عدد معقد للغاية

جبر كليفورد هو جبر ترابطي أحادي مُوَلَّد على فضاء متجهي أساسي مزود بصيغة تربيعية . وعلى الأعداد الحقيقية، يُكافئ هذا القدرة على تعريف جداء قياسي متناظر.${\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}$والتي يمكن استخدامها لتعامد الشكل التربيعي، لإعطاء أساس${\displaystyle \{e_{1},\,\dots ,\,e_{k}\}}$بحيث: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}}$$

يؤدي فرض الإغلاق تحت عملية الضرب إلى توليد فضاء متعدد المتجهات يمتد بواسطة أساس من${\displaystyle 2^{k}}$العناصر، ⁠${\displaystyle \{1,\,e_{1},\,e_{2},\dots ,\,e_{1}e_{2},\,\dots ,\,e_{1}e_{2}e_{3},\,\dots \}}$. يمكن تفسير هذه على أنها أساس نظام الأعداد المركبة الفائقة. على عكس الأساس ⁠${\displaystyle \{e_{1},\,\dots ,\,e_{k}\}}$لا يشترط أن تكون عناصر الأساس المتبقية مضادة للتبادل ، وذلك يعتمد على عدد عمليات التبادل البسيطة اللازمة لتبديل العاملين. لذا${\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}$لكن​​${\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}$⁠ .

وبغض النظر عن القواعد التي تحتوي على عنصر${\displaystyle e_{i}}$بحيث${\displaystyle e_{i}^{2}=0}$(أي الاتجاهات في الفضاء الأصلي التي كانت فيها الصيغة التربيعية متدهورة )، يمكن تحديد جبر كليفورد المتبقي بواسطة التسمية ⁠${\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}$، مما يشير إلى أن الجبر مبني من${\displaystyle p}$عناصر أساسية بسيطة مع${\displaystyle e_{i}^{2}=+1}$،​${\displaystyle q}$مع​${\displaystyle e_{i}^{2}=-1}$، وأين${\displaystyle \mathbb {R} }$يشير هذا إلى أن هذا سيكون جبر كليفورد على الأعداد الحقيقية - أي أن معاملات عناصر الجبر ستكون أعدادًا حقيقية.

تشكل هذه الجبر، التي تسمى الجبر الهندسي ، مجموعة منهجية، والتي تبين أنها مفيدة للغاية في مسائل الفيزياء التي تتضمن الدوران أو الأطوار أو اللف المغزلي ، لا سيما في الميكانيكا الكلاسيكية والكمية ، والنظرية الكهرومغناطيسية والنسبية .

ومن الأمثلة على ذلك: الأعداد المركبة${\displaystyle {\text{Cl}}_{0,1}(\mathbb {R} )}$، الأعداد المركبة المنقسمة${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,0}(\mathbb {R} )}$، الرباعيات ​​${\displaystyle {\text{Cl}}_{0,2}(\mathbb {R} )}$، ثنائيات رباعية منقسمة${\displaystyle {\text{Cl}}_{0,3}(\mathbb {R} )}$، الرباعيات المنقسمة${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,1}(\mathbb {R} )\approx {\text{Cl}}_{2,0}(\mathbb {R} )}$(الجبر الطبيعي للفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد)؛${\displaystyle {\text{Cl}}_{3,0}(\mathbb {R} )}$(الجبر الطبيعي للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، وجبر مصفوفات باولي )؛ وجبر الزمكان ⁠${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} )}$⁠ .

عناصر الجبر${\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}$تشكل جبرًا فرعيًا زوجيًا${\displaystyle {\text{Cl}}_{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}$من الجبر${\displaystyle {\text{Cl}}_{q+1,p}(\mathbb {R} )}$ويمكن استخدام ذلك لضبط معلمات الدوران في الجبر الأوسع. وبالتالي ، ثمة ارتباط وثيق بين الأعداد المركبة والدوران في الفضاء ثنائي الأبعاد؛ وبين الكواترنيونات والدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد؛ وبين الأعداد المركبة المنقسمة والدوران (الزائدي) ( تحويلات لورنتز ) في الفضاء (1+1) الأبعاد، وهكذا.

في حين أن بنى كايلي-ديكسون والبنى المعقدة المنقسمة ذات الأبعاد الثمانية أو أكثر ليست ترابطية فيما يتعلق بالضرب، فإن جبر كليفورد يحتفظ بالترابطية في أي عدد من الأبعاد.

