p=3$ ) غير قابل للاختزال، ثم كان معروفًا منذ حوالي عام 1980 أن تمثيله لغالوا يكون دائمًا معياريًا. يستخدم وايلز نظرية رفع النمطية الخاصة به لحل هذه الحالة بسرعة: إذا كان التمثيل $\rho (E,3)$ إذا كان غير قابل للاختزال، فإننا نعلم أن التمثيل معياري أيضًا (لانغلاندز وتونيل)، ولكن... ... إذا كان التمثيل غير قابل للاختزال ونمطي، فإن E نفسه نمطي (نظرية رفع النمطية).	أثبت لانغلاندز وتونيل ذلك في ورقتين بحثيتين في أوائل ثمانينيات القرن العشرين. ويستند هذا الإثبات إلى حقيقة أن $\rho (E,3)$ لها نفس مجموعة التناظر مثل المعادلة الرباعية العامة في متغير واحد، والتي كانت واحدة من الفئات العامة القليلة من المعادلات الديوفانتية المعروفة في ذلك الوقت بأنها معيارية. هذه النتيجة الحالية لـ $p=3$ يُعدّ هذا الأمر بالغ الأهمية لنهج وايلز، وهو أحد أسباب استخدامه في البداية. $p=3$ .
8	لذا سننظر الآن فيما سيحدث إذا $\rho (E,3)$ قابل للاختزال. وجد وايلز أنه عند تمثيل منحنى إهليلجي باستخدام $p=3$ قابل للاختزال، وكان العمل معه أسهل $p=5$ واستخدم نظريته الجديدة في الرفع لإثبات ذلك. $\rho (E,5)$ ستكون دائماً معيارية، بدلاً من محاولة إثبات ذلك بشكل مباشر. $\rho (E,3)$ هو نفسه معياري (مع الأخذ في الاعتبار أننا نحتاج فقط إلى إثبات ذلك لعدد أولي واحد).	العدد 5 هو العدد الأولي التالي بعد 3، ويمكن استخدام أي عدد أولي، فربما يكون 5 أسهل في التعامل معه من 3؟ لكن يبدو من المستحيل في البداية إثبات ذلك. $\rho (E,5)$ هي دائماً نمطية، لنفس السبب تقريباً الذي يجعل المعادلة الخماسية العامة غير قابلة للحل باستخدام الجذور. لذا يتعين على وايلز إيجاد حل لهذه المشكلة.
8.1	لو $\rho (E,3)$ و $\rho (E,5)$ كلاهما قابل للاختزال، وقد أثبت وايلز ذلك بشكل مباشر. $\rho (E,5)$ يجب أن يكون معيارياً.
8.2	الحالة الأخيرة هي إذا $\rho (E,3)$ قابل للاختزال و $\rho (E,5)$ لا يمكن اختزاله. أظهر وايلز أنه في هذه الحالة، يمكن للمرء دائمًا إيجاد منحنى إهليلجي شبه مستقر آخر $F$ بحيث يكون التمثيل $\rho (F,3)$ غير قابل للاختزال وكذلك التمثيلات $\rho (E,5)$ و $\rho (F,5)$ متماثلة الشكل ( لها هياكل متطابقة). تُظهر الخاصية الأولى من هذه الخصائص أن $F$ يجب أن تكون معيارية (لانغلاندز وتونيل مرة أخرى: جميع التمثيلات غير القابلة للاختزال مع $p=3$ (وحدات نمطية). لو $F$ إذا كانت الوحدات قابلة للتركيب، فنحن نعلم ذلك. $\rho (F,5)$ يجب أن يكون معياريًا أيضًا. لكن بسبب تمثيلات $E$ و $F$ مع $p=5$ لها نفس البنية تمامًا، ونحن نعلم ذلك. $\rho (F,5)$ هو معياري، $\rho (E,5)$ يجب أن يكون معياريًا أيضًا.
8.3	لذلك، إذا $\rho (E,3)$ بما أن الاختزال ممكن، فقد أثبتنا ذلك. $\rho (E,5)$ ستظل دائماً قابلة للتخصيص. ولكن إذا $\rho (E,5)$ إذا كانت الوحدة نمطية، فإن نظرية رفع النمطية تُظهر أن $E$ هي نفسها قابلة للتخصيص.	تُظهر هذه الخطوة القوة الحقيقية لنظرية رفع النمطية.
نتائج
9	لقد أثبتنا الآن أنه سواء كان ذلك أم لا $\rho (E,3)$ غير قابل للاختزال، $E$ (والتي يمكن أن تكون أي منحنى إهليلجي شبه مستقر) ستكون دائمًا نمطية. هذا يعني أن جميع المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة يجب أن تكون نمطية. وهذا يثبت (أ) تخمين تانياما-شيمورا-ويل للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، و (ب) ولأنه لا يمكن أن يكون هناك تناقض، فإن هذا يثبت أيضاً أن أنواع المنحنيات الإهليلجية التي وصفها فراي لا يمكن أن توجد في الواقع. وبالتالي، لا يمكن أن توجد حلول لمعادلة فيرما أيضاً، لذا فإن نظرية فيرما الأخيرة صحيحة.	لدينا برهاننا بالتناقض، لأننا أثبتنا أنه إذا كانت نظرية فيرما الأخيرة خاطئة، فبإمكاننا إنشاء منحنى إهليلجي شبه مستقر لا يمكن أن يكون نمطيًا (نظرية ريبيت) ويجب أن يكون نمطيًا (نظرية وايلز). ولأنه لا يمكن أن يكون كليهما، فالجواب الوحيد هو أنه لا يوجد مثل هذا المنحنى، وبالتالي فإن نظرية فيرما الأخيرة صحيحة.

