معادلة هاميلتون-جاكوبي

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 207 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء، تعد معادلة هاميلتون-جاكوبي ، التي سميت على اسم ويليام روان هاميلتون وكارل جوستاف جاكوب جاكوبي ، صياغة بديلة للميكانيكا الكلاسيكية ، وهي مكافئة لصياغات أخرى مثل قوانين نيوتن للحركة ، وميكانيكا لاغرانج، وميكانيكا هاميلتون .

معادلة هاميلتون-جاكوبي هي صياغة في الميكانيكا تُتيح تمثيل حركة الجسيم كموجة. وبهذا المعنى، حققت هدفًا طالما سعت إليه الفيزياء النظرية (يعود تاريخه على الأقل إلى يوهان برنولي في القرن الثامن عشر) وهو إيجاد تشابه بين انتشار الضوء وحركة الجسيم. معادلة الموجة التي تتبعها الأنظمة الميكانيكية تُشبه معادلة شرودنغر ، ولكنها ليست مطابقة لها تمامًا، كما هو موضح أدناه؛ ولهذا السبب، تُعتبر معادلة هاميلتون-جاكوبي "أقرب مقاربة" للميكانيكا الكلاسيكية إلى ميكانيكا الكم . [ 1 ] [ 2 ] يُطلق على الشكل النوعي لهذا الربط اسم التناظر البصري الميكانيكي لهاميلتون .

في الرياضيات، تُعدّ معادلة هاميلتون-جاكوبي شرطًا ضروريًا لوصف الهندسة القصوى في تعميمات مسائل حساب التفاضل والتكامل . ويمكن فهمها كحالة خاصة من معادلة هاميلتون-جاكوبي-بيلمان في البرمجة الديناميكية . [ 3 ]

ملخص

معادلة هاميلتون-جاكوبي هي معادلة تفاضلية جزئية غير خطية من الدرجة الأولى

-∂S∂ت=ح(q،∂S∂q،ت).{\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}.}

لنظام من الجسيمات عند الإحداثيات ⁠q{\displaystyle \mathbf {q} }الوظيفة​ح{\displaystyle H}يمثل هاميلتونيان النظام طاقة النظام. حل هذه المعادلة هو الفعل .S{\displaystyle S}، وتُسمى دالة هاميلتون الرئيسية . [ 4 ] : ​​291 يمكن ربط الحل بدالة لاغرانج للنظام ل {\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }بواسطة تكامل غير محدد من الشكل المستخدم في مبدأ الفعل الأدنى : [ 5 ] : 431 S=∫ل دت+ soمهـ جoنsتأنت {\displaystyle \ S=\int {\mathcal {L}}\ \mathrm {d} t+~{\mathsf {some\ constant}}~} تكون الأسطح الهندسية ذات التأثير الثابت عمودية على مسارات النظام، مما يخلق رؤية شبيهة بجبهة الموجة لديناميكيات النظام. تربط هذه الخاصية لمعادلة هاميلتون-جاكوبي بين الميكانيكا الكلاسيكية وميكانيكا الكم. [ 6 ] : 175

الصياغة الرياضية

الترميز

المتغيرات المكتوبة بخط غامق مثلq{\displaystyle \mathbf {q} }تمثل قائمة منشمال{\displaystyle N}الإحداثيات المعممة ، q=(q1،q2،...،qشمال-1،qشمال){\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}

تشير النقطة فوق المتغير أو القائمة إلى المشتقة الزمنية (انظر ترميز نيوتن ). على سبيل المثال، q˙=دqدت.{\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.}

يُعدّ رمز الضرب النقطي بين قائمتين لهما نفس عدد الإحداثيات اختصارًا لمجموع نواتج ضرب المكونات المتناظرة، مثل ص⋅q=∑ك=1شمالصكqك.{\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}

الدالة الوظيفية (المعروفة أيضًا باسم دالة هاميلتون الرئيسية)

تعريف

لنفترض أن مصفوفة هيسيانحل(q،q˙،ت)={∂2ل/∂q˙أنا∂q˙ج}أناج{\textstyle H_{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}أن تكون قابلة للعكس. العلاقة ددت∂ل∂q˙أنا=∑ج=1ن(∂2ل∂q˙أنا∂q˙جq¨ج+∂2ل∂q˙أنا∂qجq˙ج)+∂2ل∂q˙أنا∂ت،أنا=1،...،ن،{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,} يُظهر ذلك أن معادلات أويلر-لاغرانج تُشكلن×ن{\displaystyle n\times n}نظام من المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الثانية. عكس المصفوفةحل{\displaystyle H_{\mathcal {L}}}يحول هذا النظام إلى q¨أنا=Fأنا(q،q˙،ت)، أنا=1،...،ن.{\displaystyle {\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.}

لنفترض لحظة زمنيةت0{\displaystyle t_{0}}ونقطةq0∈م{\displaystyle \mathbf {q} _{0}\in M}في فضاء التكوين، يجب تثبيته. تضمن نظريتا الوجود والوحدانية أنه، لكلv0،{\displaystyle \mathbf {v} _{0},}مسألة القيمة الابتدائية مع الشروطγ|τ=ت0=q0{\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}وγ˙|τ=ت0=v0{\displaystyle {\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}}يتميز بحل فريد محلياًγ=γ(τ؛ت0،q0،v0).{\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).}بالإضافة إلى ذلك، لنفترض وجود فترة زمنية صغيرة بما فيه الكفاية(ت0،ت1){\displaystyle (t_{0},t_{1})}بحيث تكون القيم القصوى ذات السرعات الابتدائية المختلفةv0{\displaystyle \mathbf {v} _{0}}لن يتقاطع فيم×(ت0،ت1).{\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).}وهذا يعني أنه بالنسبة لأيq∈م{\displaystyle \mathbf {q} \in M}وأيت∈(ت0،ت1)،{\displaystyle t\in (t_{0},t_{1}),}لا يمكن أن يكون هناك أكثر من طرف متطرف واحدγ=γ(τ؛ت،ت0،q،q0){\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}والتيγ|τ=ت0=q0{\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}وγ|τ=ت=q.{\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}الاستبدالγ=γ(τ؛ت،ت0،q،q0){\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}تؤدي النتائج الوظيفية إلى دالة هاميلتون الرئيسية (HPF).

