انهيار الدالة الموجية

الموسوعة الحرة

تصادمات الجسيمات أثناء تجربة الشق المزدوج . يمثل نمط التداخل الكلي الدالة الموجية الأصلية ، بينما يمثل كل تصادم جسيم انهيارًا فرديًا للدالة الموجية.

في تفسيراتٍ مختلفةٍ لميكانيكا الكم ، يحدث انهيار الدالة الموجية ، أو ما يُسمى أيضًا باختزال متجه الحالة ، [ 1 ] عندما تختزل الدالة الموجية -التي تكون في البداية في حالة تراكب لعدة حالات ذاتية- إلى حالة ذاتية واحدة نتيجةً للتفاعل مع العالم الخارجي. يُسمى هذا التفاعل بالملاحظة ، وهو جوهر القياس في ميكانيكا الكم ، والذي يربط الدالة الموجية بالكميات القابلة للرصد الكلاسيكية مثل الموضع والزخم . يُعد الانهيار أحد العمليتين اللتين تتطور بهما الأنظمة الكمومية مع الزمن؛ أما الأخرى فهي التطور المستمر الذي تحكمه معادلة شرودنغر . [ 2 ]

في تفسير كوبنهاغن ، يربط انهيار الدالة الموجية بين النماذج الكمومية والكلاسيكية، مع دور خاص للمراقب . في المقابل، يقترح الانهيار الموضوعي أصلاً في العمليات الفيزيائية. في تفسير العوالم المتعددة ، لا وجود للانهيار؛ فجميع نتائج الدالة الموجية تحدث بينما يفسر التفكك الكمومي ظهور الانهيار.

تاريخياً، كان فيرنر هايزنبرغ أول من استخدم فكرة اختزال الدالة الموجية لشرح القياس الكمي. [ 3 ] [ 4 ]

الوصف الرياضي

في ميكانيكا الكم، تُسمى كل كمية فيزيائية قابلة للقياس في نظام كمي "كمية قابلة للرصد" ، والتي يمكن أن تكون، على سبيل المثال، موضعر{\displaystyle r}والزخمص{\displaystyle p}ولكن أيضاً الطاقةهـ{\displaystyle E}،z{\displaystyle z}مكونات الدوران (sz{\displaystyle s_{z}}وهكذا. يعمل المتغير القابل للرصد كدالة خطية على حالات النظام؛ تتوافق متجهاته الذاتية مع الحالة الكمومية (أي الحالة الذاتية ) وتتوافق قيمه الذاتية مع القيم الممكنة للمتغير القابل للرصد. تمثل مجموعة أزواج الحالات الذاتية/القيم الذاتية جميع القيم الممكنة للمتغير القابل للرصد. كتابةϕأنا{\displaystyle \phi _{i}}لحالة ذاتية وجأنا{\displaystyle c_{i}}بالنسبة للقيمة المرصودة المقابلة، يمكن التعبير عن أي حالة عشوائية للنظام الكمومي كمتجه باستخدام تدوين برا-كيت : |ψ⟩=∑أناجأنا|ϕأنا⟩.{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle .} الكيت{|ϕأنا⟩}{\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}حدد البدائل الكمومية المختلفة المتاحة، أي الحالات الكمومية المحددة.

الدالة الموجية هي تمثيل محدد لحالة كمومية. ولذلك، يمكن دائمًا التعبير عن الدوال الموجية كحالات ذاتية لكمية قابلة للرصد، مع أن العكس ليس صحيحًا بالضرورة.

ينهار

لتفسير النتيجة التجريبية المتمثلة في أن القياسات المتكررة لنظام كمومي تعطي نفس النتائج، تفترض النظرية "انهيارًا" أو "اختزالًا لمتجه الحالة" عند الملاحظة، [ 5 ] : 566 مما يحول فجأة حالة عشوائية إلى حالة ذاتية مكونة واحدة للمتغير القابل للملاحظة:

|ψ⟩=∑أناجأنا|ϕأنا⟩↦|ψ′⟩=|ϕأنا⟩.{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle \mapsto |\psi '\rangle =|\phi _{i}\rangle .}

حيث يمثل السهم قياسًا للمتغير القابل للملاحظة المقابل لـϕ{\displaystyle \phi }الأساس. [ 6 ] بالنسبة لأي حدث واحد، يتم قياس قيمة ذاتية واحدة فقط، يتم اختيارها عشوائيًا من بين القيم الممكنة.