التفاصيل الرياضية لبرهان وايلز

ملخص

حاول وايلز في البداية تحويل المنحنيات الإهليلجية إلى مجموعة قابلة للعد من الأشكال النمطية. لكنه وجد أن هذا النهج المباشر غير فعال، فحوّل المسألة بتحويل تمثيلات غالوا للمنحنيات الإهليلجية إلى أشكال نمطية. ويرمز وايلز لهذا التحويل (وتحديدًا، هذا التشاكل الحلقي ) إلى...

R_{n}\rightarrow \mathbf {T} _{n}

،

أين $R$ هي حلقة تشوه و $\mathbf {T}$ هو خاتم هيك .

أدرك وايلز أن هذا التشاكل الحلقي قد يكون في كثير من الحالات تشاكلاً حلقياً (الفرضية 2.16 في الفصل 2، الفقرة 3 من ورقة 1995 ^{[ 4 ]} ). وأدرك أن التطبيق بين $R$ و $\mathbf {T}$ يكون التطبيق متماثلاً إذا وفقط إذا كانت مجموعتان أبيليتان واردتان في النظرية منتهيتين ولهما نفس العدد الأصلي . يُشار إلى هذا أحيانًا باسم "المعيار العددي". بناءً على هذه النتيجة، تُختزل نظرية فيرما الأخيرة إلى القول بأن مجموعتين لهما نفس الرتبة. يقود جزء كبير من نص البرهان إلى مواضيع ونظريات متعلقة بنظرية الحلقات ونظرية التبادل . كان هدف وايلز هو التحقق من أن التطبيق $R\rightarrow \mathbf {T}$ هو تماثل، وفي النهاية هذا $R=\mathbf {T}$ . في معالجة التشوهات، حدد وايلز أربع حالات، مع حالة التشوه المسطح التي تتطلب جهدًا أكبر لإثباتها وتمت معالجتها في مقال منفصل في نفس المجلد بعنوان "الخصائص النظرية الحلقية لبعض جبر هيك".

يقدم جيرد فالتينجز ، في نشرته، المخطط التبادلي التالي (ص 745):

أو في نهاية المطاف ذلك $R=\mathbf {T}$ مما يدل على تقاطع كامل . بما أن وايلز لم يستطع إثبات ذلك $R=\mathbf {T}$ بشكل مباشر، فعل ذلك من خلال $\mathbf {Z} _{3},\mathbf {F} _{3}$ و $\mathbf {T} /{\mathfrak {m}}$ عن طريق المصاعد .

لإجراء هذه المطابقة، كان على وايلز ابتكار صيغة عدد الفئات (CNF). حاول في البداية استخدام نظرية إيواساوا الأفقية ، لكن هذا الجزء من عمله واجه مشكلة عالقة حالت دون ابتكار صيغة عدد الفئات. في نهاية صيف عام ١٩٩١، علم بنظام أويلر الذي طوره مؤخرًا فيكتور كوليفاجين وماتياس فلاخ، والذي بدا وكأنه "مصمم خصيصًا" للجزء الاستقرائي من برهانه، والذي يمكن استخدامه لابتكار صيغة عدد الفئات. لذا، وضع وايلز عمله على نظرية إيواساوا جانبًا وبدأ العمل على توسيع عمل كوليفاجين وفلاخ، بهدف ابتكار صيغة عدد الفئات التي يتطلبها برهانه. ^{[ ٢٧ ]} بحلول ربيع عام ١٩٩٣، غطى عمله جميع عائلات المنحنيات الإهليلجية باستثناء عدد قليل منها، وفي أوائل عام ١٩٩٣، كان وايلز واثقًا بما يكفي من نجاحه الوشيك ليُطلع أحد زملائه الموثوقين على سره. بما أن عمله اعتمد بشكل كبير على استخدام منهج كوليفاجين - فلاش، وهو منهج جديد في الرياضيات وعلى وايلز، والذي قام بتطويره أيضًا، فقد طلب في يناير 1993 من زميله في جامعة برينستون، نيك كاتز ، مساعدته في مراجعة عمله بحثًا عن أخطاء دقيقة. وكان استنتاجهما في ذلك الوقت أن التقنيات التي استخدمها وايلز بدت صحيحة. ^{[ 1 ]}^{: 261-265}^{[ 28 ]}

تبين لاحقًا أن استخدام وايلز لنظرية كوليفاجين - فلاش كان نقطة الضعف في البرهان الأصلي المقدم، واضطر في النهاية إلى العودة إلى نظرية إيواساوا والتعاون مع ريتشارد تايلور لتصحيحها. في مايو 1993، وأثناء قراءة ورقة بحثية لمازور، خطرت لوايلز فكرة مفادها أن التبديل بين 3 و5 سيحل المشكلات النهائية، وبالتالي سيغطي جميع المنحنيات الإهليلجية.