S(q،ت؛q0،ت0) =تعريف∫ت0تل(γ(τ؛⋅)،γ˙(τ؛⋅)،τ)دτ،{\displaystyle S(\mathbf {q} ,t;\mathbf {q} _{0},t_{0})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{t_{0}}^{t}{\mathcal {L}}(\gamma (\tau ;\cdot ),{\dot {\gamma }}(\tau  ;\cdot ),\tau )\,d\tau ,}

أين

  • γ=γ(τ؛ت،ت0،q،q0)،{\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),}
  • γ|τ=ت0=q0،{\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},}
  • γ|τ=ت=q.{\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}

صيغة الزخم

تُعرَّف كميات الزخم بأنها الكمياتصأنا(q،q˙،ت)=∂ل/∂q˙أنا.{\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}يوضح هذا القسم أن تبعيةصأنا{\displaystyle p_{i}}علىq˙{\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }يختفي بمجرد معرفة عامل الحماية العالي.

في الواقع، دع لحظة زمنيةت0{\displaystyle t_{0}}ونقطةq0{\displaystyle \mathbf {q} _{0}}يجب أن يكون ثابتًا في مساحة التكوين. لكل لحظة زمنيةت{\displaystyle t}ونقطةq،{\displaystyle \mathbf {q} ,}يتركγ=γ(τ؛ت،ت0،q،q0){\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}ليكن القيمة القصوى (الوحيدة) من تعريف دالة هاميلتون الرئيسيةS{\displaystyle S}اتصل​v=تعريفγ˙(τ؛ت،ت0،q،q0)|τ=ت{\displaystyle \mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}}السرعة عند ⁠τ=ت{\displaystyle \tau =t}ثم​

∂S∂qأنا=∂ل∂q˙أنا|q˙=v،أنا=1،...،ن.{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q^{i}}}=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right|_{\mathbf {\dot {q}} =\mathbf {v} }\!\!\!\!\!\!\!,\quad i=1,\ldots ,n.}

دليل

بينما يفترض البرهان أدناه أن فضاء التكوين هو مجموعة فرعية مفتوحة منRن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}تنطبق التقنية الأساسية بالتساوي على أي فضاء . في سياق هذا البرهان، الحرف الخطيS{\displaystyle {\mathcal {S}}}يشير إلى الوظيفة الفعلية، والمائلS{\displaystyle S}الوظيفة الرئيسية لهاملتون.

الخطوة 1. دعξ=ξ(ت){\displaystyle \xi =\xi (t)}أن يكون مسارًا في مساحة التكوين، ودلتاξ=دلتاξ(ت){\displaystyle \delta \xi =\delta \xi (t)}حقل متجه على طولξ{\displaystyle \xi }(لكلت،{\displaystyle t,}المتجهدلتاξ(ت){\displaystyle \delta \xi (t)}يُطلق عليه اسم الاضطراب ، أو التغير المتناهي الصغر، أو الإزاحة الافتراضية للنظام الميكانيكي عند تلك النقطة.ξ(ت){\displaystyle \xi (t)}تذكر أن التبايندلتاSدلتاξ[γ،ت1،ت0]{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\gamma ,t_{1},t_{0}]}من الفعلS{\displaystyle {\mathcal {S}}}عند النقطةξ{\displaystyle \xi }في الاتجاهدلتاξ{\displaystyle \delta \xi }يتم تحديده بالصيغة دلتاSدلتاξ[ξ،ت1،ت0]=∫ت0ت1(∂ل∂q-ددت∂ل∂q˙)دلتاξدت+∂ل∂q˙دلتاξ|ت0ت1،{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t_{1},t_{0}]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)\delta \xi \,dt+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,\delta \xi {\Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},} حيث ينبغي استبدالqأنا=ξأنا(ت){\displaystyle q^{i}=\xi ^{i}(t)}وq˙أنا=ξ˙أنا(ت){\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\dot {\xi }}^{i}(t)}بعد حساب المشتقات الجزئية على الجانب الأيمن. (تنتج هذه الصيغة من تعريف مشتقة جاتو عن طريق التكامل بالتجزئة).

افترض أنξ{\displaystyle \xi }هو قيمة متطرفة. بما أنξ{\displaystyle \xi }إذا كانت الدالة الآن تحقق معادلات أويلر-لاغرانج، فإن الحد التكاملي يختفي.ξ{\displaystyle \xi }نقطة البدايةq0{\displaystyle \mathbf {q} _{0}}يتم تحديدها، إذن، بنفس المنطق الذي تم استخدامه لاشتقاق معادلات أويلر-لاغرانج،دلتاξ(ت0)=0.{\displaystyle \delta \xi (t_{0})=0.}هكذا، دلتاSدلتاξ[ξ،ت؛ت0]=∂ل∂q˙|q˙=ξ˙(ت)q=ξ(ت)دلتاξ(ت).{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right|_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}\,\delta \xi (t).}

