التكامل العددي

يمكن إجراء نوع من التكامل العددي "القوة الغاشمة"، إذا كان التكامل يتصرف بشكل جيد إلى حد معقول (أي متصل بشكل جزئي وذو تباين محدود )، عن طريق تقييم التكامل بزيادات صغيرة جدًا.

تقوم هذه الطريقة الأبسط بتقريب الدالة بواسطة دالة متدرجة (دالة ثابتة على أجزاء، أو متعددة حدود مجزأة من الدرجة الصفرية) تمر عبر النقطة${\textstyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}$يُطلق على هذا اسم قاعدة نقطة المنتصف أو قاعدة المستطيل$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}$$

يمكن اشتقاق فئة واسعة من قواعد التكامل العددي عن طريق بناء دوال استيفاء يسهل تكاملها. عادةً ما تكون دوال الاستيفاء هذه عبارة عن كثيرات حدود . عمليًا، نظرًا لأن كثيرات الحدود ذات الدرجة العالية جدًا تميل إلى التذبذب بشكل كبير ، تُستخدم فقط كثيرات الحدود ذات الدرجة المنخفضة، وعادةً ما تكون خطية وتربيعية.

قد تكون دالة الاستيفاء خطًا مستقيمًا ( دالة تآلفية ، أي متعددة حدود من الدرجة الأولى) يمر عبر النقاط${\displaystyle \left(a,f(a)\right)}$و${\displaystyle \left(b,f(b)\right)}$يُطلق على هذا اسم قاعدة شبه المنحرف$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right).}$$

بالنسبة لأي من هاتين القاعدتين، يمكننا الحصول على تقريب أكثر دقة عن طريق تقسيم الفترة${\displaystyle [a,b]}$إلى عدد ما${\displaystyle n}$يتم حساب قيمة تقريبية لكل فترة فرعية من الفترات الجزئية، ثم جمع جميع النتائج. يُطلق على هذه الطريقة اسم القاعدة المركبة ، أو القاعدة الموسعة ، أو القاعدة المتكررة . على سبيل المثال، يمكن صياغة قاعدة شبه المنحرف المركبة على النحو التالي: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)+{f(b) \over 2}\right),}$$

حيث تكون الفترات الفرعية على الشكل التالي${\displaystyle [a+kh,a+(k+1)h]\subset [a,b],}$مع${\textstyle h={\frac {b-a}{n}}}$و${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$استخدمنا هنا فترات فرعية من نفس الطول${\displaystyle h}$لكن يمكن أيضاً استخدام فترات زمنية متفاوتة الطول${\displaystyle \left(h_{k}\right)_{k}}$.

الاستيفاء باستخدام كثيرات الحدود التي يتم تقييمها عند نقاط متباعدة بالتساوي في${\displaystyle [a,b]}$ينتج عن ذلك صيغ نيوتن-كوتس ، ومنها قاعدة المستطيل وقاعدة شبه المنحرف. كما تُعد قاعدة سيمبسون ، المبنية على متعددة حدود من الدرجة الثانية، صيغة نيوتن-كوتس أيضاً.

تتميز قواعد التكامل العددي ذات النقاط المتساوية التباعد بخاصية التداخل المريحة للغاية . فالقاعدة المقابلة مع كل فاصل مقسم تتضمن جميع النقاط الحالية، وبالتالي يمكن إعادة استخدام قيم الدالة التكاملية.

إذا سمحنا بتغير الفواصل بين نقاط الاستيفاء، فسنجد مجموعة أخرى من صيغ التكامل العددي، مثل صيغ التكامل العددي الغاوسي . عادةً ما تكون قاعدة التكامل العددي الغاوسي أكثر دقة من قاعدة نيوتن-كوتس التي تستخدم نفس عدد عمليات تقييم الدالة، إذا كانت الدالة المراد تكاملها سلسة (أي إذا كانت قابلة للتفاضل بدرجة كافية). تشمل طرق التكامل العددي الأخرى ذات الفواصل المتغيرة طرق التكامل العددي كلينشو-كورتيس (وتسمى أيضًا طرق فيجير)، والتي تتداخل فيما بينها.

قواعد التربيع الغاوسي لا تتداخل، لكن صيغ التربيع الغاوسي-كرونرود ذات الصلة تتداخل.

تعتمد دقة قاعدة التربيع من نوع نيوتن-كوتس عمومًا على عدد نقاط التقييم. وعادةً ما تكون النتيجة أكثر دقةً مع ازدياد عدد نقاط التقييم، أو بعبارة أخرى، مع تناقص عرض خطوة القياس بين النقاط. ومن الطبيعي التساؤل عن النتيجة إذا سُمح لخطوة القياس بالاقتراب من الصفر. ويمكن الإجابة على هذا السؤال باستقراء النتيجة من خطوتين أو أكثر غير صفريتين، باستخدام طرق تسريع متسلسلة مثل استقراء ريتشاردسون . وقد تكون دالة الاستقراء دالة متعددة الحدود أو دالة كسرية . وقد وُصفت طرق الاستقراء بمزيد من التفصيل في كتاب ستوير وبوليرش (القسم 3.4)، وهي مُطبقة في العديد من إجراءات مكتبة QUADPACK .