النهج والاستراتيجية العامة

بالنظر إلى منحنى إهليلجي $E$ في الملعب $\mathbb {Q}$ من الأعداد النسبية، لكل قوة أولية $\ell ^{n}$ يوجد تشاكل من زمرة غالوا المطلقة

\operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )

ل

\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell ^{n}\mathbb {Z} ),

مجموعة المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة 2×2 التي تكون عناصرها أعدادًا صحيحة بتردد π/2 $\ell ^{n}$ وذلك لأن $E({\bar {\mathbb {Q} }})$ ، نقاط $E$ زيادة ${\bar {\mathbb {Q} }}$ تشكل زمرة تبديلية عليها $\operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )$ الأفعال؛ المجموعة الفرعية من العناصر $x$ بحيث $\ell ^{n}x=0$ هو مجرد $(\mathbb {Z} /\ell ^{n}\mathbb {Z} )^{2}$ ، والتشاكل الذاتي لهذه المجموعة هو مصفوفة من النوع الموصوف.

الأمر الأقل وضوحًا هو أنه بالنظر إلى شكل نمطي من نوع خاص معين، فإن شكل هيك الذاتي ذو القيم الذاتية في $\mathbb {Q}$ ، ويحصل المرء أيضًا على تماثل

\operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )\rightarrow \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell ^{n}\mathbb {Z} ).

يعود هذا إلى إيخلر وشيمورا. الفكرة هي أن مجموعة غالوا تؤثر أولاً على المنحنى النمطي الذي يُعرَّف عليه الشكل النمطي، ثم على تنوع جاكوبي للمنحنى، وأخيراً على نقاط $\ell ^{n}$ ترتيب القوى على مصفوفة جاكوبي. التمثيل الناتج ليس ثنائي الأبعاد عادةً، لكن مؤثرات هيكه تقطع جزءًا ثنائي الأبعاد. من السهل إثبات أن هذه التمثيلات ناتجة عن منحنى إهليلجي، لكن إثبات العكس هو الجزء الأصعب.

بدلاً من محاولة الانتقال مباشرة من المنحنى الإهليلجي إلى الشكل النمطي، يمكن للمرء أولاً الانتقال إلى النمط $\ell ^{n}$ تمثيل لبعض $\ell$ و $n$ ومن ثم إلى الشكل المعياري. في الحالة التي $\ell =3$ و $n=1$ تُظهر نتائج نظرية لانجلاندز-تونيل أن ${\bmod {3}}$ تمثيل أي منحنى إهليلجي على $\mathbb {Q}$ ينبع من شكل معياري. وتتمثل الاستراتيجية الأساسية في استخدام الاستقراء على $n$ لإثبات أن هذا صحيح بالنسبة لـ $\ell =3$ وأي $n$ ، أي أنه في نهاية المطاف يوجد شكل معياري واحد يصلح للجميع $n$ وللقيام بذلك، يستخدم المرء وسيطة عد، بمقارنة عدد الطرق التي يمكن بها رفع قيمة modulo $\ell ^{n}$ تمثيل غالوا لنمط واحد $\ell ^{n+1}$ وعدد الطرق التي يمكن بها رفع مود $\ell ^{n}$ الشكل النمطي. من النقاط الأساسية فرض مجموعة كافية من الشروط على تمثيل غالوا؛ وإلا، فسيكون هناك عدد كبير جدًا من عمليات الرفع، ولن يكون معظمها نمطيًا. يجب استيفاء هذه الشروط للتمثيلات الناتجة عن الأشكال النمطية وتلك الناتجة عن المنحنيات الإهليلجية.