في عام 1995، كتب إيان ر. بورتيوس عن "التعرف على الجبر الجزئي" في كتابه عن جبر كليفورد. وتلخص مقولته 11.4 حالات الجبر الفائق التعقيد: ^{[ 17 ]}

يترك${\displaystyle A}$ليكن جبرًا ترابطيًا حقيقيًا بعنصر الوحدة${\displaystyle 1}$ثم​

• 1 يُنتج${\displaystyle \mathbb {R} }$( جبر الأعداد الحقيقية )،
• أي جبر فرعي ثنائي الأبعاد يتم توليده بواسطة عنصر${\displaystyle e_{0}}$ل${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle e_{0}^{2}=-1}$متماثل مع${\displaystyle \mathbb {C} }$( جبر الأعداد المركبة )،
• أي جبر فرعي ثنائي الأبعاد يتم توليده بواسطة عنصر${\displaystyle e_{0}}$ل${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle e_{0}^{2}=1}$متماثل مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(أزواج من الأعداد الحقيقية ذات حاصل ضرب مكوناتها، متماثلة مع جبر الأعداد المركبة المنقسمة )،
• أي جبر فرعي رباعي الأبعاد يتم توليده بواسطة مجموعة${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1}\}}$من العناصر المتعارضة فيما بينها${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$متماثل مع${\displaystyle \mathbb {H} }$( جبر الكواترنيونات )،
• أي جبر فرعي رباعي الأبعاد يتم توليده بواسطة مجموعة${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1}\}}$من العناصر المتعارضة فيما بينها${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$متماثل مع${\displaystyle {\text{M}}_{2}(\mathbb {R} )}$( ⁠${\displaystyle 2\times 2}$⁠ المصفوفات الحقيقية ، coquaternions )،
• أي جبر فرعي ثماني الأبعاد يتم توليده بواسطة مجموعة${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1},\,e_{2}\}}$من العناصر المتعارضة فيما بينها${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$متماثل مع${\displaystyle {}^{2}\mathbb {H} }$( الأعداد الرباعية المنقسمة )،
• أي جبر فرعي ثماني الأبعاد يتم توليده بواسطة مجموعة${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1},\,e_{2}\}}$من العناصر المتعارضة فيما بينها${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$متماثل مع${\displaystyle {\text{M}}_{2}(\mathbb {C} )}$( ⁠${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات المعقدة، والوحدات الرباعية ، وجبر باولي ).

جميع جبر كليفورد${\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}$إلى جانب الأعداد الحقيقية، تحتوي الأعداد المركبة والأعداد الرباعية على عناصر غير حقيقية مربعها يساوي +1؛ ولذلك لا يمكن اعتبارها جبر قسمة. ويُتبع نهج مختلف لتوسيع نطاق الأعداد المركبة من خلال بناء كايلي-ديكسون . وينتج عن هذا البناء أنظمة عددية ذات بُعد${\displaystyle {1}}$، مع قواعد${\displaystyle \left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}}$، حيث تكون جميع عناصر الأساس غير الحقيقية مضادة للتبادل وتحقق ⁠${\displaystyle {i_{m}}^{2}=-1}$في 8 أبعاد أو أكثر (${\displaystyle n\geq 3}$هذه الجبريات غير تجميعية. في 16 بُعدًا أو أكثر (${\displaystyle n\geq 4}$) تحتوي هذه الجبريات أيضًا على قواسم صفرية غير صفرية .

تتضمن الجبريات الأولى في هذه السلسلة الكواترنيونات رباعية الأبعاد ، والأوكتونيونات ثمانية الأبعاد ، والسيدينيونات سداسية عشر الأبعاد . ويُفقد التناظر الجبري مع كل زيادة في الأبعاد: فعملية ضرب الكواترنيونات ليست تبادلية ، وعملية ضرب الأوكتونيونات غير تجميعية ، ومعيار السيدينيونات ليس ضربيًا . بعد السيدينيونات ، تأتي التريجينتاديويونات ثنائية الأبعاد (أو 32-نيون)، والسيكساجينتاكواترونيونات رباعية الأبعاد (أو 64-نيون)، والمينتومدوديتريجينتانيونات ثنائية الأبعاد (أو 128-نيون)، والدوسنتيكوينكواجينتاسيكسيونات ثنائية الأبعاد (أو 256-نيون)، وهكذا إلى ما لا نهاية ، كما هو مُلخص في الجدول أدناه. ^{[ 18 ]}