معنى معاملات التوسع

المعاملات المركبة​{جأنا}{\displaystyle \{c_{i}\}}في توسيع الحالة الكمومية بدلالة الحالات الذاتية{|ϕأنا⟩}{\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}، |ψ⟩=∑أناجأنا|ϕأنا⟩.{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle .} يمكن كتابتها على شكل تراكب (معقد) للحالة الذاتية المقابلة والحالة الكمومية: جأنا=⟨ϕأنا|ψ⟩.{\displaystyle c_{i}=\langle \phi _{i}|\psi \rangle .} تُسمى هذه القيم بسعات الاحتمال . المعامل التربيعي|جأنا|2{\displaystyle |c_{i}|^{2}}هي احتمالية أن يؤدي قياس المتغير القابل للرصد إلى الحالة الذاتية|ϕأنا⟩{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }يجب أن يكون مجموع الاحتمالات على جميع النتائج الممكنة واحدًا: [ 7 ]

⟨ψ|ψ⟩=∑أنا|جأنا|2=1.{\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|c_{i}|^{2}=1.}

على سبيل المثال، تظهر العدّات الفردية في تجربة الشق المزدوج للإلكترونات في مواقع عشوائية على الكاشف؛ وبعد جمع العديد من العدّات، يُظهر التوزيع نمط تداخل موجي. [ 8 ] في تجربة شتيرن-غيرلاخ مع ذرات الفضة، يظهر كل جسيم في إحدى منطقتين بشكل غير متوقع، ولكن النتيجة النهائية هي وجود أعداد متساوية من الأحداث في كل منطقة.

يختلف هذا الجانب الإحصائي للقياسات الكمومية اختلافًا جوهريًا عن الميكانيكا الكلاسيكية . ففي الميكانيكا الكمومية، المعلومة الوحيدة المتوفرة لدينا عن النظام هي دالته الموجية، ولا يمكن لقياسات هذه الدالة الموجية إلا أن تقدم معلومات إحصائية. [ 5 ] : 17

مصطلحات

يُستخدم مصطلحا "اختزال متجه الحالة" (أو "اختزال الحالة" اختصارًا) و"انهيار الدالة الموجية" لوصف المفهوم نفسه. الحالة الكمومية هي وصف رياضي لنظام كمومي؛ ويستخدم متجه الحالة الكمومية متجهات فضاء هيلبرت لهذا الوصف. [ 9 ] : 159 يستبدل اختزال متجه الحالة متجه الحالة الكامل بحالة ذاتية واحدة للمتغير القابل للرصد.

يُستخدم مصطلح "الدالة الموجية" عادةً للإشارة إلى تمثيل رياضي مختلف للحالة الكمومية، وهو تمثيل يستخدم الإحداثيات المكانية ويُسمى أيضًا "تمثيل الموضع". [ 9 ] : 324 وعند استخدام تمثيل الدالة الموجية، يُطلق على "الاختزال" اسم "انهيار الدالة الموجية".

مشكلة القياس

تصف معادلة شرودنغر الأنظمة الكمومية، لكنها لا تصف قياسها. تشمل حلول المعادلة جميع القيم القابلة للملاحظة الممكنة للقياسات، لكن القياسات لا تُسفر إلا عن نتيجة واحدة محددة. يُطلق على هذا الاختلاف اسم مشكلة القياس في ميكانيكا الكم. وللتنبؤ بنتائج القياس من الحلول الكمومية، يفترض التفسير التقليدي لنظرية الكم انهيار الدالة الموجية، ويستخدم قاعدة بورن لحساب النتائج المحتملة. [ 10 ] على الرغم من النجاح الكمي الواسع لهذه الافتراضات، لا يزال العلماء غير راضين، ويسعون إلى نماذج فيزيائية أكثر تفصيلًا. فبدلًا من تعليق معادلة شرودنغر أثناء عملية القياس، ينبغي تضمين جهاز القياس وإخضاعه لقوانين ميكانيكا الكم. [ 11 ] : 127

الأساليب المادية للانهيار

لا تقدم نظرية الكم وصفًا ديناميكيًا لـ"انهيار" الدالة الموجية. وباعتبارها نظرية إحصائية، فلا يُتوقع وجود وصف لها. وكما قال فوكس وبيريز: "الانهيار هو شيء يحدث في وصفنا للنظام، وليس للنظام نفسه". [ 12 ]

