نظام غير خطي

الأنظمة المعقدة
المواضيع
التنظيم الذاتي ظهور
السلوك الجماعي الديناميكيات الاجتماعية الذكاء الجماعي العمل الجماعي التنظيم الذاتي الحرجة عقلية القطيع التحول الطوري النمذجة القائمة على الوكيل المزامنة تحسين مستعمرة النمل تحسين سرب الجسيمات سلوك السرب الوعي الجماعي
الشبكات الشبكات الخالية من المقاييس تحليل الشبكات الاجتماعية شبكات العالم الصغير المركزية الدوافع نظرية الرسم البياني التوسع المتانة علم الأحياء النظمي الشبكات الديناميكية الشبكات التكيفية
التطور والتكيف​ الشبكة العصبية الاصطناعية الحوسبة التطورية الخوارزميات الجينية البرمجة الجينية الحياة الاصطناعية التعلم الآلي علم الأحياء التنموي التطوري الذكاء الاصطناعي الروبوتات التطورية القدرة على التطور
تشكيل النمط الكسيريات أنظمة التفاعل والانتشار المعادلات التفاضلية الجزئية البنى التبددية التسرب الأتمتة الخلوية علم البيئة المكاني التكرار الذاتي جيومورفولوجيا
نظرية النظم والسيبرنطيقا تكوين ذاتي نظرية المحادثة الإنتروبيا ردود الفعل التوازن الموجه نحو الهدف نظرية المعلومات التشغيل السيبرنيتيكا من الدرجة الثانية المرجعية الذاتية ديناميكيات النظام علم الأنظمة التفكير في الأنظمة فهم المعنى التنوع نظرية الحساب
ديناميكيات غير خطية تحليل السلاسل الزمنية المعادلات التفاضلية العادية فضاء الطور الجاذبات ديناميكيات السكان الفوضى التعدد الاستقرار التشعب شبكات الخرائط المقترنة
نظرية اللعبة معضلة السجين نظرية الاختيار العقلاني العقلانية المحدودة نظرية اللعبة التطورية
ف ت هـ

في الرياضيات والعلوم ، النظام غير الخطي (أو النظام غير الخطي ) هو نظام لا يتناسب فيه تغير الناتج مع تغير المدخلات. ^[1] [ ^2] تثير المشاكل غير الخطية اهتمام المهندسين وعلماء الأحياء [ ^{3] [4]} [ ^5] والفيزيائيين ^{[6] [7]} والرياضيين والعديد من العلماء الآخرين لأن معظم الأنظمة غير خطية بطبيعتها. [ ^{8] قد تبدو} الأنظمة الديناميكية غير الخطية ، التي تصف التغيرات في المتغيرات بمرور الوقت، فوضوية أو غير متوقعة أو غير بديهية، على النقيض من الأنظمة الخطية الأكثر بساطة .

عادةً ما يتم وصف سلوك النظام غير الخطي في الرياضيات بنظام غير خطي من المعادلات ، وهو عبارة عن مجموعة من المعادلات المتزامنة حيث تظهر المجهولات (أو الدوال المجهولة في حالة المعادلات التفاضلية ) كمتغيرات لحدودية من الدرجة الأعلى من واحد أو في وسيطة دالة ليست حدودية من الدرجة الأولى. بعبارة أخرى، في نظام غير خطي من المعادلات، لا يمكن كتابة المعادلات التي يجب حلها كتركيبة خطية للمتغيرات أو الدوال المجهولة التي تظهر فيها. يمكن تعريف الأنظمة بأنها غير خطية، بغض النظر عما إذا كانت الدوال الخطية المعروفة تظهر في المعادلات. على وجه الخصوص، تكون المعادلة التفاضلية خطية إذا كانت خطية من حيث الدالة المجهولة ومشتقاتها، حتى لو كانت غير خطية من حيث المتغيرات الأخرى التي تظهر فيها .

