المجال الإقليدي

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحلقات ، يُعرف المجال الإقليدي (أو الحلقة الإقليدية ) بأنه مجال تكاملي يمكن تزويده بدالة إقليدية تُتيح تعميمًا مناسبًا للقسمة الإقليدية للأعداد الصحيحة . يُمكن استخدام هذه الخوارزمية الإقليدية المُعممة في العديد من التطبيقات المُشابهة لخوارزمية إقليدس الأصلية في حلقة الأعداد الصحيحة: ففي أي مجال إقليدي، يُمكن تطبيق الخوارزمية الإقليدية لحساب القاسم المشترك الأكبر لأي عنصرين. على وجه الخصوص، يوجد القاسم المشترك الأكبر لأي عنصرين، ويُمكن كتابته كتركيبة خطية لهما ( متطابقة بيزو ). يُعد وجود خوارزميات فعّالة للقسمة الإقليدية للأعداد الصحيحة ومتعددات الحدود ذات المتغير الواحد على حقل ما ذا أهمية أساسية في الجبر الحاسوبي .

من المهم مقارنة فئة المجالات الإقليدية بفئة المجالات المثالية الرئيسية (PIDs) الأوسع. يتمتع أي مجال مثالي رئيسي (PID) بخصائص هيكلية مشابهة إلى حد كبير للمجال الإقليدي (أو حتى لحلقة الأعداد الصحيحة)، ولكنه يفتقر إلى نظير لخوارزمية إقليدية وخوارزمية إقليدية موسعة لحساب القواسم المشتركة الكبرى. لذا، عند إعطاء مجال تكاملي R ، من المفيد غالبًا معرفة أن R يمتلك دالة إقليدية: وهذا يعني تحديدًا أن R هو مجال مثالي رئيسي (PID). مع ذلك، إذا لم تكن هناك دالة إقليدية "واضحة"، فإن تحديد ما إذا كان R مجالًا مثاليًا رئيسيًا (PID) يُعد عمومًا أسهل بكثير من تحديد ما إذا كان مجالًا إقليديًا.

كل مثالي في مجال إقليدي هو مثالي رئيسي ، مما يستلزم تعميمًا مناسبًا للنظرية الأساسية في الحساب : كل مجال إقليدي هو أيضًا مجال تحليل فريد . تظهر المجالات الإقليدية في سلسلة تضمين الفئات التالية :

الحلقات ⊃ الحلقات ⊃ الحلقات التبادلية ⊃ المجالات التكاملية ⊃ المجالات المغلقة تكامليًا ⊃ مجالات القاسم المشترك الأكبر ⊃ مجالات التحليل الفريد ⊃ مجالات المثالي الرئيسي ⊃ المجالات الإقليدية ⊃ الحقول ⊃ الحقول المغلقة جبريًا

ليكن R مجالًا تكامليًا. الدالة الإقليدية على R هي دالة f من R \ {0} إلى الأعداد الصحيحة غير السالبة التي تحقق خاصية القسمة مع الباقي الأساسية التالية:

• (EF1) إذا كان a و b في R و b غير صفري، فإنه يوجد q و r في R بحيث يكون a = bq + r و إما r = 0 أو f ( r ) < f ( b ) .

المجال الإقليدي هو مجال تكاملي يمكن تزويده بدالة إقليدية واحدة على الأقل. ولا تُعدّ دالة إقليدية معينة f جزءًا من تعريف المجال الإقليدي، إذ قد يقبل المجال الإقليدي، بشكل عام، العديد من الدوال الإقليدية المختلفة.

في هذا السياق، يُطلق على q و r على التوالي اسم ناتج القسمة وباقي قسمة (أو القسمة الإقليدية ) a على b . وعلى عكس حالة الأعداد الصحيحة وكثيرات الحدود ، فإن ناتج القسمة ليس محددًا بشكل فريد في العادة، ولكن عند اختيار ناتج قسمة، يكون الباقي محددًا بشكل فريد.