تحاول تفسيراتٌ مختلفةٌ لميكانيكا الكم تقديم نموذجٍ فيزيائيٍّ للانهيار. [ 13 ] : 816 ويمكن إيجاد ثلاثة معالجاتٍ للانهيار ضمن التفسيرات الشائعة. تشمل المجموعة الأولى نظريات المتغيرات الخفية، مثل نظرية دي برولي-بوم ؛ حيث تنتج النتائج العشوائية فقط عن قيمٍ غير معروفةٍ لمتغيراتٍ خفية. تُظهر نتائج اختبارات نظرية بيل أن هذه المتغيرات يجب أن تكون غير محلية. تُصوّر المجموعة الثانية القياس على أنه تشابكٌ كميٌّ بين الحالة الكمية وجهاز القياس. ينتج عن هذا محاكاةٌ للإحصاءات الكلاسيكية تُسمى فك الترابط الكمي. تشمل هذه المجموعة تفسير العوالم المتعددة ونماذج التاريخ المتسق . تفترض المجموعة الثالثة أساسًا فيزيائيًا إضافيًا، لم يُكتشف بعد، للعشوائية؛ تشمل هذه المجموعة، على سبيل المثال، تفسيرات الانهيار الموضوعي . في حين ساهمت النماذج في جميع المجموعات في فهمٍ أفضل لنظرية الكم، لم يظهر أي تفسيرٍ بديلٍ للأحداث الفردية أكثر فائدةً من الانهيار متبوعًا بالتنبؤ الإحصائي باستخدام قاعدة بورن. [ 13 ] : 819

تختلف الأهمية المنسوبة إلى الدالة الموجية من تفسير لآخر، بل وحتى داخل التفسير الواحد (مثل تفسير كوبنهاغن ). فإذا كانت الدالة الموجية مجرد ترميز لمعرفة الراصد بالكون، فإن انهيارها يُقابل تلقي معلومات جديدة. وهذا يُشابه إلى حد ما الوضع في الفيزياء الكلاسيكية، إلا أن "الدالة الموجية" الكلاسيكية لا تخضع بالضرورة لمعادلة موجية. أما إذا كانت الدالة الموجية حقيقية فيزيائيًا، بمعنى ما وإلى حد ما، فإن انهيارها يُنظر إليه أيضًا كعملية حقيقية، بنفس القدر.

التفكك الكمي

يُفسر التفكك الكمومي سبب انتقال نظام يتفاعل مع بيئة ما من حالة نقية ، تُظهر تراكبات، إلى حالة مختلطة ، وهي مزيج غير متماسك من البدائل الكلاسيكية. [ 14 ] هذا الانتقال قابل للانعكاس جوهريًا، إذ تظل الحالة المُدمجة للنظام والبيئة نقية، ولكنه عمليًا غير قابل للانعكاس بنفس معنى القانون الثاني للديناميكا الحرارية : فالبيئة نظام كمومي كبير ومعقد للغاية، ومن غير الممكن عكس تفاعلهما. لذا، يُعد التفكك الكمومي بالغ الأهمية لتفسير الحد الكلاسيكي لميكانيكا الكم، ولكنه لا يُفسر انهيار الدالة الموجية، لأن جميع البدائل الكلاسيكية لا تزال موجودة في الحالة المختلطة، ولا يختار انهيار الدالة الموجية إلا واحدًا منها. [ 15 ] [ 16 ] [ 14 ]

يقترح شكلٌ من أشكال فقدان الترابط يُعرف باسم الانتقاء الفائق المُستحث بالبيئة أنه عندما يتفاعل نظام كمومي مع البيئة، فإن التراكبات تُختزل ظاهريًا إلى مزيج من البدائل الكلاسيكية. وتستمر الدالة الموجية المُجمعة للنظام والبيئة في الخضوع لمعادلة شرودنغر طوال هذا الانهيار الظاهري . [ 17 ] والأهم من ذلك، أن هذا لا يكفي لتفسير الانهيار الفعلي للدالة الموجية، لأن فقدان الترابط لا يُختزلها إلى حالة ذاتية واحدة. [ 15 ] [ 14 ]