نظرًا لأن المعادلات الديناميكية غير الخطية يصعب حلها، فإن الأنظمة غير الخطية تُقَرَّب عادةً بالمعادلات الخطية ( الخطية ). يعمل هذا بشكل جيد حتى بعض الدقة وبعض النطاق لقيم الإدخال، ولكن بعض الظواهر المثيرة للاهتمام مثل الانعزال والفوضى ^[9] والتفردات مخفية بواسطة الخطية. ويترتب على ذلك أن بعض جوانب السلوك الديناميكي للنظام غير الخطي قد تبدو غير بديهية أو غير متوقعة أو حتى فوضوية. وعلى الرغم من أن هذا السلوك الفوضوي قد يشبه السلوك العشوائي ، إلا أنه في الواقع ليس عشوائيًا. على سبيل المثال، يُنظر إلى بعض جوانب الطقس على أنها فوضوية، حيث تنتج التغييرات البسيطة في جزء واحد من النظام تأثيرات معقدة في جميع أنحاءه. هذه اللاخطية هي أحد الأسباب التي تجعل التنبؤات الدقيقة طويلة الأجل مستحيلة باستخدام التكنولوجيا الحالية.

يستخدم بعض المؤلفين مصطلح العلوم غير الخطية لدراسة الأنظمة غير الخطية. ويختلف آخرون حول هذا المصطلح:

إن استخدام مصطلح مثل العلم غير الخطي يشبه الإشارة إلى الجزء الأكبر من علم الحيوان باعتباره دراسة للحيوانات غير الفيلة.

—  ستانيسلاف أولام ^[10]

في الرياضيات ، الخريطة الخطية (أو الدالة الخطية ) هي تلك التي تلبي كل من الخاصيتين التاليتين: ${\displaystyle f(x)}$

• مبدأ الجمع أو التراكب :${\displaystyle \textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}$
• تجانس:${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).}$

تتضمن الجمع التجانس لأي α منطقي ، وللوظائف المستمرة ، لأي α حقيقي . بالنسبة لـ α مركب ، لا يتبع التجانس الجمع. على سبيل المثال، الخريطة المضادة للخطية تكون جمعيّة ولكنها ليست متجانسة. غالبًا ما يتم الجمع بين شروط الجمع والتجانس في مبدأ التراكب

${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$

معادلة مكتوبة على النحو التالي

${\displaystyle f(x)=C}$

تسمى خطية إذا كانت خريطة خطية (كما هو موضح أعلاه) وغير خطية بخلاف ذلك. تسمى المعادلة متجانسة إذا كانت دالة متجانسة . ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle f(x)}$

التعريف عام جدًا حيث يمكن أن يكون أي كائن رياضي حساس (عدد، متجه، دالة، إلخ)، ويمكن أن تكون الدالة حرفيًا أي تعيين ، بما في ذلك التكامل أو التفاضل مع القيود المرتبطة (مثل قيم الحدود ). إذا كان يحتوي على تفاضل بالنسبة إلى ، فستكون النتيجة معادلة تفاضلية . ${\displaystyle f(x)=C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

يتكون نظام المعادلات غير الخطي من مجموعة من المعادلات في عدة متغيرات بحيث يكون واحد منها على الأقل ليس معادلة خطية .

بالنسبة لمعادلة واحدة من النموذج ، تم تصميم العديد من الطرق؛ انظر خوارزمية إيجاد الجذر . في الحالة التي تكون فيها f متعددة الحدود ، يكون لدينا معادلة متعددة الحدود مثل تنطبق خوارزميات إيجاد الجذر العامة على جذور متعددة الحدود، ولكنها لا تجد عمومًا كل الجذور، وعندما تفشل في إيجاد جذر، فهذا لا يعني أنه لا توجد جذور. تسمح الطرق المحددة للعديد من الحدود بإيجاد جميع الجذور أو الجذور الحقيقية ؛ انظر عزل الجذر الحقيقي . ${\displaystyle f(x)=0,}$${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$

حل أنظمة المعادلات متعددة الحدود ، أي إيجاد الأصفار المشتركة لمجموعة من العديد من متعددات الحدود في العديد من المتغيرات، هي مشكلة صعبة تم تصميم خوارزميات مفصلة لها، مثل خوارزميات قاعدة جروبنر . ^[11]

بالنسبة للحالة العامة لنظام المعادلات المتكون من معادلة عدة دوال قابلة للاشتقاق إلى الصفر ، فإن الطريقة الرئيسية هي طريقة نيوتن ومتغيراتها. بشكل عام، قد توفر هذه الطرق حلاً، لكنها لا توفر أي معلومات عن عدد الحلول.