الخطوة الثانية. دعγ=γ(τ؛q،q0،ت،ت0){\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})} لتكن القيمة القصوى (الوحيدة) من تعريف HPF،دلتاγ=دلتاγ(τ){\displaystyle \delta \gamma =\delta \gamma (\tau )}حقل متجه على طولγ،{\displaystyle \gamma ,}وγε=γε(τ؛qε،q0،ت،ت0){\displaystyle \gamma _{\varepsilon }=\gamma _{\varepsilon }(\tau ;\mathbf {q} _{\varepsilon },\mathbf {q} _{0},t,t_{0})} شكل مختلف منγ{\displaystyle \gamma }"متوافق" معدلتاγ.{\displaystyle \delta \gamma .}بعبارات دقيقة،γε|ε=0=γ،{\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\gamma ,}γ˙ε|ε=0=دلتاγ،{\displaystyle {\dot {\gamma }}_{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\delta \gamma ,}γε|τ=ت0=γ|τ=ت0=q0.{\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\tau =t_{0}}=\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}.}

بحسب تعريف HPF ومشتقات جاتو، دلتاSدلتاγ[γ،ت]=تعريفدS[γε،ت]دε|ε=0=دS(γε(ت)،ت)دε|ε=0=∂S∂qدلتاγ(ت).{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \gamma }[\gamma ,t]{\overset {\text{def}}{{}={}}}\left.{\frac {d{\mathcal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{\varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\,\delta \gamma (t).}

هنا، أخذنا في الاعتبار أنq=γ(ت؛q،q0،ت،ت0){\displaystyle \mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}وأسقطت0{\displaystyle t_{0}}لتحقيق الصغر.

الخطوة 3. نستبدل الآنξ=γ{\displaystyle \xi =\gamma }ودلتاξ=دلتاγ{\displaystyle \delta \xi =\delta \gamma }في التعبير عندلتاSدلتاξ[ξ،ت؛ت0]{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]}من الخطوة 1 وقارن النتيجة بالصيغة المستنتجة في الخطوة 2. حقيقة أنه، بالنسبة لـت>ت0،{\displaystyle t>t_{0},}حقل المتجهاتدلتاγ{\displaystyle \delta \gamma }اختيارها بشكل عشوائي يكمل البرهان.

صيغة

بالنظر إلى الهاميلتونيح(q،ص،ت){\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}في النظام الميكانيكي، تُعد معادلة هاميلتون-جاكوبي معادلة تفاضلية جزئية غير خطية من الدرجة الأولى للدالة الرئيسية لهاميلتونS{\displaystyle S}, [ 7 ]

-∂S∂ت=ح(q،∂S∂q،ت).{\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}.}

الاشتقاق

لأقصى حدξ=ξ(ت؛ت0،q0،v0)،{\displaystyle \xi =\xi (t;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}),}أينv0=ξ˙|ت=ت0{\displaystyle \mathbf {v} _{0}={\dot {\xi }}|_{t=t_{0}}}هي السرعة الابتدائية (انظر المناقشة التي تسبق تعريف HPF)، ل(ξ(ت)،ξ˙(ت)،ت)=دS(ξ(ت)،ت)دت=[∂S∂qq˙+∂S∂ت]q˙=ξ˙(ت)q=ξ(ت).{\displaystyle {\mathcal {L}}(\xi (t),{\dot {\xi }}(t),t)={\frac {dS(\xi (t),t)}{dt}}=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} +{\frac {\partial S}{\partial t}}\right]_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}.}

من صيغةصأنا=صأنا(q،ت){\displaystyle p_{i}=p_{i}(\mathbf {q} ,t)}والتعريف القائم على الإحداثيات للهاميلتوني ح(q،ص،ت)=صq˙-ل(q،q˙،ت)،{\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \mathbf {\dot {q}} -{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),} معq˙(ص،q،ت){\displaystyle \mathbf {\dot {q}} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)}تحقيق (حل فريد لـq˙){\displaystyle \mathbf {\dot {q}} )}معادلةص=∂ل(q،q˙،ت)∂q˙،{\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}{\partial \mathbf {\dot {q}} }},}يحصل على ∂S∂ت=ل(q،q˙،ت)-∂S∂qq˙=-ح(q،∂S∂q،ت)،{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}={\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-{\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\mathbf {\dot {q}} =-H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)},} أينq=ξ(ت){\displaystyle \mathbf {q} =\xi (t)}وq˙=ξ˙(ت).{\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t).}

بدلاً من ذلك، وكما هو موضح أدناه، يمكن اشتقاق معادلة هاميلتون-جاكوبي من ميكانيكا هاميلتون عن طريق معالجةS{\displaystyle S}باعتبارها الدالة المولدة للتحويل الكنسي للهاميلتوني الكلاسيكي ح=ح(q1،q2،...،qشمال؛ص1،ص2،...،صشمال؛ت).{\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).}

الزخم المترافق يتوافق مع المشتقات الأولى لـS{\displaystyle S}فيما يتعلق بالإحداثيات المعممة صك=∂S∂qك.{\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}

كحل لمعادلة هاميلتون-جاكوبي، تحتوي الدالة الرئيسية علىشمال+1{\displaystyle N+1}الثوابت غير المحددة، الأولىشمال{\displaystyle N}تم تحديد بعضهم على النحو التالي:α1،α2،...،αشمال{\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}وآخرها ناتج عن دمج∂S∂ت{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}.

العلاقة بينص{\displaystyle \mathbf {p} }وq{\displaystyle \mathbf {q} }ثم يصف المدار في فضاء الطور بدلالة ثوابت الحركة هذه . علاوة على ذلك، فإن الكميات βك=∂S∂αك،ك=1،2،...،شمال{\displaystyle \beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N} وهي أيضًا ثوابت الحركة، ويمكن عكس هذه المعادلات لإيجادq{\displaystyle \mathbf {q} }كدالة لجميعα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }الثوابت والزمن. [ 8 ]

مقارنة مع الصيغ الأخرى للميكانيكا

معادلة هاميلتون-جاكوبي هي معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الأولى لدالةشمال{\displaystyle N}الإحداثيات المعممةq1،q2،...،qشمال{\displaystyle q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}}والوقتت{\displaystyle t}لا تظهر الزخمات المعممة إلا كمشتقات لـS{\displaystyle S}، الفعل الكلاسيكي .