تتطلب معظم كتب الجبر أن تتمتع الدالة الإقليدية بالخاصية الإضافية التالية:

• (EF2) لكل a و b غير الصفرية في R ، f ( a ) ≤ f ( ab ) .

مع ذلك، يمكن إثبات أن الشرط (EF1) وحده يكفي لتحديد مجال إقليدي؛ فإذا كان المجال التكاملي R مزودًا بدالة g تحقق الشرط (EF1)، فإنه يمكن أيضًا تزويد R بدالة تحقق الشرطين (EF1) و(EF2) معًا. في الواقع، بالنسبة لـ a في R \ {0} ، يمكن تعريف f ( a ) كما يلي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)}$

بكلمات أخرى، يمكن تعريف f ( a ) على أنها القيمة الدنيا التي تحققها g على مجموعة جميع العناصر غير الصفرية للمثال الرئيسي الذي يولده a .

تكون الدالة الإقليدية f ضربية إذا كان f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) و f ( a ) لا تساوي صفرًا أبدًا. وبالتالي، فإن f (1) = 1. وبشكل أعم، f ( a ) = 1 إذا وفقط إذا كان a عنصرًا محايدًا .

تشمل أمثلة المجالات الإقليدية ما يلي:

• أي حقل. عرّف f ( x ) = 1 لجميع قيم x غير الصفرية .
• Z ، حلقة الأعداد الصحيحة. عرّف f ( n ) = | n | ، القيمة المطلقة لـ n . ^{[ 3 ]}
• Z [ i ] ،حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية . عرّف f ( a + bi ) = a² + b² ^، معيار العدد الصحيح الغاوسي a ⁺ bi .
• Z [ ω ] (حيث ⁠${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}$^{( حيث} ω هو جذر تكعيبي أولي للوحدة )، حلقة أعداد أيزنشتاين . عرّف f ( a + bω ) = a² - ab + b² ^، معيار عدد أيزنشتاين a + bω .
• Z [ φ ] ، حلقة الأعداد الذهبية ، حيث${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$⁠ هي النسبة الذهبية . عرّف f ( a + bφ ) = | a ² + ab − b ² | ، وهي القيمة المطلقة لمعيار الحقل لـ a + bφ .
• K [ X ] ، حلقة كثيرات الحدود على حقل K. لكل كثيرة حدود غير صفرية P ، ^عرّف f ( P ) على أنها درجة P.[ ^{4 ]}
• K [[ X ]] ، حلقة متسلسلات القوى الرسمية على الحقل K. لكل متسلسلة قوى غير صفرية P ، نُعرّف f ( P ) على أنها رتبة P، أي درجة أصغر قوة لـ X تظهر في P. على وجه الخصوص، بالنسبة لمتسلسلتي قوى غير صفريتين P و Q ، فإن f ( P ) ≤ f ( Q ) إذا وفقط إذاكانت P تقسم Q.
• أي حلقة تقييم منفصلة . عرّف f ( x ) بأنها أعلى قوة للمثالي الأعظمي M الذي يحتوي على x . بصورة مكافئة، ليكن g مولدًا لـ M ، و v العدد الصحيح الوحيد الذي يكون فيه g ∩ ^v عنصرًا مرافقًا لـ x ، عندئذٍ عرّف f ( x ) = v . المثال السابق K [[ X ]] هو حالة خاصة من هذا.
• مجال ديديكيند يحتوي على عدد محدود _من المثاليّات الأولية غير الصفرية P1 ، ...، Pn _. عرّف${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)}$، حيث يمثل v _i التقييم المنفصل المقابل لـ P _i المثالي . ^{[ 5 ]}

من أمثلة المجالات التي ليست مجالات إقليدية ما يلي:

• كل مجال ليس مجالًا مثاليًا رئيسيًا ، مثل حلقة كثيرات الحدود في اثنين على الأقل من المتغيرات غير المحددة على حقل، أو حلقة كثيرات الحدود أحادية المتغير ذات المعاملات الصحيحة ، أو حلقة الأعداد Z [ √ − 5 ] .
• حلقة الأعداد الصحيحة في Q ( √ -19 ) ، المكونة من العددين a + b (√ - 19 / 2 ) حيث a و b عددان صحيحان، أحدهما زوجي والآخر فردي، هي مجال مثالي رئيسي غير إقليدي. وقد أثبت ذلك ثيودور موتزكين، وكانت هذه أول حالة معروفة ^{[ 6 ]} ، ثم أُثبت لاحقًا لـ Q ( √D ) عندما تكون D = -19، -43 ، -67، -163.
• الحلقة A = R [ X , Y ]/( X² ⁺ Y² ⁺ 1 ) هي أيضًا مجال مثالي رئيسي ^{[ 7 ]} غير إقليدي. ولإثبات أنها ليست مجالًا إقليديًا، يكفي أن نُبين أنه لكل عدد أولي غير صفري${\displaystyle p\in A}$الخريطة${\displaystyle A^{\times }\to (A/p)^{\times }}$ناتج عن خريطة القسمة${\displaystyle A\to A/p}$ليست شاملة . ^{[ 8 ]}

ليكن R مجالًا و f دالة إقليدية على R. إذن:

• R هو مجال مثالي رئيسي (PID). في الواقع، إذا كان I مثاليًا غير صفري في R ، فإن أي عنصر a من I  \ {0} ذي قيمة دنيا (على تلك المجموعة) للدالة f ( a ) هو مولد لـ I. ^{[ 9 ]} ونتيجة لذلك، فإن R هو أيضًا مجال تحليل فريد وحلقة نوثرية . بالنسبة لمجالات المثالي الرئيسي العامة، فإن إثبات وجود التحليلات (أي أن R مجال ذري ) سهل بشكل خاص في المجالات الإقليدية: باختيار دالة إقليدية f تحقق الشرط (EF2)، لا يمكن أن يكون لـ x أي تحليل إلى أكثر من f ( x ) من العوامل غير الوحدوية، لذا فإن البدء بـ x وتكرار تحليل العوامل القابلة للاختزال سيؤدي حتمًا إلى إنتاج تحليل إلى عناصر غير قابلة للاختزال .
• أي عنصر من R تأخذ عنده الدالة f قيمتها الدنيا المطلقة يكون قابلاً للعكس في R. إذا تم اختيار دالة f تحقق الشرط (EF2)، فإن العكس صحيح أيضاً، وتأخذ f قيمتها الدنيا تحديداً عند العناصر القابلة للعكس في R.
• إذا كانت القسمة الإقليدية خوارزمية، أي إذا كانت هناك خوارزمية لحساب ناتج القسمة والباقي، فإنه يمكن تعريف خوارزمية إقليدية موسعة تمامًا كما هو الحال في الأعداد الصحيحة. ^{[ 10 ]}
• إذا لم يكن المجال الإقليدي حقلاً، فإنه يحتوي على عنصر غير محايد a يُسمى قاسمًا جانبيًا شاملاً ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]،} وله الخاصية التالية: أي عنصر x لا يقبل القسمة على a يمكن كتابته على الصورة x = ay + u ، حيث u عنصر محايد و y عنصر محايد . ويتحقق ذلك باعتبار a عنصرًا غير محايد مع f ( a ) بأصغر قيمة ممكنة. يمكن استخدام هذه الخاصية الغريبة لإثبات أن بعض مجالات المثاليّات الرئيسية ليست مجالات إقليدية، إذ لا تمتلك جميع المثاليّات الرئيسية هذه الخاصية. على سبيل المثال، بالنسبة لـ d = −19, −43, −67, −163، فإن حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$هو مصفوفة PID ليست إقليدية (لأنها لا تمتلك هذه الخاصية)، لكن الحالات d = −1، −2، −3، −7، −11 هي إقليدية. ^{[ 11 ]}