تحدد علاقة التكرار غير الخطية المصطلحات المتعاقبة لتسلسل ما كدالة غير خطية للمصطلحات السابقة. ومن أمثلة علاقات التكرار غير الخطية الخريطة اللوجستية والعلاقات التي تحدد تسلسلات هوفستاتر المختلفة . تشمل النماذج المنفصلة غير الخطية التي تمثل فئة واسعة من علاقات التكرار غير الخطية نموذج NARMAX (متوسط ​​متحرك تلقائي الانحدار غير خطي مع مدخلات خارجية) وإجراءات تحديد وتحليل النظام غير الخطي ذات الصلة. ^[12] يمكن استخدام هذه الأساليب لدراسة فئة واسعة من السلوكيات غير الخطية المعقدة في مجالات الوقت والتردد والزمان المكاني.

يُقال عن نظام المعادلات التفاضلية أنه غير خطي إذا لم يكن نظامًا من المعادلات الخطية . تتنوع المشكلات التي تنطوي على معادلات تفاضلية غير خطية بشكل كبير، وتعتمد طرق الحل أو التحليل على المشكلة. ومن أمثلة المعادلات التفاضلية غير الخطية معادلات نافير-ستوكس في ديناميكا الموائع ومعادلات لوتكا-فولتيرا في علم الأحياء.

أحد أعظم الصعوبات التي تواجهها المشكلات غير الخطية هو أنه من غير الممكن عمومًا الجمع بين الحلول المعروفة في حلول جديدة. في المشكلات الخطية، على سبيل المثال، يمكن استخدام مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا لبناء حلول عامة من خلال مبدأ التراكب . ومن الأمثلة الجيدة على ذلك النقل الحراري أحادي البعد مع شروط حدود ديريتشليت ، والتي يمكن كتابة حلها كتركيبة خطية تعتمد على الوقت من الجيبيات ذات الترددات المختلفة؛ وهذا يجعل الحلول مرنة للغاية. غالبًا ما يكون من الممكن إيجاد عدة حلول محددة للغاية للمعادلات غير الخطية، ومع ذلك فإن عدم وجود مبدأ التراكب يمنع بناء حلول جديدة.

غالبًا ما تكون المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى قابلة للحل بدقة عن طريق فصل المتغيرات ، وخاصةً بالنسبة للمعادلات المستقلة. على سبيل المثال، المعادلة غير الخطية

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}}$

لها حل عام (وكذلك الحل الخاص المقابل لحدود الحل العام عندما تتجه C إلى ما لا نهاية). المعادلة غير خطية لأنها يمكن كتابتها على النحو التالي ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$${\displaystyle u=0,}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0}$

والجانب الأيسر من المعادلة ليس دالة خطية لـ ومشتقاتها. لاحظ أنه إذا تم استبدال المصطلح بـ ، فإن المشكلة ستكون خطية ( مشكلة الاضمحلال الأسي ). ${\displaystyle u}$${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u}$

نادرًا ما تنتج المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية والأعلى (بشكل عام، أنظمة المعادلات غير الخطية) حلولًا مغلقة الشكل ، على الرغم من وجود حلول ضمنية وحلول تتضمن تكاملات غير أولية .

تتضمن الطرق الشائعة للتحليل النوعي للمعادلات التفاضلية العادية غير الخطية ما يلي:

• فحص أي كميات محفوظة ، وخاصة في الأنظمة الهاميلتونية
• فحص الكميات المبددة (انظر دالة ليابونوف ) على غرار الكميات المحفوظة
• الخطية من خلال توسع تايلور
• تغيير المتغيرات إلى شيء أسهل للدراسة
• نظرية التفرع
• طرق الاضطراب (يمكن تطبيقها على المعادلات الجبرية أيضًا)
• وجود حلول ذات مدة محدودة، ^[13] والتي يمكن أن تحدث تحت ظروف محددة لبعض المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية.

النهج الأساسي الأكثر شيوعًا لدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية هو تغيير المتغيرات (أو تحويل المشكلة بطريقة أخرى) بحيث تكون المشكلة الناتجة أبسط (ربما خطية). في بعض الأحيان، قد يتم تحويل المعادلة إلى معادلة تفاضلية عادية واحدة أو أكثر ، كما هو الحال في فصل المتغيرات ، وهو أمر مفيد دائمًا سواء كانت المعادلات التفاضلية العادية الناتجة قابلة للحل أم لا.

هناك تكتيك شائع آخر (وإن كان أقل رياضية)، يتم استغلاله غالبًا في ميكانيكا الموائع والحرارة، وهو استخدام تحليل المقياس لتبسيط معادلة طبيعية عامة في مشكلة قيمة حدودية معينة . على سبيل المثال، يمكن تبسيط معادلات نافير-ستوكس (غير الخطية للغاية) إلى معادلة تفاضلية جزئية خطية واحدة في حالة التدفق الرقائقي العابر أحادي البعد في أنبوب دائري؛ يوفر تحليل المقياس الظروف التي يكون فيها التدفق رقائقيًا وأحادي البعد ويعطي أيضًا المعادلة المبسطة.