للمقارنة، في معادلات الحركة المكافئة لأويلر-لاغرانج في ميكانيكا لاغرانج ، لا تظهر الزخمات المترافقة أيضًا؛ ومع ذلك، فإن هذه المعادلات هي نظام منشمال{\displaystyle N}بشكل عام، هي معادلات من الدرجة الثانية لتطور الإحداثيات المعممة مع الزمن. وبالمثل، فإن معادلات هاميلتون للحركة هي نظام آخر من 2^ N معادلة من الدرجة الأولى لتطور الإحداثيات المعممة مع الزمن وزخمها المرافق.ص1،ص2،...،صشمال{\displaystyle p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}}.

بما أن معادلات هاميلتون-جاكوبي (HJE) تُعدّ تعبيرًا مكافئًا لمسألة تصغير التكامل، مثل مبدأ هاميلتون ، فإنها تُفيد في مسائل أخرى من حساب التفاضل والتكامل ، وبشكل أعم، في فروع أخرى من الرياضيات والفيزياء ، مثل الأنظمة الديناميكية ، والهندسة التبسيطية ، والفوضى الكمومية . على سبيل المثال، يمكن استخدام معادلات هاميلتون-جاكوبي لتحديد الخطوط الجيوديسية على مشعب ريماني ، وهي مسألة حسابية مهمة في الهندسة الريمانية . مع ذلك، تُعرف المعادلات التفاضلية الجزئية، كأداة حسابية، بصعوبة حلها، إلا في حالة إمكانية فصل المتغيرات المستقلة؛ في هذه الحالة، تُصبح معادلات هاميلتون-جاكوبي مفيدة حسابيًا. [ 5 ] : 444

الاشتقاق باستخدام التحويل الكنسي

أي تحويل قانوني يتضمن دالة مولدة من النوع 2جي2(q،P،ت){\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}يؤدي إلى العلاقات ص=∂جي2∂q،سؤال=∂جي2∂P،ك(سؤال،P،ت)=ح(q،ص،ت)+∂جي2∂ت{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }},\quad \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }},\quad \\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}} ومعادلات هاميلتون بدلالة المتغيرات الجديدةP،سؤال{\displaystyle \mathbf {P} ,\,\mathbf {Q} }وهاملتونيان جديدك{\displaystyle K}لها نفس الشكل: P˙=-∂ك∂سؤال،سؤال˙=+∂ك∂P.{\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.}

لاستنتاج دالة توليد HJE،جي2(q،P،ت){\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}يتم اختيارها بطريقة تجعل الهاميلتوني الجديدك=0{\displaystyle K=0}وبالتالي، فإن جميع مشتقاتها تساوي صفرًا أيضًا، وتصبح معادلات هاميلتون المحولة تافهة. P˙=سؤال˙=0{\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0} لذا فإن الإحداثيات المعممة الجديدة والزخم هي ثوابت الحركة . وبما أنها ثوابت، فإن الزخم المعمم الجديد في هذا السياقP{\displaystyle \mathbf {P} }يُشار إليها عادةً بـα1،α2،...،αشمال{\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}، أيPم=αم{\displaystyle P_{m}=\alpha _{m}}والإحداثيات المعممة الجديدةسؤال{\displaystyle \mathbf {Q} }يُشار إليها عادةً بـβ1،β2،...،βشمال{\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}}، لذاسؤالم=βم{\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}}.

بوضع الدالة المولدة مساوية للدالة الرئيسية لهاملتون، بالإضافة إلى ثابت اختياريأ{\displaystyle A}: جي2(q،α،ت)=S(q،ت)+أ،{\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,} ينشأ HJE تلقائيًا ص=∂جي2∂q=∂S∂q→ح(q،ص،ت)+∂جي2∂ت=0→ح(q،∂S∂q،ت)+∂S∂ت=0.{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\\[1ex]\rightarrow {}&H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\\[1ex]\rightarrow {}&H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}+{\partial S \over \partial t}=0.\end{aligned}}}

عند حلها لـS(q،α،ت){\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}وهذه تعطينا أيضاً المعادلات المفيدة سؤال=β=∂S∂α،{\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},} أو مكتوبة بأجزاء من أجل الوضوح سؤالم=βم=∂S(q،α،ت)∂αم.{\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.}

من الناحية المثالية، يمكن عكس هذه المعادلات N لإيجاد الإحداثيات المعممة الأصلية.q{\displaystyle \mathbf {q} }كدالة للثوابتα،β،{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},}وت{\displaystyle t}وبذلك يتم حل المشكلة الأصلية.

فصل المتغيرات

عندما تسمح المسألة بالفصل الجمعي للمتغيرات ، فإن معادلة هاميلتون-جاكوبي تؤدي مباشرةً إلى ثوابت الحركة . على سبيل المثال، يمكن فصل الزمن t إذا لم يعتمد الهاميلتوني على الزمن بشكل صريح. في هذه الحالة، يكون المشتق الزمني∂S∂ت{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}يجب أن يكون في HJE ثابت، ويرمز له عادةً بـ (-هـ{\displaystyle -E})، مما يعطي المحلول المنفصل S=دبليو(q1،q2،...،qشمال)-هـت{\displaystyle S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et} حيث الدالة غير المعتمدة على الزمندبليو(q){\displaystyle W(\mathbf {q} )}يُطلق عليه أحيانًا اسم الفعل المختصر أو دالة هاميلتون المميزة [ 5 ] : 434 وأحيانًا [ 9 ] : 607 مكتوبةS0{\displaystyle S_{0}}(انظر أسماء مبادئ الفعل ). يمكن بعد ذلك كتابة معادلة هاميلتون-جاكوبي المختزلة على النحو التالي ح(q،∂S∂q)=هـ.{\displaystyle H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)}=E.}