مع ذلك، في العديد من الامتدادات المنتهية لـ Q ذات زمرة فئات تافهة ، تكون حلقة الأعداد الصحيحة إقليدية (ليس بالضرورة بالنسبة للقيمة المطلقة لمعيار الحقل؛ انظر أدناه). بافتراض فرضية ريمان الموسعة ، إذا كان K امتدادًا منتهيًا لـ Q وكانت حلقة الأعداد الصحيحة لـ K عبارة عن نظام متعدد الأعداد (PID) ذي عدد لا نهائي من الوحدات، فإن حلقة الأعداد الصحيحة تكون إقليدية. ^{[ 15 ]} ينطبق هذا بشكل خاص على حالة حقول الأعداد التربيعية الحقيقية تمامًا ذات زمرة فئات تافهة. بالإضافة إلى ذلك (ودون افتراض فرضية ريمان الموسعة)، إذا كان الحقل K امتدادًا غالوا لـ Q ، وله زمرة فئات تافهة ورتبة وحدة أكبر من ثلاثة، فإن حلقة الأعداد الصحيحة تكون إقليدية. ^{[ 16 ]} نتيجة مباشرة لذلك هي أنه إذا كان حقل العدد هو Galois على Q ، فإن مجموعة فئاته تافهة والامتداد له درجة أكبر من 8 ، فإن حلقة الأعداد الصحيحة بالضرورة إقليدية.

تأتي حقول الأعداد الجبرية K مزودة بدالة معيارية أساسية: القيمة المطلقة لمعيار الحقل N الذي يأخذ العنصر الجبري α إلى حاصل ضرب جميع مرافقات α . يحوّل هذا المعيار حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي K ، ولتكن O _K ، إلى الأعداد الصحيحة النسبية غير السالبة ، لذا فهو مرشح ليكون معيارًا إقليديًا على هذه الحلقة. إذا حقق هذا المعيار بديهيات دالة إقليدية، يُسمى حقل الأعداد K معياريًا إقليديًا أو ببساطة إقليديًا . ^{[ 17 ] [ 18 ]} من الناحية الدقيقة، فإن حلقة الأعداد الصحيحة هي الإقليدية لأن الحقول هي مجالات إقليدية بديهيًا، لكن المصطلحات قياسية.

إذا لم يكن حقلٌ ما معياريًا إقليديًا، فهذا لا يعني أن حلقة الأعداد الصحيحة ليست إقليدية، بل يعني فقط أن معيار الحقل لا يحقق بديهيات الدالة الإقليدية. في الواقع، يمكن تقسيم حلقات الأعداد الصحيحة لحقول الأعداد إلى عدة فئات:

• أما تلك التي ليست رئيسية وبالتالي ليست إقليدية، مثل الأعداد الصحيحة لـ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}$
• تلك التي هي رئيسية وليست إقليدية، مثل الأعداد الصحيحة لـ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)}$
• تلك التي هي إقليدية وليست معيارية إقليدية، مثل الأعداد الصحيحة لـ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {69}}\,)}$^{[ 19 ]}
• تلك التي تتبع التوزيع الإقليدي المعياري، مثل الأعداد الصحيحة الغاوسية (أعداد صحيحة من${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)}$)

تم تصنيف الحقول التربيعية المعيارية الإقليدية تصنيفاً كاملاً؛ وهي${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$أين${\displaystyle d}$يأخذ القيم

−11، −7، −3، −2، −1، 2، 3، 5، 6، 7، 11، 13، 17، 19، 21، 29، 33، 37، 41، 57، 73 (التسلسل A048981 في OEIS ) . ^{[ 20 ]}

كل حقل تربيعي تخيلي إقليدي هو حقل معياري إقليدي وهو واحد من الحقول الخمسة الأولى في القائمة السابقة.

• التقييم (الجبر)

• فرالي، جون ب. كاتز، فيكتور ج. (1967). الدورة الأولى في الجبر التجريدي (  الطبعة الخامسة). أديسون ويسلي. رقم ISBN 0-201-53467-3.
• صموئيل، بيير (1971). "حول الحلقات الإقليدية" . مجلة الجبر . 19 (2): 282-301 . doi : 10.1016/0021-8693(71)90110-4 .