3-5 خدع

إذا كانت صورة التمثيل الأصلي بنمط 3 صغيرة جدًا، فسيواجه المرء مشكلة في حجة الرفع، وفي هذه الحالة، توجد حيلة أخيرة دُرست لاحقًا بشكل أكثر عمومية في العمل اللاحق على حدسية نمطية سير . تتضمن الفكرة التفاعل بين التمثيلات بنمط 3 ونمط 5. على وجه الخصوص، إذا كان تمثيل غالوا بنمط 5 ${\bar {\rho }}_{E,5}$ مرتبط بمنحنى إهليلجي شبه مستقر $E$ زيادة $\mathbb {Q}$ إذا كانت غير قابلة للاختزال، فهناك منحنى إهليلجي شبه مستقر آخر $E'$ زيادة $\mathbb {Q}$ بحيث يكون تمثيل غالوا المرتبط به mod 5 ${\bar {\rho }}_{E',5}$ متماثل مع ${\bar {\rho }}_{E,5}$ وبحيث يكون تمثيل غالوا المرتبط به mod 3 ${\bar {\rho }}_{E,3}$ غير قابل للاختزال (وبالتالي معياري وفقًا لنظرية لانجلاندز-تونيل). ^{[ 29 ]}

بنية برهان وايلز

في مقالته المكونة من 108 صفحات والمنشورة عام 1995، يقسم وايلز الموضوع إلى الفصول التالية (المسبوقة هنا بأرقام الصفحات):

مقدمة

443

الفصل الأول

455 1. تشوهات تمثيلات غالوا

472 2. بعض حسابات مجموعات التماثل

475 3. بعض النتائج المتعلقة بالمجموعات الفرعية من

\operatorname {GL} _{2}(k)

الفصل الثاني

479 1. ملكية غورنشتاين

489 2. التطابقات بين حلقات هيكي

503 3. التخمينات الرئيسية

الفصل الثالث

517 تقديرًا لمجموعة سيلمر

الفصل الرابع

525 1. حالة CM العادية

533 2. حساب

\eta

الفصل الخامس

541 تطبيق على المنحنيات الإهليلجية

زائدة

545 حلقات غورنشتاين والتقاطعات الكاملة المحلية

قدّم جيرد فالتينغز لاحقًا بعض التبسيطات لبرهان عام 1995، لا سيما في الانتقال من الإنشاءات الهندسية إلى الإنشاءات الجبرية الأبسط. ^{[ 20 ]}^{[ 30 ]} كما احتوى كتاب مؤتمر كورنيل على تبسيطات للبرهان الأصلي. ^{[ 10 ]}

المراجعات المتاحة في الأدبيات

تتجاوز ورقة وايلز البحثية مئة صفحة، وتستخدم في كثير من الأحيان الرموز والمصطلحات المتخصصة في نظرية الزمر ، والهندسة الجبرية ، والجبر التبادلي ، ونظرية غالوا . وقد ابتكر علماء الرياضيات الذين ساهموا في وضع الأسس لوايلز مفاهيم متخصصة جديدة ومصطلحات تقنية .

من بين العروض التقديمية التمهيدية رسالة بريد إلكتروني أرسلها ريبيت عام ١٩٩٣؛ ^{[ ٣١ ]}^{[ ٣٢ ]} ومراجعة هيسلينك السريعة للمسائل الأساسية، والتي تقتصر على الجبر الابتدائي وتتجنب الجبر المجرد؛ ^{[ ٢٥ ]} أو صفحة داني الإلكترونية، التي تقدم مجموعة من ملاحظاته الخاصة وتسرد الكتب المتوفرة حاليًا في هذا الموضوع. يحاول ويستون تقديم خريطة مفيدة لبعض العلاقات بين المواضيع. ^{[ ٣٣ ]} فازت مقالة إف كيو جوفيا لعام ١٩٩٤ بعنوان "برهان رائع"، والتي تستعرض بعض المواضيع المطلوبة، بجائزة ليستر آر فورد من الجمعية الرياضية الأمريكية . ^{[ ٣٤ ]}^{[ ٣٥ ]} أما النشرة الفنية المكونة من خمس صفحات لفالتينغز حول هذا الموضوع فهي مراجعة سريعة وتقنية للبرهان لغير المتخصصين. ^{[ 36 ]} بالنسبة لمن يبحثون عن كتاب متوفر تجاريًا يرشدهم، أوصى بأن يقرأ من لديهم معرفة بالجبر المجرد كتاب هيليغوارش، ثم كتاب كورنيل، ^{[ 10 ]} الذي يُزعم أنه في متناول "طالب دراسات عليا في نظرية الأعداد". ولا يغطي كتاب كورنيل برهان وايلز بالكامل. ^{[ 13 ]}