ولتوضيح إمكانية الفصل بالنسبة للمتغيرات الأخرى، يتم استخدام إحداثيات معممة معينةqك{\displaystyle q_{k}}ومشتقاته∂S∂qك{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}يُفترض أن تظهر معًا كدالة واحدة ψ(qك،∂S∂qك){\displaystyle \psi {\left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}} في الهاميلتوني ح=ح(q1،q2،...،qك-1،qك+1،...،qشمال؛ص1،ص2،...،صك-1،صك+1،...،صشمال؛ψ؛ت).{\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).}

في هذه الحالة، يمكن تقسيم الدالة S إلى دالتين، إحداهما تعتمد فقط على q k والأخرى تعتمد فقط على الإحداثيات المعممة المتبقية.S=Sك(qك)+Sريم(q1،...،qك-1،qك+1،...،qشمال،ت).{\displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).}

يُظهر استبدال هذه الصيغ في معادلة هاميلتون-جاكوبي أن الدالة ψ يجب أن تكون ثابتة (يُشار إليها هنا بـΓك{\displaystyle \Gamma _{k}})، مما ينتج عنه معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى لـSك(qك)،{\displaystyle S_{k}(q_{k}),}

ψ(qك،دSكدqك)=Γك.{\displaystyle \psi {\left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)}=\Gamma _{k}.}

في الحالات الموفقة، الوظيفةS{\displaystyle S}يمكن فصلها تمامًا إلىشمال{\displaystyle N}الوظائفSم(qم)،{\displaystyle S_{m}(q_{m}),}S=S1(q1)+S2(q2)+⋯+Sشمال(qشمال)-هـت.{\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.}

في مثل هذه الحالة، تتحول المشكلة إلىشمال{\displaystyle N}المعادلات التفاضلية العادية .

تعتمد قابلية فصل S على كل من الهاميلتوني واختيار الإحداثيات المعممة . بالنسبة للإحداثيات المتعامدة والهاميلتونيين الذين لا يعتمدون على الزمن ويكونون تربيعيين في الزخم المعمم،S{\displaystyle S}ستكون قابلة للفصل تمامًا إذا كانت طاقة الوضع قابلة للفصل الجمعي في كل إحداثية، حيث يُضرب حد طاقة الوضع لكل إحداثية بالعامل المعتمد على الإحداثية في حد الزخم المقابل في الهاميلتوني ( شروط ستاكل ). وللتوضيح، تُناقش عدة أمثلة في الإحداثيات المتعامدة في الأقسام التالية.

الفصل في الإحداثيات الكروية

في الإحداثيات الكروية، يمكن كتابة هاميلتونيان جسيم حر يتحرك في جهد محافظ U على النحو التالي [ 10 ] : 151ح=12م[صر2+صθ2ر2+صϕ2ر2الخطيئة2⁡θ]+يو(ر،θ،ϕ).{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).}

يمكن فصل معادلة هاميلتون-جاكوبي في هذه الإحداثيات بشرط وجود دواليور(ر)،يوθ(θ)،يوϕ(ϕ){\displaystyle U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )}بحيثيو{\displaystyle U}يمكن كتابتها بالشكل المماثل يو(ر،θ،ϕ)=يور(ر)+يوθ(θ)ر2+يوϕ(ϕ)ر2الخطيئة2⁡θ.{\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.}

المصطلح الأخير له تطبيقات فيزيائية قليلة. وبحذف هذا المصطلح، يصبح HJE 12م(دSردر)2+يور(ر)+12مر2[(دSθدθ)2+2ميوθ(θ)]+12مر2الخطيئة2⁡θ(دSϕدϕ)2=هـ.{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}=E.} الϕ{\displaystyle \phi }الإحداثي دوري [ 10 ] : 150 ويمكن كتابة الحل على الصورة S0=صϕ+Sر(ر)+Sθ(θ)،{\displaystyle S_{0}=p_{\phi }+S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta ),} مما ينتج عنه معادلتان تفاضليتان عاديتان للإحداثيات المتبقية: (دSθدθ)2+2ميوθ(θ)+صϕالخطيئة2⁡θ=Γθ{\displaystyle \left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {p_{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }}12م(دSردر)2+يور(ر)+Γθ2مر2=هـ{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E} أينصϕ{\displaystyle p_{\phi }}،Γθ{\displaystyle \Gamma _{\theta }}، وهـ{\displaystyle E}هي ثوابت الحركة . هذا يُختزل معادلة هاميلتون-جاكوبي إلى المعادلات التفاضلية العادية التي يُكمل تكاملها حل المعادلة.S{\displaystyle S}.

الموجات والجسيمات

جبهات الموجات الضوئية ومساراتها

تُرسّخ نظرية هيرمان-جاكوبي ثنائية بين المسارات وجبهات الموجات . [ 11 ] فعلى سبيل المثال، في البصريات الهندسية، يُمكن اعتبار الضوء إما "أشعة" أو موجات. ويمكن تعريف جبهة الموجة بأنها السطحجت{\textstyle {\mathcal {C}}_{t}}أن الضوء المنبعث في ذلك الوقتت=0{\textstyle t=0}وقد وصل في وقتت{\textstyle t}أشعة الضوء وجبهات الموجات متلازمتان: إذا عُرف أحدهما، يمكن استنتاج الآخر.

وبشكل أدق، فإن البصريات الهندسية هي مسألة حسابية حيث يكون "الفعل" هو زمن الانتقالتي{\textstyle T}على طول مسار،تي=1ج∫أبندs{\displaystyle T={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n\,ds}أينن{\textstyle n}هو معامل انكسار الوسط ودs{\textstyle ds}يمثل طول قوس متناهي الصغر. انطلاقًا من الصيغة المذكورة أعلاه، يمكن حساب مسارات الأشعة باستخدام صيغة أويلر-لاغرانج؛ أو بدلاً من ذلك، يمكن حساب جبهات الموجة بحل معادلة هاميلتون-جاكوبي. معرفة أحدهما تؤدي إلى معرفة الآخر.