اسم	عدد الأبعاد	الأبعاد ( 2 ن )	رمز
أرقام حقيقية	1	2 0	${\displaystyle \mathbb {R} }$
الأعداد المركبة	2	2 1	${\displaystyle \mathbb {C} }$
الرباعيات	4	2 2	${\displaystyle \mathbb {H} }$
الأوكتونيونات	8	2 3	${\displaystyle \mathbb {O} }$
سدينيون	16	2 4	${\displaystyle \mathbb {S} }$
Trigintaduonions	32	2 5	${\displaystyle \mathbb {T} }$
ستة وأربعة عشر وحدة	64	2 6
سنتومدوديتريجينتانيون	128	2 7
ducentiquinquagintasexions	256	2 8

يمكن تعديل بناء كايلي-ديكسون بإضافة إشارة إضافية في بعض المراحل. عندئذٍ، ينتج عنه "جبر منقسم" في مجموعة جبر التركيب بدلاً من جبر القسمة.

الأعداد المركبة المنقسمة ذات الأساس${\displaystyle \{1,\,i_{1}\}}$مُرضٍ​${\displaystyle i_{1}^{2}=+1}$،​

الأعداد الرباعية المنقسمة ذات الأساس${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}}$مُرضٍ​${\displaystyle i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$، و

الأوكتونيونات المنقسمة ذات الأساس${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}}$مُرضٍ​${\displaystyle i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$،​​${\displaystyle i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}$⁠ .

على عكس الأعداد المركبة، فإن الأعداد المركبة المنقسمة ليست مغلقة جبريًا ، وتحتوي أيضًا على قواسم صفرية غير تافهة وعناصر متساوية القوة غير تافهة . وكما هو الحال مع الكواترنيونات، فإن الكواترنيونات المنقسمة ليست تبديلية، بل تحتوي أيضًا على عناصر معدومة القوة ؛ وهي متماثلة مع المصفوفات المربعة ذات البعد الثاني. أما الأوكتونيونات المنقسمة فهي غير تجميعية وتحتوي على عناصر معدومة القوة.

إن حاصل الضرب الموتري لأي جبرين هو جبر آخر، والذي يمكن استخدامه لإنتاج العديد من الأمثلة الأخرى لأنظمة الأعداد المعقدة للغاية.

على وجه الخصوص، يؤدي أخذ جداءات الموترات مع الأعداد المركبة (التي تُعتبر جبرًا على الأعداد الحقيقية) إلى أعداد ثنائية مركبة رباعية الأبعاد${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$(متماثل الشكل مع التيسارين )${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }D}$) ، ثنائيات رباعية الأبعاد ثمانية الأبعاد${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$، والأوكتونيونات المعقدة ذات 16 بُعدًا${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$⁠ .

مثال آخر هو حاصل الضرب الموتري لجبريْن رباعيي الأيونات${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}=\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$(متماثل مع جبر كليفورد)${\displaystyle {\text{Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$وإلى${\displaystyle 4\times 4}$المصفوفات الحقيقية${\displaystyle M(4,\mathbb {R} )}$⁠ ) ​​مما يؤدي إلى تطبيقات في الفيزياء النسبية. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

وبشكل أعم، يُعرّف المرء${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes m}}$(وجبرها الفرعي) باعتبارها "جبر رباعي فائق". على وجه الخصوص،${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 3}=M(4,\mathbb {H} )}$ينتج عنه مصفوفة رباعية وجبرها الفرعي الزوجي${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$( جبر ديراك ). ^{[ 21 ] [ 22 ]}

• الأعداد المركبة الثنائية : فضاء متجهي رباعي الأبعاد على الأعداد الحقيقية، وثنائي الأبعاد على الأعداد المركبة، ومتماثل مع الفيسارينات.
• الأعداد المركبة المتعددة :${\displaystyle 2^{n}}$فضاءات متجهة ذات أبعاد n على الأعداد الحقيقية،${\displaystyle 2^{n-1}}$-الأبعاد على الأعداد المركبة
• الجبر التركيبي : هو جبر ذو شكل تربيعي يُركّب مع حاصل الضرب.