تاريخ

طُرح مفهوم انهيار الدالة الموجية لأول مرة من قِبل فيرنر هايزنبرغ في بحثه المنشور عام 1927 حول مبدأ عدم اليقين ، بعنوان "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik"، وأُدمج في الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم بواسطة جون فون نيومان في أطروحته المنشورة عام 1932 بعنوان "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik" . [ 4 ] لم يُحاول هايزنبرغ تحديد معنى انهيار الدالة الموجية بدقة، ولكنه أكد على ضرورة عدم فهمه كعملية فيزيائية. [ 18 ] لم يذكر نيلز بور انهيار الدالة الموجية في أعماله المنشورة، ولكنه حذر مرارًا وتكرارًا من ضرورة التخلي عن "التمثيل التصويري". على الرغم من الاختلافات بين بور وهايزنبرغ، غالبًا ما تُجمع آراؤهما تحت مسمى "تفسير كوبنهاغن"، الذي يُعتبر انهيار الدالة الموجية سمةً أساسيةً فيه. [ 19 ]

اتخذ عمل جون فون نيومان المؤثر عام 1932 بعنوان "الأسس الرياضية لميكانيكا الكم" نهجًا أكثر رسمية، حيث طور مخطط قياس "مثالي" [ 20 ] [ 21 ] : 1270 والذي افترض وجود عمليتين لتغير الدالة الموجية:

  1. التغيير الاحتمالي ، غير الوحدوي ، غير المحلي ، غير المتصل الذي يحدث عن طريق الملاحظة والقياس (انخفاض الحالة أو انهيارها).
  2. التطور الزمني الحتمي والوحدوي والمستمر لنظام معزول يخضع لمعادلة شرودنغر .

في عام 1957، اقترح هيو إيفريت الثالث نموذجًا لميكانيكا الكم أسقط فيه الفرضية الأولى لفون نيومان. لاحظ إيفريت أن جهاز القياس هو أيضًا نظام كمي، وأن تفاعله الكمي مع النظام قيد الملاحظة هو ما يحدد النتائج. واقترح أن التغير المفاجئ هو في الواقع انقسام لدالة موجية تمثل الكون. [ 21 ] : 1288. في حين أن نهج إيفريت أعاد إحياء الاهتمام بميكانيكا الكم الأساسية، إلا أنه ترك قضايا جوهرية دون حل. تتعلق قضيتان رئيسيتان بأصل النتائج الكلاسيكية المرصودة: ما الذي يجعل الأنظمة الكمية تبدو كلاسيكية، وكيف يمكن حلها بالاحتمالات المرصودة لقاعدة بورن ؟ [ 21 ] : 1290 [ 20 ] : 5

بدأ هـ. ديتر زيه، في عام 1970 ، البحث عن نموذج مفصل لفك الترابط الكمومي للتغير غير المتصل دون افتراض الانهيار. وأدت أعمال لاحقة قام بها فويتشخ هـ. زوريك في عام 1980 إلى نشر عدد كبير من الأبحاث حول جوانب عديدة من هذا المفهوم. [ 22 ] يفترض فك الترابط أن كل نظام كمومي يتفاعل ميكانيكيًا كموميًا مع بيئته، وأن هذا التفاعل غير قابل للفصل عن النظام، وهو مفهوم يُعرف باسم "النظام المفتوح". [ 21 ] : 1273 وقد ثبت أن فك الترابط يعمل بسرعة كبيرة وفي بيئة مصغرة، ولكنه لم ينجح حتى الآن في توفير نموذج مفصل يحل محل فرضية الانهيار في ميكانيكا الكم التقليدية. [ 21 ] : 1302