إن الازدواجية المذكورة أعلاه عامة جداً وتنطبق على جميع الأنظمة التي تستمد من مبدأ التباين: إما حساب المسارات باستخدام معادلات أويلر-لاغرانج أو جبهات الموجة باستخدام معادلة هاميلتون-جاكوبي.

جبهة الموجة في ذلك الوقتت{\textstyle t}، بالنسبة لنظام في البداية عندq0{\textstyle \mathbf {q} _{0}}في ذلك الوقتت0{\textstyle t_{0}}، تُعرَّف بأنها مجموعة النقاطq{\textstyle \mathbf {q} }بحيثS(q،ت)=ثابت{\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}. لوS(q،ت){\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}إذا عُرف الزخم، فإنه يُستنتج على الفور. ص=∂S∂q.{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}.}

مرة واحدةص{\textstyle \mathbf {p} }من المعروف أن المماسات للمساراتq˙{\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}يتم حسابها عن طريق حل المعادلة∂ل∂q˙=ص{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}={\boldsymbol {p}}}لq˙{\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}، أينل{\textstyle {\mathcal {L}}}هي دالة لاغرانج. ثم تُستعاد المسارات من معرفةq˙{\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}.

العلاقة بمعادلة شرودنغر

الأسطح المتساوية للدالةS(q،ت){\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}يمكن تحديدها في أي وقت t . حركةS{\displaystyle S}يُعرَّف السطح المتساوي كدالة للزمن بحركات الجسيمات التي تبدأ من النقاطq{\displaystyle \mathbf {q} }على السطح المتساوي. يمكن اعتبار حركة هذا السطح المتساوي بمثابة موجة تتحرك عبرq{\displaystyle \mathbf {q} }الفضاء، على الرغم من أنه لا يخضع لمعادلة الموجة تمامًا. ولإثبات ذلك، لنفترض أن S يمثل طور الموجة ψ=ψ0هـأناS/ℏ{\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }} أينℏ{\displaystyle \hbar }هو ثابت ( ثابت بلانك ) تم إدخاله لجعل الوسيط الأسي بلا أبعاد، وψ0{\displaystyle \psi _{0}}هو ثابت تطبيع قياسي؛ ويمكن تمثيل التغيرات في سعة الموجة من خلال وجودS{\displaystyle S}ليكن عددًا مركبًا .

معادلة شرودنغر هي  :ℏ22م∇2ψ-يوψ=ℏأنا∂ψ∂ت{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}

انطلاقاً من معادلة شرودنغر وفرضيتنا لـψ{\displaystyle \psi }، ويمكن استنتاج ذلك [ 12 ]12م(∇S)2+يو+∂S∂ت=أناℏ2م∇2S.{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S.}هذه هي معادلة شرودنغر في شكل ريكاتي غير الخطي [ 13 ] .

الحد الكلاسيكي (ℏ→0{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}يصبح الجزء ) من معادلة شرودنغر أعلاه مطابقاً للصيغة التالية من معادلة هاميلتون-جاكوبي، 12م(∇S)2+يو+∂S∂ت=0.{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}

يلخص الجدول التالي أوجه التشابه بين علم البصريات وميكانيكا الكم. تُعدّ معادلة هاميلتون-جاكوبي في ميكانيكا الكم بمثابة معادلة إيكونال في معادلة الموجة في علم البصريات . كلتا المعادلتين، إيكونال وهاميلتون-جاكوبي، تقريبان متغيران ببطء ( تقريبات WKB ) لمعادلات الموجة الأساسية المقابلة.

بصريات∇2ψ-1ج2(x)∂2ψ∂ت2=0{\displaystyle \nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}(x)}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0}معادلة الموجة الكهرومغناطيسية ↓ -ن(∂تS)2ج2+(∇S)2ن+(مج)2=0{\displaystyle -{\frac {n(\partial _{t}S)^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\nabla S)^{2}}{n}}+(mc)^{2}=0}معادلة إيكونال المعتمدة على الزمن ↓ |∇S(x)|2=ن2(x){\displaystyle |\nabla S(x)|^{2}=n^{2}(x)}معادلة إيكونال

ميكانيكا الكمأناℏ∂ψ∂ت=ح^ψ{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi }معادلة شرودنغر ↓ ∂تS+ح(x،∇S،ت)=0{\displaystyle \partial _{t}S+H(x,\nabla S,t)=0}معادلة هاميلتون-جاكوبي

التطبيقات

HJE في مجال الجاذبية

باستخدام علاقة الطاقة والزخم بالشكل [ 14 ]زαβPαPβ-(مج)2=0{\displaystyle g^{\alpha \beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0} بالنسبة لجسيم ذي كتلة سكونم{\displaystyle m}السفر في الفضاء المنحني، حيثزαβ{\displaystyle g^{\alpha \beta }}تمثل إحداثيات المتغيرة لموتر القياس (أي القياس العكسي ) التي تم حلها من معادلات أينشتاين للمجال ، وج{\displaystyle c}هي سرعة الضوء . تحديد الزخم الرباعيPα{\displaystyle P_{\alpha }}يساوي التدرج الرباعي للفعلS{\displaystyle S}، Pα=-∂S∂xα{\displaystyle P_{\alpha }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}} تعطي معادلة هاميلتون-جاكوبي في الهندسة المحددة بواسطة المقياسز{\displaystyle g}: زαβ∂S∂xα∂S∂xβ-(مج)2=0،{\displaystyle g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\beta }}}-(mc)^{2}=0,} بمعنى آخر، في مجال الجاذبية .