وتشمل الطرق الأخرى فحص الخصائص واستخدام الطرق الموضحة أعلاه للمعادلات التفاضلية العادية.

تعتبر ديناميكيات البندول الخالي من الاحتكاك تحت تأثير الجاذبية من المشكلات الكلاسيكية غير الخطية التي تمت دراستها على نطاق واسع . وباستخدام ميكانيكا لاغرانج ، يمكن إثبات ^[14] أن حركة البندول يمكن وصفها بالمعادلة غير الخطية عديمة الأبعاد

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$

حيث تشير الجاذبية "إلى الأسفل" وهي الزاوية التي يشكلها البندول مع موضع سكونه، كما هو موضح في الشكل على اليمين. أحد الأساليب "لحل" هذه المعادلة هو استخدام عامل التكامل ، والذي من شأنه أن يعطي في النهاية ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta /dt}$

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$

وهو حل ضمني يتضمن تكاملاً إهليلجيًا . لا يوجد لهذا "الحل" عمومًا العديد من الاستخدامات لأن معظم طبيعة الحل مخفية في التكامل غير الأولي (غير الأولي ما لم يكن ). ${\displaystyle C_{0}=2}$

هناك طريقة أخرى للتعامل مع المشكلة وهي خطية أي عدم خطية (مصطلح دالة الجيب في هذه الحالة) عند نقاط الاهتمام المختلفة من خلال توسعات تايلور . على سبيل المثال، الخطية عند ، والتي تسمى تقريب الزاوية الصغيرة، هي ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$

منذ لـ . هذا مذبذب توافقي بسيط يتوافق مع تذبذبات البندول بالقرب من أسفل مساره. سيكون هناك خطية أخرى عند ، تتوافق مع كون البندول مستقيمًا لأعلى: ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$${\displaystyle \theta \approx 0}$${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$

بما أن لـ . يتضمن حل هذه المشكلة الجيوب الزائدية ، ولاحظ أنه على عكس تقريب الزاوية الصغيرة، فإن هذا التقريب غير مستقر، مما يعني أنه سينمو عادةً دون حدود، على الرغم من إمكانية الحلول المحدودة. يتوافق هذا مع صعوبة موازنة البندول في وضع مستقيم، فهو حرفيًا حالة غير مستقرة. ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$${\displaystyle \theta \approx \pi }$${\displaystyle |\theta |}$

من الممكن وجود خطية أخرى مثيرة للاهتمام حول ، والتي حولها : ${\displaystyle \theta =\pi /2}$${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$

يتوافق هذا مع مشكلة السقوط الحر. يمكن الحصول على صورة نوعية مفيدة للغاية لديناميكيات البندول من خلال تجميع مثل هذه الخطيات معًا، كما هو موضح في الشكل الموجود على اليمين. يمكن استخدام تقنيات أخرى للعثور على صور الطور (الدقيقة) والفترات التقريبية.

• موت السعة - تتوقف أي تذبذبات موجودة في النظام بسبب نوع من التفاعل مع نظام آخر أو ردود الفعل من نفس النظام
• الفوضى - لا يمكن التنبؤ بقيم النظام إلى أجل غير مسمى في المستقبل البعيد، والتقلبات غير دورية
• التعددية الاستقرارية – وجود حالتين مستقرتين أو أكثر
• الموجات الانعزالية – موجات انفرادية معززة ذاتيًا
• الدورات الحدية – مدارات دورية مقاربة تنجذب إليها نقاط ثابتة غير مستقرة.
• التذبذبات الذاتية - تذبذبات التغذية الراجعة التي تحدث في الأنظمة الفيزيائية التبددية المفتوحة.

• برنامج أبحاث القيادة والسيطرة
• معهد نيو إنجلاند للأنظمة المعقدة: المفاهيم في الأنظمة المعقدة
• الديناميكيات غير الخطية 1: الفوضى في OpenCourseWare التابع لمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا
• مكتبة النماذج غير الخطية – (في MATLAB ) قاعدة بيانات للأنظمة الفيزيائية
• مركز الدراسات غير الخطية في مختبر لوس ألاموس الوطني