انحدار بواسون

في الإحصاء ، الانحدار البويسوني هو شكل نموذجي خطي معمم لتحليل الانحدار يستخدم لنمذجة بيانات العد وجداول الطوارئ . ^[1] يفترض الانحدار البويسوني أن متغير الاستجابة Y له توزيع بواسون ، ويفترض أن لوغاريتم قيمته المتوقعة يمكن نمذجته من خلال مجموعة خطية من المعلمات غير المعروفة . يُعرف نموذج الانحدار البويسوني أحيانًا باسم النموذج الخطي اللوغاريتمي ، خاصةً عند استخدامه لنمذجة جداول الطوارئ.

الانحدار الثنائي السلبي هو تعميم شائع للانحدار بواسون لأنه يخفف من الافتراض التقييدي للغاية بأن التباين يساوي المتوسط ​​الذي وضعه نموذج بواسون. يعتمد نموذج الانحدار الثنائي السلبي التقليدي على توزيع خليط بواسون-جاما. هذا النموذج شائع لأنه ينمذج تباين بواسون بتوزيع جاما.

نماذج الانحدار بواسون هي نماذج خطية معممة مع اللوغاريتم كدالة ارتباط (قياسية) ، ودالة توزيع بواسون كتوزيع احتمالي مفترض للاستجابة.

إذا كان متجهًا للمتغيرات المستقلة ، فإن النموذج يأخذ الشكل ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))=\alpha +\mathbf {\beta } '\mathbf {x} ,}$

حيث و . في بعض الأحيان يتم كتابة هذا بشكل أكثر إحكاما على النحو التالي ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {\beta } \in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))={\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} ,\,}$

حيث أصبح الآن متجهًا ذو أبعاد ( n  + 1) يتكون من n متغير مستقل متصل بالرقم واحد. هنا متصل ببساطة بالرقم . ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

وبالتالي، عند إعطاء نموذج انحدار بواسون ومتجه إدخال ، فإن المتوسط ​​المتوقع لتوزيع بواسون المرتبط يُعطى بواسطة ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} )=e^{{\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} }.\,}$

إذا كانت ملاحظات مستقلة بقيم مقابلة لمتغيرات التنبؤ، فيمكن تقديرها باستخدام أقصى احتمال . تفتقر تقديرات أقصى احتمال إلى تعبير مغلق الشكل ويجب إيجادها بالطرق العددية. يكون سطح الاحتمال لانحدار بواسون بأقصى احتمال مقعرًا دائمًا، مما يجعل نيوتن-رافسون أو غيره من الأساليب القائمة على التدرج تقنيات تقدير مناسبة. ${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$${\displaystyle \theta }$

لنفترض أن لدينا نموذجًا به متنبئ واحد، وهو : ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))=\alpha +\beta x}$

لنفترض أننا نحسب القيم المتوقعة عند النقطة و : ${\displaystyle (Y_{2},x_{2})}$${\displaystyle (Y_{1},x_{1})}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2}))=\alpha +\beta x_{2}}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1}))=\alpha +\beta x_{1}}$

عن طريق طرح الأول من الثاني:

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2}))-\log(\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1}))=\beta (x_{2}-x_{1})}$

لنفترض الآن أن . نحصل على: ${\displaystyle x_{2}=x_{1}+1}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2}))-\log(\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1}))=\beta }$

لذلك، يجب تفسير معامل النموذج على أنه الزيادة في لوغاريتم عدد متغير النتيجة عندما يزيد المتغير المستقل بمقدار 1.

بتطبيق قواعد اللوغاريتم:

${\displaystyle \log \left({\dfrac {\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2})}{\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1})}}\right)=\beta }$

${\displaystyle {\dfrac {\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2})}{\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1})}}=e^{\beta }}$

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2})=e^{\beta }\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1})}$

وهذا يعني أنه عندما يزيد المتغير المستقل بمقدار 1، يتم ضرب متغير النتيجة في المعامل الأسّي.

يُطلق على المعامل الأسي أيضًا اسم نسبة الحدوث .