HJE في المجالات الكهرومغناطيسية

بالنسبة لجسيم ذي كتلة سكونم{\displaystyle m}والشحنة الكهربائيةهـ{\displaystyle e} يتحرك في مجال كهرومغناطيسي ذي جهد رباعيأأنا=(ϕ،أ){\displaystyle A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )}في الفراغ، تُحدد معادلة هاميلتون-جاكوبي في الهندسة بواسطة موتر القياسزأناك=زأناك{\displaystyle g^{ik}=g_{ik}}له شكل زأناك(∂S∂xأنا+هـجأأنا)(∂S∂xك+هـجأك)=م2ج2{\displaystyle g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}} ويمكن حلها لإيجاد دالة الفعل الرئيسية لهاملتونS{\displaystyle S}للحصول على حل إضافي لمسار الجسيم وزخمه: [ 15 ]x=-هـجγ∫أzدξ،y=-هـجγ∫أyدξ،z=-هـ22ج2γ2∫(أ2-أ2¯)دξ،ξ=جت-هـ22γ2ج2∫(أ2-أ2¯)دξ،صx=-هـجأx،صy=-هـجأy،صz=هـ22γج(أ2-أ2¯)،هـ=جγ+هـ22γج(أ2-أ2¯)،{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,&y&=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,\\[1ex]z&=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int \left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right)\,d\xi ,&\xi &=ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int \left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right)\,d\xi ,\\[1ex]p_{x}&=-{\frac {e}{c}}A_{x},&p_{y}&=-{\frac {e}{c}}A_{y},\\[1ex]p_{z}&={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}\left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right),&{\mathcal {E}}&=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}\left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right),\end{aligned}}} أينξ=جت-z{\displaystyle \xi =ct-z}وγ2=م2ج2+هـ2ج2أ¯2{\displaystyle \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}}معأ¯{\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}المتوسط ​​الدوري للجهد المتجهي.

موجة مستقطبة دائرياً

في حالة الاستقطاب الدائري ، هـx=هـ0الخطيئة⁡ωξ1،هـy=هـ0كوس⁡ωξ1،أx=جهـ0ωكوس⁡ωξ1،أy=-جهـ0ωالخطيئة⁡ωξ1.{\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=E_{0}\sin \omega \xi _{1},&E_{y}&=E_{0}\cos \omega \xi _{1},\\[1ex]A_{x}&={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},&A_{y}&=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1}.\end{aligned}}}

لذلك x=-هـجهـ0ωالخطيئة⁡ωξ1،y=-هـجهـ0ωكوس⁡ωξ1،صx=-هـهـ0ωكوس⁡ωξ1،صy=هـهـ0ωالخطيئة⁡ωξ1،{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},&y&=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},\\[1ex]p_{x}&=-{\frac {eE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},&p_{y}&={\frac {eE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},\end{aligned}}}

أينξ1=ξ/ج{\displaystyle \xi _{1}=\xi /c}وهذا يعني أن الجسيم يتحرك على طول مسار دائري بنصف قطر ثابتهـجهـ0/γω2{\displaystyle ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}}وقيمة ثابتة للزخمهـهـ0/ω2{\displaystyle eE_{0}/\omega ^{2}}موجهة على طول متجه المجال المغناطيسي.

موجة مستوية أحادية اللون مستقطبة خطيًا

بالنسبة للموجة المسطحة أحادية اللون ذات الاستقطاب الخطي مع مجالهـ{\displaystyle E}موجه على طول المحورy{\displaystyle y}هـy=هـ0كوس⁡ωξ1،أy=-جهـ0ωالخطيئة⁡ωξ1،{\displaystyle {\begin{aligned}E_{y}&=E_{0}\cos \omega \xi _{1},&A_{y}&=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},\end{aligned}}} لذلك x=ثابت،y=y0كوس⁡ωξ1،y0=-هـجهـ0γω2،z=جzy0الخطيئة⁡2ωξ1،جz=هـهـ08γω،γ2=م2ج2+هـ2هـ022ω2،{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\text{const}},\\[1ex]y&=y_{0}\cos \omega \xi _{1},&y_{0}&=-{\frac {ecE_{0}}{\gamma \omega ^{2}}},\\[1ex]z&=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},&C_{z}&={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }},\\[1ex]\gamma ^{2}&=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},\end{aligned}}}صx=0،صy=صy،0الخطيئة⁡ωξ1،صy،0=هـهـ0ω،صz=-2جzصy،0كوس⁡2ωξ1{\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=0,\\[1ex]p_{y}&=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},&p_{y,0}&={\frac {eE_{0}}{\omega }},\\[1ex]p_{z}&=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1}\end{aligned}}}

مما يعني أن مسار الجسيم على شكل الرقم 8 مع توجيه محوره على طول المجال الكهربائيهـ{\displaystyle E}متجه.