انظر أيضاً

مراجع

1 2 3 4 5 6 7 نظرية فيرما الأخيرة، سيمون سينغ، 1997، ISBN 1-85702-521-0
1 2 3 كولاتا، جينا (24 يونيو 1993). "أخيرًا، صرخة 'وجدتها!' في لغز رياضي قديم" . صحيفة نيويورك تايمز . مؤرشف من الأصل في 26 يوليو 2023. تم الاسترجاع في 21 يناير 2013 .
1 2 3 "جائزة أبيل 2016" . الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب . 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أكتوبر 2025 .
1 2 3 وايلز، أندرو (1995). " المنحنيات الإهليلجية النمطية ونظرية فيرما الأخيرة". حوليات الرياضيات . 141 (3): 443-551 . CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559. OCLC 37032255 .
1 2 تايلور ر ، وايلز أ (1995). " الخواص النظرية الحلقية لبعض جبر هيك" . حوليات الرياضيات . 141 (3): 553-572 . CiteSeerX 10.1.1.128.531 . doi : 10.2307/2118560 . JSTOR 2118560. OCLC 37032255. مؤرشف من الأصل في 27 نوفمبر 2001.
1 2 "نوفا - نصوص - الدليل - بي بي إس" . بي بي إس . سبتمبر 2006. مؤرشف من الأصل في 6 يونيو 2017. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
↑ بوهلر ج، كراندل ر، إرنفال ر، ميتسانكيلا ت (1993). "الأعداد الأولية غير المنتظمة والثوابت الدائرية حتى أربعة ملايين" . رياضيات الحساب . 61 (203). الجمعية الرياضية الأمريكية: 151-153 . Bibcode : 1993MaCom..61..151B . doi : 10.1090/S0025-5718-1993-1197511-5 . JSTOR 2152942 .
^ هيليغوارتش، إيف (2001). دعوة إلى الرياضيات من فيرما-ويلز . الصحافة الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-339251-0.
↑ سينغ، الصفحات 194-198؛ أكسل، الصفحات 109-114.
1 2 3 4 ج. كورنيل، ج. هـ. سيلفرمان، وج. ستيفنز، الأشكال النمطية ونظرية فيرما الأخيرة ، ISBN 0-387-94609-8
1 2 داني، تشارلز (13 مارس 1996). "برهان نظرية فيرما الأخيرة" . مؤرشف من الأصل في 10 ديسمبر 2008. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
1 2 "أندرو وايلز يتحدث عن حل معادلة فيرما" . بي بي إس . 1 نوفمبر 2000. مؤرشف من الأصل في 17 مارس 2016. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
1 2 بوزارد، كيفن (22 فبراير 1999). "مراجعة الأشكال النمطية ونظرية فيرما الأخيرة، بقلم ج. كورنيل، وج. هـ. سيلفرمان، وج. ستيفنز" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 36 (2): 261-266 . doi : 10.1090/S0273-0979-99-00778-8 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 11 نوفمبر 2017. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
1 2 سينغ، ص 269-277.
↑ كولاتا، جينا (28 يونيو 1994). "بعد عام، لا تزال العقبة قائمة في البرهان الرياضي" . صحيفة نيويورك تايمز . ISSN 0362-4331 . مؤرشف من الأصل في 26 أغسطس 2016. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
↑ كولاتا، جينا (3 يوليو 1994). "26 يونيو - 2 يوليو؛ بعد عام، لغز فيرما لا يزال غير مكتمل تمامًا". صحيفة نيويورك تايمز . ISSN 0362-4331 . مؤرشف من الأصل في 26 أغسطس 2016. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
↑ سينغ، ص 175-185.
↑ Aczel، ص 132-134.
↑ سينغ، الصفحات 186-187 (نص مختصر).
1 2 "نظرية فيرما الأخيرة" . تاريخ الرياضيات في ماك تيوتور . فبراير 1996. مؤرشف من الأصل في 2 فبراير 2007. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
↑ كورنيل، غاري؛ سيلفرمان، جوزيف هـ .؛ ستيفنز، غلين (2013). الأشكال النمطية ونظرية فيرما الأخيرة ( طبعة مصورة). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 549. ISBN 978-1-4612-1974-3أُرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 13 نوفمبر 2016 .مقتطف من الصفحة 549
↑ أو كارول، إوين (17 أغسطس 2011). "لماذا يُعتبر بيير دي فيرما شفيع الأعمال غير المكتملة؟" . صحيفة كريستيان ساينس مونيتور . الرقم الدولي الموحد للدوريات 0882-7729 . مؤرشف من الأصل في 8 أغسطس 2017. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
↑ جرانفيل، أندرو. "تاريخ نظرية فيرما الأخيرة" . مؤرشف من الأصل في 8 أغسطس 2017. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
↑ برويل، كريستوف؛ كونراد، برايان؛ دايموند، فريد؛ تايلور، ريتشارد (2001). "حول نمطية المنحنيات الإهليلجية على 𝐐: تمارين ثلاثية الأبعاد مثيرة للاهتمام" . مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 14 (4): 843-939 . doi : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 . ISSN 0894-0347 .
1 2 هيسلينك، ويم هـ. (3 أبريل 2008). "التحقق الحاسوبي من برهان وايلز لنظرية فيرما الأخيرة" . www.cs.rug.nl. مؤرشف من الأصل في 18 يونيو 2008. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
↑ "EP/Y022904/1: 'صياغة نظرية فيرما'"" . ESPRC . مؤرشف من الأصل في 26 يوليو 2024.
↑ سينغ، ص 259-262
↑ سينغ، ص 239-243؛ أكسل، ص 122-125.
↑ الفصل الخامس من كتاب وايلز، أندرو (1995). "المنحنيات الإهليلجية المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة" ( ملف PDF) . حوليات الرياضيات . 141 (3): 443-551 . CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559. OCLC 37032255. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 10 مايو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 مارس 2009 .
↑ مالك، مسعود (6 يناير 1996). "نظرية فيرما الأخيرة" . مؤرشف من الأصل في 26 سبتمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
↑ "أسئلة وأجوبة حول الرياضيات العلمية: هجوم وايلز" . www.faqs.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 فبراير 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يونيو 2017 .
↑ "نظرية فيرما الأخيرة، نظرية أخيرًا" (ملف PDF) . مجلة فوكس . أغسطس 1993. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 4 أغسطس 2016. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
↑ ويستون، توم. "مواضيع ملخص البحث" . people.math.umass.edu . مؤرشف من الأصل في 20 أكتوبر 2017. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .
↑ غوفيا، فرناندو (1994). "برهان رائع" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 101 (3): 203-222 . doi : 10.2307/2975598 . JSTOR 2975598. مؤرشف من الأصل في 26 أكتوبر 2023. تم الاسترجاع في 29 يونيو 2017 .
↑ «جائزة ليستر ر. فورد من الجمعية الرياضية الأمريكية» . مؤرشفة من الأصل في 31 يوليو 2016. تم الاطلاع عليها في 29 يونيو 2017 .
↑ فالتينغز، جيرد (يوليو 1995). "برهان نظرية فيرما الأخيرة بقلم ر. تايلور وأ. وايلز" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 42 (7): 743-746 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 12 سبتمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 13 مارس 2009 .