غالبًا ما يكون موضوع الاهتمام هو التأثير الجزئي المتوسط ​​أو التأثير الهامشي المتوسط ، والذي يتم تفسيره على أنه التغير في النتيجة لتغير وحدة واحدة في المتغير المستقل . يمكن إظهار التأثير الجزئي المتوسط ​​في نموذج بواسون للمستمر على النحو التالي: ^[2]${\displaystyle {\frac {\partial E(Y|x)}{\partial x}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial E(Y|x)}{\partial x}}=\exp(\theta '\mathbb {x} )\beta }$

يمكن تقدير ذلك باستخدام تقديرات المعاملات من نموذج بواسون مع القيم المرصودة لـ . ${\displaystyle {\hat {\theta }}=({\hat {\alpha }},{\hat {\beta }})}$${\displaystyle \mathbb {x} }$

بالنظر إلى مجموعة من المعلمات θ ومتجه الإدخال x ، فإن متوسط ​​توزيع بواسون المتوقع ، كما هو مذكور أعلاه، يُعطى بواسطة

${\displaystyle \lambda :=\operatorname {E} (Y\mid x)=e^{\theta 'x},\,}$

وبالتالي، فإن دالة كتلة الاحتمال لتوزيع بواسون تُعطى بواسطة

${\displaystyle p(y\mid x;\theta )={\frac {\lambda ^{y}}{y!}}e^{-\lambda }={\frac {e^{y\theta 'x}e^{-e^{\theta 'x}}}{y!}}}$

لنفترض الآن أننا حصلنا على مجموعة بيانات تتكون من m متجه ، بالإضافة إلى مجموعة من قيم m . إذن، لمجموعة معينة من المعلمات θ ، فإن احتمالية الوصول إلى هذه المجموعة المعينة من البيانات تُعطى بواسطة ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{n+1},\,i=1,\ldots ,m}$${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{m}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p(y_{1},\ldots ,y_{m}\mid x_{1},\ldots ,x_{m};\theta )=\prod _{i=1}^{m}{\frac {e^{y_{i}\theta 'x_{i}}e^{-e^{\theta 'x_{i}}}}{y_{i}!}}.}$

باستخدام طريقة الاحتمال الأقصى ، نرغب في إيجاد مجموعة المعلمات θ التي تجعل هذا الاحتمال كبيرًا قدر الإمكان. للقيام بذلك، تتم إعادة كتابة المعادلة أولاً كدالة احتمال من حيث θ :

${\displaystyle L(\theta \mid X,Y)=\prod _{i=1}^{m}{\frac {e^{y_{i}\theta 'x_{i}}e^{-e^{\theta 'x_{i}}}}{y_{i}!}}.}$

لاحظ أن التعبير الموجود على الجانب الأيمن لم يتغير فعليًا. عادةً ما يكون من الصعب التعامل مع الصيغة بهذا الشكل؛ وبدلاً من ذلك، يستخدم المرء الاحتمال اللوغاريتمي :

${\displaystyle \ell (\theta \mid X,Y)=\log L(\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta 'x_{i}-e^{\theta 'x_{i}}-\log(y_{i}!)\right).}$

لاحظ أن المعلمات θ تظهر فقط في أول حدين من كل حد في المجموع. لذلك، نظرًا لأننا مهتمون فقط بإيجاد أفضل قيمة لـ θ، فقد نتخلى عن y _i ! ونكتب ببساطة

${\displaystyle \ell (\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta 'x_{i}-e^{\theta 'x_{i}}\right).}$

لإيجاد الحد الأقصى، نحتاج إلى حل معادلة ليس لها حل مغلق الشكل. ومع ذلك، فإن الاحتمال اللوغاريتمي السالب، ، هو دالة محدبة، وبالتالي يمكن تطبيق تقنيات التحسين المحدبة القياسية مثل الانحدار التدرجي لإيجاد القيمة المثلى لـ θ . ${\displaystyle {\frac {\partial \ell (\theta \mid X,Y)}{\partial \theta }}=0}$${\displaystyle -\ell (\theta \mid X,Y)}$

قد يكون الانحدار البوسوني مناسبًا عندما يكون المتغير التابع عبارة عن عدد، على سبيل المثال أحداث مثل وصول مكالمة هاتفية إلى مركز اتصال. ^[3] يجب أن تكون الأحداث مستقلة بمعنى أن وصول مكالمة واحدة لن يجعل مكالمة أخرى أكثر أو أقل احتمالية، ولكن يُفهم أن احتمالية الأحداث لكل وحدة زمنية مرتبطة بمتغيرات مشتركة مثل الوقت من اليوم.