من خلال تناوله الصريح لتفاعل الجسم مع أداة القياس، وصف فون نيومان [ 2 ] مخطط قياس ميكانيكي كمي يتوافق مع انهيار الدالة الموجية. مع ذلك، لم يُثبت ضرورة هذا الانهيار. وقد استندت فرضية الإسقاط لفون نيومان إلى أدلة تجريبية متاحة خلال ثلاثينيات القرن العشرين، ولا سيما تشتت كومبتون . وفي وقت لاحق، صقل العمل مفهوم القياسات إلى نوعين: النوع الأول ، الذي يُعطي القيمة نفسها عند تكراره مباشرةً، والنوع الثاني ، الذي يُعطي قيمًا مختلفة عند تكراره. [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بينروز، روجر (مايو 1996). "حول دور الجاذبية في اختزال الحالة الكمومية" . النسبية العامة والجاذبية . 28 (5): 581-600 . Bibcode : 1996GReGr..28..581P . doi : 10.1007/BF02105068 . ISSN 0001-7701 . 
  2. 1 2 ج. فون نيومان (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (باللغة الألمانية). برلين: سبرينغر .
    ج. فون نيومان (1955). الأسس الرياضية لميكانيكا الكم . مطبعة جامعة برينستون .
  3. ^ هايزنبرغ، دبليو (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z. Phys. 43 : 172-198. الترجمة باسم "المحتوى الفعلي للحركية والميكانيكا النظرية الكمومية" .
  4. 1 2 كيفر، كلاوس (2003). "حول تفسير نظرية الكم - من كوبنهاغن إلى يومنا هذا". في كاستل، لوتز؛ إيشيبك، أوتفريد (محرران). الزمن، الكم، والمعلومات . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 291-299 . arXiv : quant-ph/0210152 . doi : 10.1007/978-3-662-10557-3_19 . ISBN  978-3-642-07892-7.
  5. 1 2 غريفيث، ديفيد جيه؛ شروتر، داريل إف. (2018). مقدمة في ميكانيكا الكم ( الطبعة الثالثة). كامبريدج؛ نيويورك، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  978-1-107-18963-8.
  6. ↑ هول، برايان سي. (2013). نظرية الكم للرياضيين . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. نيويورك: سبرينغر. ص 68. ISBN  978-1-4614-7115-8.
  7. ↑ غريفيث، ديفيد ج. (2005). مقدمة في ميكانيكا الكم، الطبعة الثانية . أبر سادل ريفر، نيو جيرسي: بيرسون برنتيس هول. ص 107. ISBN  0-13-111892-7.
  8. ↑ باخ، روجر؛ بوب، داميان؛ ليو، سي-هوانغ؛ باتيلان، هيرمان (13 مارس 2013). "حيود الإلكترون المتحكم به باستخدام الشق المزدوج" . مجلة الفيزياء الجديدة . 15 (3) 033018. دار نشر IOP. arXiv : 1210.6243 . Bibcode : 2013NJPh...15c3018B . doi : 10.1088/1367-2630/15/3/033018 . ISSN 1367-2630 . S2CID 832961 .  
  9. 1 2 مسيح، ألبرت (1966). ميكانيكا الكم . نورث هولاند، جون وايلي وأولاده. ISBN 0-486-40924-4.
  10. ↑ زوريك، فويتش هوبرت (22 مايو 2003). "فك الترابط، والانتقاء الذاتي، والأصول الكمومية للفيزياء الكلاسيكية" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 75 (3): 715-775 . arXiv : quant-ph/0105127 . Bibcode : 2003RvMP...75..715Z . doi : 10.1103/RevModPhys.75.715 . ISSN 0034-6861 . 
  11. ↑ ساسكيند، ليونارد؛ فريدمان، آرت؛ ساسكيند، ليونارد (2014). ميكانيكا الكم: الحد الأدنى النظري؛ [ما تحتاج إلى معرفته لبدء دراسة الفيزياء] . الحد الأدنى النظري / ليونارد ساسكيند وجورج هرابوفسكي. نيويورك، نيويورك: بيسيك بوكس. ISBN 978-0-465-06290-4.
  12. ↑ فوكس، كريستوفر أ.؛ بيريز، آشر (2000-03-01). "لا تحتاج نظرية الكم إلى 'تفسير'"" . Physics Today . 53 (3): 70–71 . Bibcode : 2000PhT....53c..70F . doi : 10.1063/1.883004 . ISSN 0031-9228 . 
  13. 1 2 ستاماتيسكو، أيون أوليمبيو (2009). "انهيار وظيفة الموجة" . في جرينبرجر، دانيال؛ هنتشل، كلاوس؛ وينرت، فريدل (محرران). خلاصة فيزياء الكم . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 813 – 822. دوى : 10.1007 / 978-3-540-70626-7_230 . رقم ISBN  978-3-540-70622-9.