يترك${\displaystyle f}$لها مشتقة أولى محدودة على${\displaystyle [a,b],}$أي${\displaystyle f\in C^{1}([a,b]).}$نظرية القيمة المتوسطة لـ${\displaystyle f,}$أين${\displaystyle x\in [a,b),}$أعطِ $${\displaystyle (x-a)f'(\xi _{x})=f(x)-f(a),}$$ بالنسبة للبعض${\displaystyle \xi _{x}\in (a,x]}$.اعتمادا علي${\displaystyle x}$.

إذا قمنا بالدمج في${\displaystyle x}$من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$بأخذ القيم المطلقة على كلا الجانبين، نحصل على $${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(x-a)f'(\xi _{x})\,dx\right|.}$$

يمكننا تقريب التكامل على الجانب الأيمن بشكل أكبر عن طريق إدخال القيمة المطلقة في الدالة المراد تكاملها، واستبدال الحد في${\displaystyle f'}$بحد أعلى

حيث تم استخدام القيمة العليا للتقريب.

وبالتالي، إذا قمنا بتقريب التكامل${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$باستخدام قاعدة التربيع${\displaystyle (b-a)f(a)}$لا يتجاوز خطأنا الطرف الأيمن من 1. يمكننا تحويل هذا إلى تحليل خطأ لمجموع ريمان ، مما يعطي حدًا أعلى قدره $${\displaystyle {\frac {n^{-1}}{2}}\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f'(x)\right|}$$ بالنسبة لحد الخطأ في ذلك التقريب المحدد. (لاحظ أن هذا هو بالضبط الخطأ الذي حسبناه للمثال).${\displaystyle f(x)=x}$باستخدام المزيد من المشتقات، ومن خلال تعديل التكامل العددي، يمكننا إجراء تحليل مماثل للخطأ باستخدام متسلسلة تايلور (باستخدام مجموع جزئي مع حد متبقٍ) للدالة f . يعطي تحليل الخطأ هذا حدًا أعلى دقيقًا للخطأ، إذا كانت مشتقات f متاحة.

يمكن دمج طريقة التكامل هذه مع حساب الفترات لإنتاج براهين حاسوبية وحسابات تم التحقق منها .

توجد عدة طرق للتكامل التقريبي على فترات غير محدودة. تتضمن التقنية القياسية قواعد تربيعية مشتقة خصيصًا، مثل تربيع غاوس-هيرميت للتكاملات على خط الأعداد الحقيقية بأكمله، وتربيع غاوس-لاغير للتكاملات على الأعداد الحقيقية الموجبة. ^{[ 4 ]} يمكن أيضًا استخدام طرق مونت كارلو، أو تغيير المتغيرات إلى فترة محدودة؛ على سبيل المثال، بالنسبة للخط بأكمله، يمكن استخدام $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt,}$$ ويمكن استخدام الفترات شبه اللانهائية $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},\end{aligned}}}$$ كتحولات محتملة. للمزيد من القراءة ^{[ 5 ]} .

تُعدّ طرق مونت كارلو وطرق شبه مونت كارلو سهلة التطبيق على التكاملات متعددة الأبعاد. وقد تُحقق دقة أكبر لنفس عدد عمليات تقييم الدالة مقارنةً بالتكاملات المتكررة باستخدام الطرق أحادية البعد.

تُعد خوارزميات مونت كارلو لسلسلة ماركوف فئة كبيرة من طرق مونت كارلو المفيدة ، والتي تشمل خوارزمية متروبوليس-هاستينغز وأخذ عينات جيبس .

طُوِّرت الشبكات المتفرقة في الأصل بواسطة سمولياك لحساب التكامل العددي للدوال عالية الأبعاد. تعتمد هذه الطريقة دائمًا على قاعدة التكامل العددي أحادية البعد، ولكنها تُجري عملية دمج أكثر تعقيدًا للنتائج أحادية المتغير. مع ذلك، فبينما تضمن قاعدة الضرب الموتري أن تكون أوزان جميع نقاط التكامل العددي موجبة إذا كانت أوزان نقاط التكامل العددي موجبة، فإن قاعدة سمولياك لا تضمن أن تكون جميع الأوزان موجبة.

يُعدّ التكامل العددي البايزي منهجًا إحصائيًا لحلّ المسائل العددية المتعلقة بحساب التكاملات، ويندرج ضمن مجال الإحصاء العددي الاحتمالي . وهو يُتيح معالجة كاملة لعدم اليقين بشأن حلّ التكامل، والذي يُعبّر عنه بتباين لاحق لعملية غاوسية .