قد يكون الانحدار البوسوني مناسبًا أيضًا لبيانات المعدلات، حيث يكون المعدل عبارة عن عدد الأحداث مقسومًا على بعض مقاييس تعرض تلك الوحدة (وحدة ملاحظة معينة). ^[4] على سبيل المثال، قد يحسب علماء الأحياء عدد أنواع الأشجار في الغابة: ستكون الأحداث عبارة عن ملاحظات الأشجار، وسيكون التعرض عبارة عن مساحة الوحدة، وسيكون المعدل عبارة عن عدد الأنواع لكل وحدة مساحة. قد يقوم علماء السكان بوضع نماذج لمعدلات الوفيات في المناطق الجغرافية على أنها عدد الوفيات مقسومًا على سنوات الأشخاص. بشكل عام، يمكن حساب معدلات الأحداث كأحداث لكل وحدة زمنية، مما يسمح لنافذة الملاحظة بالتنوع لكل وحدة. في هذه الأمثلة، يكون التعرض عبارة عن مساحة الوحدة، وسنوات الأشخاص، ووقت الوحدة على التوالي. في الانحدار البوسوني يتم التعامل مع هذا باعتباره إزاحة . إذا كان المعدل هو العدد/التعرض، فإن ضرب كلا جانبي المعادلة بالتعرض يحركها إلى الجانب الأيمن من المعادلة. عندما يتم تسجيل كلا جانبي المعادلة، يحتوي النموذج النهائي على log(exposure) كمصطلح يضاف إلى معاملات الانحدار. يُطلق على هذا المتغير المسجل، log(exposure)، اسم متغير الإزاحة ويدخل على الجانب الأيمن من المعادلة مع تقدير المعلمة (لـ log(exposure)) مقيد بـ 1.

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid x))=\theta 'x}$

وهو ما يعني

${\displaystyle \log \left({\frac {\operatorname {E} (Y\mid x)}{\text{exposure}}}\right)=\log(\operatorname {E} (Y\mid x))-\log({\text{exposure}})=\theta 'x-\log({\text{exposure}})}$

يمكن تحقيق الإزاحة في حالة GLM في Roffset() باستخدام الوظيفة:

glm ( y ~ offset ( log ( exposure )) + x ، العائلة = poisson ( الرابط = log ) )      

من خصائص توزيع بواسون أن متوسطه يساوي تباينه. وفي ظروف معينة، سيُكتشف أن التباين المرصود أكبر من المتوسط؛ وهذا ما يُعرف بالتشتت الزائد ويشير إلى أن النموذج غير مناسب. والسبب الشائع هو إغفال المتغيرات التفسيرية ذات الصلة أو الملاحظات التابعة. وفي بعض الظروف، يمكن حل مشكلة التشتت الزائد باستخدام تقدير شبه الاحتمال أو توزيع ثنائي سلبي بدلاً من ذلك. ^{[5] [6]}

وصف فير هوف وبوفينج الفرق بين شبه بواسون (يُسمى أيضًا التشتت الزائد مع شبه الاحتمالية) والثنائي السالب (المكافئ لجاما بواسون) على النحو التالي: إذا كانت E ( Y ) = μ ، يفترض نموذج شبه بواسون أن var( Y ) = θμ بينما يفترض جاما بواسون أن var( Y ) = μ (1 +  κμ )، حيث θ هي معامل التشتت الزائد لشبه بواسون، و κ هي معامل الشكل للتوزيع الثنائي السالب . بالنسبة لكلا النموذجين، يتم تقدير المعلمات باستخدام المربعات الصغرى المعاد ترجيحها تكراريًا . بالنسبة لشبه بواسون، تكون الأوزان μ / θ . بالنسبة للثنائي السالب، تكون الأوزان μ /(1 +  κμ ). مع وجود μ كبير وتباين إضافي كبير لـ Poisson، يتم تحديد الأوزان الثنائية السلبية عند 1/ κ . ناقش فير هوف وبوفينج مثالاً حيث اختاروا بين الاثنين من خلال رسم متوسط ​​المتبقيات التربيعية مقابل المتوسط. ^[7]