فهرس

أكسل، أمير (1 يناير 1997). نظرية فيرما الأخيرة: كشف سر مسألة رياضية قديمة . دار بيسيك بوكس. رقم ISBN 978-1-56858-077-7. Zbl 0878.11003 .
كوتس، جون (يوليو 1996). "وايلز يحصل على جائزة الأكاديمية الوطنية للعلوم في الرياضيات" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 43 (7): 760-763 . Zbl 1029.01513 .
كورنيل، غاري (1 يناير 1998). الأشكال النمطية ونظرية فيرما الأخيرة . سبرينغر. ISBN 978-0-387-94609-2. Zbl 0878.11004 . (كورنيل وآخرون)
داني، تشارلز (2003). "رياضيات نظرية فيرما الأخيرة" . مؤرشف من الأصل في 3 أغسطس 2004. تم الاطلاع عليه في 5 أغسطس 2004 .
دارمون، هـ. (9 سبتمبر 2007). "نظرية وايلز وحساب المنحنيات الإهليلجية" (PDF) .
فالتينغز، جيرد (يوليو 1995). "برهان نظرية فيرما الأخيرة بقلم ر. تايلور وأ. وايلز" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 42 (7): 743-746 . الرقم الدولي الموحد للدوريات 0002-9920 . Zbl 1047.11510 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 12 سبتمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 13 مارس 2009 .
فراي، جيرهارد (1986). "الروابط بين المنحنيات الإهليلجية المستقرة وبعض المعادلات الديوفانتية". حوليات جامعة سرابيع، سلسلة الرياضيات 1 : 1-40 . Zbl 0586.10010 .
هيليغوارتش ، إيف (1 يناير 2001). دعوة إلى الرياضيات من فيرما-ويلز . الصحافة الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-339251-0. Zbl 0887.11003 . اطلع على التقييم
موزوتشي، تشارلز (7 ديسمبر 2000). يوميات فيرما . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-2670-6. Zbl 0955.11002 . انظر أيضًا : غوفيا، فرناندو كيو. (2001). "مراجعة: برهان وايلز، 1993-1995: يوميات فيرما بقلم سي جيه موزوتشي". مجلة ساينتست الأمريكية . 89 (3): 281-282 . JSTOR 27857485 .
موزوتشي، تشارلز (6 يوليو 2006). برهان فيرما . دار ترافورد للنشر. رقم ISBN 978-1-4120-2203-3. Zbl 1104.11001 .
أوكونور، جيه جيه؛ روبرتسون، إي إف (1996). "نظرية فيرما الأخيرة" . تم الاطلاع عليه في 5 أغسطس 2004 .
ألفريد فان دير بورتن (1 يناير 1996). ملاحظات على نظرية فيرما الأخيرة . وايلي. رقم ISBN 978-0-471-06261-5. Zbl 0882.11001 .
ريبنبوم، باولو (1 يناير 2000). نظرية فيرما الأخيرة للهواة . سبرينغر. ISBN 978-0-387-98508-4. Zbl 0920.11016 .
سينغ، سيمون (أكتوبر 1998). لغز فيرما . نيويورك: دار أنكور للنشر. رقم ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002 .
سيمون سينغ "القصة الكاملة" . مؤرشف من الأصل في 10 مايو 2011.نسخة معدلة من مقال يبلغ طوله حوالي 2000 كلمة نُشر في مجلة بروميثيوس، يصف رحلة أندرو وايلز الناجحة.
ريتشارد تايلور وأندرو وايلز (مايو 1995). "الخواص الحلقية لبعض جبر هيك". حوليات الرياضيات . 141 (3 ) : 553-572 . CiteSeerX 10.1.1.128.531 . doi : 10.2307 / 2118560 . ISSN 0003-486X . JSTOR 2118560. OCLC 37032255. Zbl 0823.11030 .
وايلز، أندرو (1995). " المنحنيات الإهليلجية النمطية ونظرية فيرما الأخيرة". حوليات الرياضيات . 141 (3): 443-551 . CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi : 10.2307/2118559 . ISSN 0003-486X . JSTOR 2118559. OCLC 37032255. Zbl 0823.11029 .

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية فيرما الأخيرة" . عالم الرياضيات .
"الدليل" . بي بي إس .يتناول عنوان إحدى حلقات سلسلة NOVA التلفزيونية على قناة PBS جهود أندرو وايلز لإثبات نظرية فيرما الأخيرة، والتي تم بثها على BBC Horizon و UTV /Documentary بعنوان نظرية فيرما الأخيرة ( Adobe Flash ) (الاشتراك مطلوب).
وايلز، ريبيت، شيمورا-تانياما-ويل، ونظرية فيرما الأخيرة
هل اقتنع علماء الرياضيات أخيرًا ببرهان أندرو وايلز لنظرية فيرما الأخيرة؟ ولماذا كان إثبات هذه النظرية صعبًا للغاية؟، مجلة ساينتفك أمريكان ، ٢١ أكتوبر ١٩٩٩
الرجل الذي حلّ أصعب مسألة رياضية في العالم علىيوتيوب

شرح البرهان (بمستويات متفاوتة)

نظرة عامة على برهان وايلز، مبسطة لغير المتخصصين، بقلم هنري دارمون
ملخص موجز جداً للبرهان الذي قدمه تشارلز داني
شرحٌ تفصيليٌّ للبرهان من 140 صفحة، مع تمارين، من إعداد نايجل بوستون. مؤرشف بتاريخ 23 سبتمبر 2019 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).

[Singh-1] 1 2 3 4 5 6 7 نظرية فيرما الأخيرة، سيمون سينغ، 1997، ISBN 1-85702-521-0

[nyt-2] 1 2 3 كولاتا، جينا (24 يونيو 1993). "أخيرًا، صرخة 'وجدتها!' في لغز رياضي قديم" . صحيفة نيويورك تايمز . مؤرشف من الأصل في 26 يوليو 2023. تم الاسترجاع في 21 يناير 2013 .

[abelcitation-3] 1 2 3 "جائزة أبيل 2016" . الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب . 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أكتوبر 2025 .

[wiles1995-4] 1 2 3 وايلز، أندرو (1995). " المنحنيات الإهليلجية النمطية ونظرية فيرما الأخيرة". حوليات الرياضيات . 141 (3): 443-551 . CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559. OCLC 37032255 .

[taylor1995-5] 1 2 تايلور ر ، وايلز أ (1995). " الخواص النظرية الحلقية لبعض جبر هيك" . حوليات الرياضيات . 141 (3): 553-572 . CiteSeerX 10.1.1.128.531 . doi : 10.2307/2118560 . JSTOR 2118560. OCLC 37032255. مؤرشف من الأصل في 27 نوفمبر 2001.

[:1-6] 1 2 "نوفا - نصوص - الدليل - بي بي إس" . بي بي إس . سبتمبر 2006. مؤرشف من الأصل في 6 يونيو 2017. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[7] بوهلر ج، كراندل ر، إرنفال ر، ميتسانكيلا ت (1993). "الأعداد الأولية غير المنتظمة والثوابت الدائرية حتى أربعة ملايين" . رياضيات الحساب . 61 (203). الجمعية الرياضية الأمريكية: 151-153 . Bibcode : 1993MaCom..61..151B . doi : 10.1090/S0025-5718-1993-1197511-5 . JSTOR 2152942 .

[8] هيليغوارتش، إيف (2001). دعوة إلى الرياضيات من فيرما-ويلز . الصحافة الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-339251-0.

[9] سينغ، الصفحات 194-198؛ أكسل، الصفحات 109-114.

[CornellBook-10] 1 2 3 4 ج. كورنيل، ج. هـ. سيلفرمان، وج. ستيفنز، الأشكال النمطية ونظرية فيرما الأخيرة ، ISBN 0-387-94609-8

[:0-11] 1 2 داني، تشارلز (13 مارس 1996). "برهان نظرية فيرما الأخيرة" . مؤرشف من الأصل في 10 ديسمبر 2008. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[:2-12] 1 2 "أندرو وايلز يتحدث عن حل معادلة فيرما" . بي بي إس . 1 نوفمبر 2000. مؤرشف من الأصل في 17 مارس 2016. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[AMS-review-13] 1 2 بوزارد، كيفن (22 فبراير 1999). "مراجعة الأشكال النمطية ونظرية فيرما الأخيرة، بقلم ج. كورنيل، وج. هـ. سيلفرمان، وج. ستيفنز" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 36 (2): 261-266 . doi : 10.1090/S0273-0979-99-00778-8 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 11 نوفمبر 2017. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[sept1994-14] 1 2 سينغ، ص 269-277.