موجة كهرومغناطيسية ذات مجال مغناطيسي لولبي

بالنسبة للموجة الكهرومغناطيسية ذات المجال المغناطيسي المحوري (اللولبي): [ 16 ]هـ=هـϕ=ωρ0جب0كوس⁡ωξ1،{\displaystyle E=E_{\phi }={\frac {\omega \rho _{0}}{c}}B_{0}\cos \omega \xi _{1},}أϕ=-ρ0ب0الخطيئة⁡ωξ1=-لsπρ0شمالsأنا0الخطيئة⁡ωξ1،{\displaystyle A_{\phi }=-\rho _{0}B_{0}\sin \omega \xi _{1}=-{\frac {L_{s}}{\pi \rho _{0}N_{s}}}I_{0}\sin \omega \xi _{1},} لذلك x=ثابت،y=y0كوس⁡ωξ1،y0=-هـρ0ب0γω،z=جzy0الخطيئة⁡2ωξ1،جz=هـρ0ب08جγ،γ2=م2ج2+هـ2ρ02ب022ج2،{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\text{constant}},\\y&=y_{0}\cos \omega \xi _{1},&y_{0}&=-{\frac {e\rho _{0}B_{0}}{\gamma \omega }},\\z&=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},&C_{z}&={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{8c\gamma }},\\\gamma ^{2}&=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}\rho _{0}^{2}B_{0}^{2}}{2c^{2}}},\end{aligned}}}صx=0،صy=صy،0الخطيئة⁡ωξ1،صy،0=هـρ0ب0ج،صz=-2جzصy،0كوس⁡2ωξ1،{\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=0,\\p_{y}&=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},&p_{y,0}&={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{c}},\\p_{z}&=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1},\end{aligned}}} أينب0{\displaystyle B_{0}}يمثل مقدار المجال المغناطيسي في ملف لولبي بنصف قطر فعالρ0{\displaystyle \rho _{0}}، الحثيةلs{\displaystyle L_{s}}عدد اللفاتشمالs{\displaystyle N_{s}}وقيمة التيار الكهربائيأنا0{\displaystyle I_{0}}عبر لفائف الملف اللولبي. تحدث حركة الجسيم على طول مسار على شكل الرقم 8 فيyz{\displaystyle yz}مجموعة مستويات عمودية على محور الملف اللولبي بزاوية سمت اختياريةφ{\displaystyle \varphi }بسبب التناظر المحوري للمجال المغناطيسي اللولبي.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ غولدشتاين، هربرت (1980). الميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثانية). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. الصفحات 484-492 . ISBN  978-0-201-02918-5.(وخاصة المناقشة التي تبدأ في الفقرة الأخيرة من الصفحة 491)
  2. ↑ ساكوراي، جيه جيه (1994). ميكانيكا الكم الحديثة (طبعة منقحة ). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. الصفحات 103-107 . ISBN   0-201-53929-2.
  3. ↑ كالمان، رودولف إي. (1963). "نظرية التحكم الأمثل وحساب التفاضل والتكامل". في: بيلمان، ريتشارد (محرر). تقنيات التحسين الرياضي . بيركلي: مطبعة جامعة كاليفورنيا. ص 309-331 . OCLC 1033974 .  
  4. ↑ هاند، إل إن؛ فينش، جيه دي (2008). الميكانيكا التحليلية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-57572-0.
  5. 1 2 3 غولدشتاين، هربرت؛ بول، تشارلز ب. سافكو، جون ل. (2008). الميكانيكا الكلاسيكية (3، [Nachdr.] ed.). سان فرانسيسكو ميونيخ: أديسون ويسلي. رقم ISBN  978-0-201-65702-9.
  6. ↑ كوبرسميث، جينيفر (2017). الكون الكسول: مقدمة لمبدأ أقل فعل . أكسفورد، المملكة المتحدة / نيويورك، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-874304-0.
  7. ↑ هاند، إل إن؛ فينش، جيه دي (2008). الميكانيكا التحليلية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-57572-0.
  8. ↑ غولدشتاين، هربرت (1980). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثانية). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ص 440. ISBN   978-0-201-02918-5.
  9. ↑ هانك، جوزيف؛ تايلور، إدوين ف.؛ توليا، سلافومير (2005-07-01). "الميكانيكا التباينية في بُعد واحد وبُعدين" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 73 (7): 603-610 . Bibcode : 2005AmJPh..73..603H . doi : 10.1119/1.1848516 . ISSN 0002-9505 . 
  10. 1 2 لانداو، ليف دافيدوفيتش؛ ليفسيك، إيفجينيج م.؛ لانداو، ليف دافيدوفيتش؛ لانداو، ليف دافيدوفيتش (2011). ميكانيكا . دورة الفيزياء النظرية / LD Landau و EM Lifshitz (3. ed.، repr ed.). أمستردام هايدلبرغ: إلسفير، بتروورث هاينمان. رقم ISBN  978-0-7506-2896-9.
  11. ↑ هوشمانزاده، بهرام (2020). "معادلة هاميلتون-جاكوبي: منهج بديل" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 85 (5) 10.1119/10.0000781. arXiv : 1910.09414 . Bibcode : 2020AmJPh..88..353H . doi : 10.1119/10.0000781 . S2CID 204800598 . 
  12. ↑ غولدشتاين، هربرت (1980). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثانية). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. الصفحات 490-491 . ISBN   978-0-201-02918-5.
  13. ↑ تور، مصطفى؛ أونصال، ميثات (12 مايو 2025). "نظرية هاميلتون-جاكوبي الكمومية، وتكاملات المسار الطيفي، وتحليل WKB الدقيق" . مجلة Physical Review D. 111 ( 10) 105010. الجمعية الفيزيائية الأمريكية. doi : 10.1103/PhysRevD.111.105010 .
  14. ↑ ويلر، جون؛ ميسنر، تشارلز؛ ثورن، كيب (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. ص 649، 1188. ISBN  978-0-7167-0344-0.
  15. ↑ لاندو، ل.؛ ليفشيتز ، إ. (1959). النظرية الكلاسيكية للحقول . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. OCLC 17966515 . 
  16. ↑ إي. في. شونكو؛ دي. إي. ستيفنسون؛ في. إس. بيلكين (2014). "مفاعل بلازما مقترن حثيًا بطاقة إلكترونات البلازما قابلة للتحكم في نطاق من 6 إلى 100 إلكترون فولت تقريبًا". معاملات IEEE في علوم البلازما . 42، الجزء الثاني (3): 774-785 . Bibcode : 2014ITPS...42..774S . doi : 10.1109/TPS.2014.2299954 . S2CID 34765246 . 

للمزيد من القراءة