  14. 1 2 3 فاين، آرثر (2020). "دور عدم الترابط في ميكانيكا الكم" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . مركز دراسة اللغة والمعلومات، موقع جامعة ستانفورد . تاريخ الاسترجاع: 11 أبريل 2021 .
  15. 1 2 شلوسهاور، ماكسيميليان (2005). "فك الترابط، مشكلة القياس، وتفسيرات ميكانيكا الكم". مجلة الفيزياء الحديثة 76 (4): 1267-1305 . arXiv : quant-ph/0312059 . Bibcode : 2004RvMP...76.1267S . doi : 10.1103/RevModPhys.76.1267 . S2CID 7295619 . 
  16. ↑ فويتش هـ. زوريك (2003). "فك الترابط، والانتقاء الذاتي، والأصول الكمومية للكلاسيكية". مراجعات الفيزياء الحديثة . 75 (3): 715. arXiv : quant-ph/0105127 . Bibcode : 2003RvMP...75..715Z . doi : 10.1103/RevModPhys.75.715 . S2CID 14759237 . 
  17. ↑ زوريك، فويتشيك هوبرت (2009). "الداروينية الكمية". فيزياء الطبيعة . 5 (3): 181-188 . arXiv : 0903.5082 . Bibcode : 2009NatPh...5..181Z . doi : 10.1038/nphys1202 . S2CID 119205282 . 
  18. ↑ جي. جاغر (2017). ""اختزال حزمة الموجة" والطابع الكمي لتحقيق الإمكانات . إنتروبي . 19 (10): 13. Bibcode : 2017Entrp..19..513J . doi : 10.3390/e19100513 . hdl : 2144/41814 .
  19. ↑ هنريك زينكرناغل (2016). "نيلز بور حول الدالة الموجية والفاصل بين الكلاسيكية والكمية". دراسات في تاريخ وفلسفة الفيزياء الحديثة . 53 : 9-19 . arXiv : 1603.00353 . Bibcode : 2016SHPMP..53....9Z . doi : 10.1016/j.shpsb.2015.11.001 . S2CID 18890207. من الشائع بين دارسي بور التأكيد على أن بور لم يذكر انهيار الدالة الموجية قط (انظر على سبيل المثال هوارد، 2004 وفاي، 2008). صحيح أن بور لم يناقش في كتاباته المنشورة وضع أو وجود هذا المكون القياسي في الصورة الشائعة لتفسير كوبنهاغن. 
  20. 1 2 هارتل، جيمس ب. "ميكانيكا الكم في علم الكونيات". ملاحظات من محاضرات المؤلف في مدرسة القدس الشتوية السابعة عام 1990 حول علم الكونيات الكمي والأكوان الوليدة. arXiv:1805.12246 (2018).
  21. 1 2 3 4 5 شلوسهاور، ماكسيميليان (23 فبراير 2005). "فك الترابط، مشكلة القياس، وتفسيرات ميكانيكا الكم" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 76 (4): 1267-1305 . arXiv : quant-ph/0312059 . Bibcode : 2004RvMP...76.1267S . doi : 10.1103/RevModPhys.76.1267 . ISSN 0034-6861 . 
  22. ↑ كاميليري، كريستيان (1 ديسمبر 2009). "تاريخ التشابك: فك الترابط ومشكلة التفسير" . دراسات في تاريخ وفلسفة العلوم، الجزء ب: دراسات في تاريخ وفلسفة الفيزياء الحديثة . حول تاريخ الكم. 40 (4): 290-302 . رمز Bibcode : 2009SHPMP..40..290C . doi : 10.1016/j.shpsb.2009.09.003 . ISSN 1355-2198 . 
  23. ^ دبليو باولي (1958). "Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik". في S. Flügge (محرر). Handbuch der Physik (في المانيا). المجلد. V. برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ص. 73.  
  24. ^ لاندو و ر. بيرلز (1931). “Erweiterung des Unbestimmtheitsprinzips for die Relativistische Quantentheorie”. Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 69 ( 1– 2): 56– 69. بيب كود : 1931ZPhy...69...56L . دوى : 10.1007/BF01391513 . S2CID 123160388 . )
  25. ↑ يمكن إيجاد مناقشات حول القياسات من النوع الثاني في معظم الدراسات المتعلقة بأسس ميكانيكا الكم، على سبيل المثال، JM Jauch (1968). أسس ميكانيكا الكم . Addison-Wesley. ص 165 . ب . ديسبانيات (1976). الأسس المفاهيمية لميكانيكا الكم . دبليو إيه بنجامين. ص 18، 159. ؛ و WM de Muynck (2002). أسس ميكانيكا الكم: منهج تجريبي . دار نشر كلوير الأكاديمية. القسم 3.2.4.
  • اقتباسات متعلقة بانهيار الدالة الموجية على موقع ويكي الاقتباسات