[15] كولاتا، جينا (28 يونيو 1994). "بعد عام، لا تزال العقبة قائمة في البرهان الرياضي" . صحيفة نيويورك تايمز . ISSN 0362-4331 . مؤرشف من الأصل في 26 أغسطس 2016. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[16] كولاتا، جينا (3 يوليو 1994). "26 يونيو - 2 يوليو؛ بعد عام، لغز فيرما لا يزال غير مكتمل تمامًا". صحيفة نيويورك تايمز . ISSN 0362-4331 . مؤرشف من الأصل في 26 أغسطس 2016. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[17] سينغ، ص 175-185.

[18] Aczel، ص 132-134.

[19] سينغ، الصفحات 186-187 (نص مختصر).

[mactutor-20] 1 2 "نظرية فيرما الأخيرة" . تاريخ الرياضيات في ماك تيوتور . فبراير 1996. مؤرشف من الأصل في 2 فبراير 2007. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[21] كورنيل، غاري؛ سيلفرمان، جوزيف هـ .؛ ستيفنز، غلين (2013). الأشكال النمطية ونظرية فيرما الأخيرة ( طبعة مصورة). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 549. ISBN 978-1-4612-1974-3أُرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 13 نوفمبر 2016 .مقتطف من الصفحة 549

[22] أو كارول، إوين (17 أغسطس 2011). "لماذا يُعتبر بيير دي فيرما شفيع الأعمال غير المكتملة؟" . صحيفة كريستيان ساينس مونيتور . الرقم الدولي الموحد للدوريات 0882-7729 . مؤرشف من الأصل في 8 أغسطس 2017. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[23] جرانفيل، أندرو. "تاريخ نظرية فيرما الأخيرة" . مؤرشف من الأصل في 8 أغسطس 2017. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[24] برويل، كريستوف؛ كونراد، برايان؛ دايموند، فريد؛ تايلور، ريتشارد (2001). "حول نمطية المنحنيات الإهليلجية على 𝐐: تمارين ثلاثية الأبعاد مثيرة للاهتمام" . مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 14 (4): 843-939 . doi : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 . ISSN 0894-0347 .

[:3-25] 1 2 هيسلينك، ويم هـ. (3 أبريل 2008). "التحقق الحاسوبي من برهان وايلز لنظرية فيرما الأخيرة" . www.cs.rug.nl. مؤرشف من الأصل في 18 يونيو 2008. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[26] "EP/Y022904/1: 'صياغة نظرية فيرما'"" . ESPRC . مؤرشف من الأصل في 26 يوليو 2024.

[27] سينغ، ص 259-262

[28] سينغ، ص 239-243؛ أكسل، ص 122-125.

[29] الفصل الخامس من كتاب وايلز، أندرو (1995). "المنحنيات الإهليلجية المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة" ( ملف PDF) . حوليات الرياضيات . 141 (3): 443-551 . CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559. OCLC 37032255. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 10 مايو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 مارس 2009 .

[30] مالك، مسعود (6 يناير 1996). "نظرية فيرما الأخيرة" . مؤرشف من الأصل في 26 سبتمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[31] "أسئلة وأجوبة حول الرياضيات العلمية: هجوم وايلز" . www.faqs.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 فبراير 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يونيو 2017 .

[32] "نظرية فيرما الأخيرة، نظرية أخيرًا" (ملف PDF) . مجلة فوكس . أغسطس 1993. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 4 أغسطس 2016. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[33] ويستون، توم. "مواضيع ملخص البحث" . people.math.umass.edu . مؤرشف من الأصل في 20 أكتوبر 2017. تم الاطلاع عليه في 29 يونيو 2017 .

[34] غوفيا، فرناندو (1994). "برهان رائع" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 101 (3): 203-222 . doi : 10.2307/2975598 . JSTOR 2975598. مؤرشف من الأصل في 26 أكتوبر 2023. تم الاسترجاع في 29 يونيو 2017 .

[35] «جائزة ليستر ر. فورد من الجمعية الرياضية الأمريكية» . مؤرشفة من الأصل في 31 يوليو 2016. تم الاطلاع عليها في 29 يونيو 2017 .

[36] فالتينغز، جيرد (يوليو 1995). "برهان نظرية فيرما الأخيرة بقلم ر. تايلور وأ. وايلز" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 42 (7): 743-746 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 12 سبتمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 13 مارس 2009 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ ١٠ ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ] .

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 26 ]

[ ٢٧ ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ ٣١ ]

[ ٣٢ ]

[ ٣٣ ]

[ ٣٤ ]

[ ٣٥ ]

[ 36 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