هناك مشكلة شائعة أخرى تتعلق بانحدار بواسون، وهي وجود فائض من الأصفار: فإذا كانت هناك عمليتان تعملان، إحداهما لتحديد ما إذا كانت هناك أحداث صفرية أو أي أحداث، والأخرى لتحديد عدد الأحداث، فسوف يكون هناك عدد من الأصفار أكبر مما قد يتنبأ به انحدار بواسون. ومن الأمثلة على ذلك توزيع السجائر التي يدخنها أعضاء مجموعة من الأفراد غير المدخنين في ساعة واحدة.

قد تعمل النماذج الخطية المعممة الأخرى مثل النموذج الثنائي السلبي أو النموذج المتضخم إلى الصفر بشكل أفضل في هذه الحالات.

على العكس من ذلك، قد يشكل نقص التشتت مشكلة لتقدير المعلمات. ^[8]

يخلق الانحدار البويسون نماذج مخاطر متناسبة، وهي فئة واحدة من تحليل البقاء على قيد الحياة : راجع نماذج المخاطر المتناسبة لوصف نماذج كوكس.

عند تقدير معلمات الانحدار بواسون، يحاول المرء عادةً العثور على قيم θ التي تزيد من احتمالية ظهور تعبير من النموذج

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\log(p(y_{i};e^{\theta 'x_{i}})),}$

حيث m هو عدد الأمثلة في مجموعة البيانات، و هي دالة كتلة الاحتمال لتوزيع بواسون مع متوسط ​​مضبوط على . يمكن إضافة التنظيم إلى مشكلة التحسين هذه عن طريق تعظيم ^{[9] بدلاً من ذلك}${\displaystyle p(y_{i};e^{\theta 'x_{i}})}$${\displaystyle e^{\theta 'x_{i}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\log(p(y_{i};e^{\theta 'x_{i}}))-\lambda \left\|\theta \right\|_{2}^{2},}$

لبعض الثوابت الإيجابية . هذه التقنية، المشابهة للانحدار التلالي ، يمكنها تقليل الإفراط في التجهيز . ${\displaystyle \lambda }$

• نموذج بدون تضخم
• توزيع بواسون
• نموذج بواسون ذو التأثير الثابت
• طرق الاحتمالية الجزئية لبيانات اللوحة § QMLE المجمعة لنماذج بواسون
• دالة التحكم (القياس الاقتصادي) § الذاتية في الانحدار البويسون

• كاميرون، إيه سي؛ تريفيدي، بي كيه (1998). تحليل الانحدار لبيانات العد . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-63201-0.
• كريستنسن، رونالد (1997). النماذج الخطية اللوغاريتمية والانحدار اللوغاريتمي . نصوص سبرينغر في الإحصاء (الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. رقم ISBN 978-0-387-98247-2. السيد  1633357.
• Gouriéroux, Christian (2000). "القياس الاقتصادي للمتغيرات الإيجابية المنفصلة: نموذج بواسون". القياس الاقتصادي للمتغيرات التابعة النوعية . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 270-283. ISBN 978-0-521-58985-7.
• جرين، ويليام إتش. (2008). "نماذج لحساب الأحداث ومدتها". التحليل القياسي الاقتصادي (الطبعة الثامنة). أبر سادل ريفر: برنتيس هول. ص 906-944. رقم ISBN 978-0-13-600383-0.^{[ رابط معطل ‍ ]}
• هيلبي، جيه إم (2007). الانحدار الثنائي السلبي . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-85772-7.
• جونز، أندرو م. وآخرون (2013). "نماذج لبيانات العد". اقتصاديات الصحة التطبيقية . لندن: روتليدج. ص 295-341. رقم ISBN 978-0-415-67682-3.
• مايرز، رايموند هـ.؛ وآخرون (2010). "نماذج الانحدار اللوجيستي والبواسوني". النماذج الخطية المعممة مع التطبيقات في الهندسة والعلوم (الطبعة الثانية). نيوجيرسي: وايلي. ص 176-183. رقم ISBN 978-0-470-45463-3.

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate